绘制几何画板中蚂蚁吃食路线正方体

这应该算勾股定理这一章中的难题了吧。其实这种题的核心就是把立体图转换成平面图，立体感差的孩子就会有点困难。如果孩子实在理解不了，建议自己动手用纸做个立方体，然后展开就可以了，孩子一下就能理解了。

你学会了吗？ 哈喽，大家好，今天我们要学习的是蚂蚁爬行的问题。首先我们来看例题， 如图，在边长为一的正方体中，一只蚂蚁从零点 a 沿着正方体的外表面爬行到零点地，他所爬行的最短距离是，那我们都知道在平面图形中，两点之间直线距离最短， 可是现在点 a、 点 b 都是正方体的两个点点，那么我们怎么去求它的最短距离呢？只需要一步，就是把立体几何图形转化成平面图形， 也就是画出正方体的平面展开图，然后找到点 a、 点 b 连接，那么 a b 也就是这个蚂蚁所爬行最短 距离。题目告诉我们，这个正方体边长为一，我们可以根据边长为一，利用勾股定理求出 ab 的长， ab 等于根号下 一的平方加二的平方等于根号五，所以这道题答案就是根号五。

在这个视频里，我来给你讲解一下蚂蚁回家的问题。比如将一张长方形纸片弯折之后立在地面上，一只蚂蚁要从 a 爬到 b， 那他爬行的最短路线是啥样的呢？ 地球人都知道两点之间线段最短，不过现在 ab 之间的线段是这一条，不在纸面上，这蚂蚁又没翅膀，总不能飞过去吧？那该咋办呢？其实很简单，你只要把这个纸片展开回原来的长方形，在这个平面展开图上连接 ab 两点所得的线段就是最短路线了。 这种利用平面展开图来寻找最短路线的方法，在立体图形的应用中有很多，下面我就讲讲他在正方体和长方体中的应用。 比如这里有一个飘在空中的正方体，一只蚂蚁要从左下角的 a 点出发，沿正方体的表面去右上角的 b 点取食物。问你，蚂蚁最短的爬行路线有几条？由于这两点之间的线段是正方体的对角线， 不在正方体表面上，那就还得利用平面展开图来寻找最短路线。可到底展开哪两个面呢？还是从出发点来看看。如果蚂蚁从 a 出发，一共有正面、左面和底面三种选择， 如果爬到正面上，那与这个面相连，能够爬到必点的面就是上面和右面。分别展开，原来的必点就对应到了展开图中的 b 一和 b 二，那爬行的路线就是这条 以及这条。如果爬到左面上，那相应的面就是上面和后面。分别把它们展开，原来的必点就对应到了展开图中的 b 三和 b 四，爬行的路线就是这条 以及这条。同样的，如果蚂蚁爬到底面，那相应的面就是后面和右面。分别展开原来的 b 点就对应到展开图中的 b 五和 b 六，那爬行的路线就是这条以及这条。由于每条路线都是这样一个长方形的 对角线，它有俩正方形所构成，那长度自然拳头相等，都是最短路线。所以蚂蚁爬行的最短路线就有三乘二，得六条 正方体。你会了，那咱就看看长方体的情形，这有一个飘在空中的长方体，只有这四条人长是一，其他人长都是三。一只蚂蚁还是要从左下角的 a 点出发，沿长方体的表面去右上角的 b 点取食物。问你，蚂蚁最短的爬行路线有几条？ 与刚才的情形类似，从正面出发，展开相邻的上面和右面，原来的必点就对应到了展开图中的 b 一和 b 二，那相应的路线就是这两条。 从左面出发，展开相邻的上面和后面，原来的必点就对应到了展开图中的 b 三和 b 四，那相应的路线就是这两条。从底面出发，展开相邻的后面和右面，原来的必点就对应到了展开图中的 b 五和 b 六，那相应的路线就是这两条。 要想求出对角线的长度，还是要根据勾股定理分别计算一下，就是三方加四方、三方加四方、一方加六方、三方加四方、三方加四方和一方加六方，那这六条对角线的平方就分别是二十五、二十五、三十七、二十五、二十五、三十七， 其中有四条是二十五，小于另外两条的三十七，那最短路线就是这四条了。好了，以上就是这讲的全部内容，在寻找立体图形表面上两点之间的最短距离时，不能直接在立体图形中连线，而得把蚂蚁经过的表面展开，在展开图中连出最短路线。 对于正方体来说，能够连出六条路线，长度相同都是最短。但对于长方体来说，六条路线不一定等长，得算出来比较一下才行。怎么样，你明白了吗？如果明白了，就赶快去赚金币吧！

