勾股定理类型题

五分钟教你学会中考必考题型类型，十二、勾股定理今天我们看一道中考必考题，在三角形 abc 中角 c 等于九十度，就说明三、 三角形 a、 b、 c 是一个直角三角形 b、 e、 a、 d 是三角形 a、 b、 c 的中线， b、 e 是中线，那我们就可以得到 e 是 a、 c 边的中点，那么 a、 e 就应该等于 e、 c 都应该等于 a、 c 边的一半。同样的道理， a、 d 是三角形 a、 b、 c 的中线，那么我们就可以得到 d 是 b、 c 边的终点，那么 c、 d 就应该等于 d， b 都应该等于 b、 bc 边的一半， ad 边等于六， be 边等于八求 ab 的长度在几何题 当中，要让我们去求到一条边的长度，那么我们就要去看这条边是属于什么样子的一个三角形。接下来就去找这三条边的关系，进而去找到我们 ab 的长度，那么我们可以看到 ab 是属于直角三角形 abc 当中的一条 斜边。那么一看到直角三角形，我们就应该立马想到勾股定理，它指的是直角边的平方加上另一条直角边的平方，应该等于斜边的平方。所以在直角三角形 a、 b、 c 出直角边， a、 c 方 加上另一条直角边 bc 方应该等于斜边 ab 的平方。在这个题目当中，我们要去求到 ab 的长度，那么我们就需要 要去求到 a、 c 方加上 b、 c 方的长度。接下来我们就通过这两个已知条件去推论一下，他告诉我们 a、 d 等于六，那么我们可以知道 a、 d 是属于直角三角形 a、 c、 d 的一条斜边。既然设计到直角三角形，我们就可以利用勾 舞厅里，所以在直角三角形 acd 中，直角边 ac 方加上另一条直角边 cd 方， 应该等于斜边 ad 方。题目当中告诉我们 ad 等于六，所以在这我们就可以等于六的平方等于三十六。他还告诉我们 b b e 等于八，我们可以知道 b e 是属于直角三角形 e c b 的一条斜边。设计到直角三角形，那我们就可以利用勾股定理，所以在 在直角三角形 e c b 中，直角边 e c 方加上另一条直角边 b， c 方应该等于斜边 b e 方。题目当中告诉我们 b e 等于八，所以在这儿就应该等于八， 八的平方等于六十四。接下来我们就要通过这两个等式去求到 ac 方加上 bc 方的长度。在这里已经出现了 ac 方，所以我们不必 在这里出现的是 cd 方，而我们需要的是 bc 方。我们知道 cd 是等于二分之一倍的 bc， 所以这就应该加上二分之一倍 bc 括起来的平方， 结果就应该等于三十六。我们将这里展开一下，就应该等于四分之一倍 bc 方。接下来我们再看一下下面这个式子，这里出现的是 ec 方，而我们需要的是 ac 方。在前面我们就知道了 ec 是等于二分之一倍 ac， 所以在这里我们就把 ec 变成二分之一 一倍 ac， bc 方不变，等于六十四。接下来我们将前面这个式子展开，我们就应该等于四分之一倍 ac 方，后面不变。在这两个式子当中都出现了 ac 方和 bc 方，那么我们就应该将这两个式子相加，我们就 可以得到 ac 方，加上四分之一倍 ac 方就应该等于四分之五倍的 ac 方，四分之一倍的 bc 方加上 bc 方就应该等于四分之五倍的 b， c 方三十六加六十四就应该等于一百。我们需要求到的是 a， c 方加上 b、 c 方的直， 所以我们就需要将这个等式的两边同时除以四分之五就可以得到 ac 方加上 bc 方一百除以四分之五就应该等于八十，所以在这里我们就得到了 ab 方等于八， 那么我们要去求到 a、 b 的长度，就应该将等式的两边同时开发，两边同时开方的时候我们要注意正负，但是在这里因为 我们的长度他不可能是负的，所以我们就需要将这里的负根号八十舍去，所以 ab 就应该等于根， 根号八十，但是根号八十他并不是一个最简的二次根式，我们要给他化解一下，八十他是等于十六乘以五十六开出来就是四，所以结果就应该是四倍根号五，大家学会了吗？

