初等函数式

大家好，我是你们的代哥，今天我们来看一下数的函数，这一讲有三个板块的内容，第一个板块，六类基本处的函数。第二个板块处的函数。第三个板块，依次反比例二次函数的一些破绽。我们来看一下第一个板块， 六位基本数等函数。先来看第一个常量函数，它的表达是十 y 等于 c， 如图所示，它的性质， c 不等于零的时候，它是偶函数。当 c 等于零的时候， 它既是奇函数，又是 o 函数，是不是它既关于圆点对称，又关于外头对称？好，下面我们来看命函数，命函数它的表达是十 i 等于 x 的 u 字方，是吧？这个 u 属于我们的实数。下还有个图，我给大家画了四个命函数的图，第一个是 y 等于 x， 它的一根直线。 第二个是 y 等于 s 的平方，是不是这样的一个曲线？第三个 y 等于 s 的负一次方，是不是这样的一个下坡的一个曲线。第四个 y 等于 s， 二分之一次方，是不是这样的一个曲线？好，我们通 过观察这几根直线，我们会发现，第一个点，你看整个命函数是不是横过一这个定点，横过一个一一这个定点。第二个我们再来看一下单调性。我们以一一象限为例， 看一下第一象限，当这个 u 大于零的时候，你看 x 二分之一次方， y 零 x x 的平方，是不是它中为单调递增，当这个 u 小于零的时候，比方说 y 零 x 的负一次方，它在第一象限是不为单调第几，对吧？这就是单调性，所以我们只看第一象限三个点，再来看它的基础性， a u 是一个偶数的时候， 这个密函数为偶函数，那这个 u 等于一个基数的时候，这个密函数为积函数。比方说 y 等于 x 的平方，关于 y 轴对称是不是偶函数？ 再比方说 y 等于 x， 有没有等于一吧，对吧？ y 等于 x 是不是积函数？ y 等于 x 三次方优是积数，就他也是积函数啊，这是我们的究竟。再来看我们的有接近。当这个 u 等于零的时候，你的密函数在第一象限内要么增，要么减，就没有最大值，也没有 最小值。是，比如说 y 等于 x 的负一次方，是不是可能有下界？有下界对不对？他没有上界，他是不是也是无界的？所以整个命函数又不等于零的时候是无界的，对不对？函数有界的冲压条件是不是既有上界又有下界？ 好，这第四个点，第五点，我们还要掌握密函数的几位运算法则。这些运算，第一个负指数的 x 的负 n 次方是不是等于 x 的 n 次方？分之一就相当起了个导入。 第二个 x 的 m 次方乘以 x 的 n 次方，是不是等于 x 的 m 次方加上 n 次方。第三个 x 的 m 次方除于 x 的 n 次方是不等于 x 的 m 次方减 n 次方。 第四个 x 的 m 次方再来开 n 次方根，是不是等于 x 的 m 除以 n 次方。第五个 x 的 m 次方再来 n 次方，是不是等于 x 的 m 次方乘以 n 次方？这几个运算它叫 要掌握。我们有一年真题就考了，这样的运算就是我们命函数大家要掌握的图像我给大家画这四个图，大家画一下就画，因为时间问题，我提前给大家画好了右边五个红色的知识点，大家要掌握。注意我们的单调性，我们研究的是在第一项线由大于单调之间 就近，如果优是偶数，偶偶函数，如果优是积数，该密函数是不是积函数都不等于零的时候是不是无界的？那优等于零的时候呢？优等于零，大家看一下，这个有点扭曲啊。 u 等于零的话，整个密函数是变成 y 等于 x 的零次方， 那 x 的零乘 x 是不是不能等于零？零的零次方是不是没有意义？如果 x 不等于零的话，那 x 的零次方是不是等于一？一的话， y 等于一，是不是一根平行于 x 或者直线是不是变成长样函数了，对吧？但是要把 x 等于零的点去掉。 b 函数，我们到这接下来看我们的第三个函数，我们的一个指数函数啊，我在这给大家发好了指数函数，它的表达式是 y 等于 a 的 x 次方，其中这个底数 a 大于零且不等于一， 当 a 在零到一之间的时候，它的图像是像这样的单调递减，能是吧？当 a 二一级的时候，它的图像是向右边这一个是单调递增。我们再来看一下，我给大家写一下，一个当 a 在零到一之间的时候，现在看它的定域是不是属于 r 与任意数中可以取到。再来看值域，值域是不是大于零，是不是属于零到正无穷， 整个图像是不是在 x 轴上方的？再看单调性， a 在零到一之间是不是单调递减，是吧？他横过这个定点零的一 ic 零零的时候， a 的零次方是不等于一？好，再来看 a 大一的时候，他的定义是不是也属于 r？ 值遇 y 是不是也是在零到任务球这个任务球啊？ a 大于一的时候，整个函数是单角递增，是不是也过零的一这个定点？ 这就是我们指数函数，要求大家绘画指数函数的图像就行了，只要图像一出来，是不是什么都有了？那立减，大家要知道，一减一到一之间，大家要立减一大一是单调积增。好，下面看我们的对数函数，它的表达式是 y 等于 order， a 为 x 的对数文具版。好，再来看第一个对数函数的定域域，第第一个图是 a 在零到一之间的时候，整个函数是单调递减的， a 大于一的时候，整个函数是不是单调递增的？大家会画这两个图看第一点， e， x 是不是我们从两个图像上可以看出，是不是要要大于零，是不是在零到正五球 绿 y 是不是属于 r？ 两个函数是不是都一样？ a 在零到一之间，对数函数单调递减， a 大于一，对数函数单调递增。同学们好 救星！无论指数函数还是对数函数，他既不关于圆点对称，又不关于歪头对称，所以都是非机非偶的函数。非机非偶数跟对数也比较容易，大家只要会画图就行了。好吧，只要会画图就可以了。好，当然对数这里的画一些运算，再给大家补充几个运算公式啊。运算公式，然后给他补充一下。把这三个镜片我就擦了， 有八个很多呀，哎，对出来这个运算公式有八个公式，运算公式有八个哎。第一个 logger， a 为底一的对数是不是很等于零？第二个 logger a 为底 a 的对数是不是很等于一？第三个，那个 a 的 logar a 为 d， b 的对数是不是很等于 b， 对吧？第三个是三个比较重要的很等式。好，下面看第四个 logar a 为底 b 的对数于我们 logard 为底 a 的对数是互为倒数的，然后这几是等于一。好，下面看第五个 a 为底 m 的对数加上 logar a 为 d， n 的对数是不等于 logar a 为底 m 乘以 n， 同底数的对数相加，底数不变，分数相乘，那相减呢？ log a a 为底 m 的对数减掉。 logar a 为底 n 的对数是不等于 logar a 为底 m 除以 n， 要知道对吧？ 啊，这里五个六个了，再来看第七个，那第六个 or 为底 b 的 n 次方是不是可以把这个 n 拿到外面？是不 n 倍？左边 a 为底 b 的对数是不是六个了？好，再来看，再来看 最后一个，我写，我写在这吧。第七个换题公式， logar 为底 b 的对数是不是等于 logarc 为底 b 的对数除以 logarc 为底 a 的对数，没错吧？这是我们换题公式。当然第五个，下面这个我拆两个了，所以总的有八个。第八个公式大家了解不是要了解，要掌握我们后面很多题的化解可能会用到 大家把这八公式积极背背。后面我们通过做题带大家巩固一下，都指数对数，大家会画图，对对数的话，还额外要求大家多掌握八个公式。对数函数，我们到这接下来看我们的三角函数 来。三角函数第一个 i 等于 c x 图像是不是长这个样子，大家要会画图，排零排二排能是吧？大家要会画图，第二个 y 等于 cos， x 图形要绘画，第三个 y 等于摊间 tys， 同样的图形也要绘画， 大家可以先按暂停把三个图画一下。我们六对基本出的函数比较重要的就是大家要会画图，如果大家能画图，那整个知识点就掌握了大半，这就是我们三个三角函数的图像，我们来看他的， 来看一下他的性质啊。像这种上坡是不单调递增，像这种上坡是不是单调递增，像这种下坡是不单调递减？那你只要能够把图像画出来，单增单减是不是一目了然？好，我们着重看看性质里面有两个，一个 它的一个有界性。对于 y 零， c， x 是不是最大值一，最小值负一，所以整个 y 是不是在负一到正一之间是不是有界的？对于 q、 c， x 也一样，最大值是 一，最小值是负一，是不是也是有界函数？负一到正义之间。而对于摊间的 x 而言的话，这个 y 是不是属于 r？ 任意时数都可以取到，没有上界也没有下界，是不无界的，对吧？这个是无界的。对于 c、 s， e， y， 零扩散是不是都是有界的？ 好，再来看基础性， y， d， c， x 图像，是不是关于圆点对称说，它是基函数？ y， d， c， x 图像，关于 y 轴对称说它是偶函数。 y 等于参见 x 图像，关于圆点对称说它是基函数。这里 y、 d， c、 e 我只画了图像的一部分，它都可以向两端，左右两端是无限延长的。 y、 d， c 和 y， d， c 函数我们就掌握到，这可以单调性这些东西 给大家画出来看一下就行，接下来看我们的第六类，这里还有一点，嗯，三角函数六点一，有界基偶有，还有，还有两个啊，还有我们的正格函数，给大家了解一下， y 等于 z， k s 和 k x， 它是不是等于我们 q c x 分之一？