二阶偏导数存在能推出什么结论

哈喽，大家好，我是考研数学彬彬老师，我们今天给大家讲解高阶偏道。呃，首先呢，前两天我们一直在学习的是多元函数，一阶偏道举行定义表达是， 那么在这呢，其实他的思想跟我们高数上册一元函数是一致的，都是依据于某一个变量不断的求偏岛，那么就可以得到高阶偏岛啊。比方说我们现在呢，给定一个二元函数在区域地内呢，存在连续的偏岛数 啊，注意，这个前提是偏倒都是连续的，那么如果这两个对应的偏倒都是存在且连续的，我们就称之为整个他的偏倒存在。那么一旦我们在这个背景下继续求偏倒，那么就有了二结偏倒。以下屏幕前的这四个就是任意二元函数所得的。 对于 x 变量以及 y 变量的四种二阶偏倒的表达是，比方说第一种，第一种就是在 z 对 x 偏倒的技术上继续对 x 求导。符号意味它符号我们按照考研的符号来写啊，上面应该有两个撇， 相当于什么呀？ f 对 x 求导的技术上继续再对 x 求导。同理， z 先对 x， 后对 y， 这叫混合偏倒，他指的是 f 先对 x 求一个导，继续再对 y 求导。 好，那倒过来的话，就是 z 先对 y 求导，再对 x 求导，也就是 f 对 y 导，再对 x 求导。注意，这两个混合偏倒不一定是相等的，当然他有要求，那么普通的二阶导呢，就是两次对 x 以及两次对 y， 这个一般呢，我们 正常运算即可啊，大家一定要注意，混合偏倒四类即可啊。啊，好了，那么类似的，无论我们给定的是两个变量的还是三个变量的啊？无论要求的是二阶偏倒的，还是三阶偏倒等等，那么呃，符号来讲，或者运算来讲，都是从一阶开始， 逐步不断的往上呃叠加偏倒的次数即可。你比方说我们求解三阶倒数，他就是在二阶倒的技术上 继续再求导啊，比如说我们要求 n 接可导性，或者 n 减一接可导性，实际上他都是，对啊，每一个变量单独去看他的偏倒次数的 啊，这两个是独立的两个资本量，希望大家能够区分清楚。好，这里我们有一个非常重要的定理，那么这个证明我们不做 啊，论证掌握了，因为这个超纲了，我们考研也不考，那么我们关键就知道一个代有名词，就是，如果，如果二阶偏倒函数都是连续的， 二阶偏倒函数都是连续的，那么混合偏倒 b 相等。哎，这个二阶偏倒连续，大家放心，一般都是大题当中给我们的啊，比方说一只 z 的 f x， y 啊，是二阶连续可偏倒的。好，一出这句话马上出，这两个混合偏倒必然相等。 好，这个大家说，哎，这个干什么用呢？一般是在写函数啊，或者隐函数啊，或者参数类型的。哎，我们在普通的二级混合片岛求解出来之后，那么在最终的落款等式当中，如果出现了，我们一定要合并在一起即可。那么多元函数呢？ 在上述当中所有的偏岛或者高阶偏岛的基础上，都是可以呃建立出某一些偏微分方程的。 你比方说啊，我们，呃，这个实际英文当中，像这种哦， z 对 y 的二级片岛等于 a 方乘以 z 对 x 二级片岛，他一般呢，呃称之为波动方程，那么他可以呃描述各类波的运动。 你再比方说这种呃大家常见的 z 对 x， y 的二级偏脑盒，或者三元的 u 对 x， y， z 的二级偏脑盒，如果得零，称为拉普拉斯方程。 满足这种方程的函数叫做条和函数。当然这两个名称大，不用记就认识到。哎，这个多元偏倒他的运算其实是可以鉴定某些偏分方程的。比方说，你像这样的题，给我们一个 函数， z 为三以下的 x 减 a， y， 我们呢，想正一正这个满足波动方程， z 对 y 的二级偏桃等于 a 方背的 z 对 x 的二级偏桃。 那么这个其实很简单，他是显函助我们第一个左侧 z 对 y 的偏倒，是不是在三 ex 减 ay 的基础上，两次对 y 求偏倒放在这即可。 那同理，我把 y 看上常数，两次对 x 求编导放到右侧，这个等式一定成立。那么我们如图所示，就能感受到这个其实就是什么波动方程。 当然我们考研不考这种几何意义，那么大家能够知道或者说能够掌握他的证明方式求解，那么就可以了。好，呃，这是我们今天需要掌握的知识点。我是冰姐，我明天再继续更新。

二阶偏道数典型例题，那么这道题目当中的函数，这是等于 f 括号 x 方加外方的，那么我们这里面就会发现，实际上是有一个换元的思想在里面的吧，比方说我把 x 方加外方看成一个整体变量 u 是吧？那你鸡和 xy 的关系就相当于经过了中间变量 u 的一个传递。 那么注意，在求导的过程当中的话，我们要分成两步走，就首先你要让 f 这个对应法则对 u 求导，然后让 u 对 x 或者对外求导，是吧？是这么一个富含复合函数求导的一个路子。好，他说 f 是具有二阶导出的，就意味着什么呢？我的 f 一撇，你可以加个 u 啊，或者我就把它记做是 f 一撇 以及 f 两撇的 u， 对吧？就记住是 f 两撇，为了方便啊，是吧？就这两个东西都是存在的吧，都存在的啊，都是有的，虽然我不知道它具体等于多少，因为你没有给一个 f 的 写些事嘛，但是我知道他一定是在哪是存在的，所以可以把它写到结果里面去。好，那么接下来我们就分别来算一算这三个二阶的偏倒数，那么你要求二阶的偏倒数，必须先第一步先求一阶偏倒吧，那我们先算偏 c 偏 s 和偏 c 偏外， 算偏 c 偏 x， 你要寻找到 c 这个变量和 x 变量的一个变化关系，那我需要通过中间变量传导一下，是吧？那我就先对 u 除导啊，然后再乘以什么偏 u 偏 x。 好，那么这是一个 这样呢，偏 z 偏 y 怎么算呢？它是 f e 撇 u 乘以一个偏 u 偏外，就是先对中间面量求导，然后呢，中间面量分别对 x 和 y 求偏道，那我们来看一下这个 u 是什么东西？优是等于 x 平方加上 y 平方的，是吧？因为 u 是等于它，所以呢，偏 u 偏 x 怎么算啊？ pupx， 就是我把外平方看成是长数 x， 那它就相当于是 x 平方的这么一个函数了，那它应该等于多少呢？ 直接对 x 求偏倒对 x 求导就可以了。 x 导数， x 平方的导数是等于两倍的 x， 那么外平方对 x 的外平方对 x 求导是等于零呢，对吧？你本来加个零吧，所以它是等于二 x 的。好，那么同样的道理，你看偏 u 偏外等于多少？对称的嘛，对吧？ x 平方是一个长处了，直接导数为零，外平方导数对外求导是两倍的 y 吧。 好，所以这个结果我们把它写上来就等于多少啊？上面的部分就等于两倍的 x 乘以 f 一片 u， 底下的部分等于两倍的 y 乘以 f 一片 u。 好，那么接下来来做更为复杂的第二步。 第二步就是来求三个二阶偏大主。首先，第一，我们求偏平方 d 偏 x 方，那么这个东西可以怎么 写呢？他像是对偏 c pnx 继续求这个，继续对 x 数偏倒，那我把它写出来，我把那个偏 c p x 带进去，是等于两倍的 x 乘以什么 f， e， k， u 吧。