我们来讲各股定理解题的四种常见题型 提醒一，利润勾股定理求现状的长 第一题如图，在等腰三角形 abc 中，我们可以看这题的等腰三角形 abc， 小 abc 等于九十度，即有一边 ac 的终点， 过地点做 d， e 垂直， df 交 ab 与点 e， bc 与 df。 若 ae 等于四， fc 等于三，求 ef 长，这时我们可以看他要求的是这个 ef 长， 那我们怎样来求这个 ef 的成呢？ 那我们是不是首先要连接这个 ef， 你可以把这个 ef 给连接起来， 连接起来， 这时我们可以发现 三角形 e， b、 f 是一个直角三角形，我们要求 e、 f 的长，我们需要分别求出 b， e 的长和 b、 f 的长，然后 内容高固定体可以求出斜边 ef 的头。 题目上一直告诉我们的 ae 等于 ae 等于四，告诉我们 cf 等于三， 而且告诉我们三角形 abc 是一个等腰直角三角形地为斜边的重点，像这样的体型 告诉我们直角上下行，而且告诉我们斜边的终点呢？这是我们常用的思路是连接 bd， 连接 bd 好，这次我们就可以把 bd 给连接起来， b、 d 给连接起来，这是我们做的辅助线，用虚线来表示一下。 远景关闭地以后，我们可以证明三角形 三角形 b、 d、 e 全等于三角形 cfd 从矮得到 b， e 等于三， 又因为 ab 和 bc 相等，如果 be 等于 cf 的话，那么这个 bf 他应该等于 ae， 所以这个 bf 就等于四。然后我们就可以看在啊 t 三角形 e、 b、 f 中， ebf 中这首 ef 他就等于根号下 b， e 的平方加 bf 的平方也得根号下 三的平方加四的平方等于五，这周 ef 我们就可以把球重， 那这里面关键是我们要会证明三角形 b、 d、 e 和三角形 c、 f、 d 圈的 b、 d， e， b， d， e 和 c， f、 d 圈的。我们看全等条件。 首先三角形 abc 是一个本要直角，三角形地点是终点，我们根据三线合一，那么这个 bd 他应该垂直 啊，垂直这个 ac 垂直 ac， 而且这个 bd 是角 abc 的角平分线， 所以我们可以得这个角是四十五度， dbc 等于四十五度，根据等腰差行，角 c 等于四十五度，所以我们 我们可以找到这个 bd， db 等于 dc， db 等于 dc， 然后根据这个角 e、 b、 d 等于四十五度，他和角 c 相等，所以我们还可以找到角 eb， d 等于角 c。 然后我们通过观察我们可以发现角 e、 d、 b 加上角 b， d、 e 等于九十度。角 b、 d、 e 这个角加上角 f、 d、 c 等于九十度。 同角的与角相等。水角 e、 d、 b 水角 e、 d、 b 等于角 f、 d、 c。 通过这三个条件我们进入 脚边角，可以证明三角形 b、 d、 e 全等于三点零。 cfd 从来可以得到 be 和 cf 相等， b， e 和 c、 f 相等，他们都等于三。然后我们进一步可以得到 b、 f 等于 a， e 都等于四。利润勾股定理就可以求出 b、 f。 好，下面我们来具体写一下这道题的做题过程，做题过程 yeah， 首先我们写解题的解 连接 bd 连接比例， 然后我们可以看三角形 abc 为等腰直角，三角形地为终点。