对于我们的余歌函数， y 等于 c， x 是不是等于我们的 c e x 分之一， y 等于拨弹间 t x 是不是等于我们的参加 x 分之一，对吧？这几个大家了解一下了解，嗯，靠，非常可以单独大家了解一下。好，来第四个，这个大家公式要记一下，不然后面我们学了我们的一个微积分，大家可能有点跟不上，这里也要记几个。三角函数的一个公式也有点多来，第一个， d e 方 x 加上 for 塞 e 方 x 是不是等于一的 问题吧，对吧？我入 b 除以 h 方，那 c 方，那 c 方除以 c 方是不是看见的？加上一是不是等于 h 方？分之一是不是等于四 k 方，这是不是？所以两边同除以 c 应方来， c 方除以 方，是不是一括形方除以 c 应方。如括弹检测的平方除以 c 应方， c 一除以 c 应方，是不是 c 应方分之一是不是括 c k 方？说后面两个是可以通过第一个变形得到，这是我们的应该读。对于我们的和差角公式， c 应是一加减 x 二 是不是等于 saying x 一乘以 crossing x， 二加减 crossing x 一乘以 saying x 二。再来一个 crossing x 一加减 x 二是不是等于 crossing x 一， crossing x 二 减加 a n x 一乘以 c n x 二，等于吧，这是和差小公式，当然还有标的倍小公式，比较重要的倍小公式 c n 二 x 是不是等于两倍的 c n x 乘以 four c x 等于几把？ four c n 二 x 是不是等于 four c n 方 x 减掉 c n 方 x， 对吧？再来括形方 c 方加括形方的一括形方，是不是一减 c 方，一减 c 方，再减 c 方，是不是还得一减两倍 c 应方一次再来 火警，这个 c 音方式等于一减口型方，火警方减掉一点口型方式还得以两倍火警方 x 减一。这是对角公式的几个变形，看看大家可以过吗？当然这里大家还要注意一下我们的台词等于我们的 ces 除以口型 x。 我们三角公式有点多，大家这些公式呢，要积极了解一下，比较重要的就是，是吧两个对角公式，大家要绘画三角函数的三个图像， 还要知道他的有界性，基友性，当然还要掌握三角函数的很多公式，这个公式还挺重要的，是挺重要的，对，这个被角公式，特别是被角公式的下一个 不小心打在这啊。呃，那我们三角函数就到这，接下来看我们的最后一个反三角函数来反三角函数第一个反正全函数 y 等于 r 个 anx， 它的图像像这种样子看，最大值是二分之排，最小值四的二分之排，所以整个函 的值域感谢来看第一个字是不是在负一到正义之间？整个函数的值域 y 是不是在负的二分之排到二分之排之间？整个图像关于原点对称，所以它是积函数是吧？这个 y 它是在负二分之排到二分之排之间，它还是一个邮件函数， 这是反正弦函数 y 等于 x c x。 好，再来看反于弦的 y 等于 r 克 four c， x 来应于 x， 是不是也是在负一到正一之间？整个函数的值域 y 是不是大于等于零，小于等于排，是不也是有界的？但是整个图像既不关于圆点对称，又不关于 y 轴对称，所以它是飞机飞蛾。再看我们的反正切 y 等于 r 克 摊间的 x 是不是在负二分之排到正二分之排之间？异域问题吧，必须要等号啊。值域呢？值域整个 y 是不是在负？在我们的字属于 r， 值域 y 是不是分之排到二分之排之间？函数 对称是不是我们的一个积函数？再来看我们这个反一切的函数， y 等于 x 或 x， x 是不是也属于 r？ 值于 y 是不是大于零，小于派？在零到 k 之间是不是也是有积函数？ y 九对称也不关于原点对称，是不是飞机飞猴要求没看是吧？好，来看第一个函数，单调性 y， d， r， z， s 是不是单，是不是上坡？哎，是不是单根的对。第二个函数 y， d， r 和 o， c， s 是不是下坡？每个函数是不是单调递减？在定义内对 r 的弹减态 s 上坡，整个函数是单调递增， vr 托弹进来一次下坡，整个函数是单调递减来。好，这就是我们的反三角函数。四个图大家必须要规划把图形画出来，那他的单调性、基偶性、有界性是不是全都出来了？ 最比较重要的就是他会画图。那以上给大家讲的这六个函数就叫做我们六种基本处的函数，叫做六种基本处的函数，就是我们今天 一个模块的知识点，下面来看第二个模块，出等函数。刚才给大家讲了六个基本出等函数，那什么是出等函数呢？我们是这样定义的，由基本出等函数。注意，基本出等函数由我们的基本出等函数经过有限次四则运算，或者说有限次复合运算，复合运算得到的，是不就叫做我们的一个出等函数？ 比方说 y 等于 x 的平方，加上 crossing x， 是不是我们的一个不等函数？为什么是除等函数？因为 x 的平方是不是基本除等函数？ crossing x 是不是也是基本除等函数？是不是经过四则运算加构成的，是不是也是我们的除等函数？那除了加以后，你中间改一个乘号， y 等于 z in x 乘以 orger a 为 d， x 的对数，这个是不是也是我们的一个？是吧？基本处的函数问题吧？经过四的运算得到了吗？大家看看有没有啥问题的， 单除除法也可以，对吧？再比如说，复合的 y 等于 d， e r x 加一，是不也是我们的一个初等函数？它是由 u 等于二 x 加一，以我们的 y 等于 c， e u， 是不是两个基本初等函数复合而成的，是不也叫我们的一个初等函数？ 好？再比如说 i 等于 e 的 x 次方 lx， 这是我们的什么函数？一个一的 x 次方就是出的函数 x 是不是也是我 ydx 是不也是我们的初等函数问题吧，这也是我们的基本初等函数，那这个合在一起是我们的初等函数吗？这不就就不是我们初等函数了，它是一个分段函数， 我们要能构成出的函数，必须是基本出的函数，经过有限次，四则运算，加减乘五，四则运算，或者说有限次复合运算，这不才得到的。是不是 才是我们的初等函数，大家牢牢抓住他的意义，这就是初等函数这个概念，这个还考过好几次。好，下面来扩展一下另外的一块知识点。一次反比例二参数，一次函数，它的解题是， y 等于 ax 加 ba 不等于零，当 k 大于零的时候，上坡是不单调递增，当 k 小于零的时候，下坡是不是单调递减，而对于反比例来说，他的解气是 y 等于四分之 k， 其中这个 k 不等于零，当这个 k 大于零的时候，在第一象限单调递减，在在第三象限 也是单调递减。好，当这个 k 小于零的时候，在第二项线单调递增，在第四项线是不是也是单调递增的，大家会画图就行。好，下面来看最后一个二次函数， y 等于 a 倍 x 的平方加 b， x 加 c， 其中这个 a 不能等于零。好，对于这个二次函数的话，大家要知道第一个 a 是不是决定开口 a 大于零，开口向上，小于零，开口向下。 第二个，整个函数的对称轴是等于负的，二 a 分之 b， 单调性的话，你画出补下来，根据开口和对称轴是不是就可以确定有，大家要知道 第三个，对于一元二次方程， a b x 的平方加 b， x 加 c 等于零。对这个一元二次方程要要掌握两点，第一点，求根公式，它的根 x 一 x 二， 当然要得他大于零的前提下，得他等于 b 方减。四 ac 大于零，是不是有两个十根等于零，有一个十根，小于 零是个无十根，大家要了解，那他大于等于零的情况下有十根，那他的根是什么呢？是不是 x 就等于？求公式二， a 分之负 b 加减根号得他 德塔是不等于一方减 c c， 对吧？这题公式，那除了这个以外，是不是还可以得到我们的两根和 x 一加 x 二是不等于负的 a 分之 b， 两根及 x 一乘以 x 二，是不是等于我们的 a 分之 c？ 这就是我们的一个一元二次函数以及我们的一个方程。嗯，今天的知识点我们就到这，接下来呢，我们来看点例题，例题的话我们就过快一点，那这个知识点讲的也快有点快，这一些东西的话，考试频率不是太高， 大家了解一下就行。可能个别时候被考到一道小题，有的时候他不考，有的时候呢，他就考一道小题啊。那我们来看一下例题，例题一下来函数既是密函数， 看到命函数来找到是 y 等于 x 的 u 字方啊。严格单调递增是不是说明这个 u 要大于零？第一项线内零到这部分是不是单调递增？只有哪个符合 y 等于 x 的优字方？ a 选项 x 前面有个二，是不是我们的密函数 b 选项是密函数 u 大于零是不是单调递增？ c 选项是不是指数函数 u 选项 y 是不是等于 x 的负二次方？这里这个 u 是不是小于零呢？它单调递什么？单调递减，这个是我们的指数函数 c 选项，所以整个题选 b 应算来乘法二跟三相乘是不六， a 的平方乘以 a 的三次方，是不是底数不变？指数二跟三相加 是不是等于六倍 a 的五次方？不对啊， b 选项这里三是不是二的三？这里打开以后是不是二的三次方？ a 的三次方，二的三次方不是八，是不是 a 的三次方？再来是不是八倍 a 的三次方？也不对？也就是说我们 ab 如果来个 n 次方，是不是等于 a 的 n 次方？乘以 b 的 n 次方？好，这里同底数的一个相除，我们知道底数不变，上面的这个字数是不相减，是不等于 a 的次次方，是不也不对？ a 的选项来看上面分子，上面我先化解一下，好吧， a 方 分布上这个根号怎么化解？我们知道一个式子， a 的 m 次方开 n 次方是不是等于 a 的 m 除以 n 次方？那比如说这个根号 a 是不是这里根号是不是省掉了？二是不就是 a 的二分之一次方？ 乘以 a 的 a 的平方再开三次方，是不是 a 的三分之二次方？没问题吧？是不是就等于 a 的？哎，一个是分子上这个二，中间这个线是不是相当于除号？除的话是不是就减掉？分不上两个相乘是不是就两个相加？那我们化解一下，是不是 a 的二减掉这一串是不等于 a 的六分之五次？ 韩选歌啊，这里就是考察我们蜜的运算，大家想想还记得吗？刚才给大家讲过了五个例题二，他说这个函数的最大值以最小值之差为二，那是一个什么函数？指数函数 指数函数图像有两种，第一种， a 在零到一之间的时候是不是单调整个函数减，单调递减的话，一处是不是起的最大值 a， 二处是不是起的最小值？ a 方最大值以最小值之差是不是等于二？ 我们来解一下是不是解得这个 a 理解， a 方减 a 加二。好，我们一下来解一下吧。让等下右边 a 方减 a 加上二等于零，看德塔，德塔等于 b 方一减 c， a， c 减八，是不是小于零？德塔小于零，这个方程是不无法，所以这个就要把它怎么样舍弃，无解，对吧？当这个 a、 r 以及的时候，整个函数是不单调。递增等于二的时候起到最大值， a 方 x 等于一的时候起到最小值， a 最大减最小，是不是等于二？把二移过来， a 方减 a 减二等于零。好解，歌塔 地方一减 c， a， c 减掉负八，一减掉负八，是不是一九大于零？是不是肯定有解的，我们可以求出他两个解来，第一个解 a 一就等于负一，第二个解 a 二等于二。哦，负一是不是要把它舍掉？因为我们的 a 要大于一，所以 a 只能要等于多少？二，俺选 b， 下面看我们的第二题再来命题。正确的是，当 x 小于零的时候，这一串等于 x 三次方，对不对？这小于零的话，这小于零的话， x 的平方是不是大于零？ x 的平方大于零， x 的平方再来多少次方是不是也是大于零呢？所以这个是一个正数。对呀， x 的三次方， x 小于零的话， x 的三次方是一个什么数？负数？一个正数不可能等于一个负数呗，对不对？对 a 是不是就不对？如果 a 要对，你要在 x 的三次方前面填一个负号，负 x 的三次方啊。对 b 选项 x 的 n 次方，再看 x 方等于 x， 对不对？我们有公式， 公式是一选项公式是不是 x 的 m 次方，开 n 次方是不是等于 x 的目除以 n 次方，是不是有这样的公式？那这里我套着公式是不？ x 的 n 除以是不是等于 x 一次方？是不是对了？ 对，他不对？为什么不对？如果这个 n a 偶数的时候，根号下 x 的 n 次方再开 n 次方，是不是等于 x 的绝对值？问题吧， 因为这个时候 x n 次方是肯定要是正数，如果他是负数的话，里面是不是没有意义啦？如果这个 n 为基数，那么 x 的 n 次方再来开 n 次 方，根是不是就等于加 x 了？对于选项是不是错在 x 为偶数为基数，是，不知道如果这个式子要成立，是不后面我们要加一个 n 为基数，这才行，因为偶数是不对了。 再来看 c 选项， c 选项 f x e 来换下 x 减二的二分之一次方是不？ x 减二是不是就是根号下 x 减二，后面减掉三， x 减七， 负一次方是不是三 s 减七分之一，对吧？是不是有根号有分母？他的定义域有两个，第一个根号下面这个数要大于等于零，第二个分母上这个数三 s 减七不能等于零。 好，我们就解得我们的 x 要大于等于二，且是不能等于三分之七，不对的就露了一个二不对的，这是对的。好，对的选项，在 这个区间内，二的 x 次方大于三的 x 次方，对不对？是不是不对？对吧？不对，你比方说 x 起到负一的时候，哎，二的二的 x 次方是不是二分之一？二的负一次方是不是二分之一？三的负一次方是不是三分之一？是不是陈列？陈列，那比如说在 x 起到一的时候， 二的一次方大于三的一次方是不是就不成立了？所以说这个式子在不能这个式子在负无穷到正无穷的是不是不成立？只有在什么时候成立？是不是只有在 x 小于零的时候成立？ x 大于零或者 x 等于零是不都不成立？如果 x 等于零的话，二的 x 次方是不是等于三的 x 次方？呃，所以 再一个纸对互化，那就把纸对互化来，指数 a 的 b 次方等于 n， 是不是可以？指数可以化为对数？化成对数以后，是不是 b 就等于 logar a 为的对数，左边到右边是不是指数化？对 右边到左边是不是对数？画指数？大家找到这个就可以了。那除了这个这个公式以外，还有一个公式就是 logar b 的 n 次方是不是可以把 n 拿到外面等于 n 倍？ logger a 为底， b 的对数，那从左到右成立，从右到左是不是也成立？把这个 n 拿到 b 的上面是不是也行？也成立，对吧？所以看这道题是不是可以把 x 拿到四的上面？ logger 四的 x 次方是不是等于一？那接下来只对互化，是不是四的 x 次方等于 把对四的 x 次方等于三？选 a？ 第二题，第二题第一个是不是就可以拆开？这里为什么说可以拆开？因为我们这次的 m 次方乘以 x 的 n 次方是不等于 x 的 m 次方加 n 次方从左到右可以，从右到左是不是也可以？这是不是相当于二的四 四方加上它是不是二的四次方乘以二的 log 二为底五的对数能听吧？再加上后面两个是不同底数的，两个对数相加，底数不变，一个帧数五分之四跟五怎么样？相乘是不是就好了？好，再来发点一下， 二的四次方的 log 二为第五的对数是不是等于五？为什么等于五？有我们的公式， a 的 logar a 为底， b 的对数是不等于 b？ 是不是这样的一个对数公式？好，这里一相乘 是不是是不是等于 log 二为底四的倍数？好，十五等于十六乘以五是不八十加上 log 二为底四的倍数是不等于 log 二为底二的平方？把二往前面拿，是不是两倍？ log 二为底二的倍数是不是等于二？ 最终答案，八十二好，看一下题第三题，这个我们就不看了，好吧，好，第四题四题 c r 法等于三角函数， c r 法等于负的十三分 之五，阿尔法在第四象限则汉奸塔尔法的值。那如何求呢？令阿法是不是可以求出 coc 阿法？阿尔法在第四象限来求下边或者大家伙，那这个是阿尔法？ c 尔法对边五份以上，斜边十三分是不是可以算出零直角边十二分？那潘坚塔尔法是不是等于我们的 对边比零边是不是五？比十二为正还是为负呢？汉奸塔尔法在第四象限，它为什么数是不是负数？负的十二分之五 来选择。如果教大家求火星阿法呢？火星阿法是不是等于零边比斜边十二是不是比上十三？火星第四项线是为正，正的是十三分之十二啊。那大家以后遇到这样的题，他画个三角形就可以， 那当然这个象限的话大家了解一下。 deing alpha 在我们的一二象限为证。 ocean alpha 在我们的一四象限 为正，尖特尔法在我们的一三象限为正，其余的什么都是为负的。那这道题我们到这下一个 c r 法等于三分之一，要求 q c 两倍 r 发 q c 两倍 r 法，用对角公式 q c 两倍 r 法就等于 q c 方 r 法减 c 应方 r 法。由于这个 q c 方是不是等于一减 c 应方，因为 c 应方加 q c 方就等于一， q c 方等于一减 c 方，一减 c 方，再减 c 方， 一减两倍 c e r 法，那把 c e r 法零三分之一往里面带，一减掉九分之二是不是九分之七？好问题了吧，我们看下一个， 他说给了这个函数最小正周期 t 是不是等于二排以上我米卡的绝对值，那我米卡是不是前面这个数就等于二排？是不是对的？前一句是不是对的？那 c 是不是就排除二分之排是他的最大值？ 我们知道 f x 最大值是一，最小值是不负一。那我们来看一下 f 二分之牌等不等于一 f 二分之牌就等于 saying 之牌加上三分之牌。用诱导公式以后， saying 二分之牌加三分之牌是不是等于 cause 三分之牌？ cause 三分之牌六十度就等于二分之一，就没有起到最大值， 所以整个选项是不不对，所以不是他的最大值。圈二不对都排除，好看圈三这个图像上所有点向左平移三分之排的单位长度来向左平移 y 等于 c e x 向左左，是不是加，对吧？平移是不是满足左加右减来左加 x 加上三分之牌没问题吧？这是对的啊，所以整个这道题一三是正确的。盘选 b 对平移的左右平移，左加右减，如果上下平移的上加下减了解就行，那这个道题大家只要 找个圈一就行，最小珍珠七十二排，知道怎么算就好，我们来看下一个 bt 五，下列说法正确的是 rcoc， x 是偶函数对吗？是不不对？他的图像大家还记得吗？ cs 的图像是不是在负一到正一之间？是不是这样减下来的？ 零，这是十二分之排，这是十二排。整个函数是不是既不关于歪轴对称，也不关于圆点对称，是不是非机非偶？好？对于 b 选项 r q 弹键台词，它的图像大家还记得吗？ r q 弹键台词，这是不是排是不是长这种样子的？ 零的时候百分之百，你看是不是既不关于歪轴对称，也不关严的对称，是不是也是非机非偶的？