格林公式成立条件的改进

好，大家好，我们来看一下这个 gaming 公式，在牛顿 nine s 公式里面，我们看到的是这种形式， 这个呢，其实我们可以这样理解这个面积，这个积分是面积，对吧？这个面积呢，可以用一条直线表示 f b 减去 f a， 可以认为它是一条直线嘛。 那现在呢，我们这个个人公司呢，他就是这个二重积分呐，他可以用一重积分来表示， 二重积分是体积，一重积分是面积，也就说体积可以变成用面积来表示。这个格林公式其实就是等于把这个空间从二维空间拓展到了三维空间， 那么在这个把这个平面区域，这个再再再讲这个 格林公司以前呢，先有一有一点点概念，这个单点联通区域就是 d 类 d 这个区域 d 里面任何一条 b 曲线所围成的部分都属于 d， 这个就叫单联通啊，这个呢就是副联通，因为因为这个曲线围到了他，他这个不属于 d 啊， 这个这个曲线 o， 因为这个这个格林公式是对有象有象线段来说的，所以我们规定曲线 o 的方向这样走是正， 就说这个区域啊，这个这个曲线所包围的区域始终在他的左手，这个叫正向啊，这个呢叫这个也是正向啊，这个区域嘛，这是 l 一 l 二，这个都是正向啊，沿沿曲线 l 二走的时候，这个区域也在他的左边， 那么我们看到这个格林公式，它就是这样的，这我们把这个看作是一个函数，对这个函数的二重积分等于啊，对一个有对对一条有向线段的，这个 b 曲线的这个积分 就是相当相当于我们把它啊理解为一重积分吧，这个啊，这个可可以理解为把它转化为对无常的曲线积分，对吧？ 那我们来证明这个公式，就假设这个区域啊，是这么一个区域，这个区域呢，由正向这个曲线 这个 l 三 l 四啊构成。那么呢对于偏 q b 偏 x， 对于这个区域的积分来说啊，他就可以写成这个样子啊。这个是先对 x 积分嘛？那这个我们看到他其实这个就是， 是吧？这一部分就是简单的一重积分嘛，那这个既然是里面这个函数，既然是求导 q 对 x 求导，那它的原函数就是 q 了， 那他不就等于这个吗？这个里面的积分写出来不就等于这个吗？这个 x 这个是对 x 积分吗？ x 用 y 表示，用 y 的函数表示，他就是这个样子，对吧？写出来了以后，这个这个积分就等于这一个。 好，然后我们再看 q d、 y， 他不是要证明这个东西吗？要证明这个东西吗？然后我们就 q 先证明 这这个一部分，这这个函数乘以啊，对 d x d y 积分等于等于这个这个 q d y 对 o 的积分，那么对于 q d y 这个积分也分成 l 三 l 是两个两个线段嘛？然后这 l 三 用 x 等于这个表示 y 的 y 呢？ y 就是从啊 d 从 d 到 c， 哈，我们看到他的这个这个方向是从上到下，这方向是从上到下， 从 d 到 c， 这个方向是这样的，然后写出来，写出来他就是这个样子 啊，这个都很简单嘛，就是这个这个相当于简单的这个 这个 q 用 y 用 y 用 y 来表示嘛？用 y 表示，他不是简单的变成了这个 y 函数的一重积分了吗？是吧？对于 y 的这个函数的一重积分就写成这个样子，积分线是从 d 到 c c。 对于啊，这是对 三哈， o 三来说，那么我们加个负号，把它变成这个样子，然后对 o 四也是同样的， 那么对 l 四，我们就 x 等于啊 pro 二 y 嘛，这个按按，按照前面的这个假设了，然后这个 l 四积分， 他就是是从 c 到 d， 对吧？然后把两个加起来啊，把这个积分以后的结果加起来，他就等于这个等于这个前面的这个偏 q 除偏 x 就就啊，就得出这个就是这个结果啊。所以这个这个证明其实啊，也不难的哈，那另一半也是采取同样的方法，只不过是把这个 d 看成 x 的函数就行了。