然后下面我们可以写了，因为 三角形 a、 b、 c 为 为大 等腰三角形，等腰三角形角 abc 等于九十度， d 为 a、 c 终点，所以我们利用三线合一，等腰上形成三线合一，可以得到 bd 垂直 ac， 所以我们可以得到 bd 垂直 ac， bd 平分，角 abc 根据上下合一立地垂直 ac， 这是垂直的，这是垂直的。然后是这个 bd 是角 abc 的角平线可以照两个四十五度角 水角 abd 等于角 cbd 等于四十五度， 所以角 abd 等于角 cbd 等于四十五度。又因为 我们根据三角形 abc 为本窑直角三角形，我们可以得到角 c 也等于四十五度。又因为角 c 等于四十五度，所以我们就可以得角 abd 等于角 cbd 等于角 c， 然后这个角等于四十五度，这个角等于四十五度。我们根据本角对等边，所以我们进一步可以得到 bd 等于 cd。 然后我们再根据 d、 e 垂直 df， 又因为 d、 e 垂直 df， bd 垂直 ac， bd 垂直 ac 是根据刚才的三线合一 第一垂直点 f 四已知条件， 所以我们可以得到角 e、 d、 b 加角 b， d、 f 等于角 b， d、 f 加角 f、 d、 c。 那很显然， e、 d、 b 和角 f、 d、 c 都加上 b， d、 f 相对，所以我们可以得到角 e、 d、 b 等于叫 fdc。 下面我们就可以证明三角形 b、 e、 d 和三角形 cf 就全等了。 在三角形 e、 d、 b 组、 三角形异地币 和三角形 cfd 中，我们可以把三个条件给捏出来，第一个条件叫 edd 等于角 ebd 等于角 c， 因为这两个角都等于四十五度， 然后是 bd 等于 cd。 第三个条件缴 gdb 等于九 fdc， 所以三角形 e、 d、 b 全等于三角形 cfd。 这里面用的是 a、 s、 a， 所以我们可以得到 b， e 等于 cf 等于三，所以我们可以进一步可以得到 ab 是不就得 等于 a b 等于 a e 加 b e 等于四，加上三这一节等于四。刚才我们证明他等于三，所以四加三等于七。 折 cb 也等于七。因为 ab 和 cb 相等， 所以我们进一步就可以得到 bf 等于四。 然后再啊 t 三角形 b e f 中 ef 就等于根号下 b e 的平方加 bf 的平方也等于根号下 三的平方，加四的平方等于五。 好。这道题最后答案我们就求出来了，这个 ef 的长度等于五好。这一刻我们就讲到这。

三分钟教你学会中考必考题型类型，二，十二勾股定理的逆定理今天我们看一道中考必考题，如图，在四边形 abcd 中， ab 等于三， bc 等于四， cd 等于十二， ad 等于十，三角 b 等于九十度，说明角 b 是一个直角，则这个四边形 abcd 的面积为多少？ 观察这个四边形，我们会发现他并不是一个规则的四边形。对于这种图形，我们的思路有两种，第一种，将这个四边形 拆分成两个好计算的三角形。第二种，将这个不规则的四边形补圈成一个规则的四边形。在这个四边形当中，我们已经知道了四条边的长度以及一个角为直角。 在这种情况下，我们需要采用第一种，将这个四边形拆分成两个好计算的三角形，所以我们需要连一条辅助线。这里应该有同学想到了，我们需要连接 ac， 这样我们原本的这个四边形就被分成了两个三角形，所以我们要求的这个四边形的面积就 就应该等于这两个三角形的面积之和。对于三角形 abc 的面积，我们很好计算，因为三角形 ab、 c 是一个直角三角形，它的面积就应该等于两条直角边的乘积除以二等于六。接下来我们需要去求到三角形 acd 的面积。在三角形 acd 当中，我们已经知道了两条边的长度，对于 ac 的长度我们也是可以计算出来。 