2025版660什么难度

同学们好，我是大力老师，这个视频我们一起来看一下七十六到八十题啊，我们来看一下七十六题啊，我们一起来读一下这个题目。这 y 等于 y， x 在零到这种琼上是可倒的啊。把这个条件先标出来，他说对认给的一个根据内的 x， 他的增量啊，记住，这是 y， 他满足这个关系式。 而且呢，这个里边这个 up， 这个等式里的这个 up， 它告诉你它是在 x 区域零的时候啊， der x 区域零的时候的一个等价无用小啊，那这个东西 告你一个条件，问你 y 是谁，实际上这个里边呢，他告诉你这个 y 零等于一啊，这个很明显就是个初值，对吧？所以我们要根据他给的这个关系啊，去列个等式，他给了嘚的 y 是这个，所以这个说明什么呢？哎，这个很明显，我们如果两边同时比上嘚 x， 是不是他其实就是倒数 定义，对不对？哎， y x 加上等于 x， 再减去 y x 比上等于 x， 在等于到 x 区于零的时候，它其实是 y 撇 x， 对吧？所以我们这个式子，那这有一个 der y 啊，我们同时出一 der y 就行了啊，出一 der der x 就可以了。那有的说，老师，这还有一个呢，你为什么不出一 der x 方呢？首先呢，这个位置前面如果出一 der x 方的话，那其实这个位置你也不好处理。再一个，后边其实也只有一个。 最后，这个东西人家说它是得上 x 的增加五角，所以咱们要除以得上 x 的一层，好吧，所以呢，我们左右同除 there x 啊，所以左边这个式子现在变成谁的呢？一个 there y 比 there x 说变成 y t x 了，然后呢？后边是一加上 there x y， 哎，它还不能动，然后再等 于后边 d x 没了，是 y 比上一加 x， 然后再加上一，对吧？哎，在这个前提下，同图还得取一下啊。这个要注意，因为这个里边必须得说明是在 d x 取零的这个条件下， 就变成他了，那变成这个式子之后，那大家看一下，这个里边他就显得很多余了，对吧？因为其实如果这个东西没有了，是不是就是咱们的微商商城了，那这个东西能不能干掉呢？当然可以，因为咱们在上面说了，整个的大前提其实是得还是等零，对吧？所以在写的时候，如果已经加上这个得还是区零这个前提了，这个就可以不要写了， 对吧？因为 dert x 拘零时，我的 derty 肯定也是拘零的啊，你否则的话它就不可导了，这个条件是在这用的，对不对？所以我们这个是不是就可以去写它本质就是 y 撇，等于它加它，那这是一阶的，而且你把它剪过来之后 之后，你会发现它是一阶线型微用方程，所以把它移过来是 y， 一撇 x， 再减去一加 x 分之一倍的 y 啊，等于一吧，这个是不是就是 px， 这个是 ux， 所以我们接下来只需要套公式就可以了，所以代入就是 y x 等于 e 负的 ps 积分，也就是一比上一加 x dx， 然后里边一的这是负的，对吧？就是 px 放，这是一比上一加 x 啊 dx， 然后再乘以 qx， 再 dx 再加上 c， 这是咱们公式。然后呢，写一下左边这个式的积分的话，应该是 low e 加 x， 那 e 的 low e 加 s 其实就是 e 加， 那么里边是不是这个东西应该是它的倒数，对吧？所以应该是积分下来一比上，一加 s， 然后再乘以一，然后再减 s， 然后再加倍， 好，我们再算这是多少，是不是一加 x 不动，里边这个是不是就是 low 一加 x， 然后再加 c 吧， 对吧？所以它的通解我们现在写出来了，然后最后告诉你， y 零等于一，是不是这个很明显是个数值带进去了，又 y 零等于一，所以我们带进去这个 c 读出来应该是等于一的， 是吧？