好了，格林公式了啊，格林公式，咱来强调一点，这里所说的格林公式是在平面曲线上的第二类曲线积分上来用的啊，是在平面曲线上的第二类曲线积分上来用的啊。假设有这么一个有界必区域，这么一个有界必区域。 好了，这个编辑他是一个分段光滑的 l 围成的，并且他取正向，这个正向也就是逆时针方向， 则第二类曲线积分等于这个二重积分。好了，这个二重积分的倍积函数，它是一个行列式。行列式第一行第一个元素是什么？是 rens 分之 ra 行列是第一行第二个元素是什么？是 rap 分之状。好了，第二行第一个元素是 p， 第二个元素是 q， 给他写成了什么？写成了 re 分之 rap 分之 rap 分之状 pe， 你书里见到的多是这个，他其实是由这么一个行列师来的啊。好了，第二类取现积分转化成了二重积分。 假设这个二重积分的背景函数简单的时候，对于这个第二类曲线积分，方便你计算很多，方便你计算很多。假设这个区域，咱换一个区域，换成复联通区域。 啥叫复联通区域？也就是这个区域里头有坑啊，有坑，这就画俩坑，就画俩坑，则在这个复联通区域上用格林公式怎么来？ 也就是这个二乘积分等于什么？等于曲线积分减去曲线积分，对吧？大的外面的曲线积分，咱 取的是正向啊，逆时针减去小的里面的曲线积分，就等于这个副联通区域上的二重积分。 咱所说的这个地是扣掉这两个圈的啊，扣掉这两个圈的这个部分啊，我们最后再来强调一点，如果你所选择这个曲线的方向是负方向，也就是顺时针的时候，你要在这个格林公式上加一个负号。第二 二句话啊，第二句话这个副联通区域，咱取的外面的和里面的全是正向的，全是逆时针的。

你来之前我们已经是冠军了，这是我说过最不后悔的垃圾话。我们刚刚淘汰绝经进入西部半决赛，杜兰特和他的球队已被横扫出局。我们在杜兰特走后再次成为了总冠军的有力争夺者。争冠球队都需要有一个干脏活累活的球员。在勇士队，这个人就是我。 一五年总决赛，我们一比二落后于骑士，球队开始使用五小阵容，虽然对方中锋比我高十五公分，但我平时的训练可不是白练的。 防守端我拼尽全力撑起球队内陷，进贡端，想尽一切办法让库里和汤普森能够得到投篮机会，于是我们时隔四十年再度夺得 nba 总冠军。 一六年，我们获得七十三胜，但在总决赛输给詹姆斯和骑士队。于是接下来的事情你们都知道，杜兰特加入了我们，我们成为史上最强球队， 并连续两次获得总冠军。再然后的是，你们也知道，杜兰特开始抱怨水花兄弟投篮过多，并逐渐开始越来越多的单打。勇士是库里的球队，但库里是个好人，他不会对杜兰特提出批评。我知道这个时候我必须站出来指出问题所在。 除了在场上的防守重任，场下我也绝对不允许任何人侵犯我的兄弟是地分库里。当我说出我心中的想法，我就知道我得罪了杜兰特，而他一定会离开我们。 如今库里和汤普森已经完全康复，还有维金斯、普洱和配顿的加入，我们很有机会再次夺冠。我会继续我的工作，成为球队防守端最重要的那个人，并让库里和汤普森打出属于他们的比赛。

嗯，今天呢，跟大家分享一下这道题，计算曲线积分，其中呢， l 为正向圆周， x 平方加 y 等， y 的平方等于九，这个明显看呢，我们就是个圆，它是圆周上的一个东西。 那么这道题呢，我们首先用于到的是格林公式，那么格林公式呢？他的原声， 他可以把曲线上的积分转换为二次积分，二重积分来来计算， 那么他的公式呢？是这个样子的， d x， d y 就等于这个环路上的几分 p， d x 加上 q d y， 那么这个意思就是说，嗯，他的一个悬度，这个叫悬度，那么他是等于他这个环路上的积分。环路上积分呢，就是说，假设我们有个封闭区域， 那么我们以逆时针为正，以他的左手侧左边，他的左手边为正，那么在这个单圆通区域上呢？ 嗯，我们假设一点它的一个旋度，它里面的旋转的程度，那么它是等于这个环路上的这个曲线上的积分的，这就是揭示了格林公式的意义。那么这道题呢，我们可以通过这个方式，那么根据这个来对比， 我们可以发现，那么这个地方的屁是代表的就是这个地方的表达， 试试 rxy 减二 y， 那么这个地方是 q 呢？ q 呢？就是这个 x 平方减去四倍 x， 那么我们同时要对 q 和 p 求他的偏倒，那么偏倒数呢？ 对 q 的偏倒数，那么 x， 那么就是二倍 x 减去四，那么对于 p 的偏倒呢， 他是对外的偏倒，那么这个地方就是二百 x 减去个二好了，然后通过这个地方呢，我们就可以知道 变为一个二重积分，那么就是用 qdx， 那么就是二百 x 减去四，再减去一个，再减去一个 p 的这个 积分就是对他的那个就是，嗯，偏倒数呢，就是二百 x 减二，就是加二。