如图，圆柱形的玻璃杯，高十四厘米，底面周长是三十二厘米，在杯子的内壁离底五厘米的 那个点臂处啊，有一滴蜂蜜啊，此时一只蚂蚁啊，正在在这边，就是他那个对面的， 嗯，点臂的对面的这根母线上在 a 处，那么蚂蚁从外壁啊，要吃来吃呢，这个杯子里面的蚂蚁啊，蜜蜂蜜， 那这个蚂蚁他应该怎么爬行啊？他爬行能够吃到里面的蜂蜜啊，他应该最短路线是啥？他不能够穿越杯子 啊，所以他应该在外壁先啊，走的，他从 a 到 c， 再从 c 到 b 的这个点 c 在上底面，这样的， 那咱们怎么来求最短的距离呢？我们可以把这个侧面展开图，把它这样展开过来， 这样直接展开，那么这个蚂蚁它爬行从 a 到 c 到 b， 情况 这样了，看看，反过来，他蚂蚁可以这样去吃啊，吃这个蜂蜜，明白吗？那然后算呢？咱们可以用勾补定理来算就可以了， 因为从 a 到 c 的两条呢线连起来啊，那就是线段最短， c 到 b 又连线段，这样， 那根据题，这个高度是四啊，它这个 a 呢？它离开这个上臂啊，上面呢三厘米， 对，对这根这根三厘米，这点呢，还有一个点，一撇一撇， 那我们这个点一撇，然后呢，这个点 c 带在上面的 来下面这里，这里又有五厘米 b f， 这就是将军饮马问题， 咱们可以做这个点臂，关于上面这根的对称的对称点，然后呢连起来就得了， 明白吗？ 这个地方十四减五还有九， 那就对称过去，对称过去呢，这个地方他也是角， 那最短路线就说对称过来呢，咱们就把这个 f 一撇， 在这个地方呢，和 a 呢连起来，他和 c 三点呢，是贡献的，有三点贡献的时候呢，他两点之间线段是最短的，就这样来求， 那咱们可以这样把这里辅助线 做出来，延长这个 a e， p， 然后呢右过 f e p， 嗯，做 这个中间这个 a e 撇的垂线，这里这有有一个点 h， 这样用勾股点 定理，用勾股定理来求，因为对称吗？刚才九，呃，十四减九，十四减五的九九要对称，这边也是九，这里九加三， 因为这边他有一个角，上面这个有一个矩形， 然后呢，从 h 到 f 一撇，它恰好是周长的一半啊， 未展开的时候呢，这个 f 一撇到这个点，这个点它是周长的一半，所以这个应该是十六，十六，这边九加三的十二， 再算十边点，这里的数据计算函数都用开方，开方，开方，然后呢，这里十六，十六的平方， 用勾股定理加上那边九加三，又是十二的平方， 乘方符号根据个二。那么利用勾股定理，呃，可以算的答案。所以呢， a 从 a 到内 b， b 处啊，这里最短距离呢，应该 是二十，这样明白了吗？大家觉得好的给转发啊，收藏，发表你的评论。 想学习企鹅画板动画制作技术的可以订购咱们这个号的企鹅画板培训的精品专栏， 专栏的名称是数学案例集结画板动画制作技术。感谢大家的支持，再见。

这个视频我来讲讲展开图，求动点相关最直。比如这三人注中底面边长为二，高为六，一只蚂蚁从 a 一点出发，沿侧面绕一周，到达 a 点，那他的最短路线长多少呢？ 你看从 a 一到 a， 要先后经过这个，这个，还有这个共三个侧面，要让这个路线最短，只要画出侧面，展开图，找到 a 一到 a 到直线距离就行。 把这个人注入从 a 一 a 这里展开，显然这是起点的 a 一，这是终点的 a， 用直线连起来，这就是最短距离。接着来算一算，顶面边长是二，也就是这三段都是二，加起来就是六，高是六，所以这段显然就是六根号二，这样就搞定了。 像这样要求侧面绕行的最短距离，你只要把经过的面都展开到同一平面上，然后求起点到终点的直线距离就行。 这个问题中只绕了一周，如果改成绕侧面两周，那怎么求最短路线呢？绕侧面两周，其实就是这三个面都经过了两次，所以只要把这三个面展开两次就行。 显然这是起点，这是终点，把它俩连起来，容易算得长度为三，根号三十，这就是最短距离了。以后再遇到绕多周的问题，问题中漏了几周，那侧面就展开几次，再求距离就行。 