所以最终 y x 应该等于一加 x， 对的， learn 一加 x， 再加 x， 再加一， 当然你也可以扩一下，扩下来写都是可以的。哎，这是咱们的，这是六题，这个题呢，大家在看的时候一定要注意，咱们一定要想办法去构造一个文方程，构造文方程，因为这个很明显，他除以他就是一撇了，这个是多余的，我们给他干掉 七十六题呢，咱们就说到这好来看，这个题是 a 大于零，是一个长处连续函数 f x 呢？满足这样一个关系，就它的极限 f 区中成的极限是 b， y 零 f s 是这个微方程的解，然后让你去求这个极限和这个极限。 好，那我们想求这个极限呢？那怎么样去做啊？其实是有非常快的方法的，怎么个快法呢？ 我们先来看特殊法，特殊法我们可以让这个 f x 变成一个特殊函数，对吧？因为它里边大家看这个要求是不是首先满足这个方程，再一个它极限是 b 就可以了，那这个 b 什么函数的极限是 b， 而且最简单，是不是我们可以直接令 f x 等于 b？ 反正是个填空题或者选择题都是可以用，对不对？它长处它极限肯定是 b 啊，那所以我们这个题 这个里边它就变成 b 了，对吧？那我们去解这个方程不就很简单了吗？一 y 两撇加上 a y 一撇等于小 b， 然后我们再去求什么呢？这个呢？虽然看着是二字的，哎，实际上就是个一字的， 对吧？哎，我把这个东西当成大外，这个东西是不是大外一撇啊？所以我们解出来这个结果，按依次去解的话，这个是不是应接线？请问方程也就是谁？所以在这背公式， 这个东西背公式的话，是不是得到是外一撇，外一撇等于谁？这个是 p s， 这个是 q s， 所以它等于 e 的负是不？ a d s， 然后里边 e 的 a d s， 然后再乘以 b 吧，然后再 d s， 再加上 c， 那我们算一下这个式子啊，看前边 e 的负 a x， 对吧？这个呢，是 e 的 a x， 然后再乘以 b， 然后再 d x， 再加 c， 然后算这个内容。是不是把它这个里边 b 提出来，然后缺了一个 a 吧。我这先写上 e 的负 a x， 然后里边 b 先提出来，里边缺了一个 a， 所以咱们得在里边乘个 a， 外边得除个 a， 是不 b 比 a， 然后呢？这个是不是直接写 e 的 a f， 然后再加上 c， 然后你看看这个是不是能展开，展开之后是不是只有 b 比 a， 再加上谁？这一倍的 e 的 v x， 这个就是外撇，外撇啊，这公式得到得到之后，你看求个极限，所以 limit x 区中穷 y 撇等于谁啊？长数零啊，所以 b 比 a 非常快，然后呢？ y 撇 y 两撇 那半张撇是不是直接就在求导？求导这是个长数啊，没了零加上这个这个东西，如果求导是不是下来一个负 a， 所以是零减去 ac 倍的 e 的负 ax， 然后所以 limit x 趋于中穹，那两撇等于谁啊？零吧，哎，因为这个东西是去零的，前面是个长数而已，所以， 好，你看这个方法，其实我们主要就是计算这个公式，求道也简单啊，所以大家在做这种客观题的时候啊，选择填空，咱们有特殊值啊，有这种特殊函数啊，可以设，咱们就直接给他设出来就可以了，好，学习这种思想。第二个， 我们再来看一下，我们如果去重规重矩的去算，应该怎么样去算，那算的话，他让你求的是极限，对吧？那同样的我们还是去处理这个东西，只不过这个这个时候这个 f f 啊，他不是一个特殊 函数了，我们就只能把它当做一般函数去理解，那是不是同样可以求出外一撇，对吧？啊，也是当时依次去处理啊，所以我们外一撇也是被公式外一撇等于 e 的， 这是负的 a a d x， 对不对？然后里边 e 的这个 a x a d x， 然后再乘以谁，是不？这儿就得乘以 f x 了，就不能乘以 b 了，然后再 d x， 然后再加 c， 对不对？