好了，这个地方呢就是 dx dy， 那么这里面化解一下呢，就是一个负二负号，提到前面来 就是二倍 dx dy 这个二重积分呢，他的是圆周上 x 平方加外平方等于九上的 正向圆周，那么他的半径呢？就为山，所以说这个地方他就是相于于 曲顶的面积。二重积分的几何意义啊？曲顶的面积是一个圆圆的面积，那么他他的高呢？就为二，所以说这个曲顶的面积就是一个圆的面积，那么圆的面积就是胎儿平 方，呃，派二的平方，所以说就等于九派，那么他的高呢？是二，就乘以个二， 那么就等于十八派，千万不要忘了前面还有个负号，刚才我们在这是负四加二就等于负二，所以添个负号，所以这道题的答案就是负的十八派，怎么样，你学会了吗？谢谢大家。

从没有哪只球队夺冠背后有着这般诡异的公式效应。这里回到一个数学热点格林公式。那是在二零一八年一场常规赛，队友杜兰特的大汉要求格林未能领会到，间接导致最后输球。二人在对喷 n 个字后，格林说出了那句，大以为你来了之前，我们就是冠军了，史称格林公式。 在三十四岁库里带队夺冠后，格林公司也迎来避还，你走之后，我们又夺得冠军了。在如今看来，勇士有杜兰特和梅多兰特，最大的区别就是 kd 阻碍了库里夺得 fmvp。 不知道杜兰特现在是怎样的感受呢？勇士拿到总冠军，而杜兰特所在的篮网 却在首轮被横扫出局，早早就回家钓鱼了，九赛一胜难求。在理性的球迷看来，格林公式看起来闭环，实际上只是一种偷看概念的文字游戏而已。这是勇士的强势，跟杜兰特时代是两个版本。这点要 庆幸当年的勇士其实已经被歧视，用詹姆斯和欧文破解，如果勇士不引进杜兰特的话，他们大概率会被大逆，软过他们夺冠的歧视，克制夺冠后的成员心态不是一个级别，詹姆斯却是统治过联盟超过十年的人。 库里、汤姆森和格林是打不过骑士的，更何况格林公式本身就是一个谬论，虽然他的体系上限确实不如库里，但他的个人能力上线是超过库里的。 而如今最令球迷开心的是，勇士和绿军都没有为了巨星而去用球队的未来去换几战力，核心人员都是自己选出或一手培养出来的，所以无论如何，今年都会是科学舰队方式的胜利巨星报贪模式的败类 库里圆梦总决赛 mvp， 老日米间的勇士也正在悄然经历着换代，但是库明加穆迪，还有塞下赛季回归的怀斯曼，这些年轻人的无缝衔接，让勇士的未来继续一片光明。

今天我们开始一部分新的内容，叫做格林公式。 什么叫格林公式？怎么又引出来这样的一个公式？那这个故事啊，我们现在从这个牛顿莱伯尼斯公式说起。 牛顿莱伯利斯公式啊，这个大家都知道，什么意思？ 说啊，从 a 到 b 上 fx 求定积分，等于把它 他的元数给求出来，就是一个 fx， a 到 b 带进去就是 fb 减 fa， 那我们啊，用这个来求呃，一重积分，当然这个没什么问题，把它的原数求出来，把上压线朝里一带，这么一剪就出来了。 但是我们仔细的讨论讨论，就是这个牛顿来不及自攻时，他到底说的是什么东西。 比方说左边 a 到 b f x 求一重积分， 我们如果用一重积分的几何含义啊来给大家理解，那就是，老师，这我知道啊， 你不是用面积来表示的吗？啊，从 a 到 b 上啊，它围成的这个区域的面积， 那大家看哈，从 a 到 b 上，对这个小 f x 求这个积分，它是在 a 到 b 这个区域上 啊，从 a 哒哒哒哒一直到 b 这个区域之上的所有的点都参与了， 那对这个小 f x， 那也说，左边这个函数，从 a 到 b 这个区域之上，每个点都参与了， 等于什么呢？等于 f b 减 f a， 这是 ab 的两个端点， 那也就是说 a 到 b 这个区域之上，你就观看他这个区域的两头的端点，把端点的值带到这个大 f 这个函数，这俩端点的函数值一相减就得了。 那你发现左右这两个式子他的明显的区别就是从 a 到 b 这个区域之上啊，每一个点上都参与了运算，哎哎， a 到 b 每个区域上点都有用，但是这个右边的公式光 ab 两个端点搞过来算一算就行了。至于 ab 区域中间的那些个点，不管了， 这个就是牛顿来威尼斯公式，他的意义啊，他的意义，那所以这个意义很大呀， 对吧？那 a 到 b 这个区域之上都有用啊，你都得折腾他，你都得去折腾和光把他两个端点带进去，那当然这两个端点带进去，当然直接更简单啊，对不对？ 