△=b2-4ac与二次函数的关系

这是一个抛物线函数，抛物线的特征你们还记得吗？今天就带大家了解一下。抛物线 f， x 等于 x 的平方加 b， x 加 c， 这个是抛物线的函数表达式，当然也有其他的表示方式。 抛物线函数又叫二次函数， a， b， c 为系数，德尔塔为判别是我们另 a 等于一， b 等于零， c 等于零， 这样我们就可以绘制一个最简单的抛物线了。我们本次只绘制 x 轴在负四到四之间的函数图像，下面我们将细数 a 设置为一点五到负一点五之间，看看我们的函数图像会如何变化。在变化中，我们很容易发现， a 为正直，抛物线开口就是向上的， 反之开口就是向下的。另外， a 的绝对值越大，开口就会越小。接着我们将 b 的值设置在二到负二之间，变化不能 发现。随着壁纸的变化，抛物线的顶点和对称轴也发生了偏移。当德尔塔大于零的时候，抛物线与 x 轴有两个焦点，德尔塔等于零时，与 x 轴只有一个焦点。我们再把长数 c 设置成十到负十之间变化， 我们发现仅仅会造成抛物线的上下移动。值得注意的是，变化过程出现了德尔塔小于零的情况，抛物线 x 轴不再有焦点，我们怎么来求抛物线的顶点呢？我们只需要对抛物线函数进行小小的变形就可以了。当 x 等于负二， a 分之 b 时，就是抛物线的对称和位置， 这个时候抛物线的最大值或者最小值就是四， a 分之四， ac 减 b 的平方。我们再来总结一下， a 大于零，开口向上， a 小于零，开口向下， a 的绝对值越大，开口越小。 a 的绝对值越小，开口越大。对称轴 x 等于负的二 a 分之 b。 当 a 大于零时， f、 x 有最小值。当 a 小于零时， f、 x 有最大值。只需把对称轴带入函数就可以求出最大值或者最小值了。 当长数 c 大于零， c 等于零， c 小于零时，抛物线分别与外轴相交于正半轴 圆点负半轴德尔塔等于 b 的平方。减四 ac 决定抛物线与 x 轴的焦点个数。德尔塔大于零，有两个焦点德尔塔等于零，只有一个焦点，德尔塔小于零，无焦点。关注我，提升思维。

哈喽，大家好，我是老板，那二次函数这个模块呢，是我们中考当中考察范围最广，考试的题型变换最多的一个模块啊，没有之一。那要想一节课就把二次函数功课，显然是不太现实啊，所以这个视频呢，我想以几道例题 为基础，帮你梳理一下我们二字函数当中非常重要的核心技巧，那听完之后呢，或许能够提高你的解题效率。好，那首先我们来看一下第一点啊，这个二字函数当中的图系关系。 那这一部分内容呢，经常会出现在我们的二次函数多结论判断问题当中。好，首先我们来看一下二次函数当中最重要的三个系数啊，二次项系数，一次项系数和常数项 啊，这个二次项系数 a， 他的正负情况啊，其实决定的是我们这个开口方向，对吧？当 a 大于的时候，这个二次函数开口向上， a 小令的时候，他的开口是向下的啊，这个非常基础。那再补充一点啊，就是我们 a， 他的正负是控制开口方向， a 的绝对值呢，他其实决定的是我们的这个开口大小，当 a 的绝对值越小的时候，这个抛物线他的开口是越大的， 这个原因呢，是 a， 它是二次项系数，那这个二次项系数呢，它其实能够控制我们这个抛物线它的一个增长的速率， 当 a 的绝对值越小的时候，哎，其实就相当于我们这个抛物线它增长的非常缓慢，因此它的开口是非常大的。 当 a 的绝对值非常大的时候啊，这个抛物线它的增长的速率就非常的快，因此它的开口就是非常小啊，所以你要记住啊， a 的绝对值越小，开口越大。好，那这是 a 它的一个性质啊。接下来我们来看一下 b， 好，这个 b 它决定是什么呢啊？ 其实 b 本身它决定不了什么东西啊，但是它跟 a 组合在一起，就能够决定我们对称轴的位置啊。这边给大家一个口诀，叫做左同右异。什么叫做左同右异呢？就是当 a b 它是同号的时候啊，这个对称轴就在 y 轴的左侧，所以叫做左同 a， b e 号的时候，对称轴就在 y 轴的右侧，所以叫右 e。 好，那为什么是这样的呢？原因就是我们这个抛物线，它的对称轴直线是 x 等于负的二 a 分之 b， 好。当 a、 b 同号的时候，那 a 分之 b， 或者说二 a 分之 b， 它的符号就是正号就大于零的前面加一个负号，就是小于零的，也就意味着 x 它小于零。那这个对称轴 它是不是就在 y 轴的左侧呀？那同理，当 a b 一号的时候， x 等于负的二， a 分之 b， 那这个二 a 分之 b， 它就小于零，那前面再加一个负号，那就大于零，所以此时这个对称轴就在 y 轴的右侧。因此你需要记住，左同右异。第三个非常简单， c 的正负是决定与 y 轴的焦点， 原因是 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 啊。我们令 x 等于零的时候，得到 y， 它就等于 c， 所以我们这个二字函数，它与 y 轴的焦点就是零斗 c 啊，因此这个 c 它其实是抛物线，它与 y 轴焦点的纵坐标啊。因此当 c 大于零的时候，它就与 y 轴的正半轴相交，当 c 等于零的时候，也就是说与圆点相交， c 小于零的时候，也就与 y 轴的负半轴相交好。第四点呢，是 delta 啊，它等于 b 方减 c a c， 那它的正负情况其实决定与 x 轴焦点的个数啊，当 dert 大于零的时候，它 它与 x 轴有两个焦点啊，原因就是 a x 平方加 b， x 加 c 等于零。这个一元二次方程，它是不是有两个不相等的实数根啊？啊，所以它与 x 轴有两个焦点。当 dert 等于零的时候啊，我们抛物线与 x 轴只有一个焦点啊，原因是这个 dert 等于零的时候， 这个一元二次方程，它是有两个相等的石柱根，两个相等的石柱根相当于两个焦点，它是重合的啊，所以它是只有一个焦点。 当德特小雨的时候，我们抛物线与 x 轴没有焦点，原因是一元二次方程，它是没有实数根的啊，所以没有焦点。 因此这个就是我们图系关系当中非常重要的四点结论。另外呢，你也需要记住一些我们比较常见的特殊二四函数的值，比如说，当 x 等于一二三或者负一负二负三的时候，它的函数值分别都 是什么啊？这几个东西，有的时候你把它眼熟了啊，做题目的时候是可以描解的，那当然了，除了我写的这些啊，可能当 x 等于正负二分之一的时候啊，你也需要自己把它写一下啊，然后把它熟悉一下。 那另外呢，当这个抛物线，它的对称轴为 x 等于正负一的时候，哎，此时 a 和 b 的关系也需要你重点的去掌握一下。那我们知道对称轴啊，它是 x 等于负的二， a 分之 b， 当抛物线对称轴等于一的时候，你也就可以得到 a 和 b 之间的关系。应该是二 a 等于负 b 啊，或者你也可以得到二 a 加 b 等于零， 那当 x 等于负， i 分之 b 等于负一的时候，也就是说这个对称轴等于负一的时候，那你就能够得到二 a， 它等于 b 啊，或者也可以得到二 a 减 b 等于零。这两个东西你其实也需要把它熟悉啊， 因为我们在做二次函数多结论判断问题的时候，他的对称者为正负一的情况是最最最最常见的。好，那讲了这么多，接下来我们就通过一道例题来巩固一下。好，这是一道兰州中考的题目啊，如图，已知二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 他的图像如图所示， 有下面五个结论，让你判断其中正确的结论。好，首先我们来看第一个结论啊，他说 a 乘 b 乘 c， 他大于零。 好，那我们来判断一下啊，首先我知道通过这个图像看出来， c 肯定是大于零的，对吧？接下来我们是不是要去判断 a 和 b 它的一个 正负情况啊？但是我觉得完全没有必要单独去看 a 和 b 的正负关系，原因是我刚才给了你一个口诀啊，叫做左同右异。那观察这个图，很明显，这个抛物线它的对称轴是在 y 轴的右侧，所以右侧的话， ab 就 都是一号的， a b 一号，也就意味着 a 乘 b， 它小于零啊，所以我们可以直接得到 a 乘 b， 它的一个政府情况，那 a b 小于零， c 大于零，所以 a b c， 它的成绩就是小于零的啊，因此第一个结论它不对， 好。