由于三角形 abc 是一个直角三角形，对于直角三角形，我们存在勾股定理， 它指的是直角边的平方加上另一条直角边的平方应该等于斜边的平方， 所以在三角形 abc 中，直角边 ab 的平方加上另一条直角边 bc 的平方等于斜边 ac 的平方， ab 等于三， bc 等于四， 所以 ac 的平方等于九加十六等于二十五，所以鞋边 ac 的长度等于五。 现在三角形 acd 的边长都已经知道了，在这种情况下，我们需要去验算一下它的三条边的长度是否构成一组勾股数。 我们会发现，五的平方加上十二的平方等于二十五，加上一百四，十四等于一百六十九，一百六十九是十三的平方，所以这三条边是一组勾股数，也就是说 ac 的平方加上 cd 的平方 等于 a、 d 的平方，所以三角形 a、 c、 d 是一个直角三角形，那么它的面积就应该等于 a、 c 乘以 c、 d 除以二等于三十，所以我 我们要求到四边形的面积就应该等于六加三十等于三十六。大家学会了吗？

这个视频我来讲讲勾股定理在三类几何问题中的应用。先说第一类，在三角形 abc 中，这个角是直角， ad 是角平分线 做 d e 垂直于 ab， 并且 ad 等于二十， ac 等于十六，你会求 d、 e 的长度吗？ 你看在这个直角三角形中，这两边长是已知的，利用包谷定理不难求出这条边的长度等于十二， 要求的是第一。哎，这条线刚好是角皮分线，那地点到两边的距离一定相等，所以第一也等于十二，这就算出来了，这就是我要讲的第一类题型，勾股定理与角皮分线性质的应用。 接着看第二类，在直角三角形 abc 中，角 b 是九十度， ab 等于九， ac 等于十五，把这个角 沿着 d、 e 折叠上来，使 c 点和 a 点重合。你会求三角形 abe 的周长吗？要求周长就是求这三条边的和只有这一条边的长度已知。看来咱得想办法把这两条边转化一下。 哎，你看这个三角形是由这个三角形折叠上来的，所以这两三角形全等，那这两条边就相等，所以就把这条边转化成了这条边。现在要求的周长就转化成了这两条边的长度和。 接下来求出这条边长就行了。你看这个大直角三角形， ab 等于九， ac 等于十五，利用高谷定理不难算出这条边等于十二，所以这两段的和就等于二十一了，那三角形 abe 的周长 也等于二十一。搞定解决这类问题，关键在于把周长转化成边长，利用苞谷定理求解。接着说最后一类，已知直角三角形的两条直角边长分别是八和十五，你会求鞋边上的高吗？ 这条高放在任何一个直角三角形中都不好算，咋办呢？别急，为师教你一个法子，叫做等面积法。这个三角形的面积，你可以用二分之一底层高这样算，也可以用二分之一底层高这样算，所以这俩一定相等。 接下来只要把 ac 的长度求出来，就可以求出高 b、 d 的长了。在这个三角形里，利用勾股定理不难求出 a、 c 等于十七，把十七带进这个式子里，就只剩下 b、 d， 算一算得 b、 d 等于十七分之一百二十高，这就算出来了。以后告诉你直角三角形的两边长，让你求斜边的高，你就利用等面积法去算 好了。关于勾股定理在三类几何问题中的应用，我就讲到这里。对于有角平分线的题型，用角平分线性质去求。对于球周长的题型，转化成某条边去求。 对于球斜边的高的题型，要记得用等面积法去求。怎么样，明白了吗？明白的话就速速去刷题吧！