对于 c 选项 r x， e x 定于定于我们的括号里面，这个整体括号里面这个整体 x 减一，是不要在我们的负一到正义之间 x 解出来，左右两边同时加一 得到 x 在零到二之间，所以它的定义是零到二，不是负一到一，所以是不是也不对？那这些上只能选三角函数，我们学过的有四个，是不是都是有界函数？界函数来， y 等于 x， c， x 是不是在二分之排，负二分之排到二分之排之间，是不是有接的 y 等于 r 和 four c， x 是在零到二分之排，零到排之间，你看图像在这是不是也是有接的？ y 等于 r 和罕见的 x， 是不是整个 是不是借以负二分之牌到二分之牌之间之域是不是也是有借的？对于阿克 bottenex 图像在这是不是借以零到牌之间是不是也是有借的？所以我们反三角函数都是有借，函数是对的。好，接下来我们看一下我们的例题。 六、二次函数的点扩展。这三道题都是我们云南专升本的一个真题，三道都是真题， 看第一个我们画图就行。 f x 等于这一串开口向上，开口向上。对称轴是四等于负的二， a 分之 b 是不是二分之三，要的是不是在负三到四之间。我们看对称轴处是不是取得最小值。对，对称轴越远，他值越大， 负三距离对称轴是不是远一点，所以负三对应的函数值要大一点，最大值是 f 负三，那就把最小值是不是 f 二分之三画出图来就好了。好，第二个，某工厂生产产品， y 是产量 x 的函数，当 x 产量多的时候利润最大， 那就把利润 y 是不是等于四十， x 减掉二分之一倍。 x 的平方，这是不是一个开口向下的抛物线？对称轴处是不是起的最大值？对称轴 x 是不等于负的二， a 分之 b 是不等于四十，对吧？ x 等于四十的 是不起到最大值，利润最大，所以利润最大是在四等于四十的时候取到。把四十往里面带，四十乘以四十，一百六减掉二分之一乘以四十的平方，八十是不等于八十。 下一个用一百厘米的铁丝制成一个矩形框子，框子的面积不能是矩形框子总的周长是不是一百？那如果把这个长设成 x， 那这个宽是不是我们的 五十减四问题吧？它的周长是怎么算？长加宽乘以二是不是周长？那长 x 加上宽五十减 x 乘以二是不是一百？那所以整个矩形的面积 x 是不等于长乘以宽？用 x 乘以五十减 x 来把高打开这个负 x 的平方加上 五十 x， 你看整个图像是不也是一个抛物线？开口向下对称轴思等于二十五的时候起到 最大值，所以 s 的最大值是等于是在 x 等于二十五的时候取到来把 x 零二十五往里面带，是不是二十五乘以五十减二十五，二十五的平方是不是六二五？所以最大面积是六二五，那面积是不是不可能是八百？ 不可能是八百，所以啊，选择 when。

每天一节高数课，期末考试不挂科。今天我们来看出等函数的连续性。好了，要看出等函数的连续性，我们先复习一下什么叫出等函数，什么叫基本出等函数。首先看第一个基本出等函数， 基本出的函数的话，就我们高中学的密函数、指数函数、对数函数、三角函数，还有反函数啊，这些都叫基本的出等函数。 那什么叫初等函数呢啊？他课本上这样说的，就由基本的初等函数，经过有限次的四则运算或者符合运算啊，组成的式子就叫做这个式子，这个整体他就叫做初等函数。你比如说这个啊，这个他就是由基本初等函数啊，密函数， 呃，这是指数，还有三角三角函数啊，由他们组成的这个柿子啊，这个整体就叫出道函数啊，那这个也是一样的，这个是一个复合函数， 复合函数，那我们来看一下，他这块有三次复合，我令 t 等于 x 分之一 m 又等于三应 t， 那么 y 就会等于一短六次方，这就三次复合。这我们说的四则运算或者复合运算组成的这个式子，这个整体就叫出等函数。好了。接下来我们来看两个定点，这都是课本上的第一个和第二个， 第一个，一切基本出等函数都是其定律上的连续函数。第二个，任何出等函数都是在其定义区间上的连续函数啊，这两个函数怎么去用，两个定理怎么去用？我们具体通过题来看一下啊，用这个连续性去解题的话，他就是啊，解起来这个题是特别快的，我们来看一下这几个题。 好，接下来看。呃，第一个题，第一个题的话，我们要去算这个的极限大 s 去零的时候，首先我们知道这个，呃，这个 的话可以写上 x 分之一乘以这个啊，烙完一加 x， 然后把 x 分之一啊，可以踢到这个位置，踢就变成了这个样子啊，变成了他以后我们知道这个，呃，我们前面已经算过了，算过了我们就知道他就是直接就是个 e， 给他取近于那个 x 去运零的时候， 凡的话就我们说了佛函数，佛函数的话，我们可以先去给里头的这个内层，给里头的这个内层去求极限，所以把这个极限符号啊放到这个位置，放到这个位置以后，我们就知道这个整体就是一，所以浪一浪一就是一，好， 再看第二个，第二个的话，这一看还是那个一的无穷大，一的无穷大。行好了，那我们来看这个还是去拼凑，因为这啊，这是二 x， 二 x 就是我们说的那个那条狗，那条狗，那你一加狗，一加狗，那这肯定要拼个狗分之一， 然后这样的话三一照抄，三照抄给分子，再拼个二 x 就可以了啊，拼完了后我们就知道这个整体，这个整体就是业， 就是 e， 这个整体就是 e 全极限。好了，再看这个 s 和三 s 等加无穷无穷小在一替换，替换完了以后啊，就没有了二三得六，所以答案就是一得六次方。好了，那我们再来看第三，第三大 s 去于零的时候， 这个的话就可以用我们刚才啊刚才讲的那个了，因为我们知道 x 等于零， x 等于零，他属于这个出等函数，就这个，这个是那个出等函数，出等函数的定域里头 x 等于零，在这个出等函数的定域内，那我们这由这个 f 的连续性可以知道，我们可以直接把 x 等于零直接带进来就可以了， 所以这样的话啊，要结起来就比较快一些，答案直接就是零就出来了。好了，今天就跟大家分享到这里。

高等数学中为什么要强调初等函数？在高等数学的一开篇，我们讲到了初等函数这个概念。先来简单回顾一下哈，我们把密函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数反对密三指吗？这五大类函数称为基本初等函数， 由若干个基本出等函数和常数经过有限次加减、乘除或复合得到的，并且具有单一表达式的函数，就称为出等函数。那出等函数似乎是一个不太重要的概念，因为我们做题的时候根本遇不到，没有说哪一道题让你判断一个函数是不是出等函数。 但其实啊，辨识清楚出等函数这个概念，对于我们学好高等数学是至关重要的。因为出等函数提供了一种函数的构造方式，而高等数学中的核心三大 计算，求极限、求导数、求积分，就是按照这种构造方式进行的。比如求极限，我们是先搞清楚五大类基本出等函数的极限，然后是怎么算加减乘除的极限，最后是怎么算复合函数的极限。 至于等价无穷小的代换拍了公式等等技巧，都是由这些基本规则中衍生出来的。求导也是按照这个套路进行的啊，先学会求五大类基本出等函数的导数，再会求加减乘除的导数，然后会求复合函数的导数。 那复合函数这里用的就是练式法则，尤其是这个练式法则哈，有些同学不知道什么时候该用练式法则，就是因为没有辨识清楚这个函数的结构。比如我们举一个例子， x 的 x 的密这个函数，那先辨识一下它的结构，它是 五大类基本出等函数吗？不是，是加减乘除吗？也不是。那它是什么呢？它是复合函数。哈，我们是这样处理这个函数呢，哈，先利用对数横等变形，取一个亿，添一个 loin， 然后 x 可以挪到 loin 的前边，变成了它。这样一来，这个函数的结构就比较清楚了。 首先它是一个密函数，乘以一个对数函数，然后再跟指数函数做复合，所以它的导数我们就需要使用列式法则了， 因为它是一个指数函数的复合嘛，所以 e 的 u 次方求完导还是 e 的 u 次方，然后再乘以内部函数求导就可以了。而这个内部函数呢，它又是一个密函数，乘以一个对数函数，它 是两个基本主等函数乘在一起，所以我们再利用法则前倒后不倒，加上前不倒后倒，这样一来就算是完成了这个函数的求导。 那只有把这些结构辨认清楚，那么才能选对正确的方法。这就是为什么要把出等函数这个概念理解透彻的原因。当然了，这只是从做题的角度来看出等函数，从整个数学知识的发展逻辑来看出等函数的提出也是很有必要的 科学。从某种意义上讲的就是找规律。世间函数千千万，在这么多杂乱无章的函数中，如何从中寻找规律？出等函数就为我们提供了这样一种寻找的框架。那至于出等函数以外的，就是所谓的非出等函数，在那里啊，更是别有一番天地。

大家好，我是裴老师。今天啊，我们来分享一个小的知识点，就是我们常说的初等函数，到底是什么意思呢？这个概念啊，我们是从高中阶段开始接触，一直伴随我们整个高等数学的学习过程中的。 要明白什么是初等函数，我们需要先回忆一下我们认识的五种基本初等函数， 这就是我们高中阶段学过的五种基本的初等函数，密函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。那什么是初等函数呢？就是这五种基本的初等函数啊，进行 有限次的四则运算，或者是两两，或者是三三复合在一起的函数，我们就把它叫做初等函数，你听懂了吗？