但是在这大家注意了，你这个东西，你一会求集线，大家发现了吗？你求集线的话是 s 区域谁，这个东西你可是不定积分，不定积分没有办法去区进的， 对不对？所以在这个里边就得给大家提一嘴啊，咱们的这个公式啊，要求大家背的是不定积分，但是大家得知道他其实也能写成定积分的形式。定积分 的形式为大家写一下，咱们就写一般形式啊，比如说这个形式是 y 一撇加上 p x， y 等于 q x， 那我们按照定积分去写的话，应该是 y 等于 e 的，不，这咱们正常是 p f， d s 是吧？但是呢，咱们写的定积分应该是零到 f， t， t， e， t， 这样就写，然后呢，里边 大的积分符号零到 x， 然后呢？ e 的给是不是零到？往这写个 t 吧 t， 然后这写这个 p t， e t， 然后这个里边再乘以 q 啊 q p， 然后再 d p， 再加 c， 然后大家看一下，我这个式子写完之后， 这个东西会得到一个 t 的表达式啊，这就不能写 pt 了，这是 ps， ps 了，这个会，这个上面这个东西是不是得到一个 t 的表达式？整个这个 e e 的它是密，是不是也是 t 的表达式？这是 t， 然后呢，这就是 dt， 是，是不是整个这个式子是关于 f 的， 对不对？然后呢，这也是关于 x 的，那最后这个结果还是关于 x， 这个是一个定期分的形式，而且这个定期分的形式呢，我们其实是可以去给他量化，这上面这个啊，也是他的一个圆函数，对吧？这个指的圆函数，但是呢，他不容易量化 哎，所以这个形式大家也得记住，他俩其实是一样的，只不过上面这个写起来更简单，下边这个呢，写起来麻烦一点，但是他能量化量化， 包括咱们其实前些年有一年的题目啊，有一年的那个应该是一八年左右，有一道题其实就是通过他去量化的，去正周期性， 就是用它去表示啊，具体哪一年，大家可以翻一下咱们往年的这个真题啊，好去看一看这种写法。那所以这个题咱们是需要量法的，因为你要求极限，所以我们给他写一下，就是 靠这个式子啊， y 撇等于谁呢？ e 的互是零到 a 啊，零到 x 啊，就是 a d x， 然后里边积分零到 x 这个位置是变成 e 的， 零到这个 t 是吧？零到 t， 然后这是 a b s 是吧？它是在这啊，注意啊，它是 g s， 然后呢再乘以 q q 是 f 是吧？ 哪呢？是这个 f， 所以咱们在这呢要写 f t， 然后就带 d t， 再加 f， 这是它的表达式。我们写完这个表达式之后呢，那接下来要干嘛呢？ 就是要计算把它写成一的负 ax 啊，其实这个东西没有影响，然后呢，后边零到 x 这个里边这个结果是谁？ 这个指数上是不是等于 as 对吧？ e 的 a at 是吧？ at， 然后后边这个东西呢，是不是再乘以一个 ft， 然后再 d t， 然后再加上 c？ 好写完了。写完之后，那我们接下来要求接线了， limited y 区于啊， x 区于正无穷， y 撇儿等于谁呢？ 往这又变成 limit， x 区域正无穷。我把这个东西啊，放到分母上，把它就变成 e 的 a x 了，然后上边呢是零的 x， e 的 a t， 然后 f t b t 再加点。好，那得到这个东西之后，你看很明显上下 都是去无穷的，要干嘛？哎，直接落因为上面这个式子，这不是电线积分吗？我们说一下，落 m t x 趋于中穷，然后下边是不是变成 a 倍的 e 的 a x 了，上边呢，就是变成 e 的 a x， 然后再乘以 f x， 大家看一下是不是消了， 然后这个东西极限是 b， 所以最后结果 a 分之 b， 那 a 分之 b， 这是咱们的第一个部分啊，第一个空，咱们求完，你看这个式子呢？