第二个结论， b 减 a 大于 c， 好， b 减 a 大于 c， 很多同学看不出来它代表的是什么东西，那我给你稍微的变一下形，你就能够看出来了啊。我们把这个 b 减 a 同时移到不等号的右边，可以得到 a 减 b 加 c 小于零。 好， a 减 b 加 c， 刚才有没有强调过呀？可以看一下啊， a 减 b 加 c， 他是当 x 等于负一的时候，这个 y 的值，对吧？所以很明显，当 s 等于负一的时候啊，我们这个二次函数对应的这个函数值，他肯定是小于零的，对吧？所以第二问他是没有问题的。 接下来看一下第三个。四， a 加二， b 加 c 啊，这个其实也比较明显，就是当 x 等于二的时候，它的一个函数值，哎，带进去就是四， a 加二， b 加 c， 那也就是当 x 等于二的时候，它的函数值，它的一个正负情况，对吧？啊，看一下啊，我们当 x 等于二的时候，这个二到底是在 这个交点的左边，还是在交点的右边呢？啊？如果在交点的左边，那就是大于零，在交点的右边就是小于零，那在跟这个交点重合，那就是等于零，对吧？所以怎么判断啊？哎，很简单，看一下，这边有个圆点啊，圆点到一的距离是一， 二到一的距离也是一，那根据这个抛物线，它的一个对称性啊，所以我们 x 等于二的时候，它的函数值应该是和我们 x 等于零的时候，它的函数值是相等的。这两个点 他是关于这条对称轴对称的，因此很明显他是大于零的啊，所以第三个结论也没问题。接下来看一下第四个结论啊。第四个结论，三 a 大于 c， 那你如果看到三 a 和 c 的话，那你要知道这个其实就是固定搭配。 好，那他是怎么固定搭配的呢？啊？我们一下项得到三 a 加 c 大于零啊，就是判断这个结论对不对吗？那我告诉你啊，你只要看到三 a 加 c 这个东西，你一定是找到 a 和 b， 他之间那个数量关系，那这个数量关系怎么找呢？哎，抓住我们这个抛物线，他的对称轴是 x 等于一 啊，我刚才说了， x 等于一的时候，就是负的二 a 分之 b， 它等于一嘛，也就得到了二 a 等于负 b。 好，那这时候二 a 已经出来了，那怎么变成三 a 呢？题目当中是三 a 加 c 啊，怎么变成三 a 呢？很简单，两边同时加上个 a， 就能 得到三 a， 它是等于 a 减 b 的，所以三 a 加 c 就是 a 减 b 加 c， 那 a 减 b 加 c， 它是大于零的吗？那根据我们第二条小结论，刚才判断出来， a 减 b 加 c， 它是小于零的，所以这个结论不对， a 减 b 加 c 应该是小于零的，所以四它是错误的。 最后一个第五个啊， a 加 b 大于 m 乘以个 a， m 加 b 啊，其实把它去下括号，可以得到 a 加 b 大于个 a， m 方加 b m。 好，那右边这个玩意你眼熟吗？很眼熟啊，当 x 等于 m 的时候，是不是就可以得到 a m 方加 b m， 但是后面还有个加 c 怎么办？那很简单，我们就加 c， 那你右边加 c 了，左边是不是也得加 c？ 所以它其实就是让你判断这个 a 加 b 加 c 是不是大于 a， m 方加 b， m 加 c。 好，那这个怎么判断呢？那这边出现了这个 a 加 b 加 c 啊， 我跟你说了，这个特殊的函数值你一定要掌握， a 加 b 加 c， 就是当 x 等于一的时候，这个二次函数它的函数值，对吧？所以当 x 等于一的时候，观察图像，它应该是在顶点数，在顶点数，当 x 等于 m 的时候，他说 m 是不等于一的实数， 所以 a m 方加 b， m 加 c， 也就是我们这个图像上除一这个点以外，任意一个点，它所对应的函数值。 那很明显啊，当 s 等于一的时候，我刚才说了，它是位于顶点位置，它是取到最大值的，所以其他的函数值肯定都是小于它的啊。因此第五个结论也是正确的， 所以这道题正确的结论是二三五，因此这道题选 boy。 所以这是一道非常典型的二次函数多结论，与我们这个图系关系所结合的一种例题。好，接下来呢，讲一下这个二次函数当 当中的树形结合思想。好，那这个树形结合思想在二次函数当中非常重要啊，你如果掌握了它，能够大大提升你的解题效率。那首先第一个，我们来看一下二次函数以一元二次方程，它的一个树形结合，它是怎么树形结合的？ 那这一块呢，其实就是讨论 y 等于 k， x 加 m 啊，这个一次函数，或者说是 y 等于 m， 这是一个长函数。上节课说了啊， 他与二次函数的一个焦点问题，那体现在我们的图像上啊，就是三种情况，第一种情况就是两个焦点的时候，第二种情况呢，就是个二次函数，他与我们这条直线他是相切的啊，相切的话是只有一个焦点，第三种情况就是没有焦点， 那怎么去求这个焦点呢啊？方法很简单，就是直接连立我们这个 y 等于 k x 加 m， 连立这条直线于我们抛物线的解析是 a x 方 加 b， x 加 c， 这样的话就能够得到 a x 平方加 b x 加 c， 它等于 k x 加 m。 好简单的合并下同类项啊，得到 a x 方，加上一个 b 减 k 倍的 x， 加上 c 减 m 等于零。所以接下来就是 讨论这个一元二字方程它的一个 dout 的情况，当 dout 大于零的时候，对应的就是两个焦点， dout 等于零的时候，对应就是一个焦点， dout 小于零的时候，对应的就是没有焦点。那这种情况掌握了呢？我们 y 等于 m， 它与二字函数的焦点问题你也能够理解了，因为 y 等于 m， 它是一个长函数啊，长函数就是平行于 x 轴的一条直线，所以它与我们抛物线的交点情况也是有三种啊，两个交点，然后一个交点就是相切的情况。第三种就是没有交点，那同样的还是连例， y 等于 m 和 y 等于 a x 平方加 b x 加 c， 这样的话就能够得到 a x 方，加上一个 b x 加 c 减 m 等于零啊。接下来就是讨论这个 u x 方程，它这个得它的正负情况。好，那这种情况你掌握了之后，其实你就能够理解，为什么我刚才说啊，这个 y 等于 a x 平方加 b x 加 c， 它与我们 x 轴的焦点情况是直接看德塔，也就是直接看这个里面的 b 方减 c a c， 它这个正负情况，原因是 x 轴，其实你可以把它看成是 y 等于零这条直线，对吧？ y 等于零这条直线其实就意味着它是 x 轴啊，所以相当于我们把这个抛物线它与 y 等于零这条直线所连立，这样的话就能够得到 a x 平方加 b， x 加 c 等于零啊，所以它本质也是我们这个长函数与二次函数的焦点问题。那这个地方 你搞明白了吗？好，那接下来我们做一道例题。已知二次函数 y 等于负 x 方加 x 加六，以及一次函数 y 等于负 x 加 m， 将该二次函数在 x 上方的图像沿 x 轴翻折到 x 轴下方，所以他原来的图像应该是这样的，对吧？他翻折到的 x 轴的下方，那其余的图像不变，得到一个新的函数，就是这样的一条函数。那请你在这个图上画出这个新图像，当直线 y 等于负 x 加 m， 与这个新图像有四个交点的时候， m 的取值范围。那这道题呢，就是一个非常典型的塑形结合思想的题目， 我们可以大概的画一下这个一次函数 y 等于负 x 加 m， 它的一个草图。好，假设这是一次函数 y 等于负 x 加 m， 一开始它处于 y 轴非常下方的位置，那此时它与我们 抛物线有几个焦点呢？你注意这个抛物线这两侧他是无限延伸的，所以一定会有两个焦点，那此时不满足情况呀，所以他会向上移动，慢慢移动，慢慢移动，什么时候 停止？哎，到这个位置停止，因为此时我们这个直线，他与我们抛物线这个位置，他是只有一个焦点，他是相切的情况，再加上左右两个焦点，所以此时他会有三个焦点，那也不满足情况啊， 啊，所以再往上移动，再往上移动一点点就可以了啊，稍微移动一一点点距离，你就会产生一二三四四个焦点，所以再往上移动的时候，还是保持四个焦点，直到过了这个焦点 啊，直到过了这个位置之后呢，是产生一二三三个焦点，那再往上呢，就会只剩两个焦点，那再往上只有一个焦点，最后只剩零个焦 焦点，所以我们知道了啊，我们这道题目当中，你需要讨论两种极限情况，第一种情况呢，就是我们这个 y 等于负 x 加 m， 他过这个焦点的时候，那第二种情况呢，就是 y 等于负 x 加 m， 他与这个抛物线这一部分相切的时候， 那当然了，这两种极限情况我刚才说了，他是不满足的，所以只要是在这两条直线中间的情况，是都能够满足有四个焦点的。