好，那么这里面要怎么做呢？你要对 x 求编导啊，那你看一下二 x 这个函数 和 fe 点优这个函数都和 x 相关吧。因此呢，这个地方要做一个乘法求导，宝宝要利用乘法求导的规则。还记得乘法求导怎么做的吗？兄弟们？是前导后不导加上后不导。呃，加上前不导后导。那我先对什么呢？我先对二 x 求 x 偏导。那是等于二的， 让他去乘以一个 f e 撇 u， 是吧？好，加上多少？加上一个二 x 不动嘛。然后呢？让 f e 撇 u 对 s 去编导， f e 撇 u 对 s 去编导。你还是要先对中间边量要求导出 f 两撇 u 再乘以 怎么样？ pupx 吧。好，那 pupx 刚才算了，等于二 x 继续把它超过来，把它用 rx 替换掉就可以了。好，我们把它擦掉啊，是吧？哎，直接成立一个 rx。 所以整个结果得用多少呢？等于两倍的 f 一撇。呦，那我就写成两倍的 f 一撇吧，对吧？两倍的 f 一撇啊，就用答案写成两倍 f 一撇。写的方便一点啊。然后加上有多少？四倍的 x 的平方乘以一个 f 两撇。这就是第一个部分的答案。 那么接下来我们算第二个部分。第二个部分的话就是我来算什么呢？我来算这个吧，我来算这个偏平方低偏 wifi。 好了。

大家好，今天我们来看一下这样一个考虑内容，是关于我们多元函数他的高级导出内容，今天我们主要看一下二阶片岛问题，我们说二阶片岛实际上也就是在一阶片岛基础上再求一次片岛问题， 那么这个的时候啊，就会出现四种情况，为什么会有四种呢？你想一下，如果说我们的一届编导是对 x 球的，那么接下来你再求二届编导的时候，会有两个选择，你是接着对 x 球还是接下来对外球呢？是不是出现两种情况呀？那么同理， 我们的一级偏导，我本来是对外球的偏导，那么接下来我再求二级偏导的时候，也会出现两个选择，对 x 球还是有外球的问题，所以说就产生了四种情况，那么你就看到我们底下啊有四个框，这里面啊，所涉及到的 就是我们的二阶编导数，他的四种情况，那么接下来我对这四种情况做一个统一的说明，我们来竖着看，哎， 他和上面是对应的，我们的一节编导啊，如果说是对 x 球的，那么接下来会有两个选择，你要是对 x 球，他就是我们的阿尔法平方 z 比上阿尔法一个平方，如果说你接下来对歪球，他就是阿尔法平方 z 比上阿尔法 x 乘上 fy 好，那么右侧我们的起点是对外求的，接下来如果呢，你对 x 的话，就等于阿尔法平方 z 比上阿尔法外乘上阿尔法 x， 那么最后一个我们起点是对歪的，接下来我对他歪还求，那么这个时候他是阿尔法平方罪，比上阿尔法歪方 好。这四种情况大家一定要记住他的间歇形式，而且考试当中他往往让你求的都是这种间歇形式的，但是你要知道啊，他实践是等于谁的，也就说给你右侧你要会写他的左侧，给你左侧你也会写右侧这样一个基本要求。 为了能够帮大家理解啊，我们将这四种情况给大家取个名字，第一个还有我们的最后一个，也就是带红框的，他们叫做纯编导，我们的第二个，第三个带这个绿框的啊，他叫做混合编导， 那么也就是说纯编导有两个，混个片导也是有两个的。那么在接下来我们大家看到这一部分也给大家说明一下，我们的二级编导数，还可以使用下列记号，像我们的第一个是我们的纯编导，对 x 的纯编导， 那么他就可以等于 f、 x、 x 两篇，还可以写成 f 一两篇。那么我们的右侧第一个啊，是我们的混合片的其中一个，我们可以写成 f、 x、 y 两篇， 或者写成 f 一二两篇。好，第三个也是我们对 y 的纯编导，他是等于 f yy 两篇，等于 f 二二两篇。最后一个是 先对我们的这个 y 再对 x 球的，那么他是等于多少呢？是等于我们 f、 y、 x 两篇，然后等于 f 二一两篇。好，这些符号啊，在我们考当中都有可能会出现的，也希望大家能够对我们这样一个 基本的符号有一个辨别。好，那么在接下来我们在底下给大家做了一个说明，二元函数的二级骗导数共有四个，为什么是四个啊？他有个规律性， 也就是二的平方，那么比如说我们的三节偏倒数，他会有几个呢？是二的立方呢？他是有八个的，所以这就更难了啊。好，那么后续我们会结合着相关的考体来 来讲一讲我们二级编导数在实际考题里面是怎么进行求解的，那么关于三级编导数我们放到后面进行讲解，也希望大家能够持续关注。好，谢谢大家。

这个二元函数，他是由三元方程所确定的二元隐函数，他是隐藏在这里的隐函数。 对他球二阶偏倒，关键是什么？关键是你不得对他们球倒吗？关键就是要把他们三个依然看作是关于 x、 y、 z 的函数。 好了，此时咱求 xx 二界骗到。对谁里的 x 求骗到，对他里的 x 求骗到好了。他是什么？他是函数的商啊！函数的商的倒数有什么？有公式啊？和一元函数函数的商的导数公式是一样的，直接套公式就可以了。 对他球偏倒的时候，锁定中间变量第一个和第三个对他里的 x 球偏倒，那就是首先对第一 中间变量求倒，再乘上第一个中间变量的倒数一，加上第三个中间变量求倒 f 一三两撇， 再乘上第三个中间变量对 x 的编导数，乘上他本身 f 三撇，减去什么？对 f 三撇里的 x 求偏倒的话，锁定哪几个中间变量？锁定第一个和第三个， 先对第一个中间变量求到，再乘上第一个中间变量的倒数，再加上第三个中间变量的倒数，乘上什么？乘上第三个中间变量的频道，只需要把它朝上就可以了。 求到最后这一步的时候，你还需要把让 x 分之旺内，等于这个东西啊，圈里这个东西往回带，自己整理吧。最后咱再强调一点，你若想对抽象函数直接求骗到的话，他是有条件的， 他的条件要求此抽象函数的偏倒函数连续。你若想对抽象函数直接求二节偏倒的话，那此前题就变成什么了，就变成二节偏倒连续了好了，此前提是什么？二节偏倒函数连续， 则求导的次序就可以交换了，也就是 f 一三和 f 三一他俩就可以合并了。若 f 的二阶偏导函数连续，则你可以直接对 f 撇球偏倒，那么也就有什么，也就有这的二阶偏倒数可以直接算出来。 并且此公式里头和 f 有关的东西，不管是 f 两撇也好，还是 f 一撇也好，全是连续的，所以 gx y 的二阶频道函数连续。