好，咱们看一下球出的函数的表达是，那么表达是如何求啊？那么咱们看第一个，看第一个题，已知 f 括号里边 x 加上 x 分之一等于啊，后面这一堆球 fx 的表达是，那么这个题我们看一下如何做， 我们通常的做法是不是把这一堆令它为 t 啊，啊，令它为 t 是吧？然后呢，我们想办法把这个 x 解出来，然后带到这边，那么这是 t 是吧？这一又是一个 t 的 表达是，那么我们就求出来了，但是我们这个 x 好求吗？那么我们 x 分之一 两边都乘于 x 减去 tx 加上一等于零，那么求出这个 x 来代定号，那么我们代入上面这个式子的时候就比较麻烦，是吧？就比较麻烦，所以这种方法呢 啊，你可以思考一下，可下来你可以自己练一下，那么下边呢？我们看这个题到底怎么做啊？到底怎么做？那么我们看到了这边 x 平方啊，下边是 x 四十方，那么是不是我们可以两边， 是不是可以两边同处于一个 x 平方，那么上面就是个一，下边是 x 平方加上 x 平方分之一，看到他想的什么，看到他是不是马上会想到 x 加上 x 分之一的平方啊，那么他等于多少？他等于 x 平方加上 x 平方分之一加上个二，多了个二，所以后边要减掉二， 那么这个时候你看令 x 加上 x 分之一等于 t， 是不是啊？则则 ft 这一堆是 t 啊，等于这一堆也是 t 啊，所以 t 方减二分之一啊，啊，故， 那么 fx 一什么字母表示无关，那么 x 平方减去二分之一，他的表达是就行了，那么对于一个函数来说，他都有定义欲，定义率分母不为零，所以他不等于正负变成二 就可以了。好，那么 fx 这个表达是咱们就提呃，就就求出来了是不是？那么这个题呢，主要是考察我们 x 加上 x 分之一 平方等于 x 方，加上 x 方分之一，加上个二，还有一个 x 减去 x 平方，按 x 分之一 平方等于 x 方加上 x 方分之一减二。那么我们这两个 啊，这两个式子，你要对他敏感啊，要对他敏感，那么这个题就很好做了，对不对？这是第七个题啊，第七个题，那么下边呢，我们看第八 八个啊，第八个这个第八个，这个题 f 一坨是吧？ f 一坨，那么我们通常的把它另为 t， 然后后边是他，所以另为 t， 之后我们解除 x 了，再把 x 代换掉就可以了吧， 那么我们的思路丢了，然后我们具体来求解一下，那么令 x 加上一，比上 x 减去一啊，等于 t， 那么我们得到 x 加上个一，等于啊，等于什么？ tx 减去 t 的，那么我们就可以求得 x 等于什么？把这个负 t 一到左边来啊，那么就是 t 加上一 x 一到右边来啊，那么就是 t 减一。好， x 求出来了，那么 x 求出来上边是字，我们就可以用 t 去替换了啊，等于 等于三倍的啊，三倍的 f xx 等于什么？ x 等于 t 加一比上 t 减一， 减去二倍的 x 就是 t 加一，比上 t 减一啊，慢慢做，那么他是谁？他是不是就是这个？所以啊，我们把他 代换掉，推得 ft 等于三倍的，把它替换掉三倍的。什么？我们这里边 x 用 t 都替换掉了三倍的 ft 吧， 减去二 t 吧，把它切换掉，后边，那么我们把二选二 t 加上二，比上我们这个七减一， 那么我们把它化解一下，就等于九倍的 ft 减去六倍的 t 减去 t 减一，这是二 t 加上二，对不对？所以我们求得我们把这个 f t 一到 到右边，那么剩下八倍的 ft， 那么其他的我们都移到左边，变成正的六倍的 t 加上 t 减一分之二， t 加二了 啊，所以我们得到 ft 就等于，就等于啊，啊，四分之三倍的 t 加上四分之一倍的 t 减一分之 t 加一， 那么我们知道一个函数与什么字母表示没关系，所以我们得到 啊，所以我们得到顾 fx 等于四， 四分之三倍的 x 加上四分之一倍的 x 加上一，比上 x 减去一，等于他的 啊，等于他的，这是咱们这个题要求的，那么我们知道 x 减一在分母上一个函数他都有定义的，所以这个 x 是不等于一的，把他定义写一下就更完美了，是吧？这是我们这样一个题目啊，我们第八题，这个题目， 第八题，第八题，是吗？好好琢磨一下啊，他和我们第九题啊，第七题是不一样的，那么我们看一下第九题，第九题这个题， 第九题， a 零加上 a 一， x 加上 a 二， x 方加上 a 八 x 八四方，后边 a 告诉你们他等于多少，让我们求 a 一加 a 二加到 a 七， 他少了个 a 零，少了个 a 八，是不是？姐？那么我们观察这个柿子， 那么 x 等于一的时候，是不是我们就把 x 消掉，就是 a 零加 a 八，我们能得到，所以啊，我们令， 我们令啊，我们令，令什么呢啊？我们射啊，射射 fx 等于 a 零加上 a ex 加上 a 二 x 房一直加加到 a 八 x 的八次方，他等于二 x 减去一的八次方啊。 那么这个时候我们 x 等于零的时候，是不是带 x 的像都是零啊，所以等于 a 零啊？ a 零，我们带到后边这个 x 等于零，所以一的八次方，负一的八次方，那么就是一，那么我们得到了 a 零是一， 对不对？ a 零是一啊，那么我们又知道，我们又知道 f 一等于什么？ f 一是不？ a 零加上 a 一加上 a 二，一直加上 a 八呀，它等于什么？二？ xx 等于一，所以一的 boss 法，那就是一吧。 那么这个里边我们 a 零是一啊，所以我们推出来什么 a 一加上 a 二加上 加到 a 八，他是等于零的呀，是吧？他是等于零的。 那么这里边只需要我们知道这个 a 八是多少，我们就求出来了， a 一加到 a t 对不对？那么 a 八是多少啊？ a 八是多少，那么我们代数再代数 怎么求？不好求了吧，那么不好求了，他告诉我们这个是八次方啊，八次方，那么对于一个二 x 减去一，他的八次方，那么我们知道 a 八 是系数后边是 x 的八字方，出现 x 的八字方，是不是每一项都得取这个二 x 一共是八项相乘吗？相当于，是不是？所以他的八这个括号乘出来八四项，那么必须是二 x 八四方， 二的八次方， x 的八次方，那么才能出现这一项。所以呢，我们 a 八等于多少？二的八次方就有了吧，是不是 啊？又因为关键问题就在这，是吧，等于二的八四方啊，顾 a 一加上 a 二加上 加到 a 七，他就等于负的 a 八呀，等于负的二的八次方，负的二的八次方是多少？负的二五六吧。 啊，这个题我们就求出来了啊，那么这个题目是让我们求 几个数相加的，是吧？其实我们是利用了函数啊，表达式的一些性质啊，一些特点来求的好，那么我们呃给大家讲的是表达式函数的 这个初等函数的表达是如何求啊？那么给了大家一个思路。那么第七题这个呢，就是，呃，先配出 s 加上 sv 之一了，然后我们再去带换，那么第八题呢，就直接带换解除 x 来，然后带进去 啊。那么第九题呢，就是用了函数的一些特点，负值，一般的是零一负一这些特定的值，然后看出一些端倪来，是吧？看出一些特点，然后我们再去求。好，今天这节课到这里，那么下次课再见。

各位小伙伴们大家好，本节课我们来看一下倒数的运算，那么这个所谓的运算呢，在咱们高中阶段呢，分为三种类型，一个呢是最基本的出等函数， 那么第二类运算呢是四则运算， 第三种是复合函数的求导运算。我们先来看一下最基本的出等函数的求导运算，我们高中阶段呢，学过的这个出等函数啊，有八个，我们先来举个例子， 求这个函数在 x 零处的倒数值，那么根据咱们昨天所说的倒数的概念，我们可以求出，根据咱们之前 课程所说的在某点处的倒数值啊，就等于他，然后我们把这个东西都带进去， 那么带进去之后啊，结果是这样子的，这是求一个函数值的极限，那么这个极限一般情况下我们都可以把这个东西带成零试一下，哎，我发现这个分为零了，那么这么计算下去是没有意义的，所以我们还要把这个式子进行化解， 展开之后是这个样子的，我们把这里面进行一下化解， x 零方和 x 零方剪掉，然后呢这个 分子分母通出一个，这个时候啊，求的是这一串的极限值， 那么加法的极限就相当于极限的加法，那么他就等于二 x 零的极限，加上德尔塔 x 的极限，那么德尔塔 x 可以去零，所以他的极限值就等于二倍的 x 零。这道题啊，在 x 零处的倒数值就等于二倍的 x 零， 那么当 x 零取三的时候，倒数值就是六，取四的时候就是八，那么如果说我要求这个函数的倒函数呢？哎，倒函数就等于， 也就是说这个函数啊，在 x 零处的导函数值等于二 x 零，那么这个函数的导函数等于二 x， 那么这是函数值，这是导函数， 他们之间是有区别，这是一个常数，这是一个函数，我们一般啊都会把一个函数的早函数给他求出来。咱们高中 学过的有八个基本中的函数，那么他们的导函数分别是什么呢？我们来看一下。 一上来就是 咱们高中学过的这个八个基本中的函数，我们来看一下他们的导函数分别是什么。好， 以上就是咱们这个八个基本中的函数的求导公式，那么以后如果说遇到这八个函数了，我们不需要拿这个过程来求，我们只需要带公式就可以。

期末高速的入门四出等函数。什么叫做出等函数？出等函数是由六种基本出等函数 经过有限次的加减、乘除以及复合而形成的函数。你可以自己举例，你可以举出无数种例子。所以咱留个作业，自己举十个例子，然后发视频圈我 好了，咱举的这几个例子你看都是有限次的加减、乘除以及复合的都是出道函数。有限次的加法，乘法，这是复合，复合里头还有一个加法，对吧？加法，这还有一个复合，这什么除法？上面还有一个乘法， 这什么符合有限词的都是有限词的。举的例子比较简单，请你举几个比较复杂的吧。关注我，期末必过！