因此我们接下来就是求这两个特殊位置时候这个 m 的值，那第一种情况，我觉得与这个点相交的时候，这个 m 的值会比较好求，原因是 我们这个二次函数他告诉你了，那这两个点的坐标，其实我是能够求出来的啊，这个点我可以求出来，他是负二零，这个点呢，求出来是三零。所以第一种情况就是 y 等于负 x 加 m， 他过负二零这个点，那把这个点入代入进去，得到零等 等于二加 m， 所以得到 m 等于负二，这第一种情况，那第二种情况呢？就是我们这条直线，他与抛物线的这一部分所相切的时候。好，那很多同学列的这个关系，是啊，是 y 等于负 x 加 m， 它与 y 等于负 x 方加 x 加六所连立好，这边就会出现问题，原因就是我们下面这一部分图像，它的一个解析式，并不是 y 等于负 x 方加 x 加六， y 等于负 x 平方加 x 加六，它是什么呀？它其实这个抛物线图像 它是由蓝色的部分翻折过来的，所以我们要求的这个红色部分抛物线，它其实和这个蓝色部分的抛物线是关于 x 轴对称的。那关于 x 轴对称，我在上一个视频是告诉你一个口诀啊，叫做关谁谁不变，那关谁谁不变的话，我们要求的 这个新的抛物线解析式啊， y 就变成负 y， x 就不变，所以后面还是负 x 方加 x 加六啊，这样的话，简单的变一下形，得到这个红色部分，它抛物线的解析式是 y 等于 x 平方减 x 减六， 因此我们不应该是和它连立啊，我们应该是和 y 等于 x 方减 x 减六，这个抛物线连立好，那接下来就是 解一个一元二次方程呗，那根据他们只有一个焦点，也就是相切的情况，所以可以得到这个里面的德塔，他等于零，德塔等于零，轻松的可以求出来， m 他等于负六， 所以你的 m 取值范围应该是在负六和负二之间的。那我刚才说了，这个负二和负六啊，它是不满足情况的，所以你要把它两个排除掉，因此最终它的一个取值范围就是 m 大于负六小于负二，千万不要加等 号，加了等号就错了。那最后我们看一下二次函数与不等式他图像那个关系，那这个就更简单了啊，直接看图，比如说给你一个抛物线 y 一，再给你一条直线 y 二， y 一和 y 二会产生两个焦点，一个是 x 一，一个是 x 二。好，现在的问题是，什么时候 y 一大于 y 二，那 y 一大于 y 二，在我们的图像上体现的就是 y 一，它处于 y 二的上方。 什么时候玩一处于玩二的上方？那么从左往右看啊，首先应该是这一部分，当 x 小于 x 一的时候，此时我们会发现啊，这个绿色的部分，也就是玩一，他的图像始终是在玩二图像的上方，所以他满足要求。 然后再往右看，第二部分，应该在这里，当 s 大于 x 二的时候，这个 y e 的图像也始终在 y 的上方，因此 y 一大于 y 二，通过图像我们就可以直观的观察出来，应该是 x 小于 x 一，或者 x 大于 x 二这两部分组成的。那第二个问题是，什么时候 y 一它小于 y 二？ 那依然是观察我们的图像，那只有中间这一部分，在中间这一部分，我们发现 y 一的图像始终是在 y 二的下方，所以 它的范围就是 x 大于 x 一小于 x 二啊，因此这个就是二字函数与不等式的关系，直接画图就能够看出。那接下来我们也来看一道例题啊，是一道湖北的中考题，如图，直线 y 等于 m， x 加 n， 也就是这条直线 y 等于 m， x 加 n， 它与抛物线 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 相交于 a 点负一 p， 也就是 a 点的横坐标是负一，纵坐 标是 p， b 点是四， q， 也就是 b 点的横坐标是四。那关于 x 的不等式， m x 加 n 大于 a， x 方加 b， x 加 c， 它的解题是什么？好，这道题非常具有迷惑性啊！首先直线和抛物线的解析是都是含有参数的， 另外给你两个点， a 点和 b 点，他们的纵坐标也是不知道的，所以很多同学会想到把这个负一和四带入进去去求 p q， 那这样的话你就越走越远了啊！我们观察一下题目当中让我们求的东西啊，它求的就是这个不等式， m x 加 n 大于 a， s 方加 b， x 加 c。 好，敏感的同学已经能够看出来了，这个 m x 加 n， 它其实就是什么？它其实就是我们直线 y 等于 m， x 加 n， 它的一个解析式， a x 方加 b， x 加 c， 它其实就是抛物线 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 的解析式。所以我把它这句话翻译一下，其实也就是问你什么时候这个直线它的图像在这个抛物线它图像的上方？那很显然应该分为两部分，第一部分就是当 x 小于负一的时候，哎，这条直线永远是在抛物线的上方。 那第二种情况就是当 x 大于四的时候，那这条直线也永远是在这个抛物线的上方。所以这道题目完全没有必要求这些参数的值啊，直接一秒钟就可以得到答案是 x 小于负一 或 x 大于四。好，那这个呢，就是我们二字函数当中的一些核心的解题技巧，希望能够帮助你提高你的做题效率，拜拜。

大家好，今天这节课呢，咱们就来讲一讲教材上没有的判别式法，他真的很好用。那么我们来说一说这个判别式法，看了他的话，首先可以来求最值。既然是判别式法，首先是需要用到什么里边？ 需要你构造一个关于 x， 或者说关于 y 的一元二次方程，才可以用判别示法，对吧？ 那么现在看了，他让你求的是 x 的最大值，我们把 x 要看成系数，把 y 要看成未知数。关于 y 的方程，首先外方再加上 x 倍的 y， 把 y 先看成这个数字系数哈，然后呢，再处理一下，加上 x 方减去一， 可以吧？那其实跟这个 y 方加 b， y 再加上什么？再加上 c 等于零，其实就是关于 y 的一元二次方程嘛。那么看了二项 系数是一，然后呢，这个意思，项系数是 x， 长数项，咱们就理解为这个 x 方减去一，这个整体就是长数项。 那么首先你要知道的是实数 y， 它首先是能够带入这个等式里头，也就是说这个关于 y 的方程肯定是有实数解的，有实数解不就是判别是大于等于零吗？在这道题里头， b 方减 c， h 大于零，那就是 x 方 减去四倍的 x 方减一大于等于零，你稍微一处理啊，马上就能变出来了，会变出来这样一个三 x 方小于等于四的形式，也就是说 x 方小于等于三分之四， 小写中间嘛，那最终的结果不就是说 x， 嗯，它是大于等于负的根号加三分之四啊。整理之后就是三分之二倍的根号三，小于等于正的三分之二倍的根号三。所以最大值是谁？最大？ 大致就是这个三分之二倍的根号三，这就是 x 最大值，特别好用吧。那么关于这个判别释罚，当你刚上高中的时候啊，学到函数三要素里头值欲，他也是可以用来求值欲的。比如说这道题看了， 首先 x 啊，对于所有的函数问题，咱们首先应该求定义域吧，这道题 x 的话，他定义是二，就为什么呢？原因很简单，你这个二 x 方减二， x 加上三，他是横大于零的，那为什么呢？你索性把这个二倍提出来吗？ 是吧？显然这个括号里头你要凑，就是配方的话，你应该凑一个多少？凑一个二分之一的平方就是四分之一，那里头其实也应该减去这样一个四分之一啊，然后再加上三，咱们把这个负四分之一乘二提出来，那就是负的，嗯，二分之一吧， 就这样一个结果啊。好，那么写完这个结果之后的话，咱们继续来看，后边他会变成怎样的一个结果呀？他会变成这样一个结果，二倍的 x 减二分之一括注的平方吧， 然后再加上这是多少二分之五啊？后边，所以他肯定是正的，也就是说分母无论如何他都是一个正数，你 x 随便取，是不是？我们稍微讨论一下就知道，他的定义域 其实也就是 x 取的范围啊，这个 x 随便取的是 r。 好了，懂了，也就是说 x 肯定是一个实数， 那现在的话，他让你求的是值与求的是 y 的范围啊，你看我要怎么去改变他或这样来改变。首先左右两边成了啊，分式的变成一个整式，方程就变成了二 y 乘 x 方减去 二 y 乘 x 再加三 y， 这是乘过来的吧，然后等于 x 方减 x 加一，还是要变一下的啊，我们把 x 方放一块，二 y 减一倍的 x 方， 然后呢？