呃，其实这个计算量啊，按理说啊，应该是不算大的，计算量不大，主要的问题在于大家对于这个定阶分的这个公式能不能记得住，这个是很重要的 对不对？但很明显，他还是比这个方法一要复杂的啊，这两个大家都要掌握一下，然后接下来算第二个，外两撇，外两撇的话， 外一撇是这个结果呀，外两撇就等于谁？那咱们刚刚说了，这个东西其实应该放到他的分母上，那，所以咱们外两撇就对这个函数去求导的话，就应该是一的二 ax， 对吧？下边的平方又比例的形式嘛，然后上求导乘以下，上求导是不是应该是一的 ax 啊？ fx 乘以下，乘以下边的话，这个 e 的互 a f 在下边是 e 的 a f 啊，所以它是乘 e 的 a f， 再减去 下求导乘以上，下边求导是谁？下边求导是 a bit e 的 a f 再乘以上，是不是乘上这个积分就是零到 x e 的 a t f t e t 然后再加 c， 是吧？还得得到它，然后我们接下来再求接线就可以了， m t x 趋于正无穷，外两撇 看一下，咱们求极限的话，是不是很明显前面这一部分，它的极限是存在的，上下正好是 e 的二， a s 消掉了，就只剩下林铁 f 区于中雄 f f， 对不对？然后再减去后边，也就是减去这个部分，那减去这个部分，我们是不是可以先消掉一个 e 的 a s， 也就是 limit x 区中熊，这只有 e 的 a x， 上面呢是 a b 的零到 x e 的 a t， 然后 f t e t 加 c 过去了啊， 对吧？然后我们再看这个结果是多少？前面这个结果其实就是 b， 后边这个结果呢？ limit x 区域中熊，然后这个这不上下也同时我把这个 先拿过来啊，这样同时求导吧，你同时求导的话，前面这个式子会变成 a 倍的 e 的 ax， 然后上面这个东西求导是不是等于 e 的 ax， 然后 fx， 你看该消的就消掉，然后这个 fx， 这是 b， 对吧？这个东西其实刚刚他俩也可以消了啊，所以这时候最后结果应该是 b 减 b 啊，这就等于零了， 对吧？啊，所以这个如果是个解答题哎，这个作为咱们技术阶段的一个比较难的题目也是可以的啊，给你放了一个解答题，让你去把步骤复写出来，咱们就只能用方法二，就不能用方法一了，所以这两个呢，大家一定要好好的去写一写。 好了这个七十七题，咱们就说到这来看，七十八题，如果通过这个点的曲线上的每一个点切线的斜率都等于这个表达式啊，那么他的切线方程啊，这个曲线方程是什么？ 那首先我们读这个题啊，读到过这个点，那很明显这个就是一个初值了，对吧？然后呢，接线斜率是谁？ y 撇吧，然后 y 撇挺长，所以这个结果是不是我们就可以写出一个什么等式，是吧？ y 撇等于一加上 y 比 x， 再加上 y 比 x 的 平方，而且这个形式很明显，他给你直接就写成了这种其次的形式，是吧？那么有一种是其次的，就是 y b x， 当这个整体去给他处理，那处理他的话就是另 u 等于 y b f， 然后呢？这不就 y 撇，我们给它表示出来了，这个就变成一加 u 加 u 方了，然后这个 y 撇是谁呢？ y 是等于 u f， 那外撇呢？在这注意啊，外撇是对 f 求导，所以在这它对 f 求导，这个 u 是关于 x 的一个表达式，对不对？所以呢， u 对 f 求导，然后 x 自己关于 f 岛，所以前倒后不倒，前面球岛是 u 撇啊，咱们这写 u 撇，写 d u b f， 然后呢？后边不动，然后再加上前边不动，后边球倒啊，是不是就是 u 了？ 所以 y 撇等于它，也就是 u 加上 x d u d x， 然后等于一加 u， 再加上 u 方，然后该消的消掉， 然后呢？右边是不是只是关于 u 的？然后呢？我们把这个 d u 左边是 d u 啊？