大家好，我是罗老师。二阶偏倒数公式是什么？第一种，对 x 求二阶偏倒，公式为， 对 x 求偏倒，就等于对 x 求一阶偏倒，然后再对 x 求二阶偏倒。第二种，对 x y 求二阶偏倒，公示为，先对 x 求一阶偏倒，再对外求二阶偏倒。 也可以先对歪球一阶偏倒，再对 x 求二阶偏倒。 第三种，对外求二阶偏倒的公式为，先对外求一阶偏倒，再对外求二阶偏倒。二阶偏倒属求导规则，和 一阶偏倒数求导规则是相同的，也就是对 x 求偏倒，就将 y 看成长量，反之将 x 看为长量。 好，我们来讲解下这道题，比如这道题，如果 z 等于 x 平方， y 平方加上三 x， 然后要咱们分别对 xy 和 y 求二界偏倒。 好，那根据二阶偏倒的攻势啊，咱们这里呢，先对 x 求一阶偏倒， 那么就有 rfz 除以 rfx， 也就等于 x 平方， y 平方的导数加上三 x 的导数，所以这里就为二 x 四 y 的平方加上三，然后咱们再对 y 求一阶偏倒，那么 r 法 z 除以 r 法 y， 也就等于 x 平方乘 y 平方的导数加上三 x 的导数。 因为是对外求偏倒，所以 x 呢，就作为长量来看，所以这里就为 rx 平方 y， 所以 r 法平方， z 除以 r 法 x 平方，也就是对 x 求二阶偏倒，那么也就有 r x y 的平方的导数加上三的导数， 也就等于了二万平方。那么 xyz 的混合偏倒，咱们可 可以在啊 x 的一阶偏倒基础上来求，或者在外的一阶偏倒上来求，那咱们这里就在 x 一阶偏倒上来求的话，那我们就要对这里的外再求偏倒了， 那这个时候的 y 就为自变量， x 呢，就为长量，所以它就为二 x y 平方的导数加上三的导数， 也就等于四 xy， 然后再对这里的歪求二阶偏倒，也就等于二 x 平方歪的倒数。 因为是对歪球二阶偏倒，所以 x 就为常亮，因此这里的结果就等于二 x 啊平方。有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见。

二、结婚和偏倒数为考试考察重点，运用隐函数求导公式，求解难度中等，让我们来看看详细讲解吧。 z 等一个 e 的 z 次密加上 x 平方加外方，这道题让你求的是一个混合导， 这题是让我们求 z 段一次外的一个混合的， 求一个 z 段 x 在对外啊，一个混合岛。好，我们来看黑板，求一个 z 段 xy 的一个混合岛， 这次还是一个重点题，那这一上来之后你要识别出来啊，这是一个野函数， 那个 z in 太小了，看不出来。这个地方的 c 等号一端改成零，你可以写成 z 减去。这。对啊，为了省事，咱们不写零，这样子咱们写成 ez 加上 h 平方加上外方减 z 等于零，对不对？给他起个名字 fxyz 就按以函数去做， 是不是 f s y z 他就应该等于 e 的 z 次命 加上一个 s 平方加上 y 方减 z， 下次你要用隐函数求导求异界导吗？ z 对 s 导数负的上面对 x， 下面对谁？ z 这是不是他意见的？负的上面对 x 球的这地方没有，这地方有啊，那是二 x 吗？对不对？这都没有 x， 这都没有 x， 那就是 r x， 下次对 z 求的 e z 求的还是谁？ e z 减去上面有 z， 上面有减一吗？这样写完之后就是二 x 比上一个一减一 z 吗？ 讲一个狮子，按这个道理，你同样可以求出一这个 z dy 的，因为你要求这种隐含二元二元隐函数的这个混合岛都要求一个 zds， 一个 zdy。 负的上面对外，下面对 c， 那这样写完之后，负的上面对外求的这没有外，这没有外，这有外，是二外， 下次继续看。对 j 做到 e c 减一吗？还是 e c 减一？这样写完之后你给他化解一下，把这个符号给到分母吧， 对不对？把符号给到分母啊，把符号给到分母，就写成了二外比上一个一减一 c， 这样你就求出来他两个偏倒数，在这个基础上再对 x， 这个在 s 讲，再对外求导，不就混合到。 所以 z 对 x， y 的一个混合导是谁？他的混合导就应该是 x。 就像在对外求导，那就是二 x 比上一减一 z 这个基础上再对谁求导。 y 上面没有 y， 这个 z 是关于 xy 的一个函数，这里面有 y。 好了，用三个导数去求到底下就应该先平方，对不对？底下先平方，底下乘以上面求到一减去一 z， 一减去 ez， 一减去 ez， 不要动上面这个东西。二 s 对外求打啊，对外求打三是零，对 x 要是二，对外求打是零，减去二 x 不变，下次是一减一 z 这个位置要对外求打，这样的话我们就得到一减一 z 扩起来的平方 整体分支。发黑板，一减一 z 成零就不要管了。二 x 不要动，一求导是零，一求导是零。负负得正，负负得正，那就是 e z 求导， e z 求导还是 e z 里面这个 z。 还要对外求的就是装 z 比装 y， z 对外求的是装 z 比装 y， 下次带入就行。一减一 z 一点一 z 扩起来的平方分支。二 x ez 背的双 d 比，装外是谁？那不就这个是的吗？双 d 比装外不就是这个外的片道吗？二外比上一减一 z 分子分母同时乘以一减一 z， 就是一减一 z 的几次名，三次名分之四， x y 背的 e z， 这样就找到这个题了啊，这样就找到这个题了。 好了，自己观察一下啊，自己观察一下，三次 上来之后，你要识别出来这是一个隐函数。把这个隐函数识别出来，因为他没有写成 z 等于多少 xy， 你要写成 z 等于多少 xy， 这就是显函数。 z 等于多少 xy， 这就是显函数， 对不对？我没有写成 z， 顶多少 x 万，那就是隐函数。隐函数啊，这个你要知道的啊，写成 z 顶多少 打一次 y， 这是什么函数？显函数，而我们这道题是引函数，他没有，他这个 z 又变有 s 有 y， 关键还有个 z 呢。那不行，那要引函数等号运端改成零，给他起名字叫做大夫 好了。 z 要对 s， 球的副的上面对 s， 下面对 c， 副的上面对外，下面对 c， 然后求二级导呢？二级导是一级导，再对癌。但对外求呢？就是黄鹤岛了。 你在对外求导，你要在这个计算，对外求导上面没坏是个常数，底下有外打，底下有外求打的话，那就是用上脑数，底下先平方，底下乘以上面对外求打。对外求打没有外是零，减去二次不变就能想对外求打 这个东西。对外求导，他要对外求导的话，一定要注意， e 求导是零，没了负负得正正的。二、 x e z 求导还是 e z？ 同学，这个 e z 求导还是 e z z 要对外求， 求导是谁？ z 要对外求导，是装 z 比装 y， z 要对 x 求导，是装 z 比装 x。 你要记住 z， 他要对 x 求导，那就是装 z 比装 x。 他如果对外求导是装 z 比装 y， 这是一种表达形式，表达形式啊。