把 x 要放一块吧，那就变成了一减二 y x， 然后不含 x 的话，咱们就看成长竖线，哎，变成了这样一个结果。其实当你变成这样一个结果之后的话，这是关于 x 的什么方程？关于 x 一元二次方程，但是也不一定，我们首先需要考虑的第一种情况是谁？ 他真的就是一元二次方程吗？第一种情况是二 y 减一等于零，万一他这个二项系数等于零呢？首先应该考虑的就是他，也就是说 y 等于二分之一的时候啊，这个方程就变成什么了？就你刚刚写的这样一个方程，他就变成了零，再加零，然后 后呢，然后三倍的二分之一，二分之三减一等于零，这肯定不可能成立的呀，也就是说 x 不管你取任何数字都不可能成立，这个等是不可能成立的。所以这种情况下怎么啦？射掉了吧，也就是说这个 y 是不可能等于二分之一，这种情况下这个方程根本就不成立。所以 应该怎么办？看第二种情况吧，当这个 y 不等于二分之一，也就是说他这个二项系数非零了，肯定这个方程是关于 x 的一元二次方程。那一元二次方程的话，这个 x 都说了呀，是 r 随便取的吧， 实数方向内随便取的吧。既然 x 是实数方向内随便取，就意味着这个方程肯定关于 x 的方程有实数。解好了，那不就判别是大于等于零吗？有实数解，就是判别是大于等于零的意思。那么我们代入啊，相当于 b 方，这就是那个 b 减去 cac 二， y 减一再乘三， y 减一，就是那个长方向的 c 啊，大于等于零。当然接下来需要你处理一下啊，详细的化解过程我就不写了，我呢写一写，最终会化解成怎样的一个形式？就是他啊，这个不等式会化解成 二十，外方减去十六 y， 然后啊，再加三小于等于零，他怎么去解啊？他其实很好解吗？二十的话，你猜成十万乘二万，这个就可以了吧。然后这个三的话，你猜成正三 负啊，应该猜成负三，因为他中间有个负十六吗？那应该是负三乘负一，哎，看一下交叉相乘负十倍的外，再来个负六倍的外，正好是负十六倍外，所以成立了吧。也就是说，你刚刚写的这样一 方程，它能够写成什么形式啊？它能够写成十 y 减三，然后二 y 减一小于等于零的形式，那最终结果咱们不就得出来了吗？ y 的取值范围是什么呀？是这样，一个十分之三到二分之一的 b 区间， b 区间。 你别忘了，你讨论的前提就是 y 不等于二分之一啊。所以这道题的答案，你应该把那个二分之一扔掉的。最终的值域应该写什么？应该是十分之三的 b 区间，但是二分之一是开区间，你是不能取二分之一的。已经说过了，这才是真正的答案，是他的值域， 清楚了吧，原来判别是法，还可以用来求值欲啊，真的挺好用的。那么等到之后呢？等到你高二学等他书类的时候，他还是可以用，怎么办？看了怎么用这个判别是吧？首先的话，咱 咱们要知道啊，等差数列前线和公式的话有三个，其中一个非常重要的呢，就是 n 倍的 a 一，再加上二分之 n 乘 n 减一倍的 d， 这个你自己画出来就行了啊，这就是前线和。所以这个题里头的话， 等差数列，那你 s 五的话，不就是五倍的 a 一，再加上二分之五乘四，那其实就是十倍的 d。 同样的，我带入了啊，这个 s 六我就直接写了六倍的 a 一，再加上二分之六乘五，那不就是十五倍的 d 吗？行，写完了他就给了这样一个条件， 那么这个式子它等价于什么呀？这个 s 五我们就写成五倍的 a 一加上十倍的 d， 然后呢，这个 s 六我们刚刚写完了嘛，六倍的 a 一，再加上十五倍的 d， 再加上十五啊，它的话也是可以化简的，那个化简的详细过程我可就不写了啊，它是可以 画成这种形式，二倍的 a 一方哦，有意思，再加上九啊，这是九啊，九 d d 是吧？ d 是那个公差啊，乘 a 一，有意思，然后再加上后边是十倍的 d 的平方，加一等于零来，怎么看？ 我们这个里头要把一这个 a 一看成类似于 x 的，这是个未知数啊。 a 一是个未知数，但是这个 d 呢？ d 的话，这个九 d 啊，它就是一字项系数，然后这个二是二项系数，然后不含这个 a 的话，那就是常数。像这么来看， 首先这个关于 a e 的方程它怎么样，它是有解的呀，因为 a e 肯定是个实数啊，它的手相肯定是实数，对吧？ a e 它是实数，也就是说某一个实数呢？或者某几个实数是代入这个方程流是可以成立的。这也就代表 这样一个关于 a 一的一元二次方程有实数解，一元二次方程有实数解，那不就是判别是大于等于零，又可以把 d 的范围求出来了？看好了，怎么求啊？你老老实实求来算不就行了？也就是说他是 八十一地方，其实就是他的平方，比方减去四乘二，那就是八倍的十地方，加上一大于等于零，这个一求就求出来了呀。最后算出来地方是大于等于八的 地方。大于等于八，那不就是说懂了， d 的取值范围要么是比这个负的二倍根号二要小，当然也可以等于，要么是大于等于二倍根号二。 就这样一个范围咱们就又讲完了。所以判别示法真的很好用吧。这节课应该学会如何利用判别示法解题了吧。首先第一步需要把方程改成什么？改成关于某一个变量的 一二次方程的形式。然后这个变量它是实数，它是有解的，但是方程是成立的，所以根据判别是大于等于零，就可以把范围或者说最值求出来了。分享课堂知识，感受书学之美，我是安万老师，下节课再见！

各位同学大家好，今天同大家共同学习二字函数与 es 方程不等式。二字函数与 es 方程是咱们初中就学过的内容，你还记得他们吗？ 我们先来复习一下二蚕树的图像与性质。二蚕树的图像是一条抛物线， a 大于零时开手向上， a 小于零时，开手向下。 抛物线都有对肯轴，方程是 x 等于负，打二一分之 b， 抛物线与 x 轴的焦点个数由判别是 bertie 来决定， bertie 等于 b 方减 c， a， c 跟着大于零时，对应着图中蓝色的抛物线，抛物线与 x 勾交于两个不同的点，跟着等于零时，对应着图中黑色的抛物线与 x 勾，尤其仅有一个焦点，但是小于零 对应的图中红色的抛物线与 xo 无焦点。那么如何求解二次函数与 xo 焦点的横坐标呢？ 对，我们要借助一二方程， ax 方加 bx 加 c 等于零，这个方程的根就是焦点的横坐标， 当然要分情况讨论，当嘚的大于零时，方程的两个不等的十根就是两个焦点的横坐标。当嘚的等于零时，方程有两个相等的十根是负的二， a 分之 b， 这就是焦点的横坐标。当嘚的小于零时，方程无十根， 图像与 x、 o 也无焦点。接下来我要给出一个定义，二次函数的零点，对于二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 我们把使 a x 方加 b， x 加 c 等于零的十数 x 叫做二次函数的零点。所以求解二次函数的零点，就是求二次函数的图像与 x 柔焦点的横坐标，也就是求 e， x 方程 ax 方加 b， x 加 c 等于零的十根， 所以二次函数的零点的情况与一元二次方程根的情况是完全相同的。 那么何为一元二次不等式呢？顾名思义，他也是咱们一元二次大家族中的一员， 只不过他是一种不懂事。在咱们深入学习他之前，我们先来看一个实际问题。 我家里有一块空地，根据它的大小呢，我买了一段二十四米长的栅栏，我想用这段栅栏围成一个面积大于二十平方米的矩形苗圃， 设该矩形的一边长为 a 米。请你确定实数 a 可以取哪些纸？如图，这是一段二十四米长的栅栏，我们把它集成四段，围成一个矩形， 那么我们设其中一边是 a 的话，他的林边自然就是，哎，十二减 a 对不对？那同学们，你能把面积大于二十这个要求转成一个不等式吗？ 对矩形的面积适用，长乘以宽，所以自然就是 a 乘以十二减 a， 那么不等式就是 a 乘以十二减 a 大于二十。 在实际问题中，大家一定要注意未知数的实际意义，他往往会带给我们一些额外的限制。在这里， a 和十二减 a 均表示栅栏的长度，所以呢，他都是正的，所以 a 应该是 大于零小于十二的。那么如何解决一个不懂事呢？ 大家肯定都跃跃欲试了对不对？我们先来看一看不懂事的形式特点。他的左式是 a 与十二减 a， 这两个音是相乘， 那同学们肯定会想，二十能不能分解一下？二十可以分解成四乘五，二乘以十，也可以是一和二十。那么 a 和十二减 a 与这几个数有没有固定的大关系呢？ 我们来尝试一下。