上回说到塞阿发的平方加口塞阿发的平方等于一，这个视频我来讲讲如何用这个公式进行同角三角函数式的化解。 比如赛阿法除以根号下一减口算阿法的平方，再加上根号下一减三阿法的平方除以口算阿法，并且阿法属于零到二分之派，那这个算式化减等于啥呢？观察这个算式，看到一减口算阿法的平方，有没有想到啥？赛阿法的平方加口算阿法的平方等于一， 那赛阿法的平方就等于一减口赛阿法的平方，那这个就可以用赛阿法的平方代入，这样就能开根号了，也就是赛阿法千万别忘了加个绝对值。 接下来看这个根号，类似的，一减三 f 的平方就等于口塞 f 的平方，那就用口塞 f 的平方带入，这样开根号，结果就是口塞 阿发的绝对值。下一步要把这两个绝对值去掉，这就得看赛阿发和可算阿发的正负了。看看条件，阿发属于零到二分之派，那他俩都是正的，所以把绝对值去掉后都不变，最后他俩相处得一，他俩也得一相加，结果就是二。化解完毕。 回顾刚才的过程，关键就是看到一减可散阿发的平方就等于散阿发的平方，看到一剪散阿发的平方就等于可散阿发的平方。另外，开根号出来后，别忘了加上绝对值。 搞定了这道题，咱再来看个复杂点的，根号下一减二三阿法，口三阿法，比上三阿法减根号下一减三阿法的平方，并且阿尔法属于四分之派到二分之派，这个算式化解出来是啥呢？观察这个算式，有两个根号，先看这 个小的，里面是一减三 f 的平方，刚才讲过，就等于口塞 f 的平方，再开根号，也就是口塞 f 的绝对值。接着看这个大根号，把根号下刀化解一下，你看有个一 把它换成塞阿发的平方加口塞阿发的平方，试试发现没，这是个完全平方公式，就等于塞阿发剪口塞阿发的平方，那算式就可以写成这样，开根号出来就是塞阿发剪口塞阿发的绝对值。 接着要去掉这两个绝对值，还是来看看脚的范围。阿尔法在四分之派到二分之派之间， 那对应的塞阿法和口塞阿法的值都是正的，并且塞阿法明显大于口塞阿法，所以塞阿法减口塞阿法大于零，去掉绝对之后不变。口塞阿法大于零，去掉绝对之后 也不变。这样算式的分子分母都一样，结果就得一。通过这个例子不难发现，遇见一减二赛阿法口算阿法时，只要把一换成赛阿法的平方加口算阿法的平方，就正好凑成完全平方 好了。以上就是这个视频的全部内容，关键学会用公式进行化解。遇到一点三阿发的平方就可以换成口三阿发的平方，一点口三阿发的平方就能换成三阿发的平方。 还有一减二赛阿法口算阿法把里头的一换成赛的平方加口赛的平方，就能凑成完全平方了。怎么样，你学会了吗？如果学会了就速速刷题去吧！

好，下面我们来看考点四基本初等函数这一部分呀，在刚开始的时候啊，考点一览的时候就给大家说了，这部分是非常重要的，给大家标了四颗星。 好，我们首先来看一下基本出等函数都有哪些，总共有五大类基本出等函数，其中包括反三角函数、对数函数、密函数、指数函数以及三角函数，我们可以看到这里面啊，反三角函数和三角函数不要混为一谈， 反三角函数是是属于反函数类别里面的，他是关于三角函数的一个反函数，所以他是属于一类的，他们不是一个啊，你可不要一一说反三角函数。好，那就是三角函数，不是的，他们是两类，就像两条平行线一样 啊，还有对数函数、密函数，指数函数，记住，反对反函数，对密函数、指数函数、三角函数。 ok， 这记住啊，我们高等数学研究的就是在这五大类基本出等函数的基础上的一个延伸和延展。 好，这是五大类基本中的函数，一会会详细阐述。好，再往下一看。我，我们来看，还有一类叫常量函数，它也叫常函数，也叫常函数，常函数的表示方法就是 y 等于 c， 这个 c 啊，是一个任意常数， 你看啊，它是一个任意常数，我们来举一个例子啊，比如说 y 等于一， y 等于一，它所表 式的图像，我们来看一下。好，我问你，这个是零，这是坐标轴啊，这里是零，然后横着的，这是 x 轴，这个是 y 轴， y 等于一，你看谁等于一是 y 吧，所以你要在 y 轴上找到一，这个点。 好，画一条 y 等于这条直线啊，他就是 y 等于一的图像，这个也叫图像啊，也叫图像。 然后呢？你看啊，无论 x 取任何值，他所对应的外值是不是永远都等于一？所以记住刚才我说的这句话， 长量函数就是无论 x 取何值，你随便带一个 s 进去，他所得到的 y 值都是固定的，就是这个长量 c。 好，这叫常量函数，也叫长函数。我们就介绍到这里啊，这是这个。接下来还有一个叫初等函数，初等函数和基本初等函数可不一样， 比他多了两个字，那地位可就不一样了啊。你来看一下，出等函数怎么来的呢？他是由，哎，你看由，由基本出等函数 和常量函数。哎，你们俩通过有限次、四则运算以及有限次复合，而且能用一个解析式表示的，就叫做初等函数。 再说一遍啊，由基本处等函数，就是我们上面这些给大家举了一个例子，你看这个 x 平 方是 me 函数，它头上的这个 me 次是二，所以它是一个 me 函数， 好，是属于基本初等函数的。然后 cocx 也是基本初等函数，是三角函数，有限次四则运算。这个前面我们已经提到过了，四则运算指的是加、减、乘除，他们之间就是加，然后他们俩两个相加了之后这么一个整体， 这么一个整体，它就叫初等函数，这是一个整体初等函数， ok。 还有一个 y 等于 loin x 平方， y 等于 loin x 平方，它举的例子叫 复合，它是经过两次复合。你看这个函数，你能有什么感觉？你说，你说，老师，我仿佛看见了一个 s 平方，是的，这里面有 x 平方，你还看到了 lowing 对数，对不对？好，这里面还有一个对数 烙印 u， 为什么我要写成烙印 u 呢？是因为这个 u 的位置是不就是 s 平方的位置？所以它相当于一个对数函数，还有一个密函数，他们两个 经过有限次复合，哎，一次复合，哎，复合而成的，而且，哎，这两个函数我合在一起用一个解析式来表达，那么就叫初等函数。这也是啊，给你发画画的这个方框是一个解析式， 他不是分两段，他是一个。好，这叫初等函数。所以你看初等函数要包含的类型是不是要比基本初等函数多很多？基本初等函数虽然他也有很多，但是啊，他的类别是固定的，都是反函数是一类，然后对入函数是一类， 函数是一类，他有固定自己的标准，有自己的类型特点和标准，那么 初等函数就不一样了，初等函数就是在你上面有这么多类，是不是我把这每一类经过有限次加减乘除与复合有限次啊？复合 用一个紧急式来表示的， ok， 这叫初等函数，所以不一样，不要弄混了。好，这是我们给大家啊，举例常见的。

在上个视频中，我已经给你讲了，长数函数和尾函数的倒数该咋求，其中长数函数的倒数就得零，而尾函数的倒数就是把指数拿下来作为系数，指数再点一作为指数。 这俩玩意你已经很熟悉了，不过在以后的学习中，咱还得经常使用一些其他数等函数的导数，比如指数函数、对数函数和三角函数等等，那他们的导数又该咋求呢？ 这个其实也没啥神秘的求，这些函数的导数利用的都是导数的定义罢了，只不过相应化简的方法都超过了咱目前的学习范围，因此我就不浪费时间去证明了，你只需要记住他们的结论即可。 比如指数函数的倒数，你就把指数函数再写一遍，然后乘上落个 a 即可，这个 a 就是这个指数函数的底数。在这里有个特殊的情况，如果这个底数是异的话， 那 y 等于 ex 这个函数的倒数按照刚才的结论就应该等于 edx 乘 love you， 而这玩意不就是 e 吗？因此结果就等于 ex。 不难看出， edx 的倒数就是他本身嘛。接下来咱就看看对数函数，他的倒数就是 x 乘 lga 分之一，这里 a 还是元函数的底数， 同样，如果元函数的底数是一的话，记 y 等于 lovex 这个函数，那他的倒数按照刚才的结论就应该等于 x 乘落个一分之一，而这玩意还是一，那结果也就是 x 分之一了。到此，对数函数咱就也搞定了。 最后，还剩下这俩三角函数，其中三 x 的倒数就是扣三 x， 而扣三 x 的倒数就是三 x 喽，嘿嘿，你可别想当然，扣三 x 的倒数可是负的三 x， 一定不要忘了这里还有个符号呢。好了， 就讲这么多，总结一下这个表格就是基本中的函数的导数公式表吧。以后你再遇到这些函数，那你就必须得马上想到他们的导数分别是啥才行。怎么样，听懂了吧，赶紧动手试试吧！

