向量与向量的模哪个大

限量级他也叫什么叉乘？解决他中间是用那个符号，是叉号，就叫叉乘 那项量 a， 叉乘项量 b， 我们刚才说点，乘完结果是不是一个数？叉乘完结果是一个什么项量，所以叫项量级，也就你乘完之后是个项量。 所以既然他这个项链，他就既有大小，又有什么方向，那么他的方这个大小我们先来说一下，所以他大小是不就是 c 的膜，也就我们说的 a 叉成 b 的膜， 所以这个你以前没接触过，记一下哈，就没接触过的等于什么？ a 的膜乘以谁， b 的膜乘以三与 c， 所以这个也不是直接的公式，只是他的膜的公式。 a 插成 b 的膜等 等于 a 的膜乘 b 的膜乘以 c 的， a 的膜乘 b 的膜乘以 c 的，这是大小，这只是单程的大小， 这是大小。除了大小它还有什么方向？所以如果这是向量 a， 这是向量 b， 那么 a 叉成 b 表示什么意思？表示的是表示什么哈，我们刚才那个右手又可以用上了。 a 叉成 b， 就表示四指弯曲的方向，就谁在前面，就从谁开始，由 a 弯向谁， b， 大拇指的指向就是谁，对，不？是？不是，这一拉 大拇指指向就是 a 叉成 b， 我们要找的是叉成 b， 所以这是 a， 这是 b， 那么我这样四指弯曲，就是由 a 弯向 b， 大拇指的指向就是向量 c， 向量 c 就是谁。 a 叉成 b， 其实就跟我们刚才说的这个找的那个认轴是一个意思， 所以我们来分析一下这个结果哈，分析一下它的方向。你看这是 a， 这是 b， 那得到的 a 差成 b， 是不是大拇指的指向，这个大拇指指向就相当于我们以前说的这轴是不是你会垂直于谁？ a 向量 a 和向量 b 是不构成的这个平面， 也就是你 a 差成 b， 得到这个向量 c， 我们还用向量 c 来表示，你会发现他既垂直于谁啊？向量 a 又垂直于谁啊？向量 b， 所以他垂直于 a 和 b 构成了这个平面。如果这个 a 和 b 正好是在 x、 o、 y 面上，这是个 a 差成 b， 其实就我们说的哪轴儿这轴儿，听懂这意思了吧？所以他是就还是相当于用了我们当时的那个右手守则。所以 a 差成 b 的意思就是 由四指从 a 弯向 b， 大拇指指向就是 a 叉成 b， 所以大家想一下， a 叉成 b 和 b 叉成 a 有没有区别？有没有 加个符号，对吧？因为他的大小，不管是 a 差成 b 还是 b 差成 a 的膜，把大小再走一遍，应该等于什么？ b 的膜乘 a 的膜乘以谁三十岁，他所以大小是不是没变， 但是方向就什么了？ b 叉成 a， 那就是四指弯曲，是不是 b 弯向 a 啊？所以大拇指是不是现在往下了，所以方向就跟原来的方向正好什么了相反了。 所以叉乘它就会比点乘要麻烦一点，因为点乘完就是个数就结束了。但是叉乘完它是一个向量， 所以他既然是一个向量，既有大小又有什么方向？所以我再重申一下方向哈，先重申一下方向，这方向是既垂直于 a， 又垂直于谁啊？ b 这个知识点就马上要用到我们的平面那里。就说一既垂直 a 又垂直 b， 你想一下他垂不垂直于 a 和 b 构成的这个平面？ 垂直，他垂直于 a 和 b 构成平面，是不是相当于平面的一个法像量，对吧？所以这东西是通的哈。所以你现在先记住，差成之后得到 项量既垂直 a 又垂直于什么？ b， 这是第一点，然后第二点，我们再来观察一下它的膜，也就是它的大小，你看它的大小等于 a 的膜乘以什么？ b 的膜乘以 cc， 我们看一下这是 a， 给你画一下这是 b， 你看 a 的模乘 b 的模乘以三 a、 c 大表示什么意思？三 a、 c 大是不是它的夹角？那我先写这一个，大家看一下这个三角形，这个三角形它的面积应该怎么表示？ 这样写的面积，我们以前大家有没有学过这个，对吧？我先得先问一下大家有没有学过这个，如果加角是 c， 它 s 等于二分之一， a， b 乘以三 a、 c， 它 学没学过？应该有学过的吧？ s 等于二分之一， a、 b 乘以三 a、 c， 它这就是三角形 a、 b、 c 的面积哈，就等于二分之一， 就两条林边的乘积乘以它的什么？夹角的正弦二分之一， a、 b 乘以三 c 的没学过，你就现记就行。就还有一个面积公式，二分之一，两条林边还有它的夹角， a、 b 乘以三 c 的 这个意思啊，我再重新给你写一下， a、 b、 c 就正常有一个面积公式， s， 三角形 a， b、 c 等于谁？