在分子上，所以我把一加 u 方除过来，然后把 d f 乘到右边，然后把 x 除过来，回到右边，所以最后这个结果是不是变成 d u 比上一加 u 方，等于，这是 x 分之一 d x， 对吧？这个就写完了，然之后前边就等于阿克 nt 等于 lown x， 对吧？得加个 c 啊。为了好看一点，咱们这儿直接写个 lown c 就算了， low 加 low， 直接内部，内部相乘， 是吧？所以它是 low c x， 对吧？写完了。写完之后，接下来咱们是不是就可以去代除值了？除值？这是谁？一零嘛？或一零？那大家看啊， x 如果等于一， y 等于零，这个时候 u 等于什么？ u 是不是 y 比 x 是不？这是零，所以这 r 它是 u 不就是零吗？啊？看零吗？就是零啊，零等于 lone c x， lone c x x 等于一啊，所以这其实是 lone c 啊， lone c 等于零， c 等于一，对不对？所以 可以得到 c 是等于一的，那从而这个结果是不是就出来了？这个结果应该是 a c t n t， 这不能带着 u r y 比 f 是等于 long e 倍的， f 就是乱 f 就可以了。这个就是曲线的方程啊，大家不一定非得说我把这个 y 给表示出来吧？啊，也不一定啊，咱们写写到 这一步就可以了，你要是想画呢，就两边同时弹 k， 对吧？左边是外底 x， 右边是 ant low x， 然后呢，再把 x 乘过去啊，也是可以的。好了，这个七十八题咱们就说到这 来看。七十九题，当外大于零的时候，这个温方程他的通解式的，你看这个题目里边呢，他告诉你温方程了，而且呢，这个里边这有 dy， 这是 dx， 所以他很明显是一个一阶的。那对这个一阶温方程，我们是不是要先把这个外皮给他找到 啊？那外撇的话，这有 d y d x， 是不是你你要用 d y 比 d x， 所以咱们这个式子现在能变成谁呢？我们先给它移一下项啊，我把这个外方 d x 移到右边来，是不等于负的它，是吧？等于负的它，那所以这 d y 比上 d f 也就等于谁？是不是交叉相乘？交叉相乘的话，这 d y 前面应该是谁？就是前面这一堆，也就是 x 减去二 f y， 然后再减去外方， 然后呢？ d x 前面是负外方啊，要注意，负外方的话，这是负外方。呃，为了好看点，这样吧，我这为外方啊啊啊，这样就写，写完之后这个结果，大家看 这样一个结构，这是外撇，没问题，但是后边呢，这个东西很难拆，拆不掉，你该削，你也削不掉，对吧？你上面只有外，你下边这有外，这有外能削哎，但是这没有啊，但还是敲不掉，怎么办？哎，我可以给它倒过来。 艾卡，我如果一个三角形这么稳固，我如果变成这样的一个三角形，是不是就不稳固了？你比如说我这说的是 a 比上 b 加 c， 太结实了，拆不掉，但是我如果给他写成 a 分之 b 加 c， 就是他就等于谁 a 分之 b 加上 a 分之 c， 还能拆啊，对吧？能拆的话就意味着有很多时候他就可以消了，只要让分母足够简单 就好了。所以我们把这个式子啊，两边再同时比个倒数，大家看，我如果取个倒数，他就变成 b x 比例外，然后等于这是外方，这是负 x 加上二 xy， 然后再加上外方，对不对？ 然后上边这个东西啊，我们其实是可以分成几部分的哎，分成两个部分啊，当然分成三部分也可以啊，但最后还是得合。那合什么呢？你看啊，我把这个 写成一部分，我把 x 单独提出来，他就变成谁了，就变成外方，这提一个 x， 那就是负一，然后呢？这是加上二 y 对不对？对的 x， 然后呢？再加上一，是不是他？那为什么要这么写？大家看一下啊，我现在这写的是 d f b y， 也就是说我的这个方程现在这个字变量变成 y， 哎，音变量变成 x， 对不对？