大家好，这里我们一起来做一下这道关于二元函数的权威分的问题。已知这个权威分是某二元函数的权威分，求这个里面的 a 和 b 的关系 再来要主要是利用到这个二元函数的二阶混合变道数是相等的， 因此我们这道题的做法是这样子的，我们先记我们这个后元函数 u x y， 则 u y x 的变导数就是这个 d x 前面的这个函数除以这个分母是三 x 加四万平方，加上二 x 加三万平方。 丢，对外的偏档就是这个 d y 的系系数函数 满分母是一样的，三 x 加四万平方，加上二 x 加上三万的平方。那么接下来就是要求这两个混合平等数先求 这个是在上面这个函数的基础之上，对 y 再求一则偏档。所以我们要利用处罚法 则，三 x 加上四 y 平方，加二 x 加三 y 平方。分母平方啊，分子对外求导是 a， 再乘以这个分母 减去 a y 乘以分母的导数 么？档数，记住，它有两层显示，平方车道，三 x 加四万两倍，再乘四万的档四，所以说这边是八， 加上两倍的二 x 加三 y， 再乘一个三 y 的头三就是六， ok， 呃，先不用整理，下一步呢，就是求 you 对 y 求变道以后，再对 x 求变道，等于一样下用除外法则，三 x 加四 y 平方，加上二 x 加三 y 平方的平方。 马分子的 b 乘分母， x 加四万平方，加上二 x 加三万平方，减去 b x 乘 父母打数，他父母是对 x 求打，这是两倍的三 x 加四万， 乘以三 x 到四十六，加上两倍的二 x 加三 y 平方二 x， 这就到四，是吧？由这两个混合偏倒数啊相等， 我们就用得到我们就比较分子的 x 平方或者 y 平方的系数就可以。所以我们先写出上面这个式子， x 平方的系数这边有个 a 乘以三， x 平方是九，系数是九。 这边还有一个二， x 平方系数是四，减去后边有吗？后边没有出现 x 平方的，这就是第一个啊。 是。嗯，接下来第二个，它的 x 平方的系数一样的，是 b 乘以九，加上四。记住，后面这个是有 x 平方的，减去三六八，减去二四得八。所以整理一下， 得到十三 a 等于负十三 b， 也就是我们得到一个等式， a 加 b 等于零，这就是 a b 需要满足的惯性。

我们说这就是经典的错误，标准的零分。呃，讲过这个，说 fx 是二节课的， f 零等于零， f 一撇零等于一，你看这个 f 两撇零等于零，求这个机械， 那我们在前面来做过，但是我们在前面讲了，我们说，哦，这个拉来以后这么做，这是个零比零，你不是二阶可等吗？那我们在这一方用一次， 那么又一次落笔法就到这了，这不是还是零 pp 案，那我们再用一次落笔法，那就是 x 去向零，然后呢？底下就是二，上面呢 f 两 px， 哎，那这个时候呢？你不是两 f 两撇零等于二吗？所以这个就等于谁二分之 f 两撇零，那这就等于谁一， 那这个当时呢？我们再来讲，哪里错了呢？对，我们说这个二分之二等于一，这肯定是对的，但是这 但这个二接倒还是取一些要等于这个，这需要什么条件？这需要 f 两撇再定一点，要怎么样？连续？ 注意，一节可导，推不出来一节导函数，连续二节可导，能不能推出二节导函数？连续不能，所以这就错了，根据我们刚才这个啊，哎，然后呢？那这个等号你用诺贝塔，它是要求右端这个极限，这个地方呢，是要要求右端这个极限存在， 那你注意，一节可导不能保证，一节导还是有极限，同理，你二节可导不能保证，这个二节导还是有极限，所以这个等号也不能换。 那这就是我们上次欠的这个地方啊，就是他二阶可倒，为什么推不出来二阶倒函数，连续二阶可倒，为什么推不出来？二阶倒函数有极限，今天把这个补上了，那么是一阶可倒推不出一阶倒函数有极限， 一节课导也推不出来一些导函数连续，所以那这个地方就不全了。那么接下来我们上次已经给大家归纳了一般原则，所以这个时候我们最后归纳的一般结论是，如果告诉你，嗯，节课导用后背的法则，最多只能用到出现多少 n 减一节写 倒数，如果告诉你恩接连续倒数，那么这个时候用诺贝塔法则，最多可以用到出现恩接倒数。这样一来这个问题就全部讲清楚了， 所以这对方是概念和理论，也是一个非常原则性的问题，那这对方一旦出错，题目就错了，所以这点特别要注意，这对我们同学来讲是很难点，但这个方得下功夫，因为经常会考到这。

好，已知这个球大战二级，编导拿着老弟秒杀线球一接到这次球变到 y 式，长度四 x 加上身外， 然后再对外球评论第三选定秒杀。没话讲， 各位小伙伴，老杨给你讲题了，趴在这这道题呢是十三一 x 方叫 y 方，然后对 x 起个就是二 x， 然后 紧接着对 x 载球片挡前挡后部挡，加上 前不打，后面求打对二，结果是等于提取一个二一 x 方叫外放，然后这个地方呢，就变成了一加二 x 二 x 平方啊，差点算一个平方。因为这两相乘嘛，平方，所以你应该填什么二一加二 x 平方，然后就填上一的什么 x 方加我 iphone。

大家好，这节课我来讲一下高档数学中的偏倒数啊，这个倒函数的概念其实在高中就已经学过了，一般现在是在高二来学习，对吧？高中的函数，我们只研究这个一元函数，只有 x 一个字排量，然后 y 呢是音变量， 那么他这个导函数的定义也非常简单，只需要这样一个极限存在就行了。当达尔塔 x 就是次倍量的变化量趋均于零的时候，所对应的这样一个笔值，他这个笔值是怎么出现的呢？是 x 加上达尔塔 x， 再减去 fx， 这个就是导函数的定义了，这是高中对于导函数的定义。 那么到了大学以后，咱们现在要学什么函数了？要选这样的二元函数了，这个 z 是音变量，他这个 xy 都是自变量，有两个自变量，所以就产生了偏倒数这样一个定义。那么什么是偏倒数呢？我们看好了啊，假设我们先介绍这个关于 x 的偏倒数，一会再 介绍关于外的偏倒数。假设函数呢？他在这个屁连的地方呢，有定义他这个极限，极限的话，你要注意他是这么来写的。那这个分子和分母分别怎么理解呢？原来分子里头我们只有 x 才当成变量来处理，那么这个分子就是当 x 产生这样一个变化量的时候， y 是不变的啊， 他所对应的这样一个音变量的变化量，也就是自己的变化量，那么达尔达 x 这个好说，当这样一个极限存在的时候，我们就称为这个极限是什么呀？是这个函数在 p 零处关于 x 的偏倒数，那么记法的话这么多种，但本质都是一种，你记一下就行了啊。 那后边有的人要问了，老师这个符号怎么读啊？就是这样，那汉语的话，你就读做偏就行，一般也没有人会读这个东西的，你知道就行了，我们来看一下，否则如果这个极限不存在的话，我们就称这个函数啊， 再点 p 零出，关于 x 的偏脑数不存在，那同样的，你把所有的 x 都换成 y 以后，就出现了 z 等于 fx， 这个函数在哪啊？在 p 零这样一个地方，关于 y 的偏脑数了来， 那关于外的偏倒数呢？也是，如果这个极限，现在你看这个分子里边 x 零就要当成什么？当成长数来处理了吧？但是他这样一个 y 要当成什么？当成变量来处理？ 分子里边是相对来说，当自变量外产生这样一个达尔特 y 的变化量之后啊，他这样一个音倍量的变化值，你就这样来理解就行了。这个分子的话实际上就是达尔特 yz 嘛，这个大家知道意思就行。 