刚才的题目都只要把侧面展开，展开图就相对简单，有时候展开图会复杂些，比如这个直三人注中底面为直角三角形叫 abc， 等于九十度，并且 ab 等于 bc， 等于 bb 一等于一 b 一 c 上有个动点 p， 那么 a p 加 p c 一的最小值是多少呢？要求 a p 加 p c 一的最小值，其实就是从点 a 出发，经过这个面和这个面到达 c 一的最短距离，所以得把这两个面展开到同一平面来找最短距离。接着就来画画展开图吧。先画三角形， a、 b、 e、 c 他俩都乘一，这是直角，所以 a、 b 一就等于根号二。像这样容易算得 b 一， c 也等于根号二， a、 c 也等于根号二，所以三角形 a、 b、 e、 c 是常为根号二的等边三角形再画 b 一， c、 c 一，这是一，这也是一，这是直角，所以这是直角边唯一的直角三角形。 这样展开图就画好了，要算到是从 a 到 c 一连接他俩，这就是距离的最小值。不难发现，此时点屁就在这。来算算这个最短距离。这段是这个三角形的高，等于二分之根和二，这段是这个三角形的高，等于二分之根和六加起来就是最小值，也就是二分之根 号二加灯号六。搞定了。像这样要求 ap 加 pce 的最小值时，关键还是话想开图，不过这次你得找出这两个面，然后分别算算是怎样的三角形才能画出来。 好了，以上就是这个视频的全部内容，关键掌握一点立体图形中要求从一个点到另一个点的最短入境，关键要把经过的面换成展开图，然后算起点到终点的直线距离就行。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速去刷题吧！

初中几何模型之勾股定理这一讲，我们一起来学习蚂蚁爬行模型难度，星级，四颗星我们要讲到蚂蚁爬行三个模型，先来看第一个， 蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从 a 到 b 的最短路径怎么算？那么蚂蚁要从 a 点爬到 b 点， 不管怎么爬，至少要经过两个平面。那么在蚂蚁从 a 点到 b 点爬行的过程中，经过两个平面的情况下，我们可以分三个情况来讨论， 那么此长方体的长宽高分别为 abc。 假设蚂蚁经过黄色 平面与蓝色平面，那么我们将蓝色与黄色平面展开， 这个时候我们会发现蚂蚁爬行的路线可以放在一个直角三角形中， 此时这个直角三角形的一边长为啊，一条直角边长为 a， 另外一条直角边为 b 加 c， 所以 ab 的长度我们可以 写成根号下 a 方加 b 加 c 的和的平方，呃，将括号展开后，会得到根号下 a 方加 b 方加 c 方加二 bc。 第二种情况，假设蚂蚁经过黄色平面与绿色平面，这个时候组成的直角三角形的， 呃，这个一条直角边为 c， 另外一条直角边的长度为 a 加 b， 那我们根据勾股定理， ab 最终等于根号下 a 方加 b 方加 c 方加二 ab。 第三种情况，假设蚂蚁经过了红色平面与绿色平面，那么组成的这个直角三角形的三边直角编为，一条直角编为 b， 另外一条直角编为 a 加 c， 我们可以根据勾股定理得到 ab， 最终等于根号下 a 方加 b 方加 c 方加二 ac。 那我们综合这三个等式，我们会发现 acabbcc 小，那么 ab 的值就小，那么最后我们会得出结论，蚂蚁爬行的最小值，它是等于根号下最长边的平方加 短边与较短边合的平方啊，我们在这个模型下要优先判断长宽高较小的两条线段啊，然后在烈士计算。 接着来看蚂蚁爬行模型二，蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从 a 点到 c 点最短路径怎么算？从图中我们可以看出， a 点与 d 点是底面直径相对的两个点， 将圆柱的侧面展开，如图， a 点到地点的距离为底面圆的半周长， 那么半周长与高构成了一个直角三角形，这个时候我们可以知道蚂蚁爬行的最短路径的长度为直角三角形的斜边， 所以 ac 的距离我们可以利用勾股定理来计算。 