所以我现在再把 它移过来，是不是变成 d x 比 d y， 然后呢？再这个东西啊，我移到左边来，它又变成加上外方，上面是一减到二 y 的， 对不对啊？移过来应该加符号啊，所以我们在分子上把这个符号给他加上就行了。然后是不是等于一，然后这个写完之后，大家看是不是这个公式就出来了，这是谁 py， 这是谁 uy？ 这不就咱们的一阶线性微分方程吗？对吧？只需要背公式就可以了，只不过呢，他正好是倒过来的啊，外是音变量，而外是字变量，然后 x 是音， 那这个式子直接被结果公式，公式的话，那个是 y 等于谁？这个是 x y 啊，等于公式 e 的物物的话，其实就是就库的他是吧？也就是里边他这写的库的外方 一减二外意外吧，里边这个位置 e 的一减二外比上外方意外，然后再乘以一，然后再底外加 c。 好，那接下来我们去算一算这个结果 e 的这个是谁？呃，我们干脆把这个符号写到里边，这写个二拜减一吧，二拜减一，那二拜这个东西是不？二拜往后一放就变成地外方了，地外方的话就是是不是漏外方， 然后在这是减去写在这吧，二 y 减一，然后这是外方，然后 d y 拆成两部分，前面这个部分变成谁都能外方，然后后边这个部分是减去 一比上外方，地外这个东西积分是不是等于负的万分之一，所以这最后是加上万分之一啊，加上最后加个 c， 咱们在这就不要加 c 了啊， 它是加上 y 分之一，然后这个位置，这个位置写的话应该是 e 的多少啊？我跟前面正好是倒着的，它是负的外方啊，负的棱的外方， 然后再点 y 分之一，然后这个一就不写了，例外，然后呢？看着好乱是吧？但是呢，你看前边 e 和 long 可以消掉这个式的时候，就变成外方了，前面这部分是不是出现了外方后边还有一个，谁还有一个 e 的 y 分之一呢？ 然后后边这个你看啊，它俩是互为这个 dog 的，所以在这时候变成外方分之一和亿的互外分之一，然后再 d y 再加 c。 我这个东西写完之后，大家看一下，其实后边这个结果就能出来了，为啥呢？因为这个东西往后一放，他本身就是负的万分之一， 对吧？ d e d 互万分之一，这是亿的互万分之一侧方，所以这个式子是外方再乘以亿的万分之一，里边是直接记出来是不就是亿的户万分之一，然后再加倍，然后这个结果乘进来就变成外方再加上倍倍的外方 乘以一的 y 分，比啊， y 分比对 man 对吧？就可以了。那当然我们也可以把外方提出来，这个只只需要让你去求他的通假啊，所以没有出值就不要再去求这个 c 了。 这是咱们的七十九题，就是大家在做题的时候遇到这种三角形的结构啊，尤其一阶的，咱们一定要想办法看看能不能给它倒过来啊，给它拆开。 好了，这个题目咱们就说到这来看一下八是几是吧？ y n y x 是这个微方程的一个特解，呃，且当 x 归零的时候， y x 是与 e x 啊， e x 密减一等价的无中小。呃，那么这个特解是谁？那我们来看一下啊，在这个里边呢，他说的是这个方程，对吧？这个方程大家看一下。我把这个方程， 呃，先抄一遍三 x 方再加二啊。这是 y 两撇等于六 x y 一撇，大家看他儿子是不是在这呢，对不对？那他求导是他，他儿子在这呢， 当然这个里边不是加的关系啊，你可以把它移过来时候变成他减他的。那大家想一下，这种交叉着我儿子在你手里，你儿子在我手里，而而且还是相减的关系，这是什么呀？哎，这是 u b v 的形式对不对？你看 u b v 的导数是谁？ 下边是微方，上边是由一撇为减去为一撇，由你看是不是？哎，这 这里边他儿子在这呢，他儿子在这，如果这个里边这改成加呢？这如果是加的话，是不是就 u 乘以 v 的形式， u v 一撇等于 u 一撇啊？ v 加上 u v 一撇，对吧？