如果说刚刚这样一个极限存在的时候呢，我们就称这个极限啊，就是函数在点批零处关于外的偏桃数，那么记法呢？也是这样，四种，你知道就可以了。那讲到这之后的话，我希望大家区分 一个概念，一般来说在高中不需要区分啊，导数，哎，他和我即将写出来的这个导函数是一回事吗？这个导数的话，我们举一个例子啊，他肯定不是一回事，嗯，比如说 f、 p、 r、 e， 这就是一个导数，他指的是某一个特殊的值， 但是这个导函数是什么？导函数指的是一个变化过程，他还是一个函数的，所以有了偏导数之后，你看偏导数他还是一个特殊的值吧。那还有偏导函数的，建议你接下来改一下就行了。注意，这个时候呢， x 和 y 都会变，记住了啊，都会变的，所以它是一个变化过程。 那么此时这样一个极限呢？是关于 x 和外这两个字边上的一个新的函数，如果这个极限存在的话，我们就称，你这样一个极限是什么呀？是新的一个偏倒数就行了。那当然，我们写画横线的第一部分就是什么，就是函数在 在这样一个区域上，关于 x 的偏脑数。同样的道理，我们可以定义关于外的偏脑数。若对某一区内的任何一点极限都是存在的，那么我画横线的这样一个极限呢， 他就成，为什么呀？他就成为函数，他在区域之一上关于外的偏倒数，记住就行了，就这样一个记法， 那写到这之后的话，想必大家自己都能总结出来，当你求关于 x 的偏倒数的时候，当然他这个偏倒数，偏倒数存在啊， 我们只需要干嘛呀？只需要把 y 当成参数，或者说当成长数来处理就行了。反过来，如果你求的是关于 y 的偏倒数，我们只需要把 x 当成参数或者当成长数来处理就行。 那现在我们做一道题，加深一下理解，这道题的话是关于 xy 哦，二元函数，二元函数的话如何求导呢？别着急，我们先对 x 进行求导啊，对 x 偏导的话，你想想这个 y 就要变成常数了吧。我们把 y 当成常数啊， x 才是变量，那 x 求导得一啊， 前头外是一个长竖，所以说细数我们就直接拎出来，后边这是一个复合的形式。我画圈部分呢，其实可以复合成几层啊？可以复合成这样的。三层都可以的啊，比如说最外层呢？就是啊，可啊，可算 u 吧。然后内层的话就是 u 等于根号 t， 或者说你写成 t 的二分之一次方也行，然后这是中层，然后最内层的话，可以写成 t 等于多少？ t 等于 y 分之 x， 其中 y 我们应该看正常数， x 才是那个变量，当你看成三层的话，就变成了复合函数求导链式求导法则，从外向内求导就行了。最外层。最外层的话好说呀，你说阿克三这个 x 求导以后，他的 得什么结果？他肯定得的是根号下一减 x 方分之一，这个太简单了，我都不知道该说什么啊。所以既然有了它之后，那我们第一层只需要写成什么呀？写成一除根号下一减，这个整体的平方吧，实际上就是 y 分之 x， 那好了，里头还有成吧。第二层的话是一个根号下，也就是二分之一次方，这个二分之一次方我们应该写成什么形式？应该写成这个整体。哦，那我知道了，先把二分之一提出来，二分之一次方就变成了负二分之一次方，那最终的话就变成了根号下，外分之 x 分之一。 还有成吧。最内层他是个什么呀？最内层是个依次函数，其实就是 y 等于 x， 这个 y 应该看成什么？这个 y 应该看成长数了，所以求刀之后呢，他就是 y 分之一，你稍微整理一下结果就行了啊。其实我就写到这也没问题，那现在我们求一下 f p r x 当这个二分之一啊，原来前头是偏倒函数，后边就是求的一个偏倒数，偏倒数也是一个特殊的值，你现在就要作为区分了，那现在只需要把这个二分之一还有一带入，带入之后的话，最终我们求出来是等于多少呢？等于一，你自己求一下就行了， 继续啊，求一下关于 y 的片岛数，关于 y 的这个片岛函数的话，应该怎么办？我们 x 就应该当成什么当成长数了吧，现在这个 y 才当成变量呢， 那显然 x 是长数的话，这一部分就是零了。那第二部分的话啊，两数相乘，如果说两个函数相乘的话，他的求导法则你还记得吧？我们先对左边进行求导，得的是一就是啊，可 三跟好下万分之 x， 这个没什么说的。那后边的话就是什么呢？就是前头保留他现在要对后半 部分这个 r 这一部分求导了吧。注意，一定把 x 看成常数，把 y 看成变量来处理了啊。最外层求导的话，其实还是这个，我就直接写了一，一减去 y 分之二 x 好了，就写成这个样子。 然后第二部分的话，练是求到法则吗？那还是一个二分之一次方吧，这个整体的二分之一次方，那就是把二分之一提出来，然后再干嘛呀？然后呢？再写一个根号下外分之二分之一。好，就这个结果还有谁呢？其实还有呢，最后一部分 里头我问你啊，这样一个函数， y 分之 x， 现在 x 是长数啊，看成长数，这个 y 呢是变量。哎，那你说这个 y 分之一丘岛得什么？不就是负的外方分之一分之 x。 好，所以最后一部分呢，有个负号，外方分之 x， 就写成这个样 就行了。那么写成这个样子之后的话，最终我们要干嘛呀？我们要求的是这个 f p r y 求的是这样一个偏导函数的值，你把 x 等于二分之一，然后 y 等于一带入上面这样一个式子，最终的话很容易求出来啊。最终的得数呢，就是阿克。三 根号加二分之一，其实就是二分之根号二的意思。其实我就问你一个问题，你说三按多少度等于二十分之根号二，当然是四十五度，也就是四分之拍了。这道题呢，我们就求完了，后半部分你可以带一下，应该就是零啊。 那接下来我们就要介绍一下偏导数的几何意义了，导函数的几何意义呢？它指的是某一个点在哪呀？在这样一个曲线上切线的斜率，这个是高中导数的定义。那偏导数定义呢？偏导数也是这个意思，咱们看一下啊，之前已经说了，这个 c 等于 f x， 它呢怎么样？它是空间 的曲面，然后咱们假设 x 零 y 零 z 零呢？代入以后是成立的，也就是说这个 m 零是曲面上一个确定的点，现在我们做平面，做平面的意思就是说 y 等于 y 零， y 零是一个确定的值啊。 现在呢， y 零应该当成这个数字来处理了，现在他这个函数，原来的函数就变成什么，就变成了一元函数。为什么呀？因为此时这个 y 零已经是一个确定的长数了，只有 x 这个字变呢？在变化，所以 左边画圈部分还是二元呢？现在就变成了医院函数了， z 关于 x 的医院函数。好，那现在我就要下一个结论了，这个结论就是说，此时啊，这条曲线，哪条曲线啊？就这条曲线，它在 m 零处的切线斜率，实际上就是医院函数它在 x 零处的导数的值。原来如此啊，原来如此，那 现在我再画一个图就更形象了。现在你看，因为你是对谁进行求导的？对 x 进行求偏导，对吧？你对 x 偏导关我外灵什么事啊？所以我在这样一个区面上注意，这个区面呢，实际上就是表示 z 等于 f x y 这样一个区面了。 