二分之一， a， b 乘 a， c 乘以谁， sit 就是三一谁了， a， 对吧？ a b， a、 c， 它加角是不是就是 a 了？ 所以这是我们以前就是有的哈，不管大家学没学，就是说有这样一个结论，所以你看，我们关键不是记这个结论，我们关键是知道这个。你看，如果现在任意给你个向量 a， 给你个什么向量 b， 那么 a 插成 b 的膜，我们刚才说了表示什么意思？再写一遍，等于 a 的膜乘 b 的膜乘三 aab 的是不是加要余弦，加要正弦？所以这时候大家看一下， 这是不是刚才我们说的一个三角形，所以他应该等于谁二分之一？ a 的模乘以谁， b 的模乘以谁三 c， 他是不是这是这个三角形的面积，但是现在 前面有二分之一吗？没有，那是不是相当于？你看我把这首这个以 ab 为零边构成一个平行四边形，把这个四边平行四边形给你补齐，你会发现输入两个这个三角形了，两个这个三角形就把二分之一给削掉了， 看到了吧？所以这时候 a 叉成 b 的膜，它的几何意义我们就有了。它表示的什么？ 以向量 a、 b 为零边构成的什么平行四边形的面积？ 平行四边形的面积是不是两个三角形的面积啊？两个三角每一个三角形面积是不是都是二分之一？ a 的膜乘 b 的膜乘三 c， 它所以以 a、 b 为零边构 成的平行四边形的什么面积？ 所以一定要注意，这是它的膜的几何意义哈，不是它的几何意义。 所以 a 插成 b 的膜表示的是以 a、 b 为零边构成的平行四边形的面积。所以以后让你求平行四边形的面积，其实就让你求求两个项量插成的什么膜， 以 ab 为零边构成的平行四边形的面积。所以两条边是不？你做两条平行线是不是就出现平行四边形了？以 ab 为零边构成的平行四边形的面积， 所以它的膜是这样表达的，然后它的方向表示的是既垂直 a 又垂直于这 b， 既垂直 a 又垂直 b， 就是以 a， 几何意义？表示的是以 a b 为零边构成的平行四边形的面积， 可以吧？所以这是我们讲的叉乘是重点是这些哈，稍微再给大家过一下。 所以叉乘它是一个向量级，因为它乘完之后既有大小又有什么方向？它的方向就是我们刚才说的右手手，则其实也就是既垂直于 a， 又垂直于什么 b。 所以差乘我们也称为差级或者什么外级点乘，我们也称为什么内级或者什么数量级。项量级的结果是一个项量，所以还是一样。我们刚才说如果有一个项量为零项量点乘完是不是就是零了？ 那如果有一个项量为零项量叉乘完也是什么项量？零项量，一定要记住，叉乘完是个项量，那为什么呢？因为它的膜还是一样， a 叉成 b 的膜，练一下等于谁来？ a 的膜乘， b 的膜乘 c c 卡，所以有一个为零项量，所以 有一个模一定是几啊？零，所以 a 叉成 b 的模为零，那 a 叉成 b 一定是一个什么项量？零项量对模为零的项量就是零项量，它的几何意义我刚才也点给大家了，表示的是以 ab 为零边构成的平行四边形的面积， 那性质，性质过一下，你看差成就非常不一样了，跟你平时见到的我们刚才说点成的结果就你两个比较者， a 点成 a 等于什么呢？ a 的膜的平方，但是 a x 乘 a 等于谁？零项量。为什么？因为 a x 成 a 的膜 等于什么嘞？ a 的膜乘 a 的膜乘以谁啦？ science， 所以它两个相量都相同了，你说它的夹角一定是几啊？ 零，所以他差成完之后是多少零，所以两个相同的项量就通过这一个，我们其实想得到一个结论，就是两个相同，或者说两个 更广泛一点，就是两个什么贡献的项量，他插成完之后一定是什么项量？零项量。因为他一旦贡献这个夹角，要么是零，要么是谁派，不管是三一零还是三一派，结果是不是都是零？所以两个贡献的项量 插成完之后一定是什么？项链跟项链插哪插来？插成完 一定是零，项链叉乘完一定是零，项链两，所以 你经常见到的我随意给大家写一个哈，向量 a 加三倍的向量 b 乘以向量 a 减向量 b， 这个刚才点成的时候，我没有让大家用运算力，但差成我就需要你用了。你看， 向量 a 加三向量 b， 差乘向量 a 减向量 b， 那这种运算的时候，你就老老实实的记得从什么有没有交换率了， 我刚才强调是不是没有交换率了？ a 差成 b 和 b 差成 a 一样吗？不一样，所以你就记住按方向来哈，你看一点点的 a 是不是要差成这里面的，那就是谁了？ a 差成 a 减 b， 我一遍一遍的写哈，加上谁了？三 b， 差成什么？ a 减 b， 所以我写的这一步就相当于我们正常说的 什么率，分配率，对吧？把 a 加三 b 分配成一个 a， 一个三 b 了，然后再接着写，这时候你看 a 再插成这里，是不是再分配一次，那就变成 a 插成 a， 减去谁， a 插成 b， 这里谁了，加上三，先选完哈。 b 插成 a， 减去谁三 b 插成 b， 所以 b 的时候尤其要注意一下， 那这时候你就知道 a 叉乘 a 一定是什么项链零项链， b 叉乘 b 一定是什么项链零项链，所以叉乘是零项链。 但如果但凡这里是点乘，就变成 a 的模的平方，还有谁啊？ b 的模的平方，然后这里减 a 差成 b， 这里是三 b 差成 a， 三 b 差成 a 就是谁了，减去谁。三 a 差成 b， 有 b 差成 a 和 a 差成 b， 是不是前面差一个方向，所以他是负的 a 差成 b， 所以一共是几倍的负，几倍的四倍的 a 差成 b， 所以这也有种可能是让大家计算这个运算率哈。有差成的时候，他和点成一样的，就是你的 结合率还成立，但是交换率成不成立了，不成立，分配率也成立，就是因为交换率不成立。然后需要你注意的就是两个相同，或者说两个相反，或者两个贡献的项量差成完之后一定是什么项量零项量， 这是你需要注意的，就注意就注意不同的地方，就是 a 差成 a， 那如， 如果是两个相同的向量，插成完之后是零向量 下一个，如果两个项量平行，就是我们刚才说的平行或者贡献插成完之后也是什么项量连项量第三个哈，这个理解一下，你看项量 i、 j、 k 是三个坐标轴上的单位项量，所以大家想项量 i 插成项量 g， 其实是谁？ 销量 i 叉成销量 g， 其实销量谁啊？ k 是不就是 z 轴上的， 对吧？所以他走的是 a i 差成 g， 是不是先由 i 指向 g， 然后弯向的是 k， 那同样的向上 g 差成向量 k 呢？ 对，相当可以插成相当爱呢？对，这个走的是一个我们逆时针，所以在数学里面逆时针才是什么方向？正的方向，正的方向什么？睡吧。 所以刚才注意一下哈，交换率不成立，前面记得加一个什么负号，然后分配率啦，包括结合率啦，包括那个数乘，都是一样的。 没讲完，刚才我们说向量 a 点成向量 b， 是不是有坐标表示什么嘞？对应坐标相乘再相加， a x a y 加 b x b y 加我写写写，乱了，那就是 a x b x 加上谁了？ a y b y 加上什么？ a z b z， 这是不是数量级的坐标表示？就是对应坐标是不是相乘再相加，那差乘差乘就不一样了哈。所以差乘。我们这时候要给大家补充一个新的概念，叫什么三阶行列式。 我在讲那个二元函数微分学的时候，是不是给大家介绍一下二阶行列式，对吧？二阶行列，你比如说一三二四，就二阶行列式的计算就什么了？四减六就等于多少？负二 忘了吗？就一乘四减去二乘三，就主对讲元素相乘，减去什么副对讲元素相乘，那再说一个五六七八，看结果是多少？ 五十五八四十减四十二是多少？负二是不是这样的？那现在我给你一个，你看这叫二阶行列式，为啥叫二阶呢？因为他一共几行几列？两行两列，所以如果我给你几行几列，三行三列，比如说 就写一二哈，二一三吧，三一二，一二三，这时候他就是一个三阶行列式。那三阶行列的计算是怎么算的？我教给你一步你就会了哈，我们现在也只用这一种就行了，因为他方法其实很多，我们现在就学这一点点哈，因为我想用它 能按第一行展开第一行第一个元素是几二，然后你乘以谁？第二行别慌呢，乘以多少？负一的这个二在第几 行？第几列？负一的一加一次方就是负一的行数加列数。那我不能给你从头到尾讲哈，我只是给你说这个结论，二乘以，因为问是乘以负一的多少次方，就是他在第几行第几列就负一的几次方，知道了吗？ 然后再乘以谁，因为你刚接触吗？你就，你记住，因为你们没有前面的知识点，前面我们这属于现行代数里面的， 所以你前面东西不知道，你就是。我们只给大家讲这个用处，因为我们想用这个工具哈，我们目的不是学他，我们目的是用它解决别的事情，听懂意思了吧？ 所以你先是把这个元素取出来，然后乘以他所在的行和列，复议的一加一，然后去除他所在的行和列。 