你看他儿子在这呢，他儿子在这， 这就说明什么？哎，说明我们在凑这个时候，这是减号的话，我们凑的是什么？凑的是这个，两个都用笔直的形式。咱们现在的关键就在于什么？找这个儿子到底在哪呢？谁是分母？谁是分母？我这个 v 到底是谁？你看这个 v 是前面不动的那个东西，前面不动，前面谁没求倒？前面是他没求倒， 对不对啊？前面是这个外求的导，所以他要放到分母上，所以咱们构造的这个函数应该是谁？应该是外一撇比上三 x 方加二这个东西的导数，你可以验证一下他的导数是不正好是在 方加二的平方，然后上面求导乘以下。上面一求导是不是外两撇，然后乘以下，然后三 x 方加二，然后减去下求导乘以上，下边求导是不是六 s， 然后乘以上是外一撇。你看我们这个东西是不是就是他， 对吧？你上面这个东西等于零，实际上就是这个东西等于零，对不对？因为你分子等于零的话，整体结果等于零，他又不可能等于零，那不就完了？这个东西等于零的话，是整个这个东西的倒数等于零，那也就说明外一撇比上三 x 方加二其实等于长度 c 的，因为长度 c 求导时， 所以也就得到了 y 一撇是等于四一倍的三 x 方加二，对吧？这是 y 一撇啊，要注意， y 一撇得到了，就已经还有一个长写，因为它是二界嘛，二界。所以咱们如果说想求助它的通解的话，应该能得到什么呢？应该能得到的是两个啊，两个 任意长处，然后咱们在这看看能不能把这个东西先求出来。哎，还是不求了，咱们直接去应算啊。这带 c 一，这叫 c 一了，然后一会要产生一个 c 二，那万一撇是他的话，那 y 是谁？ y 这不再拿他去积分，积分的话， c 一先拿过来，里边这个东西得到的是谁？这个 x 三次方加上二 f， 再加一个 c 二， 这个是。然后呢？再用这个条件， f 区零的时候， y s 是它等价的。梧桐小。什么意思？是不是首先你得是个梧桐小，那你的 y 零肯定是零啊， 能写吗？啊？区域零，你说这不是区域吗？你这为什么能直接带？因为他肯定是一个连续的函数啊，因为他是个密函数啊。那以外零比零，然后还能得到什么？哎，还能得到 limit x 居零， y x 比上这个东西等于一，其实就是 比 x 的一，对不对？因为这个啊，跟他等价， x 就是跟他等价的，所以在 x 区零的时候， yx 跟 x 肯定也是等价的，对吧？这个结果就是一吗？所以咱们把这个式子都给他带进去就可以了，这个带应该就很好带了啊。首先我们根据这个可以得到什么？万零点零，把零带进去，零零是不是就只剩 c e c r， 所以它可以得到 c 一乘以 c 二零，然后呢，这个式子可以得到什么啊？我写到下边啊， m t x 区域零，然后呢，这个下边 x 上面是 y x， 也就是 z 一 x 三的方加上二 x 加上 c 二， 它应该等于一，对吧？那肯定是个零比零型，那既然是零比零型的话，那这个时候就变成谁 mtf 区零，那我们给落一下就行了。下边一落没了啊，变成一了，上边一落的话， c 一保留，然后后边其实就是刚刚那个外 三 s 方加上二，就这个东西应该等于一啊，他等于一的话，你看你把零带进去，这是不是只有二二倍的 c 一？二倍的 c 一是等于一的，从而 c 一是等于二分之一， c 一如果等于二分之一，那 c 二是不是只能等？因为 c 一 c 二等于零，所以 c 二 用完了，没了，这是二分之一，这个二分之一，所以最后结果它的特解是 y 等于二分之一倍的 x 的三次方，再加上 r f， 好吧？所以咱们看到这种题目啊，看到这个形式，你要能看得出来这个父子关系，对吧？因为这个太明显是三 x 方法，这个常规求到没了，这他儿子在这，他儿子在这，而且是减法，对吧？好了，这个八字题咱们就说到这，记得关注再走哦。