考试年年都会考，学霸看了直挠头的勾股定理，竖行结合问题，今天他又来了，怎么样，这道题你自己能做上吗？好了，我们先来观察一下这个式子，他说让我们求这个代数是值的最小值是多少？ 这道题啊，乍一看没什么思路，所以有的同学就会说，这里啊，我只能看出这是两个二次根式的和，他应该是大于等于零的，因为什么呀？二次根式的非复性， 但是这很显然不符合我们这样的一道压轴题，所以这道题我们应该怎么来思考呢？这里啊，一可以看成是一的平方， 然后这里呢，是四减 x 的平方，这里四可以看成是二的平方，这里又是一个 x 的平方，所以两数平方的和再取算数平方根。两数平方的 和再取算数平方根。大家能想到什么？没错，这不明显就是两个直角三角形的斜边相加吗？为什么是斜边呢？因为是平方的和呀，是两个直角边平方再相加，对吧？两个直角边平方再相加。 好了，那我们根据这个小式子来构建出这样的两个直角三角形好了，这就是我们根据提议构建出来的两个直角三角形，并且他们的边长呢，看，这个边长是一直角边一， 这个直角边是四减 x， 四减 x， 而另一个直角三角形的两边，这个边是二啊，这个边是二，然后这个边是 xx， 所以题中让我们求的这个整体的代数是他的最小值，这个代数是应该就是这两个直角三角形的斜边之和吧， 我们把它标记出来。那到这里啊，大家说这两个斜边的和应该怎么来求呢？这里呀，我们会发现，随着 x 值的变化， x 值忽长忽短， 当这两个斜边怎么样啊？哎，会随着这个点左右的移动，这两个斜边的长短也会不断的变换，而什么时候这两个斜边的和最短呢？ 没错，我们知道两点之间什么呀？线段最短，所以说，也就是这个焦点处在这两点连线上的时候，是不是这两个斜边的和最小，也就等于这两点之间的线段长度啊？ 这里我们来做一下辅助线。好了，这里啊，老师把其中的一些点做了字母的标记。然后呢，我们先来连接 a、 b， 再把 a、 c 延长至点地，使得 b、 d 平行于 c、 e。 那么大家说 a、 b 不就是我们要求的最小值吗？那 a、 b 怎么来求呢啊？ a、 b 在直角三角形 a、 d、 b 中啊， a、 b 是这个直角三角形的斜边，所以根据勾股定理，我若能知道 a、 d 和 d、 b 的长度是不是 a、 b， 也就能求出来了。 那这里啊，由于 b、 e 是二，所以 c、 d 也是二。然后大家来想，这个 b、 d 的长度怎么来确认呢？没错， b、 d 的长度啊，应该等于 c、 e， 而 c、 e 是什么呢？它是四减 x 加上一个 s， 哎，是不是正好 x 被消掉了呀？所以说 c、 e 的长度应该就是四，所以说 d、 b 的长度应该也是四。 好了，那么同学们观察在直角三角形 a、 d、 b 中怎么样呢？一条直角边是一加二等于三，另一条直角边的长度是四，也就是三和四。那么所以斜边 a、 b 的长度等于多少呢？没错，这里 a、 b 啊，就等于根号下 三的平方加上四的平方，最后结果呢？就等于五，也就是说呀，这道题让我们求的这个代数式的最小值怎么样啊？就是五。好了，同学们，那勾股定律与数形结合的压轴题，屏幕前的你学会了吗？

勾股定理大家都知道，如果我拿出广勾股定理，阁下又该如何应对呢？ a、 b、 c 是一个直角三角形， d 为 b、 c 上的动点，下面我们来推导广勾股定理， a、 b 的平方等于 a、 c 的平方加上 b、 c 的平方，而 a、 c 的平方又等于 a、 d 的平方减去 d、 c 的平方， 所以我们就会得到这个红色的等式。我们将红色等式进行变形，得到黄色等式，再将黄色等式前面配成完全平方叉，将后面提取公因式，就会得到蓝色的等式，最终化减后就是广勾股定理。 下面我们直接用广告股定理来秒杀题目。已知 bd 等于三， ab 等于根号六十一， ad 等于根号三十四，求 ac 的长度， ab 的平方就是六十一， bd 的平方是九， ad 的平方是三十四， bd 是三。带入广告 勾股定理可知， bc 的长度就是三，那么 bc 的长度就是六，再运用一次勾股定理就能算出 ac 的长度就是五， 完美。你可能不知道，广勾股定理还有另外一种形式，直角三角形， abc 中地点是 bc 边延长线上的动力。运用两次勾股定理可知， ab 的平方就是红色等式，变形后就是黄色的等式，前面配成完全平方和 后面提取工因式，就会得到蓝色的等式，化简后就是广沟古定理的另外一种形式。温馨提示，冷门的定理也是我们熟知的定理推导出来的，掌握了别人没有学过的定理， 你就已经开始领跑了。冷门的定理可以用来快速解决选择题，也可以符合大题的正确性。关注我，提升思维！