通过尝试不难发现，你看我这里，我取了 a 等于三等于四等于六，十二减 a 分别是九、八和六，带入到不懂事里，是不是都成立啊？所以我们可以看到， a 的值与四和五好像没有什么雇应大家关系。另外， 如果我们把二十换成一个分数，那么这个方法是不是就不太好用了？所以这里我们需要换到这了，对不对？ 我们再来看，有的同学可能早注意到了， a 是大于零的，十二减 a 也是大于零的，那我们能不能用这个特征呢？ 嗯，同解原理对吧？根据不等式的同解原理，两侧可以同时除以 a 或者除以十二减 a 不等式转为下式的形式。我们可以看到，左侧已经是一元一次的形式了，而右侧是分式形式，这个不等式能解吗？ 好像还是有点困难，对吧？仍旧不能求解，所以有以上尝试，我们可以看出，这个不等式不属于我们学过的某一类不等式，不能用我们以前 的方法来求解。那么他是不是一元二次不等式呢？我们来回想一下，一元一次不等式，他只含有一个位置数，所以我们叫做一元。我们来看这个不等式的形式里 是不是也这还有一个未知数， a 呀，所以他也是一元的。然后我们来看次数， 把左式的括号去掉，变成十二 a 减 a 方，然后将左式一到右侧，这样 a 方的系数就变正了，整理为 a 方减十二， a 加二十小于零 位置数 a 的最高四项是 a 方，次数是二。所以按照方程和不等式的命名规则，我们应该称它为一元二次不等式。 接下来给出一元二次不等式的定义。我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二的不等式称为一元二次不等式。他的一般形式是 ax 方加 bx 加 c 大于零，或 ax 方加 bx 加 c 小于零。当然，我们可以把不等号为大于等于或小于等于的这两类也包含进去，其中 abc 为长数， a 不等于零。 在这个实际问题中，我们涉及到的一元二次不等式的一般形式为， a 方减十二， a 加二十小于零。 那么怎么求解呢？观察左视的形式，我们不难发现，如果把 a 换成了 x， 大家会想到什么？ 对二次函数外等于 x 方减十二， x 加二十，那这两者之间有什么联系吗？ 如果你还想不出来，那么不妨换成一次函数。以一元一次不等式，你是否受到一点启发了？ 首先， a 方减十二， a 加二十小于零，就是二次函数的函数之外小于零。其次，解不等式 就是减 a 取合值时，能够使 a 方减十二， a 加二十小于零转化为二次函数，就是求自比亚 x 取合值时，能够使函数之外小于零。说到这里，大家肯定会想到现在咱们该用到二次函数的图像了。 来，咱们看图，当 x 在这个范围内取值的时候，图像是位于 x 左下方，还有之外都是小于， 很显然，这个范围就是咱们要求的范围。而且咱们知道 x 的取值有无穷多个，不可能一一列举。所以要想求出 x 的取值范围，我们必须知道这个范围的边界值，那边界值怎么求呢？ 聪明的你一定要发现这个边界值正好是二次函数的零点，怎么求零点？对，我们要依靠一元二次方程 a 方减十二， a 加二十等于零来解除边界值。接下来就是初中咱们觉得解方程的步骤了，计算判别是得了等于六十四， 然后利用求人公式，我们可以求出两根，一个根是二，一个是十，所以他的边界是一个是二，一个是十，然后集合图像，二在左侧， 十在右侧，所以我们可以得到不等式的解题为 a 大于二，小于十，因为它是一个实际问题，所以我们要进行答题，这个矩形苗圃的边长 a 应该取大于二且小于十的实数。 通过这个例题，咱们接触到了一类新的不等式，一元二次不等式，并且咱们尝试利用二次函数和一二次方程对他进行了求解。同学们，接下来你们能不能自己写出一个一元二次不等式，并对他进行求解呀？ 好，大家来看，我写出了两个，你能不能把我写出来两个解出来呢？ 我们先来 看第一题， x 方减五， x 加六大于零，他的特点是什么？哎，不等号为大于号，那么不等号凭大于号的跟之间小于号，是不是求解的道理是相同的呀？ 我们来看，第一步，我们还是设一个二三数外等于 x 方减五， x 加六，然后画出来的图像要关注开口方向，开口方向而向上的。 然后呢，我们要求出这个区域的边界值，也就是利用一元二次方程 x 方减五， x 加六等于零来解除二次函数的零点。写完了，零点是一个是二，一个是三， 一个是二，一个是三，然后接下来看，这是大于零，所以我们应该取外大于零的部分的图像，也就是 上方的图像，那么对应的 x 的取值范围就应该是 x 大于三或 x 小于二，最后再把它写成集合形式，就可以得到不等式的。解急了， 接下来我们来看第二小题。第二小题的特点是什么？发现了吗？它不是标准的一般形式，二， x 是一思想，负 x 方是二思想，所以我们应该先把它整理为，一般是负 x 方加二， x 加三小于零。 接下来的处理方式有两种，第一种我们可以测函数是外围，负 x 方加 x 加三。画图的时候一定要注意了，因为 x 方的系数是负的，所以我们这里的图像 拍手向下，然后接下来同样我们要解出两个零点，设一二方程，负 x 方加二， x 加三等于零，解出两个零点是负一 和三， 不等式是小于零，所以对应的应该是 x 轴下方的图像，对应的 x 的取值范围应该是 x 大于三或 x 小于负一。 那么在这种结法里，其实还是有一定错误的隐患的，因为在你画韩式图像的时候，一定要注意函数的开口方向，所以很多同学也会感觉到比较繁琐，而且画图的时候很容易就忽视了开口 方向。那么我们能不能对法医进行下改进呢？能避免我们忽视开尔方向呢？哎，是这样可以的，利用不等式的性质，我们可以把 x 方的系数变成正的，也就是在不等式两侧同时乘以负一， 这样 x 方的系数变成正义。但是同时要注意，不等号要变成大于号， 那么变成这样以后，我们设二次函数是 y 等于 x 方减二， x 减三，那么他的图像自然就是开口向上的。 那么解方程 x 方减二， x 减三等于零，我们可以得到相同的两个零点，负一和三。然后这时候大于零对应的图像应该是外轴上方的这两部分，然后 与之对应的 x 的取值范围就应该是 x 大于三或 x 小于负一。 通过上面的两个例题和前面引力，我们发现在解决 e 二四不等式的过程中，二四函数和一二四方程发挥了举读轻重的作用。确切的说，咱们在二四函数的图像中观察出 x 的取日范围， 再利用一二方程解出这个范围的边界值，就完成了对一二四不等式的求解，得到了解击。 由此可见，二次函数、一二次不等式和一二次方程是紧密联系在一起的，你能够用你自己的语言来描述一下这三者的关系吗？对于每一个二次函数， 我们都可以构造与之相对应的一二方程和一二不等式，他们左侧的带后式与函数的解气式是完全相同的。从这个角度讲，方程实际上就是在求解 字面量取合值时， y 会等于零。不等式就是在求解字面量取合值时，函数之 y 会大于零或小于零。不等式解集的边界值就应该是二次函数的零点，也就是一元二次方程的根。所以 方程与不等式合在一起，解决了自备量取合之时，函数值为正为零为负的问题。 由此可见，在解决一月二次不等式的过程中，利用到二次函数是很自然的事情，因为二次函数 他的本质吗？ 接下来咱们来概括一元二次不等式的通用结法。对于一般形式的一元二次不等式来说， 我们第一步一般就是设二次函数外等于 ax 加 bx 加 c 会出去图像观察开尔方向。当然这一步是可以改进的，因为 抛物线开口向下的情形，我们可以通过在不等式两侧同时乘以负一，将其转化为开口向上的情形，只不过要注意不等号变号 啊，这样我们就能避开漏盘开口方向的这个失误了。所以接下来总结通用解法的时候，我们只需要总结 a 大于领，也就是开口向上的时候这种 情况就可以了。 第二步，通过解 ef 方程来得到二次函数的零点。前面几道题从所涉及的二次函数都有两个零点，但是实际上呢，二次函数零点应该有三种情况， 根大于零的时候有两个零点跟着，等于零的时候有一个零点跟着，小于零的时候无零点。那么对于这三种情况，这个二次不等式的解急分别是什么呢？你能写出来吗？ 好，来咱们一块完成这个表。第一行呢，对应的是判别师的三种情况，第二行是与之对应的二次函数的三种图， 第三行是与之对应的一元二次方程的解了情况。第四行、第五行是两 不等式分别的解题。请大家把第四行和第五行的空格填出来。 