ac 等于根号下太方，阿尔方加 h 方， 那么在这个模型下，我们同样是将立方体进行了一个侧面展开，再根据勾股定理带入相关数据来 计算。需要注意的是，如果 a 点与 d 点的位置不是直径上相对的两个点，这个时候我们可能会呃应用到无偿的计算公式。 确定了 ad 的距离以后，我们再带入直角三角形，用勾股定理计算。 接着来看蚂蚁爬行模型三，蚂蚁吃蜂蜜问题， 求蚂蚁从 a 沿着圆柱体外臂爬行，再沿着内臂爬行到 b 的最短路径，我们依然要将立方体进行一个车 侧面展开。这个时候聪明的同学会发现，其实这个问题现在就转换为了将军一马问题。 首先我们做 a 点，关于背着上沿的对称点， a 撇点连接 a 撇 b， 那么 a 撇 b 的距离就是蚂蚁爬行的最短路径， 那么相关数值我们要在题目中找到并且正确的算出。 算出相关数据以后，我们带入到这个直角三角形中，计算出 a 撇 b 的距离。嗯，根据这道题， a 撇 b 等于根号下 派方 r 方加 h 的平方。那么由前三个模型我们可以推广，这个立方体呢，可能是其他形状的立方体，但是关键呢，我们是要对这个立方体 进行一个侧面展开，展开以后，我们转入直角三角形， 利用勾股定理来计算计算出蚂蚁爬行的最短路径。 一起来看今天的例题一，如图，正次棱柱的底面边长为五厘米，侧能长为六厘米。一只蚂蚁从棱柱底面上点 a， 沿着 棱柱表面爬到点 c 瓢处，求蚂蚁需要爬行的最短路径的长。 根据模型一，我们首先要判断边长与冷长乘积的最小值， 经过判断，我们会发现五乘六和五乘五，那还是五乘五比较小，所以呢，我们会呃得到这个最短路径的长最松的这个列式为根号下六的平方加 括号五加五括号平方。最后计算出结果等于两倍，根号下三十四。那么 对于长方体正方体蚂蚁爬行问题，我们要优先判断三个数据之间的成绩，选较小的成绩进行计算。 第二题，如图，放在地面上的一个长方体盒子，其中 ab 等于十八厘米， bc 等于十二厘米， bf 等于十厘米， 点 m 在棱 ab 上，且 am 等于六， n 是 fg 的终点。一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面重点 m 爬行到点 n， 则他需要爬行的最短距离为。这道题呢，我们根据题目中这个给的数据 关系，我们要去构造一个全新的长方体，也就是说在新的这个长方体中，我们重新根据模型一的结论来计算 mn 的距离。 根据长宽高三边的关系，我们发现六乘十较小，所以我们列式 mn 等于根号下最长边十二的平方，加上 短边和较短边两边的合的平方啊，计算出最后结果为二十， 所以这道题的答案为选项 a。 来看今天的最后一道题，如图所 是，圆柱形容器高为六厘米，里面周长为六厘米。在容器内壁离底部二厘米的点 b 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁离容器上沿二厘米与蜂蜜相对的点 a 处。 这蚂蚁从外 ba 处到达内 bb 处的最短距离为多少厘米？ 我们将容器侧面展开做 a， 关于容器上沿的对称点 a 片连接 a 片 b， 那么 a 片 b 就是蚂蚁爬行的最短距离。嗯，我们过 b 点做 fa 的垂 线垂逐为 c 点。这个时候我们将 a 片 cb 三点构建成了一个直角三角形，那么我们通过相关数据来计算直角三角形的两条直角边长 a 片 c， 他的距离应该是等于啊六减二再加二， 那么 bc 的距离应该是等于半周长，也就是六的一半三厘米。那么这两个直角边的数据我们算出来以后，带入勾股定理， a 片 b 等于根号下六减二加二整体的平方，再加三的平方，计算结果为三倍，根号五 厘米，也就是说蚂蚁从外 ba 处到达内 bb 处的最短距离为三倍跟后。 关于蚂蚁爬行的最短距离问题，我们通常是通过展开立体图形画，立体为平面，画曲线或折线为直线，利用两点之间线段最短解决问题。 同学们下去以后多体会好这一项，就到这里，我们下一讲，再见。