每天一节高数课，期末考试不挂科。今天我们来看初等函数连续性的习题课。好了，先看第一个， 第一个的话这个比较简单，我们一看判断出来这个是出等函数，然后我们只需要把它这个符合出等函数的符合函数啊，把这个放进去就可以了啊，给里头求极限就可以了，答案直接就是更好啊。那第二位是一样的，第二位是一样的，可以直接带四分之派往前一带 啊，变成了二分之派，三也二分之一，所以他一，你再看第三个，第三个出现这种根号的时候，我们前面都说过好几遍了，只要出现根号的话，呃，必然分子或分母有理化，那这个根号的话，他既然在这个分子，那我们肯定要走的是分子有理化。 分子有理化的话，他用的是平方加公式，所以他如果是 a 减 b， 你就给他拼凑 a 加 b 就可以了。我给分子分母同时拼了一个 a 加 b， 呃，拼完以后， 分子变成了一， x 和 x 消掉了，分子变成了他，这个时候把 x 等于零，直接往前带就可以了。好了，再看第四个，呃，第四个还是符合符合函数，初等函数 s 去形无从大的时候，我们来想象， s 如果去进无从大的话，那这个就是 x 分之一， s 分之一就去进无从小了。 无形象就是零，那一的零次方就是一啊。第五个，第五个的话只是我们两个重要极限中的一个。那，那直接艾斯去进零的时候，这个东西就是一啊，那乱一就是零了。好了，再看这个六七八，六七八的话啊，都是我们前面说的这个一的 无穷大，一的无穷大小。好了，看第六个，你做这些题的时候可以先去大概判断一下啊，这个判断起来都比较简单好看。第六题啊，第六题的话，这块我们主要这个一的无穷大 二字形，主要是去玩拼凑一加 x 分之一啊，那这一块这个 x 分之一的话，这个整体就我们所说的那个狗 啊，那条狗啊，那这块的话，那肯定要拼一个狗出来，那你把 x 和二分之一拆掉就可以了啊，那这三个合起来，嗯， x 均过去呢，他就 e， 所以答案就 e 到二分之一次放好了，再看第七题，第七题的话， 这个三倍的摊太方案啊，这是那个整体啊，这就是那条狗啊，那这，这是那条狗的话呢？这个位置我们肯定要拼个狗分之一， 那狗分子拼完了以后，等于说我给分母多了一个三倍的摊太方，那我分子肯定要多个三倍的摊太酸。呃，那这个烤摊太次去哪了？我们都知道这个啊，摊太，摊太和，这个烤摊太啊，他俩是回倒数的摊太和烤摊的回倒数的，那烤摊太 x 的平方，那不就等于弹腿 x 的平方分之一吗？所以把它放到了分母这个位置，放到分母这个位置以后，前面这一堆，这一堆就是一，那，那这个摊对方摊，对方消掉了，所以答案就是一的三次方。好了，再看最后一个，呃，最后一个的话，我们第一步分离常数六加 x， 分子写成六加 x 减去三 啊，分离常数分离出来以后可以写成这个样子，那这个负的负的三除以六加 x， 这就是那条狗啊，那，那这块的话，我们就要拼个狗分之一了，就拼狗分之一，他的倒数，那我给他乘上了一个他的倒数负的三分之六加 x， 以后马上去乘负的啊，三除六加 x， 因为 他俩成起来，他俩成起来是一相对，没成没处。那原来的话有个二分之 x 减一，二分之 x 减一，照抄，照抄了以后我们再来看 这部分，这部分不就那个 e 吗？所以这个 e 照抄，然后把指数这个位置，指数这个位置，就这部分 这部分给他写到这个位置。好了，我这个三和二写到一块，变成了二分之三，那前头有个负的分母是六加 x， 分子是 x 减一啊，就写到了这个位置。好了，那我们再来看， x 是去进乌熊大了，那你当 x 去进乌熊大的时候看一下 x 减一除以这个，呃， 六加 x， 那这个直接就一了，抓个大头上来，直接就一，一的话，前头这有个符号啊，那答案出来了，一的负二分之三次法。好了，今天就跟大家分享到这里。

常用的标准展开式呢，总共有七个，那对于这七个的来说的话，那有一些展开式的话，它是有点相似的，或者是有一定联系的，那这个时候呢，我们就可以少记几个，所以这几个标准的展开式，我一会给大家说，那哪些是有联系的，那你需要记住的是哪一些？ 那你需要哎，一定要把它给掌握住的是哪些？这些标准展开式的话，一定就是我让大家记得这些的话，一定是要把它给备注到，就比如像被我们的求导公式哎，求求积分的公式一样，把这些公式呢给他记住。那我们首先看第一个 是一减 x 分之一，哎，一减 x 分之一，它展开之后呢就是 c 个码 n 从零到无穷 x n 次方，那后面的话就是关于我们这个展开是 或者是这个密集数的话，哎，他不是展开成密集数的形式吗？后边的话就相当于这个 x 取值，取哪些值的时候呢？后面的这个密集数他是收敛的，就相当于展开成的这个密集数，他的一个收敛意识什么，所以要求的是 x 大于负一小于一。 那这是关于我们的第一个展开式，那对于这种展开式，我们在考试的时候或者遇到题目的时候呢，你首先根据这个题目呢，你要能够把这个呃标准的展开式呢，它这个形式呢，你能够定位到， 而且对于这个式子来说是一减 x 分之一，哎，注意这前面一定是一减就分母，上面呢一定是一减，这个一减的话是不能变化的，一定是一减什么？那在这里面的话，对于这种形式来说， 哪个是可以变动呢？ x 的位置上呢，是可以变动的，所以就像我们之前学过的，哎，比如我们在求等价无穷小贷款的时候啊，比如我们的重要极限的时候，那我们都都在说你要学会对于我们的公式的话，你要学会进行一个灵活使用， 那在这里面也是一样的，对于我们的标准展开式的话，你也要学会，你也要学会对于他进行灵活使用。首先的话，我们先把这个常用的标准展开式，他的基本的形式呢就 哎最初的一个形式呢，给大家记住，记住之后的话，你要知道哪些地方就是哪个位置上的元素啊，是可以变化的，也就是对于这个式子来说的话，那一减肯定不能动，哎，一定是一减。什么样的形式的时候，那这个 s 位置上呢？我可以变化， 所以话我们要记住他的广义形式，那对他进行灵活使用的话，那我们要学会画框框， 把 x 位置上框起来，所以我们记它的形式的话，就是一减去，一减去， x 位置上呢，我可以框起来，它就是是 c 个码 n 从零到无穷 x 框起来的 n 次方，那后面一样的话，那 x 他的取值范围呢是负一到一，那这里面呢也是一致的，就是这三个位置上呢，他是统一的，所以这后面呢也就是负一 x 框小于一，那这个时候的话，我这个手腕，可能我哎在真正的让你哎结，或者是让你把一个函数展开成密集数的时候，那这里面呢不一定 是 x， 我可能呢把它变化成二 x 或者是 x 平方的形式，如果把它变成是二 x 的话，那这个什么框前一部分就是二 x， 那后面这个 x 的话也要变成二 x， 这就是我们相应的。哎，这个第一个式子， 那第二个式子的话是一减 x 分之一，一减 x 分之一跟一减一加 s 分之，跟一减 x 分之呢？他们是差不多的，那对于这个差不多的话，我们就把我建议的话，这两个公式呢是差不多的，我们就记一个就行了， 他们之间呢也是有联系的，你们可以看到。那对于第一个式子呢，我是一减 x， 那下面这个一加 x， 我如果我如果记住第一个公式，我是不能够得到第二个式子啊？第二个式子他的表达形式或者是他 的一个展开上，因为它可以 x 位置上我可以变换吗？那一加 x 我是不是可以看成是一减去负的 x， 所以我就相当于呢？对于第二个式子来说，我们用第一个式子呢，可以写出来，那一加上 x 分之一， 那我是不是可以写成是一减去一个负 x， 那所以就相当于是我第一个式子呢？我记得是一减 s 分之一，那第一个形式里面 x 位置上是不是就是负 x？ 那我们写出来之后，那展开之后是不是 c 个嘛？ n 从零到无穷，然后是负 x n 次方呀？因为狂拐这部分是负 x， 所以你这里面 x 是不是要替换成负 x 啊？那这就是我们的等价变换呀，或者是等价变形，那就是负 x n 次方吗？那整理起来 之后就是 c 个马恩从零到无穷负一的 n 次方， x n 次方，那是不是我们展开式跟第二个式子是完全一样的，所以第一个式子和第二个式子我们就记住一个就行了。我们这里面的话， 建议大家记第一个，因为第一个它形式呢相对来说比较简单，那这样同样的话 x 取值范围，那这里面是 x 大于负一小于一，那是不是相当于是负 x 大于负一小于一，那我们挪过来之后的话，一样可以得到 x 也是大于负一小于一的， 这样的话我们就得到了我们的一加 x 分之一它的一个标准展开式了，那这就是第一个和第二个的话，我们进一个就行了。接下来我们看第三个 e 的 x 方， e 的 x 方呢 话，那在这里面的展开式呢，是比较整齐的哎，一的 x 方呢，它展开成 n 从零到无穷 n 的阶层，分之 xn 次方，那这里面 x 的展开式呢是属于 r 的， 那在这里面呢，你可以看到，哎， x 收敛欲呢是属于 r 的，也就是对于后面这个秘籍是吧？ x 取任何值的话，他都是收敛的，那这个呢，你可以也可以去证明一下，其实这里面也不用证明，我们看出来之后的话，那 就由我们前面学过的我们秘籍数他的一个收敛区间与收敛半径的求法，你求出来之后，他半径呢就是正无穷，所以 x 是属于 r 的那一的 s 方，那我对他进行展开之后呢，同样道理，那我们先把这个一般的形式呢给他记住，记住之后的话，那这里面 呢易得多少？次方肯定不能变，所以就是 x 位置上呢，我可以变化，所以我们写出来之后就是 x 位置上呢，我可以框起来，那同样的话， x 位置上我可以是不是写成是 x 平方呀， x 三次方啊等等，这种都可以，然后写出来之后是不是 c 个码 n 从零 道无穷， x n 次方比上一个 n 的阶层，这里面 x 呢是属于 r 的，最相应的话，我们就是辛苦大家一下，不仅把这个展台式记住之后呢，后面的这种 x 他的取值范围呢也记一下，就顺便，哎，给记一下， 因为我们考试的时候呢，你写出展开制之后的话，相应的 s 取值范围呢，你也要写出来，那这样的话才能给你满分。如果就是你只写出来这种标准，是哈只写出来展 还是 x 取值范围？哎，如果 x 取值范围本来就是 r 的话，那你这个不写那是没有关系的。如果 x 取值范围呢，他不是 r， 比如是负一到一的话，那 x 取值范围你没有写出来，那他有可能是扣你分的，扣一分可以扣两分，那因为你没有写完整呀， 那他扣你分呢？