数学公式千千万唯有x一点不换

大家好，这一期讲欧拉公式，在漫长的数学历史长河当中，诞生了无数美丽的数学公式，他们宛如一颗颗璀璨的明珠，光彩夺目，而只有他被称为上帝公式，他就是欧拉公式。那我们来看一下他有什么特别之处啊？ 它的形式是这样的，一的 i x 次方等于 cosinex， 加上 i 乘以三 x， 其中一是自然长数， i 是虚数沙眼， cosine 呢，是三角函数。当 x 等于 pi 的时候啊，公式就变成了一的 ipi， 次方等于负一，这个就是欧拉横等式。 这个等式包含了自然长数、虚数、圆周率和自然数。每一个单拿出来啊，在数学史上都是非常炸裂的存在。而欧拉公式竟然以一种极其简洁的形式，轻描淡写般把他们 结合了在一起，在以简洁唯美的数学世界里啊，难怪他会被称为上帝公式吧。事实上，与欧拉公式相近的公式，在此之前就已经被发现了。其实这也不奇怪，我讲虚数的那期视频呢，也有推导到类似的结果啊， 例如一七零七年，法国数学家蒂莫福就发现了一个这样的公式， cosine x 加减 i 乘以三 x 的 n 次方，它是等于 cosine n x 加减 i 乘以三 n x 的。 又例如，一七一二年，英国数学家罗杰科特斯在研究螺旋线无常的时候呢，就得出了一个这样的公式， l n cosine x 加上 i 乘三 x 呢，它是等于 ix 的 啊，这里注意一下啊， l n 这个符号呢，是后来欧拉取的啊，是表示自然对数的意思。在此之前，数学家们呢，都是用别的方法去表示自然对数的啊，这里我为了大家好理解，直接就用 用了 l、 n 啊，包括虚数 i 也是后来欧拉给的符号，在此之前呢，虚数都被写作根号负一，我为了方便表达啊，也是直接用了 i 的啊。 这个公式呢，可以说是无限接近欧拉公式了，只要两边同时取一为底的指数操作就可以了。不过科特斯在一七一六年突然离世，这一结果呢，也从未正式发表过。接下来为了说明欧拉公式，我得先讲一下这个自然长数是什么啊？ 自然常数一，其实我们在高中的时候呢，就接触过了，它和 pi 一样，也是一个物理数来的，它约等于二点七一八二八。 自然长数又被称为欧拉数。但是欧拉数却不是欧拉发现的，是雅格布博努力在研究存款复利的时候发现的。注意一下这里的博努力和流体力学的博努力啊，不是一个人 流体力学的，是丹尼尔伯努力啊，他是雅阁部的侄子。假如银行规定了一个这样的规则， 存一年利率就是百分之一百，存两年利率就变成了百分之五十，也就是二分之一。存三年利率变为三分之一，而存 n 年呢，利率就变成 n 分之一。复利的意思就是今年的本加息呢，会变成下一年的本啊。 好，那么我们用一个具体的例子来说明啊，我有一块钱，存一年之后，到手就是一加上一乘以百分百等于二。 存两年最后到手呢，就是一加上二分之一，加上一加上二分一，再乘以二分之一的，也就是一加二分一的二次方等于二点二五，存三年，最后到手的就是一加上三分之一的三次方等于二点三七的，以此类推啊。存 n 年，最后呢，到手就是一加上 n 分之一的 n 次方。哎，这个时候好像发现存的越久，赚的就越多，如果我存无穷多年，那么本息会不会最后就是无穷多呢？ 雅阁布他就发现了，不会，他只会无限趋向于二点七八二八点点点点，对吧，甚至呢，都到不了二点七二。 我们可以画一个一加上 x 分之一的 x 次方的函数图像啊，可以明显看到，函数值到了二点七一左右啊，就上不去了。 欧拉在他后来的注册中多次引用到了这个数，并且给了他一个符号一，所以这个数也被后人叫做欧拉数了。这个自然常数有什么特别的地方呢啊，我们来看一下啊。假如有一个指数函数是以一为底的，也就是 y 等于一的 x 次方，我们随便找一个点吧，例如 x 等于二，那 它的函数值呢，就是一的平方，在这一个点的倒数，也就是切线的斜率，它也是一的平方。函数曲线与 x 轴围成的面积呢，它也还是一的平方。放眼整个数学界，这个函数的特性啊，也是独一份的啊。 当然，三角函数三 x 啊，求两次导之后呢，会变成自己的相反数啊，这个特性倒是和 e 的 x 方啊有点类似，感觉这两个函数冥冥之中就是有关联的。当然，对复数领域和三角函数领域研究颇深的欧拉也是这样认为的。 一七四八年，欧拉发表了一篇名为无限研究导论的论文，里面就引用了蒂莫夫的公式啊， 我们来看一下啊，两式相加除以二，就得到了 cosine 的 n x。 两式相减除以二 i 就得到了 scion 的 n x。 欧拉大胆地 x 取了无穷小，于是呢，就有了三 x 是等价于 x 的，扣三 x 呢，是等价于一的啊。那么式子呢，就变成了这样，然后再取 n 为无穷大，令到 nx 等于 k 啊，那么就有 x 呢，是等于 k 除以 n 的。最终的式子呢，又变成了这样。 哎，大家看，这不就是我们刚刚讲过复利的计算形式吗？这个其实就是一的 i k 次方，而这个呢，就是一的负 i k 次方。所以最后扣散 k 和散 k 呢，就变成了这样。 哎，我们看这两个式子，拿二式乘以 i 再加上一式，于是乎，我们就得到了欧拉公式的最终形式啊， cosin k 加 is and k 之前讲虚数的时候就有提到过，他可以在副平面上表示旋转，所以呢，一的 ik 四方也是一样的。 举个例子，五乘以一的 i 三分之拍次方，这个数表示了负平面上五为半径，逆时针旋转了六十度所在的位置。 又例如，一个负数一加 i 化成负指数，形式是怎样的呢？在负平面上画出来一加 i 的点，在这，它的半径就是根号二 全过的角度刚刚好是四十五度，也就是四分之派。用三角函数表示呢，就是根号二乘以扣三四分派，加上 i 乘以三四分派，也就是根号二乘以一的 i 四分之派四方 好。至此，欧拉公式就跟三角函数和旋转关联了到一起。你想想啊，负离液激素还得用沙哑和扣上两种函数做基底去分解，如果用一的 ic 塔次方去做基底的话呢？一个就够了。好了，这期讲到这，下期我们讲负离液变换在负数域的展开，我们下期见。