好，我们先来看这是大一点的时候，这时抛物线与 x 油是有两个交点的， 二残数有两个零点，我们记为 x 一， x 二不防射， x 一小于 x 二，那么大于零的不等式所对应的图像位于 xo 的上方， 那么与之对应的 x 的取值范围就应该是 x 小于 x 一或 x 大于 x 二。 小应的不等式对应的 x 的取值范围就应该是 x 大于 x 一小于。 接下来在这等于零。这时抛物线与 x 轴 尤其仅有一个焦点，焦点的横坐标是负的 r f 之 b， 也就是说只有 x 等于负的 r f b 的时候，败会等于零。除此以外， y 都是大于零的，所以大人的不等式对应的解击就应该是 x 不等于负的 r f b。 小人的不等式在图中是找不到图像与之对应的，所以他应该是空姐。最后我们来看嘚的小约定式， 根在小于零时，抛物线也 x o， 没有焦点，图像全部在 x o 上方， y 呢，横大于零，所以我们说大于零的不等式的解急就应该是全体实数，而小于零的不等式解急应该 是空击。由此可见，在解一、二四不等式的过程中，关键点是运用二次函数的图像，大家绝对不要死记硬背，一定要学会用图。 接下来进入到练习环节，这两个题可要难一些哦，你能做出来吗？ 好，我们先来看第一题。九 x 方减六， x 加一大于零，我们设二残数， y 等于九， x 方减六， x 加一。图像是开口向上的，我们算一下，嘚儿他，嘚儿他等于三十六减四乘九等于零 啊！这个二参数只有一个零点， x 等于三 b。 我们来看图，抛物线与 x o， 尤其仅有一个焦点， x 等于三 b， 所以大一点的解 题就应该是 x 不等于三个 b。 第二题，我们设二次函数是 y 等于 x， 方减二， x 加三， 他的图像开口向上判别是等于地方减 cc 是小于零的，所以二残就是无零点的。接下来你想写什么？你想写解急是空急吗？这里你一定要注意区分， 五解的是一二方程，五零点的是二字函数，那么二次不等式到底解题是什么？你要等着，你要看图。在图像上，二字函数的图像都位于 x o 上方，所以 y 是横大于零的，所以大于零的不等式，自然它的解题就应该是十数级， 不应该是空姐。同学们回顾一二二四不等式的解的过程是不是特别神奇啊？解一个不 上市的过程，竟然用到了韩式的图像，同学们肯定想到了什么。在初中咱们学没学过类似的数学概念， 有没有三个数学概念之间也有类似的关系的，你能想到吗？只不过他不是一元二次的。对一次函数，一元一次方程与一元一次不等式， 一元一次方程的根恰好是一四函数的零点，而且一元一次不等式的时候，我们也会用到一四函数的图像， 对不对？数学真是太神奇了，不仅函数方程和不等式各自有各自的体系，同种类型的函数方程不等式之间也存在着紧密的联系，这说明什么？ 数学是一个整体，是一张密不透风的网，有他完整而要严谨的体系。我们对数学特别喜爱的同学，一定要究其一生来进对他进行探索。 最后，我们回顾一下这节课的内容，请同学们思考以下的问题，第一，二次函数 e s 方程以及 e s 不等式之间有何关系？ 第二，如何求解一二四不等式？ a x 方加 b x 加 c 大于零，或 ax 方加 b x 加 c 小于零， 就是在 a 大运的时候就可以了。 好，今天我们的课就上到这里，同学们再见！

让我们戴上思考帽，嗯啊，我知道了，今天有一位小朋友问了我一道关于二次函数图像性质的问题， 我来讲一下。好了，我们先来看题。呃，这道题的话是二次函数 y 等于 ax 方加 bx 加 c， 他的部分图像如图所示，图已经给你画出来了， 然后有以下四个结论，然后问你其中错误的个数是什么？其实这道题的话，我本来想把它改变成一道填空题的，因为选择题有蒙的这种可能性吗？对吧？改成这种填空题，咱们来做。 这个圈一的话是三， a 减 b 等于零，圈二是 b 方减 cc， 圈三圈四，然后问你错误的个数，然后咱一个一个来看，先看第一个，第一个的话是三， a 减 b 等于零。注意到，这样一个方程里头，他只有 a， 只有 b， 如果一个方程里头 只有 a， 只有 b 的话，我们应该先考虑什么东西？那肯定是考虑二次函数的抛物线啊，对不对？所以你记住了，当一个式子里头这样一个这样一种二次函数， 抛一下图像性质的题目，这样一个选项，如果一个式子里头不管是等式还是不等式啊，如果一个式子里头只含有 ab， 咱们首先考虑的是什么？首先考虑的就是那那条对称轴，那看了圈一的话看，嗯， 那既然只含有 a， b 的话，只看对称轴，那对称轴的话，显然是 y 等于啊，显然是 x 等于负的二分之三，对不对？那 x 等于负的二分之三，那负的二分之三其实就是负二 a 分之 b 吗？这是对称轴的这样一个公式，那稍微化解一下就 得出来了， b 等于三 a 了，那 b 等于三 a， 所以圈一很显然是对的，圈一特别简单，对不对？咱们直接来看圈好不好？直接来看圈了啊， 然后这个圈的话来看， b 方减四 a， c 大于零。这个时候的话有同学非常熟悉了，初二下学期的时候，最后应该我们就学过解一万二次方程的时候有个判别式法，这个方法是非常重要的， b 方减四 s 是不是就是那个判别式啊？ 那好，我们接着来看啊。嗯，那一看到碧芳姐 cc 想到了这个判别式，那么现在我们来看一下啊，第二行就是这个 y 等于 ax 方加 bx 加 c， 还有 ax 方加 bx 加 c 等于零，左边是一个抛物线二次函数，右边是一个一元二次方程，那么这个二次函数 和一元二次方程之间有什么联系呢？来看，仅仅从这个代数式上来看的话，我们只是把这个左边 函数里头的外变成了右边一个确定的值，零对不对？也就是外等于零的时候。那么我想问大家一个问题，外等于零在坐标系里头其实就是哪条直线外等于零在坐标系里头，其实他不就是 x 轴这条直线吗？ 所以其实他问的是什么？问的是这条抛物线跟 x 轴焦点的个数其实就相当于这个一元二次方程，他的解的个数对不对？ 显然我们如果把这条图像补全的话，还是很好画的啊，如果我们把这条二次函数抛物线的图像补全，大概是长这个样子画的，还是非常标准的啊。那么这种情况 下，我们马上可以看出来，抛物线跟 x 轴有两个交点，那就意味着右边这个一元二次方程根有几个？有两个不相等的实数根，对不对？两个不相等的实数根不就意味着判别式 b 方减 cc 大于零，但实际这道题就解决了，所以圈他是对的， 对吧，他应该理解了吧。所以其实圈一个圈就跟逗着玩差不多啊，但凡学过这个二次函数，还有一月二次方程的同学都可以解出来，没有一点点的问题， 主要是看第三个和第四个，尤其是第三个，话不多说，来看第三个。哎呦，第三个，咱们先看形式吧啊，五 a 减二， b 加 c， 这个式子里头啊，有三个字母了， 你像圈一和圈里头只有两个字母，他肯定更简单，马上可以看出来，但是这个圈三里头有三个字母，怎么去解决呢？ a 多少倍的 a， 加多少倍的 b， 再加多少倍的 c， 怎么怎么样？像这种式子的话，我们首先考虑的是带特殊值，就是特殊的 x 的值， 但是我们观察一下啊， ax 方加 bx 加 c， 那么如果你把 x 等于几带入？有同学说了，老师，我看 b 呢，跟着的这样一个系数是负二，所以呢，我将 x 等于负二带入， 我就可以做出这道题。那只能说你太嫩了，肯定不是这样的，肯定不是这样的啊，那你把 x 等于负二，待会以后会出现一个麻烦，就是啊， x 的平方四 a 减二， b 加 c 大于零， 对不对？因为当 x 等于负二的时候，他这个所对应的图像是在 x 轴上方啊，大于零是没问题，但是呢，人家写的是五 a 啊，开口向下， a 肯定小于零，你一个小于零的数，再下一个大于零的数，这，这 对不对？所以这个一和第二个十字没有办法，真的没有办法啊，那接下来只能看哪一个了，那 只能这么考虑了，那既然带一个特殊值不行，我们只能考虑几个特殊值，同学们，对吧？直接带特殊的 s 值，得出一个式子来是不行的，那我们可以考虑带两个式子，那两个式子的话，最终是可以得出来的，对不对？那咱们得一下 哦，哪两个狮子呀？那你要得两个狮子的话，肯定是多少倍的 a， 加多少倍的 b， 再加一倍的 c， 那第二个狮子还是多少倍的 a， 加多少倍的 b， 再加一倍的 c， 那最终这两个式子加起来肯定是两倍的 c， 对不对？