哎，也是有理由的，也是有理由的，所以的话他扣你分呢，其实，呃也是比较 合理的，所以的话大家就是为了就是我们能够多拿点分，那我们就多辛苦一下，把后面的这个我们就是在记 前面的这个展开式，展开式的同时的话，那顺便把后面 x 取之法呢，也可以记一下，那这个时候呢，保证我们拿到的分数呢，一定是就是我们把这个公式记住之后 的话，那我们分分数的话，一定拿到手里面就不丢任何一个分数，这是第三个，就是一来四方的话，我们记住了他的一个表达式，然后第四个和第五个的话，他们也有一定的联系啊，比如 cx 呢，他就是展开式呢，就是，恩，从零到无穷 负一到二 n 加一的阶层，负一到 n 次方，二 n 加一的阶程分之 x， 二 n 加一次方的 x 呢，也是属于二的，这因为 x 取值范围呢？就是二吗？ n 从零到无穷的时候， q c x 啊，是 n 从零到无穷负一的 n 次方，二 n 的阶成分之 x 二 n 次方，那这一块的话，我们就是记一个就行了，因为这里面 s i n 和 cos n 它们是什么关系？ 是不是求导的一个关系啊？三，我求导之后是不是就是 q c x， 那我们求一下，那对于三 x 之后，三 x 我的展开式是不？ n 从零到无穷负一的 n 次方， 二人加一的阶层分支， x 二人加一次方，那我对他后面这个进行求导的话，那首先负一的 n 次方是常数吧？我可以提到前面去，每一项分别进行求导，那是不是就是负一的 n 从零到五九负一到 n 次方，然后 x 二 n 加一次方，那是不是就是我们的密函数进行求导？那首先我们系数是不是二 n 加一 再乘上一个二 n 次方，哎，比上一个二 n 加一的阶程，那这个二 n 加一和二 n 加一的阶程，他们俩约分之后，他是不是只有就是 r n n 的阶程了？所以得到结果呢？ n 从零到无穷负一的 n 次方， x 的二 n 次方，比上一个二 n 的阶程，那这样的话得到是不是就是 cosine x 了？ cos x 它的一个展开上，所以对四第四个来说的话，那同样的话， cos x 我对它进行求导之后，是不就是负的三 x 啊？所以我们也可以就是记下面的，但是我这里面呢是建议记我们的 sa x， 第三 a x 它的表达是为什么第三 a x 呢？因为三 a x 它直接求导就是 cos x 啊， 空线修到之后的话，他是不是对于 cs 他还差一个符号，而且的话他的形式呢？哎，求完导数之后，然后你再对他进行变形的时候呢，不那么容易写出来这种形式，所以话我们就是，哎， 记第四个就行了，就是 coc x 和 c x 呢，你记一个，我建议大家记 c x， 那如果您呃记 c coc x 也行，只要我们能够最终把这个表达式呢给它展开出来就行了。 那关于第四个和第五的话，我们考试的时候呢，其实用的就是遇到的也不是很多，所以我们大家也是要把它记一下，哎，记一个就行了啊。第六个是老影一减 x， 老影一加 s， 那这个大家就看到了，他其实是不是就跟一加 s 分之一和一减 s 分之一他俩的一个， 或者说他俩的一个关系是差不多的，所以第六个和第七个呢，他们之间呢也是有一定联系的，所以我们呢也是记一个就行了。那我们看一下老影 e g x 是负的，恩，从阴道无 n 分 n 分之 x n 次方，那 x 呢，是大于负一，小于等于一 n 从无穷老影一加 x x n 从一到无穷负一的 n 减一次方 n 分之 x n 次方， x 呢，是大于负一，小于等于一的。那对于这两种情况的话，我们同样也是干什么呢？ 我们同样的话也是记一个就行了，那对第六个的话，我我们就是跟前面保持一致的话，我们就记第六个， 我们只需要记第六个就行了，那同样的话也是 lowing， 肯定是 lowing e 减，这个 e 减的话肯定是不能变的，后面的话 x 位置上呢，我是可以变化的。然后我们写出来之后呢，就是 c 个码， n 从负一的 负的 n 从一到无穷 x n 次方，比上一个 n n 分之 x n 次方，那这里面的话，那一减去 x， 因为为什么要记第六个啊？因为相对来说第六个形式呢，是比较简单的，它是负的 n 从一到无穷 n 分之 x n 次方， 而第七个的话是不负的 n 减一次方啊，前面还有一个负一 n 减一次方，所以相比较来说呢，没有那么好记，所以我们就记第六个。那同样的话，由六的话，我是不可以推到七啊？由六的展开式的话，我可以推推出七的展开式， 我可以推到七的展开式啊。那这个里面的话，是不是相当于我这里面我记得第六个式词是老影一减 s， 那我要写成是老影一加 s， 我对它进行展开的话，老鹰加 s， 我是不是可以写成是老鹰一减去负 x 啊？所以这个时候呢，相当于我框前这部 x 位置上是不是就是负 x？ 这位代入之后就是负的 n 从一到无穷负 x n 次方，哎，比上一个 n， 那这个时候的话，那我们展开之后，他说挪到里面去，就是 n 从一到无穷负一 n 次方，负一到 n 次方，然后负的负的负一到 n 次方， x n 次方，比上一个 n， 那这里面负一乘上负一的 n 次方，我说负一乘上 n 之后，我再乘上负一，我可以写成负一的 n 减一次方，也可以写成负一的 n 加一次方，都没有关系。 所以我整理之后的话，我是不是就可以写成 n 从一到无穷， n 从一到无穷，负一的 n 减一次方， xn 次方比上一个 n， 那这样的话，我们的展开式是不是就推导出来了？同样 x h 值范围呢？是大于负一，小于等于一的，那这就是关于我们的常用的标准的展开式。

将这个函数展开为 x 的密集数，那你注意，我们刚才说展开是有两种方法，那么一种呢叫直接法，但是要算出这个函数在零点各阶导数写出太乱，级数再考砸余下。那大家注意，对这个就很麻烦， 所以呢我们就考虑谁啊？建建方，那么建建方呢，就是要利用已有公式和密集数的性质 一个公式，当你拿到这个题就看，那么他呢跟我们刚才呢，也有哪个公式可以结合起来啊？这就是，那你得从这个题你可以联想到哪个公式， 大家注意，对这种呢就是叫有理函数。分母是二次式，我们一般就把分母怎么样，把它就分解 应是拆开啊，所以你看我们拿来以后，这个时候这个 f x 它就等于谁，就等于这个 x 放在前面，因为它要占 x 密集数，这个是符合要求成绩就行了，只要把后面展开，那么后面怎么做呢？就是分母分解因式， 你看这个分分解因式以后，他是不是可以写成 x 加二，乘上去 x 减一，然后为了拆开，我把上面呢，是不是可以写成 x 加二，减去谁啊？ x 减一， 那两人一减以后，上面变成谁啊？上面呢？正三，那我来个三分之一就可以了，所以你看这地方可以写成谁三分之 x， 然后里边呢？这是不就可以写成 x 减一分之一， 然后后面这个地方呢，就是减去 x 加二分之一， 那你要展开为 x 密集数，这个符合要求，只要把后面展开为 x 密集数，那这个时候呢，你看我们为什么要拆成这个？那当然是要联想到这个公式，谁呀？就是一解 x 分之一， 这个等于谁？这个等于 sigma n 从零到无穷，谁啊？ x n 次方。 还有跟他对应的一个结论，那就是一加 x 分之一等于谁，那就等于 sigma n 从零到五穷，这是负一的 n 次方， x 的谁 n 次方。所以你看我们拿到这个以后，那为什么要这样子猜呢？ 实际上就是能够跟这两个义务公式联系起来，那么具体怎么联系起来呢？那你现在看这等于谁？这是不等于三分之 x， 哎，这是 x 减一分之一，人家是一减一分之一，前面加个负二就行了，那它就等于谁负的 sigma n 从零到五乘，然后 x 等于 n 次方。但是这个呢？怎么展开乘 x 密集出来？ 人家是一加，我们是二加，你是不是可以往外提一个？算不上提一个二，那就减二分之一，这里边就写了，谁就写成一加上二分之 x 分之一， 那这个时候他就可以用这个公式，那就是把这的 x 换成谁啊？二 分之 x， 所以你看我们是不是立马就可以得到谁三分之 x， 前面这个呢？ for 的 sigma n 从零到无穷， x n 次方， 然后呢？再减一个谁二分之一，后面就是四个码，这个 k 从零到无穷，然后这是负一的 n 次方，后面呢就是二分之 x 的谁啊？ n 次方， 然后完了以后，注意，这一定要写范围啊，就是这个式的成立在哪个范围之成立，那你注意这两个成立人家都有范围， x 绝对值怎么样？小于一， 那你注意，我这个就是直接用你公式，所以这个对 x 的要求就这个地方，这个式子，他对 x 的要求 就是谁就是 x 绝对值效益。但是你注意这个呢？是用它，那你是把人家的 x 用二分之 x 换掉，所以它对 x 要求就是 二分之 x 绝对值怎么样？小于一，那就是 x 绝对值小于二， 所以一个要求 x 满足这个，一个要求 x 满足这个，那你两个都得同时满足。所以我们最后这个式子成立的范围就是 x 绝对值小于谁啊？一下面无非要做的工作就是把这两个同词密是不是整理到一起，把这个 x 乘进去就行了。 所以你看这个展开用的就是间接法，就是以后见到这种多项式笔有理函数这个基本的想法怎么跟我们已有公式联系起来， 那就跟这两个联系怎么联系？就把分母分解因式，把它拆成分母，是两个依次式的形式，然后利用这个公式就可以得到他的展开式。