现在因为你这个外零已经确定了，所以我需要把这个外等于外零这个平面画出来。外等于外零画出来之后，这样一个曲面啊，这条曲线实际上就是 z 等于 fx， 其实就是个意愿啊，因为此时外零是一个长数，对吧？ 那曲面 z 等于 f x 于他的交线在 m 零处，对谁啊？对于 x 切线的协律，他实际上就是他的几何意义，现在清楚了吧，原来偏岛他指的是在 x 维度上这样一个协律。那么如果说我写的是 f 牌外呢？那你类比一下，你也知道 他表示的是什么呢？表示的是这样一个函数于 x 等于 x 零。哦，他的交线在 m 零处对 oy 的切线协力，懂了吧？原来还是协力的意思，我们继续往后啊，现在来做一道题，求一下平脑数，看这个平脑数在不在。然后呢，再讨论一下这个函数是否连续，行吧， 现在呢，我们先研究这个第一部分啊，看这个偏倒数是否存在。偏倒数是否存在呢？那我们就用这个定义来求一下啊，先求一下谁呢？嗯？利米特， 当谁啊？当这个 x 趋近于零的时候，先求谁呢？先求对于 x 偏倒存在？不存在啊，在这个零多少零的地方，显然分子的话减掉 f 零，零，这个没问题啊，这个整体就是减掉零就行了。那左边的话，其实就是 x， 逗号零，因为此时我们应该把 y 当成一个长数，然后再比上这个 x 的 变化范围。那最后得出来什么？得出来 fpr 啊？ x 他其实是存在的啊，他等于济南。你可以求一下啊， 右边是零吧，左边呢？你看你把它带入满，一旦这个 y 等于零了，其实分子就是零减零，最后是同意零的，没有问题，他存在啊。刚刚我们求的是关于 x 这样一个偏道，现在求一下关于 y 的偏道， 一样的道理，零， y 减去 f 零，零，再出什么？再出这个 y 的变化量出外就行了。 现在呢，你说它等于几啊？还是按四边的 x 等于零啊？带入里头 x 等于零，后边零零，你带入解析室里头还是分子等于零减零，最后不还是零吗？所以说这个函数它的偏倒数呢，是存在的，我们利用定义已经求出来了，无论对于 x 还是对于外的偏倒数呢，都等于零。但是现在我们需要 研究一下他是否连续，如何验证连续啊？连续就是说当什么当这样一个 x 这个点曲径于零的话，零曲径于远点的时候，能否得出来这个函数的值呢？他这个极限就是 f 零，零，其实也就是问他等于不等于零，如果这个极限等于零，那就连续，如果不等于零，他就不连续。 而且你要注意的是什么？这个 x y 是两个，唯独是在平面内任何一个范围啊，我可以画一下零多少零，无论从上从左往右，无论是任何一个角度，任何一个方向接近于零多少零，都必须是保证这个极限等于零就才行。所以现在我们举一个反例吧，看好了啊， 他这个函数是否连续？肯定是不连续的啊，因为最后他得出来是不等于零的。为什么呢？你看好了， y 等于 k， x 这样一个方向，我们让谁呢？让 xy 这样一个动点点？屁呢？在 y 等于 k， x 这样一个方向上，他是接近于原点的。那此时我们 limit 写上这样一个极限以后，你注意啊，此时 y 是统一 k x 的，所以我们这个分子应该变成什么？写成这个结果了吧。写成这个结果之后的话，你要注意啊，分子分母削掉 x 方，那就变成了 k， 一加 k， 显然随着 k 的不同，怎么样啊？随着 k 的不同，他不一定是正好等于零。啥意思啊？我说的意思呢，非常简单， 如果说 k 等于一，那 k 等于二分之一， k 是不同的数字的时候，他这个极限都不一样，他不一定等于零的，懂了吧？所以不连续。原来是这个意思啊，这道题最终结论就是，他的偏脑数都存在，都等于零，但是在零的话，零这个地方呢，就不连续。 讲完了，二阶偏老数之后啊，现在我们要演出一个新的概念，高阶偏老数了。那什么是高阶偏老数呢？这么来说，如果说啊，这样一个函数，首先他的 一阶偏倒数是存在的，对吧？就求导了一次，无论对 x 求导一次，还是对外求导一次，都称为一阶偏倒数。那么一阶偏倒函数，他们仍然是关于 x 和外的函数，刚才已经说过了，对吧？ 如果说啊，你刚刚求导完的这样一个一阶偏倒数，他能够继续对这个 xy 进行偏倒，你看，对 x 偏倒完了以后，再偏倒一下， 对 x 偏导完了以后，再对外偏导一下。如果说这些偏导存在，我们就成为二届偏导数了。二阶偏导，简单来说就是求导了两次的一次。可以这么来理解啊，那你看，这是连续对 x 进行了两次求导， 后边这个呢？是连续对外。中间这两个的话，可以这么理解啊，先对 x， 再对外，先对外，再对 x， 那中间这两个有个特殊的名字，中间这两个成为什么？成为二阶混合偏倒数？类似的，你可以定义这个三界和三界以上的偏 脑数，其实这个二阶和二阶以上的偏脑数呢，就都成为高阶偏脑数了。原来如此啊，一阶和高阶、二阶以上就都是高阶偏脑数了。那现在我们不妨就来练习道题目，现在他让你求的是二阶偏脑数吧。那没问题啊，我们先对谁进行求导呢？我们先对这个 x 求导吧， 当对 x 求导的时候，这个 y 应该看成常数，对吧？接下来对外求导的时候呢， x 应该当成常数了，对吧？这个二级偏脑数是谁在前头就对谁先进行求导，所以应该是谁呢？应该是先对 x 进行求导啊，然后外头呢，再写一个对外求导， 里头的话已经有了，里头既然已经有了的话，里头我们不妨就直接写成这个，三 x 方加上二 xy， 他对这个 y 进行求偏倒，所以 x 应该当成什么呀？ x 我们应该当成常数来处理了，最终就得出来这样一个结论，二 x 了，那我们继续来求后边这样一个 偏倒数啊，展开以后的话就是这个结果了，因为画圈部分已经求过了，他就是 x 方减二 y， 我们还不如直接改成 x 方减二 y 的形式，因为现在你对 x 求到，所以 y 应该看成长数才行， x 看成变量，那最重的话就等于二 x 后边是个长数，所以加零我们就不用写了。 现在我们发现一个有趣的结论，这个函数无论是先对啊 x 再对外偏倒，还是先对外再对 x 偏倒，最终结果居然是一样的，那么有没有什么规律可言呢？有呢，这个定理啊，我希望大家记住。 这定理指的就是如果说啊，这个二阶函数，他的二阶偏倒数，你看这是混合偏倒吧，先对 x， 再对外，先对外再对 x， 他这样的二阶偏倒呢？在点 p 零的这样一个地方啊，二阶偏倒函数都连续，那么此时啊，二阶偏倒数的值 一定相等。这个是可以用我们上册学的中制定理来证明的，你自己可以找本书看一下怎么证明啊，非常简单这一部分。那现在定理二的话，就拓展到三元函数了，三元函数的结论指的是什么呢？ 他有 xyz 啊，三个字变量，然后这个 u 啊才是音变量，这样的三人函数，他的三阶混合偏倒数，你看 xyzxzy， 如果说他在 p 零处都连续的话，那么这些混合偏倒数的值肯定都相当的。 