二是在第几行，第几列，第一行第一列一去马上变成一个几节行列式了，二节就变成一个二节了，二节是不就是你熟的了？所以他结果就是多少直接算就行，三减四是多少，等于 求完了。但是你这里第一行是不是你只有把二取出来了？第一行和第二个元素是谁一一样的算法，我刚才怎么算的？把一先取出来，乘以 所在的行和列，第几行，第几辆？二列一加二行数加列数，然后还是一样去除他所在的行和列，去除他所在的行和列，刚才的就不算了哈，你就就走这个元素了，跟钱没关系，那就是 三二一三，对吧？那就是九减二，十几七。完了，那第一行还有一个元素是谁？三还是一样，我把三提出来，三除于第几行，第几列第一行，第三列 一加三，然后去还是一样去除他所在的行列，这时候第二节行列式是三一一二就是几， 我都还怀疑我自己六减二，这不六减一吗？去除他所在的黄河列是不是六减一啊？所以我们目的不是说他最终结果是几。哈，就是你注意这种方法，这种方法就是如果大家后面就是你 上了那个，我们考上之后，你们后面还会学这个东西，你考上之后你海林还会学的，这是属于现在的基础知识点。那个 我这个方法你到时候你自己在想，这就是按袋鼠与指示展开哈，就是展开，按行展开，所以这个方法哈，我可以多透露你一点，你刚才是不按照第一行展开，能不能按第二行？能不能按第三行？能按第一列吗？能，能按第二列吗？能。 不是呀？你比如说按第二列就怎么做，正常我刚才怎么做你就怎么做。第二列是谁？一一二。那首先第二列第一个元素是几？一先拿出来，然后乘以负一的一除以第几行，第几列第一行，第二列一加二次方， 然后去除一所在的行和列，九减二，十减七，这第一列的第，第二列的第一个元素，接着第二列的第二个元素是谁了？一，再加上一乘以负一的几次方，二加二， 第二行，第二列负一的二加二，然后去除他所在的行和列，明白了吧？在最后把这个二数也给他整成同样的，所以就这种思路。只不过我们现在用的 就是按第几行，第一行，我们就用这一个就行了。能听明白我说的意思吧，那么我们给大家用一下哈，用一下， 用一个简单的哈，相当 a 等于一相量 b， 二二二行二二二。那么正常，我们也知道 a 差成 b 应该等于什么相量， 等于什么项量，两个项量什么关系？平行，只要平行完贡献他，结果就是多少零项量哈，一定要记住，叉乘完之后是什么零项量。那我利用坐标计算给大家算一下，那你看项量 a， 叉乘 b 怎么写哈， 肯定是零啊，你结果不能错呀，结果是一样的，第一行是三个坐标，单位向量 i、 j、 k， 所以为什么按第一行展开，因为要出现向量第一行是三个单位向量，第二行呢？ a 差成 b， 就先写谁的坐标 a 的一 b 就是二，二二，然后他的运算，我们再走刚才一步，他应该等于什么向量 i 提出来乘以负一的几次方，加一 次方，然后去除他所在行和列，你直接做就行了，一去二减二，二减二是减零，对，就没了，因为这个题给的特殊哈， 多算一点哈，多算一点，再加第二个，第一行，第二个展开就是向量 g， 对吧？向量 g 提完之后是负一的第几行，第几列？第一行，第二列一加二次方，然后去除他所在行和列，一二二一 还是几零，再加上我写完哈向量 k 乘以负一的几次方，一加三次方 乘以零还是多少零？零。那我们先不管后面的结果，后面的结果是不是你可能千奇百变的，对吧？只要给你个 a 和 b 坐标不一样，是不是都有可能，但是你看前面 这三部分就永远都不会变，对吧？你不管像量 a， 像量 b 的坐标是什么，前面你只要按第一行展开，第一行都是像量 ijk， 是不都是像量 i， 他所在位置是不是也没变？ 所以如果你不想写那么慢，想写快速的话，大家看负一的平方正的还是负的，正的直接是向量 i 乘以去除他所在的行和列，得到一个，然后再来 看向量 g 乘以负一的几次方，负的三次方，正的还是负的减，所以这里就是减。向量 g 乘以去除他所在的行和列，最后向量 k 负一的四次方是谁？ 加，加上 k， 然后去除 k 所在的行和列。就是如果你想快速的写的话，你可以把这个步骤省了，记住他的，因为我们就是按第一行展开，所以他的符号就是正负正， 懂这个意思了吧？就直接用了，你如果不想直接用，你就按照我这个步骤，永远不会出错哈，就是成你他所在的行和力，能明白这个意思吧？