所以我们要怎么办？所以我们必须把那个 c 改成二倍吧。对啊，那圈三的话，左右两边同时乘二，看马上就变成什么样子了， 那马上就变成了十一减四， b 加二， c 大于零了，那十一减四， b 加二， c 大于零，我们观察 b 前头呢，系数是一个负四，对吧啊？ b 前头这个系数系数是负四的话，这个负四有两个式子相加，得到这个负四，要么拆成负二加负二，很显然是不行的，你可以试一试， 也可以拆成负一加负三啊。所以我们马上就想到了把 x 等于负一， x 等于负三，这两个值带入，那带入以后，哦，真的凑 出来了，当 x 等于负一的时候， a 减 b 加 c， 他是大于零的。当 x 等于负三的时候，九 a 减三， b 再加 c 大于零，那这两个式子看一下 应该没问题了吧。所以这两个画对号的式子一相加一相加以后就得到了，正好得到了十 a 减四， b 加二， c 大于零。两个大于零的式子当然可以有，人家现在有问老师，为什么 x 减等于一，那等于负一， x 等于负三，这两个式子都大于零，呵呵，你看， 当 x 等于负三的时候，他的函数值大不大于零在 x 落上方吧。当 x 等于负一的时候，你看右边这个点 是不是也在 x 轴上方，所以函数肯定都大于零。两个大于零的式子加起来，那肯定是大于零的，这个利用的是不等式的同项可加线。不多说了，第三个就解决了，第三个相对还是比较难的。同学们，我 希望你放回去再看一遍圈三我是怎么做出来的。话不多说，来看第四个。第四个的话，选项四，他呢？其实难度肯定不如选项三了，我个人认为是这样的，因为括号四里头还只有几个字母啊， 只有 b 和 c 两个字母对吧？啊，那么只有 b 和 c 这两个字母的话，我们也是可以首先考虑特殊值，他可能只带一个式子，但也有可能跟圈三一样，非常麻烦。带两个式子 来看了，那既然圈中带两个狮子了，那圈四我肯定先考虑带一个狮子的情况。好，那圈四的话，你带一个狮子怎么办呢？带一个狮子肯定是。嗯， 看了啊，圈四那圈四的话是 y 等于 ax 方加 bx 加 c， 你无论 x 带多少，这个 c 都应该怎么样说？ 这个 c， 他的系数永远是一，你把 x 等于任何一个数带入右边这个词，他都是多少倍的 a 加多少倍的 b， 加一倍的 c， 一倍的 c。 所以我们第一步的话，应该先考虑把 c 的系数化成一圈四，把 c 的系数化成一，其实特别简单的，怎么画怎么画呀，哈哈， 只需要左右两边同时除三，或者同时乘三分之一，对不对？那马上就变成这样一种情况了，三分之四 b 再加上 c 大于零，可以了吧？哈， 那可能现在有些有疑问了，嗯，老师，三分之四 b 怎么处理啊？这个 c 我知道，一倍，你别忘了，前头这个圈一、圈二、圈三可都是对的，圈一，你干嘛不利用一下呢？稍微改变一下，三分之四 b 变成了三分之一 b 加上 b， 这个三分之一 b 是什么？ 你圈一的时候我们说过了，圈一的时候看了啊，圈一 b 等于三 a， 那不就相当于 a 等于三分之 b 吗？所以事实上我们这个三分之 b 可以化成 a 啊，那所以接下来就马上变成了 a 加 b 加 c 大于零了。 我的天呐，这个是个特殊值啊，是什么时候的特殊值啊？同学们显然是把 x 等于正一带入，此时 就变成了 a 加 b 加 c， 他相当 a 加 b 加 c， 相当于。当 x 等于特数之一的时候，他所对应的函数值是一个正数。 是不是个正数？不是，因为对称轴。大家看好了，对称轴里头呢，是负二分之三，根据终点公式，这个二分之负四加上一， 正好等于负的二分之三。所以说负四和一这两个点，或者说这两个数字是关于对称之后对称的。那既然负四 他是在什么？是在 x 轴以下所对应的函数值，那么实际上你补全图像以后的话，一所对应的这个函数值也是在 x 轴以下的，因为负四和一刚才说过了是对称的，所以其实第四个呢，应该是 小于零，对不对？当 x 等于一的时候，函数值应该小于零，所以他第四个错了，对不对啊？好，那今天的话我们就讲完了，圈三圈四，回去好好细品一下啊，圈一圈其实就跟闹着乐一样啊，逗着玩。好，那今天我们就讲到这，朋友们再见。

家里有初中生的一定要听二次函数的图系关系啊，是中考里面非常常考的一类题。首先啊，图系关系两个字呢，代表他的图像 与系数之间的关系，系数其实就是这 a、 b、 c， 那我们来看一下，首先给了你解析式啊，然后给了你圈一圈二，圈三，圈四，让你分别去判断其中正确的有几个。那第一个啊，咱们先来看一下圈一 四 a c 减 b 方小于零。看到四 a c 减 b 方啊，你要条件反射，马上想到 b 方减四 a、 c， 这个是不是一元二次方程里面那个判别是灯塔，那它大于零，小于零，是不是决定了一元二次方程有几个实数根？我们数量，其实二次函数和一元二次方程之间呢，它是有一个对应关系的，其实这个一元二次方程去 写它的时候呢，就相当于让二次函数的 y 等于零，求 x 的值。对于函数来说，如果 y 等于零的话，你求的就是与 x 轴的焦点坐标， 所以二次函数与 x 轴焦点坐标的个数对应着就是一元二次方程根的个数。 那这道题呢，二次函数和 x 轴有两个焦点，所以方程有两个不相等的实数根，那么判别是 derta， b 方减四 a c 就应该大于零。 我们去一个项啊，也就是四 a c 减 b 方应该小于零，所以圈一是正确的。再来看第二个，四 a 加 c 小于二 b， 这种怎么去解决呢？今天教大一招，如果啊，在这种题里面，咱们要研究 a、 b、 c 的关系，咱们可以用特殊值法，我们可以让 x 等于正负一，正负二，正负三，然后 y 的值其实就是这里面 a、 b、 c 的一个关系。 那这道题啊，我们把二 b 移过来，四 a 减二， b 加 c 对照的解析式，大家看是当 x 等于几的时候， y 的指四负二是不，当 x 等于负二时， y 就等于四， a 减二， b 加 c， 那我们要在抛物线上啊，找到横坐标是负二的点，看看它纵坐标是大于零还是小于零。那怎么去找呢？首先啊，咱们看这个位置，对称轴是负一， 然后这个给了你一个一这个点，那负一和一之间的距离是两个单位。好，那么我们再往左去看啊，那这个位置的话，就应该 是负三，所以负二呢，大概在负三和负一中间，在这个位置对应的抛物线上，横坐标是负二的点，应该是这个点， 这个点横坐标是负二，它对应的纵坐标是大于零的，所以四 a 减二， b 加 c 是大于零的，那么这个给的是小于零，它是不对的。接下来我们再看第三个，第三个呢，要求的是 b 和 c 的关系，那重题怎么做？我们来分析一下。第一步，我们先要找到 a、 b、 c 的关系，然后呢， 再通过对称轴啊，我们去消 a， 把 a 消掉，那不就剩 b 和 c 了吗？那先利用特殊指法，找一下 a、 b、 c 的关系。我一般啊，先让 x 等于一，你可以让 x 等于正负一呢，先去试一试，当 x 等于一的时候， y 就等于什么呢？ y 就等于 a 加 b 加 c， 此时 y 怎么着零？我们对应一下，在抛物线上找一下，横坐标是一的点在这呢，那横坐标是一，纵坐标小于零，所以 a 加 b 加 c 是小于零的。然后接下来呢，咱们再把这个 a 去掉啊， 根据对称轴是负一，也就是负的二， a 分之， b 等于负一，那么 b 就等于二 aa 呢？同理，他就是二分之一 b， 那你要销 a 的话，就要把 a 替换成 b， 所以把 a 替换成二分之一， b 加 b 加 c 小于零。整理一下，也就是每一项都乘个二，他乘二是 b， 他乘二二 b 三， b 加上 c 乘二二， c 小于零，所以圈三是正确的。再看下圈四 圈四。这个呀，其实我跟大家讲，它是一个很明显的考点，就如果你一旦看到了 m 啊，第一步你要想到把它先乘开，乘开之后呢，就是 am 方加 bm， 然后你看到这个你肯定想到，哎，那我再给他加个 c， 这不就跟二次函数联系起来了吗？然后这道题呢，你再把这个加 b 移过去， 就变成了 a 减 b， 那 a 减 b， 同样你也可以给他加个 c。 大家看，如果我让你比较他俩谁大谁小，你怎么比较呢？ 其实这里面啊， a m 方加 b， m 加 c 呢，就是令 x 等于 m 的时候， y 的值，那 a 减 b 加 c 是令 x 等于负一时 y 的值。那咱们来看啊，这道题呢，对称轴是 x 等于负一，顶点横坐标肯定也是负一，所以你令 x 等于负一的时候，你这个 y 的值是整个抛物线上所有点 y 的值里面最大的。 那这是不是填小于号呢？这个 m 啊，其实它可以替换成任何具体的数，也就是这个，它可以指抛物线上任何一个点的纵坐标。那 m 能不能等于负一呢？ 注意看啊，这道题干里面给了你 m 不等于负一，所以那 m 取其他值的话，都比这个负一的时候 y 要小，所以这应该是小于号得到这是小于号之后啊。咱们来化解一下，两边都减个 c， 也就是 a m 方加 b， m 小于 a 减 b。 那再看题目中这个确实是正确的，所以这道题的正确答案是一三四，你听懂了吗？