同样的道理，四元、五元、多元、恩元函数，他都有同样的结论，你知道这样一个结论就行了。现在我们来练一道题，这个题的话，长这个样子， 看三人函数吧，他让你证明他等于，那怎么办呀？别着急，一步一步来不就行了吗？好，你要注意的是什么呀？这道题呢，他是轮换或者说对称的 xyz， 他的逻辑位置完全一样，因为我们有什么？ 我们有加法交换率，你这样一个化学部分里头写成 z 方加上 y 方加上 x 方，它本质是不变的。所以其实你求完这样一个关于谁，关于这个 x 的二级偏倒之后呢？再求关于外，就可以同立可得就行了，因为它为了是轮换，大家注意这一点就行啊。 x 一阶偏倒的话，这个非常简单，我们把 x 看成什么？我们应该把 x 看成变量，这个外盒子呀，都看成长数来处理就行了。这个还是很简单的啊，外层的话，你完全可以看成什么，看成这个 u 等于根号 t 分之一，实际上也就是 t 的负二分之一次方， 然后内层函数的话，你可以看成 t 等于 x 方加外方加 z 方啊，复合函数链式其道法则。这个文呢就不多说了。第一层负二分之一 t 到前头吧啊，先在外层求道，然后 t 呢， t 就变成了负二分之三次方了，然后再对内层求导。这个内层的话，只用把 x 看成变量，外和在都是常说，所以呢，这个内层其实得的就是二 x， 那我们肯定要稍微整理一下的，稍微整理一下这个一阶配导数呢，就求出来了啊。但是现在我们求的是什么？ 求的是二级偏桃树啊，所以还得继续往后写，在求导的过程中一定要注意 t 呢，他还是关于 x 的函数。那行吧，后边写啊，先加上一个负号 分母的话，分母平方呗，那么就是 t 的三次方， t 的三次方实际上也就是 x 方加外方加上 z 方，然后三次方就行了，他就这个结果。 然后分子怎么办？分子的话先撇 x 呗，先撇 x， 实际上就是 t 的二分之三次方。好，我就直接写上这个 t 的二分之三次方。那展开以后的话，实际上也就是多少 x 方加外方加 z 方或 数的二分之三次方。接下来要干嘛？接下来要对这个谁？要对分母精确到了分子不变分母确道分母的话，首先二分之三次方你要拿出来吧，那其次还有谁呢？其次还有一个东西，还有这个 t， 他就变成了二分之一次方。 t 的二分之一次方实际上就是谁，实际上也就是 x 方加外方加 z 方二分之一次方。但是最内层还有一个什么 t 是关于 x 的函数，还有什么呀？还要对内层进行求导吧，求导以后的话就变成了二 x 了。 经过整理的话，最终就变成了什么结果啊？变成了这样一个结果，最终结果我就直接含 t 了，你一定要记住这个形式。现在要求什么？现在要求关于 y 的二级骗套书，关于 z 的二级骗套书我们都需要求，那直接写出来，同意可得不就完了吗？ 因为一开始我说过了， xyz 这三个逻辑位置是等价的，我就直接写了啊。现在我们其实只需要把谁啊，只需要把圈一，圈二，圈三都加起来，圈一，加圈二加圈三，把这三个加起来之后的话，你要注意，你要注意括号里头有个什么啊，有个三倍的 x 方加外方加 z 方，那不就是三 t 的意思吗？ 还有个复题，复题复题，三个复题不就是复三题的意思啊，所以他最终结果就是等于零。括号外头那个系数我就不写了啊。那好了，最后这个六的话，我们再来巩固一下啊。首先他求的是二阶偏倒吧。那别着急，先求一下这个 u 关于 x 的一阶偏倒。 一阶偏倒数的话，把 y 要看成什么来着？把 y 要看成哦，看成常数。最后的话，我们稍微整理一下形式，很快呢，就写成这样一个结果了。但是现在要求的是二阶偏倒啊。那行吧，先求一下关于 x 的这样一个二阶偏倒。那 啊，只需要在原来的技术上再对 x 进行一下求导就行了。那行，好，在这个括号里头我们已经求完了，也就是划横线这部分，再对 x 进行求导，再对 x 求导的话，非常简单。 f 片片啊，外分之 x 吧，那外头需要再乘一个什么？再乘一个外分之一就可以了。我把这个外分之一写到前头啊。 第二部分的话也是啊，你对 x 求导外头肯定是没问题了吧。那这个里头呢？里头的话还是他要成一个负的 x 方分之外把外看成长数，那最后一部分也一样啊， 那么接下来最后一步，对花钱部分进行求答。那第一部分的话，注意啊，是负号啊，负的这是多少呢？ x 方分之外，但是有个负负得正了，所以这应该是个正号，这一片 x 分之外。那这一部分你看划横线这两部分相加起来，其实就是零了吧，两个相反数嘛，那还有谁 画圈？这部分你还需要对谁求导啊？还需要对括号右半部分他进行求导，对他进行求导。注意，这个 y 是常数，求导以后的话，就变成这样一个结果了，我直接写哈负的 x 方分之外，负负得正了啊，因为这有个负号，外头有个负号，这就直接变成了正号， 好，写成这个样子了。那最终整理一下吧。所以说，如果这个 u 连续对啊 x 进行求导的话，最终结果应该是 y 分之一乘 f 片片外分之二 x 最终因为横线这两部分已经是零了啊。最终我们只需要整理一下 x 三次方分之 y 的平方，这一片片 x 分之外。好了，就求完了。那写完这一部分呢？还有最后最后呢？你不仅需要先对 s 求导，求完导之后还得需要对外进行求导。 好说我就直接写了啊，最终结果的话，你可以自己验证一下啊，最终答案呢，就长这个样子，你自己再验证一下啊！分享课堂知识，感受数学之美！我是杨帆老师，下节课再见！

在讲这个偏导数定义之前，我们先来理解一下，为什么叫做偏导数，对于这个一元函数直接就是导数，那么对于这个多元函数，二元或者三元函数以上的啊，为什么叫做偏导数？ 比如说这里啊，是一个一元函数图像，如果我们要求啊，在这一点的倒数，那这家求导其实像我们求的也就是相当于啊在这一点的斜率。然后我们来看下这个多元函数，比如说啊，以二元函数为主，我们画一个空间曲面， 然后我们在这个空间曲面上选一点来求他的导数，那么经过这一点，你可以画啊无数条线啊，因为这个曲面呢，这个曲率不一样，所以说每一条线所对应的斜率啊，可能都不一样，所以啊，他就不存在 导数，那么我们要求的是偏导，什么叫做偏导呢？那这个点的话，你通行下来以后啊，他会对应一个 s 零，对应一个 y 零，如果呢，我们把这里的 y 进行定死， 那么这里的万等于万零在空间中代表的是一个平面，这个平面呢，与这个空间曲面相交，会有个交线，那么在这个交线上给大家画一下，你认取一点，那么它的导数啊，就相当于啊在这里啊 相切的这个空间直线求他的斜率，这样的话，这个导数啊就存在了。像这种啊固定腕， 我们求的导数啊，相当于啊对 s 偏倒，同理的，你也可以啊，把这个 s 进行固定，你比如说如果这个 s 进行固定的话，我们把它延伸一下，很有可能啊，是这样一条线，那么在这个 交线上，你对它求导仍然啊也可以啊，取到某一点它所对应的斜率，像这种如果是固定 x， 那就相当于啊求的是对 y 的拼导数，这两就是对这个拼导数，它由来啊作为一个理解。然后我们来看一下它定义公式。首先呢，这四种形式分别代表对 s 求偏导，这四种形式啊分别代表对 y 求偏导。如果要对 s 求偏导的话，首先你要固定 划零，然后你再取的是 s 零的增量，再减去 s 零，然后分母上除以个 data s， 在这个 data s 区域零的时候取这个式的极限值。 如果这个整个式子它的极限是存在的话，那就说明这个极限值对的就是在这一点的偏导数。同理的，对外的偏导数对应的是这一个式子，其实也就相当于在这里有没有偏导数，就相当于这个式子有没有极限值。