在勾股定理的题型当中啊，有一个非常常见的方法，叫做列勾股方程。那好了，我们就拿这一道题给大家讲一讲，他说已知在举行 a、 b、 c、 d 中怎么样？ a、 b 等于六， a、 d 等于八啊，也就是说四边的长度给了六 六上面这八，下面也是把 a、 c 呢为对角线，他不用说，咱们也知道 a、 e 呢，平分角 b， a、 c 啊，平分角 b， a、 c， 那不就是这两个小角相等吗？对不对？好了，让我们来求 b、 e 的长度是多少？ 那么这道题中啊，我们先不要着急，先看看有哪些线段是我们当下就能求出来的，比如说他是六，底下这个 bc 是八，对不对？哎，那 ac 对角线我们能不能求啊？当然可以，因为他是矩形嘛，对不对？所以说这是个直角三角形，利用 勾股定理，哎，两个直角边的平方的和怎么样啊？再开算数，平方根能算出 a、 c 的长度是十样， 到这为止，我们好像不太好往下进行了，那么我们应该寻求怎么样啊？做辅助线好了，我们来看 a 是角平分线呢，那我们看到角平分线能想到什么？同学们说两个小角相等呗，哎，那除了这一个呢，你还能想到什么？ 对了，是角平分线上的任意点，怎么样到角两边的距离相等，为什么会想到这里呢？因为大家看 b、 e 本身就是我们要求的，而这里又是一个直角， b 的长度本身就是 e 到脚其中一边的距离长度啊，对不对？所以我们自然而然的想到 e 到脚两边的距离相等。 好了，那我们来做一条辅助线，我们过点 e 做 a c 的垂线，交 a c 于点 f 啊。 好了，做完了之后啊，我们就知道这个 e f 和 b e 怎么样，它是角平面线上的一点到脚两边的两个垂直距离，所以这两个长度是不是应该相等呢？啊？ 啊，是的，然后呢，大家再想想，那这里出现了一组什么样的三角形，相信大家非常容易发现这两个三角形，非常容易证明他俩全等啊。所以说啊， ab 要是六的话，那大家说 af 是不是也应该是六呢？ 啊，我们能求出哪里就求哪里啊！好的，那 a c 一共是十，而 a f 是六，那么 f c 是不是十减 六也就是四呢？ f c 的长度有了，好了，到这为止，好像又不能往下继续了，那这里就到了老师刚才给大家讲的什么叫做列勾股方程。好了，那列方程我们首先怎么样啊？设未知数，既然 b e 是我们所求，那么不妨设 b e 为 x， 那设完了 b e v x， 大家想想 e c 应该是多少呢？由于 b c 一共是八哎，那么 b e 是 x， 所以 e c 当然就是八，减去左边的 x 喽。 然后大家再想想，哎， b e 是 x， 那 e f 跟它的长度不是相等的吗？所以 e f 的长度也应该是 x 呀。好了，同学们，那到这里咱们来观察一下三角形 f e c 这是不是一个直角三 角形啊？那这个直角三角形的三边，大家看看除了什么呀？哎，除了是竖直，再就是含有 x 的代数式，那我们可不可以利用勾股的关系，把这三边的长度怎么样 列一个勾股方程呢？也就是说两条直角边的平方的和等于斜边的平方。好了，我们来看一下， 好了，同学们，那列完了这个方程啊，有的同学又开始打退堂鼓了，他说，老师，我们现在刚学到勾股定理，对吧？哎，我是一个初二的学生，我还没学这种解这种一元二次方程的，我只会解一元一次方程啊，怎么办呀？同学们，注意， 先别急于否定自己，这里 x 的平方加上四四一十六，我们右侧打开括号是 最后加上一个 x 方，对不对啊？