今天这个视频呢，我们一起来做一道初三学完二次函数之后，期末必考的二次函数图像与性质的问题， 那么这类问题呢，是根据抛物线的图像来判断二次函数他的系数以及含系数的代数是值这一类问题，那么我们就这道题啊，一起来做一下。那这里说啊，已知一个二次函数外，等 x 放下 bsc 啊，他的图像呢，长这个样子， 那么在这个图上啊，给了我们很多这个二次函数图像的一些信息啊。首先你看一下开口是不是向下的， 其次呢，哎，对称轴也告诉我们了， x 等于一，同时他和 x 轴的一个焦点，而是负一的这个位置，那么此时这边呢，我们也应该是可以求出来的，这个点对应的就是 一个三。好了，现在来看一下他，让我们来判断一到五啊，这五个结论里面，正确的结论有哪几个？首先先来看一这个结论， abc 炒起来小于零，那么此时是不是就让我们分别去判断 abc 他的一个正负， 非常简单，开口向下，说明 a 是小于零的，对称轴在歪轴的右边，左同右翼，那么说明 b 和 a 呢，是一号的， b 是大于零的， 抛物线和歪轴交在了歪轴的正半轴，说明 c 是大于零的。来看一下负正正，那么最终呢，我们就可以得到 a 乘以 b 乘以 c 是小于零，所以一是啊，对的，接下来啊，再来看一下二 二说的是二 a 加 b 等运营，那么你一旦看到二 a， 看到 b 啊，这样的一个形式在一起呢， 不管是二 a 加 b， 还是二 a 减 b 啊，或者是负二 a 怎么样？那么这都和对称轴有关啊，来看一下，对称轴是 x 等于一，也就是说负的二 a 分之 b 是不是就等于一？你把这个式子整理一下，是不是就可以得到二 a 加 b 呢？等于零，哎，所以说第二个结论也是对的啊。那么 继续啊，我们再来看一下第三个结论， b 方减 c， c 小于零，那这说的是谁？这不就是德尔塔吗？德尔塔看啥呢？看抛物线和 s 轴的焦点，如果两个焦点，哎，现在就两个焦点，所以这个德尔塔应该是要大于零的啊，那么如果一个焦点呢？等于零，没有焦点小于零，那么这 这里呢？啊，应该是要大于零的，所以三是不对的啊。好，继续再来看四，四，说的是九 a 加三， b 加 c 大于零。好了，你来看一下这样的一个形式，和我们二次函数给出的这个形式，他俩其实是很一致的一个形式，一致在哪里呢？ 你来注意， a 这块的系数是一个九， b 这块的系数是一个三。你再来往这看，你可以认为 a 的系数是 x 方 b 的系数是 x， 对不对？ a 的系数刚好是 b 的系数的平 方，那么换句话说，也就是说，当我的 x 等于啥，等于 b 的这个系数三的时候，你来看一下带进去二次函数的这个值， y 就等于什么？是不是就是这里的九 a 加三， b 加 c 呀？ 那么其实要判断九 a 加三， b 加 c， 他的一个正负，也就是判断当 x 等于三的时候， y 的一个正负。那你来看一下 x 等于三的时候，图像上这个 y 的值是多少？ 落在 x 轴了吗？所以这个 y 呢，等于一个零啊，那么四哎，这个选项也是不对的。最后啊，再来看五这个选项， 五这个结论呢，是最难判断的一个结论啊，你直接去看 c 加八 a， 这样的一个形式，我们是没有办法直接根据二阐述的性质去得到的，所以这里呢，需要进行一个转换，怎么转换呢？那么这里呢，我们就要用到刚才得到的二 a 和 b 之间的一个关系了， 从这里我们可以得到这个二 a 应该等于一个复辟，对不对？与此同时呢，我们还知道第四个结论，这样 的一个形式啊，他是如何去判断的？所以这里呢，我们需要结合这两个啊，结合起来去得到 c 加八 a， 那么这里的 c 加八 a 怎么去给他变呢？ 来，我们从八 a 里面啊，拆出一个四 a 啊，拆出一个四 a 来，这边的四 a 我放在这不动，我把这个四 a 啊给他变一下，利用二 a 等于负 b， 那么四 a 就等于负二 b 啊，把这里呢给他变成负二 b。 好，你现在来看一下这个形式，四 a 减二 b 加 c， 它相当于是什么？是相当于 x 等于负二的时候 y 的值呀，对吧？好，你去图像上看一下， x 等于负二的时候啊，这个 y 的值肯定跑到 很下面很下面去了啊，所以他应该是要小于零的，卖小于零，那么也就是说 c 加八 a 是小于零的啊，五也是对的。 那么这道题呢，我们到这就讲完了啊，最后选的是一二五，那么根据这道题呢，同学们要有一个意识啊，什么意思呢？就是你在这里看到不同的这个形式的结论啊，你应该要知道，对于哎这样的结论，我应该去看抛物线上的什么东西， 比如说他，我就应该看对肾轴，比如说他，我就应该看开口方向，对肾轴和歪轴的一个的关系，以及抛物线和歪轴的焦点位置啊，要有这样的一个意识。好，那今天这个题呢，我们就讲到这里，最后给同学们留一道同类型的题目啊，还是自己去练一下。

来我们今天啊，还是看一道中考必刷题啊。那这个题呢，是二次函数，他的图像与系数的关系了啊，也是我们中考当中比较常见，也是平时练习的比较多的一种题目，但很多同学呢，还是不知道怎么去做，所以今天我来讲一讲啊。 二三数一般是 s 平方加 bs 加 c， 顶点为负一二，这里标出来了，对吧？与 s 多，焦点呢？为负三和负二之间啊。那么考察一下结论，哪些是正确的？第一个， b 平方减 c， c， 他说小于零，其实看到 b 平方减 c c， 我就知道他是什么，是白塔，白塔决定什么东西，决定了我韩式图像与 x 狗有几个焦点，对吧？很明显，我这个韩式图像虽然这边没有画完，但是很明显他延伸下来一定会有几个焦点， 两个焦点，两个焦点，他的白塔应该怎样啊？应该大于零，做一是错的。第二个，他说 a 加 b 加 c， 看到 a 加 b 加 c 就要想到他是什么东西呢？他是在说当 x 等于一的时候的函数值，能理解吧？那我们要去找 x 等于一的时候的函数值，那 他没有画出来，但没关系，我们可以根根据什么，根据图像的对称性去看。那 s 等于一的函数值跟 x 等于几的函数值是一样的，因为对称轴是 x 等于吗？ 等于负一吗？对不对？对对，正过来，他应该什么跟 x 等于负三的时候的函数就是一样的。很明显，当 s 等于负三时，函数数量在 s 头下方了，分小于零，有没有问题？没有问题，所以二是正确的，对吧？那么三， 他说 c 减 a 等于二，就是一个等式了，那我们注意整个题目当中唯一能够给到我们等量关系是谁啊？哎，就是这个底点嘛， v 二，那所以意味着我把 v 往二往里面带，就是 a 减 b 加 z 等于二。但是有个问题啊，这个袋鼠市里面有没有 b？ 没有 b， 对不对？但没关系， a 和 b 的转化，我们通常可以通过谁得到 对称轴，因为对称轴 x 等于负的二， a 分之， b 等于几啊？还等于负一嘛？对，由总得到 b 是等于二 a 的，所以把 b 转化成二， a 就是 a 减二， a 加 b 等于二，可以得到 b 减 a 等于二。没问题，没有问题，对三也是对的 四。他说这个方程有两个相等实数根，你会发现这个前面一部分是什么？是我的函数师对不对？他在减二是什么意思呢？ 比如说将我的原函数后面减二的话，你意味着将整个函数怎么样？图像往下平移，哪个单位有两个相等的十根？也就说我平移之后的图像会跟 so 几个焦点啊？两个相等的十根。就是嘛，跟就一个焦点嘛。那么会发现将这个函数 图像往下拼两个单位，是不是正好只有一个焦点啊？因为他这段的长度正好码二码，对不对？对，这句话有没有毛病？也没有毛病。对，对的对，正确的个数为三个。这道必刷题你听懂了吗？