下面我们来看这道题。二元函数，它是个分段函数，零零点定义为零，非零的点是用它定义，他说在零零点处不连续， 那么连续不连续就是要看零点极限是不是等于零点函数值，这样的极限怎么求呢？注意，对于零零点极限，我们可以先做一个判断， 那你注意这个分布呢？是平方，平方二次在开方底下身上是谁？一次， 那么上面呢？是个二次，一般说来上面高一，下面应该是零。那么怎么说明这个机械是零呢？这个时候比较常用的是这个方法，就 第一步先认谁，这个第一是取绝对值，嗯，取绝对值， 为什么要取绝对值呢？因为他是要用加 b， 然后第二步呢是加 b， 你不取绝对值的话，那这个时候放大缩小，有正有负就不好办。 所以呢，让我们来看，你看这个呢， x， y 除以根号的 x 方加外方这个绝对值， 那他肯定不超过谁。 y 的绝对值，因为把 y 的绝对值拿走，剩下 x 绝对值除根号不超过一啊，那这个取下零，那我们就知道这个绝对值取下零，绝对值取下零，等价于他自己取下零，从而 就从这个地方就可以得到。谁得到 x 去向零， y 去向零的时候，这个 fxy 他的极限等于零， 零零点的函数值也等于零啊，这说明零零点的机械等于零零点函数值，从而就推出这个函数在零零点怎么样？它是连续的，所以这个错了。然后呢，他说两个偏倒数都不存在， 那两个偏倒数呢？因为这是个对称形式，只要看一个，那么他在零零点对 x 的偏倒数，按照定义，第一种方法是按照定义做， 那如果按照定义做的话，那我们这应该按定义写出来，应该是考察这样的极限，因为 第一次用像我们这方写的详细一点啊，德尔塔 x 去下零，然后下面呢，就是德尔塔 x， 这就是 f 德尔塔 x 零减 f 的零零， 那谁想他等谁，他就等于德尔台 x 去夏雨林的时候放魔德尔台 x 房子呢。嗯， f 德尔塔 x 零，那就是把 x 用德尔塔 x 换，我还用零换进去，一看就是零，再减去 f 零，零也是零，上面还等于零，底下才取下零，这个就等于零， 这说明在零零点对 x 偏倒数，错在等于零，这是用定义，实际上呢，也可以用先带后球，因为在零零点对 x 偏 导数，实际上就是这个意愿函数把外等于零带进去，这个意愿函数导数，那这个等于谁呢？要看这个式子，那这儿呢，还得分两种情况，你看如果 x 等于零， 那等于说这两个都是零，所以在这应该是零，那么如果 x 幺不等于零， 他属于 xy 不等于零，零应该带上面。但是呢，这要把谁把 y 用零带进去， 想他也等于零，所以你看他作为 x 的一元函数还等于零，那么既然还等于零，那他在零点这个偏倒数 dx 也就等于零。 所以你看球零，零点对 x 偏倒数，这是一个用定义，这是一个常规的传统的方法，但是呢，也可以先带后球，这个来的更快捷。 那由于是个对称形式，所以另外一个就不用算了， f 一撇 y 零，零肯定也存在等于零，所以说两个偏倒数都不存在，错了， 然后下面呢，再来看，偏倒存在，但不可微，那么可微不可微方段还是分界点，一般使用定义， 那么用定义呢，往往是分两步走，第一步先看谁这点两个意见偏倒是否存在，实际上这件事情我们已经做过了，那么第二步呢，主要是要 看这个式子啊，就是根据潍坊的定义，主要看德尔塔 x 曲线零，那么德尔塔外曲线零，然后呢？这个底下是入，上面呢？上面就是这个德塔的 z， 减去谁，减去 fx 零，零，先杀一撇也行，乘德尔塔 x， 然后再加上 f 一撇 y 零零，然后乘上德尔塔 y， 那注意 这个呢，实际上是一个什么？他是一个重疾险，那么如果这个极限存在，并且等于零，就可危，否则就不可危，否则里面就包含这个重疾险，不存在， 或者存在非礼，但实际上属于我们算数，这两个都等于零，所以只有前面，那么前面等于谁呢？就等于 f d x x y 减 f 零零， 那么这个 f 零点等于零，所以这个德尔塔 z 就等于德尔塔 x， 乘德尔塔外是要去，等于这个德尔塔 x 去向零，德尔塔外去向零， 那么这个灯塔 c 呢？本来应该等于灯塔 x 乘上灯塔外，除以根号，灯塔 x 放，加灯塔外放， 但是还得出一个入，要再出一个这个根号，所以下面呢，就变成灯塔 x 的平方，加上灯塔外的平方。 那么这个冲击怎么求呢？我们先做一个初步判断。好，我们刚才说了，你看像这个上面高一，下面一般是零，所以用的方法是取绝对值加低， 但这个呢，上面二次，下面也二次，这一般是什么？一般是不存在，但是一般这个只是就是说在一般情况下是不存在，但是你数学上你得做具体的判断，那所以我们就想如何说明不存在呢？ 说明零零点极限不同的最常用方法就是过零零点，不同的直线极限值不一样，立马说明他不存在。 实际上呢，这个时候大家看一下，由于这个，那就是说我们沿着灯塔外等于 k 灯塔 x， 这就是过零零的直线，然后 然后让德尔塔 x 去向内，那么这个时候呢，大家看这个极限就这个德尔塔 x 德尔塔外，然后德尔塔 x 平方加上水德尔塔外的平方， 那么这个时候呢，你带进去，我就变成这个极限，就是德尔塔 x 去向您，那么上面呢，就是开背的德尔塔 x 的平方， 这呢是德尔塔 x 平方，再加 k 方，德尔塔 x 的平方， 那我想大家看德太 s 平方一消，最后得到的极限值是 k 除以一加上谁 k 方，这就说明过远点不同的直线极限值不一样， 这就足以说明前面这个冲击线怎么样就不存在啊？就这个冲击线，那就不存在， 那我们说这个冲击线不存在，就立马退出，怎么样不可谓，因为根据定义，我们知道可谓的充分必要条件，就这个极限存在，必须等于零，所以这个题最后的答案就是偏倒数存在，但是不可谓。 那么大家注意这样一道题目，实际上这个地方主要考察了连续 偏导数权威风的概念，以及如何用定义判定一个函数在一个分段，函数在分界点上连续性、可导性、可谓性，所以这就属于概念性非常强的题目。 但是这个地方呢也是一个基本要求，但是对我们同学来讲这个地方是个难点，但是呢在这我们同学还下载功夫，在我们考卷里边，这也是一个常考的一个知识点，这就是我们要看的这这样一个题目。