哎，打开括号之后，同学们发现什么了？没错呀，左边和右边都有一个 x 的平方，那么我们左两边是不是可以消掉这两个 x 的平方啊， 对不对啊？那么结果剩什么？哎，就是关于 x 的一个一元一次方程，那么下面老师就直接写出他的结果， 觉得 x 等于三。好了。同学们，那么这个 x 不就是我们设的 b e 吗？所以这道题的结果也就求出来了，也就说 b e 是三啊，那 e f 也是三呀， 那么这个八减八减 x 应该什么啊？八减三是五，哎，所以大家来看这个三角形实际上是什么呀？实际上它就是我们最最最熟悉的三四五啊。那屏幕前的你勾股方程你学会了吗？

在初二的勾股定理这一块，有一种题型是考试总考的，叫绕线问题，求最值的问题，但是大部分同学都不能得分。来，我们看一道经典考题， 呃，这是一个长方体，说有一只蚂蚁从 a 沿着长方体的表面到 b， 问最短路径是多少，最少值是多少？做这样题就是两步，第一步呢，首先你要会把这个长方体进行展开， 第二步就是两点之间线的最短来求最值。好，我们看一下，首先这个长方体把它展开长什么样 来，把它展开之后就是这个样子，首先你正对的这个面就是这个长方形，这个距离等于三，所以这段是等于三的来这一小溜相当于是在他右侧的，那这个长度就是一来这段长度等于多少呢？他等于三，为什么呢？他等于三，所以这段 二等于三，他就对应到这一段。最后的这一段是一，相当于是这里边的这一段，也就是整个把这个表面把它展开就是这个图形。那要想球从 a 点绕着表面到 b 点最小，两点之间线段最短，也就是 ab 一撇的长度就是我们要求的长度， 这个的长度我们一算应该等于多少啊？三加三十六，再加二等于八，而这个高度我们是清楚的，也就是这里边的几六，所以最后的答案非常快的就出来了，六八写边等于十，那么最小值也就是等于十，你听懂了吗？

很多初二的孩子，当他学到勾股定理的时候，都会遇到一个难点，而这个难点呢，他不单在初二除，到了初三跟你的二次函数的竖心结合在结合在一起，还会除。你看他说呀，如果你的正数 a、 b、 c 满足三个的和等于五， 而它的 y 等于个号下 a 方加四，个号下 b 方加九，个号下 c 方加五，问 y 的最小值 这种问题，如果你把它当成一个纯代数的问题去解的话，太难了，那它用什么来解？数性结合，实际上它的本质就是勾股定理，那你看， 比如说我们拿一个 a 方加四来表示，就是 a 方加二方，哪有 a 方加二方勾股啊？比如说你在这里边， 你有一个直角三角形，一个边得 a， 一个边得二的话，那么他的斜边就应该得根号下 a 方加四。 那你按照这个思路，每一个根号都可以构造出来一个直角三角形， 那最后要把 a 加 b 加 c 得五放在一块，那我的 b 和 c 都在这。那么大家看好了，比如说你的第二个可以换成 b 和三，那斜边就是根号 b 方加九，那你下一个自己想想他的两个边是谁呀？ c 和五，所以你画完之后是这样，那你在这你看怎么能把你的 a、 b、 c 放在一起，我呢？往下延伸，往左延伸，这是个 直角三角形，那有没有人能发现，这个地方过来就是 a、 b、 c 的和就得五，这个地方过来就是二加三加五就得十，而他要求什么？ 一个边是它，一个是它，一个是它。我在这里边用一个 x， y、 z 来表示，那你看 这是 x， 这是 y， 这是一个 z， 那么你在这就会发现 x 加 y 加 z 折线和在这里边一定会大于等于两点之间的线段， 所以 x 加 y 加 z 的最小值是什么？实际上就是 a 到 b 之间的距离。那么利用勾股定理，你会发现 a b 在这里面就应该等于个号下 五的平方二十，五十的平方一百，化解完就得五倍根号五。那这个题目就 ok 了，你看明白了吗？