下面我们来看一个最短路径在立体图形中的应用，这是一个正方体，呃， a 是正方体的左下角， b 呢是正方体的右上角。现在说有一只小蚂蚁从 a 点呢，要爬到 b 点，只能爬棱和面，不能够贯穿这个力度图形。问有多少条最短路径？ 那这道题呢，直接要用两点之间直线的对短好像用不了，因为 ab 之间的连线是贯穿这个立头型的。那这道题怎么办呢？我们可以降维打击， 这是一个立的图形，我们想办法把它转换成平面图形，那怎么转呢？可以想称这是一个盒子，那上方的这个面可以是盒子的盖，我们把这个盖啊给他抬起来，和前面呢形成一个平面，我们来看， 相当于把上面的盖给他抬起来， b 点就跑到了 b 撇，这一点啊，那现在我们来看，由 a 到 b 撇，他就在一个撇面内，两点之间直线跟对短， 所以最短路径就是他们之前的连线。那交易棱于 c 点，这个就是 a 点到 b 点， b 经的这一个点，那由 c 再连上 b， 其中一条最短路径就是 acb。 那有了这样的思路以后，其实这个盖除了可以向上翻，还可以从右翻，那我们如果把这个盖向右给他翻开 这个 b 点，跑到这个位置， b 两撇，那由 a 点到 b 两撇，两点之间直线的最短。那此时我们会交到网上一个 d 点啊，那 a 到 b 最短路径应该是 a d b， 这也是其中 一条对等路径。好了，我们画出对等路径了，但问题是有多少条这样的对等路径呢？那现在我们来看，从 a 点上出发，他能出发的面应该是前面、 左侧面和下面。那我们看刚才我们画出的两个最短路径都是在前面上产生的，所以在左侧面和下面分别应该还有两条路径，所以最短路径应该是有六条。

用几何画板啊，做下图，有人留言问这个图如何用几何画板去画？正常我画图的时候都是按数据去标准做图，这他只给个图，也没有任何数据，所以咱们只能仿照他去画。 首先他在一个坐标系中的，所以我们得有 s 轴歪轴，让我借助几个，画完里有个迷你坐标系。迷你坐标系里有一个实验啊，实验这叫坐标系，因为我当时自己学的时候我就用这个了， 别的我还没有尝试过啊，就是熟悉这个，把它拉一下，嗯，这个箭头可以拉没了 s 轴 外轴，然后他这里 s 轴外轴都是正版轴，所以副版轴我们拉一下就没了， 然后还得没有这个一二三四五。这有一个隐藏文本啊，这个小点是聚饼啊，隐藏都没了。 我们也可以显示锯柄啊，锯柄有拖拽啊，拖拽的功能。好了隐藏，那么然后我就想做这个图，首先观察应该是一个直角三角形，这个点我随长度 不知道是多少，咱们咱们换任意画一个，然后选中 x 轴构造垂线，在垂线上我认识一点，就是简易了， 选中这个直线，我按 ctrl 加 h 隐藏，然后连接这这三个点，勾到线段，这样就有 a 和 c， a， 我们可以单独评论 a c， 然后这个点啊，这个 s 轴，这个点，不知道他这是如何描述的啊？我们如果让他等于 a c 这个长度的话，先选点 c， 再选点 a 构造 圆，你这个点就能找到。这是一个固定的点啊，相当相对固定，就是跟 ac 的长度是一样， 然后有三点，我顺序连接，就会够到过三点的服务 虚线，这就找到了。但是如果这个点，这个长度啊，不是等于 ac 的长，那我们可以任选一点不就可以了吗？然后顺势选中三个点，构造过三点的弧，然后这有个点 b， 我点 b 做 s 轴垂线，这样就找到点 d， 我们用虚线按住 nol 连接线段标成点就行了啊，这是 b， 这是 完事。那么这里我们还可以找圆心，如何找？有这个这个壶属于这个圆的，那个圆心的，那就连 连接，嗯，连接弦，然后够到终点，然后够到垂线， 这也够到终点，嗯，然后够到垂线，这样就找到圆心的，同样圆心和圆上那一点，我们可以够到这个圆。 对，但这道题来说他，嗯，这么做图没有必要找这些新的啊，可以任意去找， 把这壶找到。这样如果我们想把这个颜色统一的话啊，就得把这个都选中， 把这个选中，选中之后这个选择颜色都变成黑色，但是发现粗细不一样，我们 和选线形都变成中等或细线都可以啊。嗯，发现这有点，我们有时候做图中想把点引去，有显示 点，我可以把这个点最小啊，就看不到了，那么这个这个图我就做完了。