当然这个函数小 fx 跟这个函数大 fx 他之间有关系啊，之间有关系，那我们是 从这个区域和这个端点之间来看这个牛顿拉密子公式，这个是在一重积分的时候，那我们的问题就是我们如果把这个东西升级到二重积分，那也就是说， 那也就说你在平面上的一个 b 区域地质上它的一个二重积分的话 来说，我们把这个问题升级一下，对吧？那牛的来面对公式是一重积分，在一个 a 到 b 的区域之上就一重积分，那我们升级一下，就是如果在一个平面的一个区，呃，区域地质上他的二重积分， 我们能不能把它升级到边界曲线？ 那也就说啊，咱就这么说吧，我画个图来，老师你不是喜欢画图吗？你看一中积分啊，刘德兰吧，你这次是这样说的，那么我们如果把它升级到二重的， 二重的在一个什么区域之上，求一个函数 啊，他的二重积分的话啊，那么正常的求二重积分，这个区域地里边的所有的点都参与了，求他的二重积分，我们能 不能把它表示成就关于他的这个边界曲线，那你说原来这个区域里头的内部的这些点都不用管了，光求他的边界 啊，边界大家看啊，对一个 a 到 b 这个区域，他的边界就是左边右边这两个端点，那如果对一个二维的区域，他的边界就是四周的这个曲线啊，叫边界曲线。哎，这个就是格林公式， 他的意义啊，他的意义啊，这是首先给大家解释清楚了，格林公式到底想干嘛，对不对？大家别学了一身子，最后格林公式到底能干嘛用，你也不知道，对吧？哈。啊，就是这个， 那有团说啊，老师啊，你你你啊，在这个一个区域之上求他的二重积分，那在这个区域地上，咱之前不都求的好好的二重积分吗？甭管是直角坐标系还是机坐标，你求的好好的，你在区域地之上就求呗， 你干嘛又折腾他光求这个曲线啊，你为什么不搞里边的这些点了呢？ 因为我们在实际问题里头啊，有的时候里边这些区域的点啊，他的函数值啊，不一定好测量，你比方说吧，啊，比方说有一块钢板特别热， 比方说我们要算算他的热能或者什么之类的东西，他这钢板里边的内部的这些点啊，他的温度啊，可能不好测，那你 呢？求他的边界上的这个温度啊，可能比较好测啊，他这个格林公式啊，在物理里边，在物理，尤其在物理里边，什么厂啊，什么什么蜗牛啊，什么什么什么还有很多的应用 啊，人家在屋里里头有很好的应用了，所以我们为什么要讲这个格林公式啊，格林公式好，就是格林公式啊，到底要干嘛？ 那为了讲这个格林公式啊，下面我们要引入两个新的这个定义，一个叫做啊，单联通区域 啊，单联通区域，单联通区域啊，课本上有一个定义， 就是如果这个地啊是个平面区域， 那也就是说啊，他是平面上的啊，一个区域，对吧？一个区域，课本上是说啊，地内 任意的壁曲线，它围长的部分都属于地， 那么这个区域就叫单联通区域，这个概念特别绕哈，首先我给大家说这个单联通区啊，并没 没有什么任何的特别，就是说白了吧，就是这一整块就叫单联通区域， 什么意思呢？就是你在这里头啊，任意画这个壁曲线啊，注意啊，你画这个曲线变得得是 b 的，你就得回来，你看啊，任意画一个壁曲线，它围成的部分仍然在它里头，这个就叫单联通区域。 好，大家再看一个图，我如果这个区域啊是这个样子的啊，大家能看出来哈，我这个区域是这个样子的，请问这个区域是不是单联通区域？ 是，你在这个区域，注意哈，是在区域内任意的画壁曲线，注意，你得画壁 曲线哈，画 b 曲线围城的区域都属于地。哎，老师，你这是缺一块啊， 老师，你中间这有个缺口，这个缺口没事你画，因为你是在这个区域地里头画 b 曲线，你画不到这个缺口，这，这就叫单联通区域。什么叫副联通区域呢？ 他说否则就叫复联通区域 啊，否则对吧？那到底什么叫单联通，什么叫复联通啊？大家注意复联通啊，就是有洞的 快，是 有点有眼的啊，课本说有点动，说白了就是有眼好。什么叫复联通区域啊？来给大家说一下，如果这个区域啊，是这个样子， 他有个影，哈哈哈。不是有个洞啊，有个洞带洞的就不行了。为什么呢？你在这个阴影区域哈，就是这个区域地，你画壁曲线啊，我画个壁曲线， 应该他围城的部分都属于地，但是你跟画这个避雨线，他围城的这一部分就不属于这个地，所以有洞的叫复联童。还有 有眼的表示我这个区域啊，我要刨去要剪掉中间的有个眼啊。有，当然这个地方是个点其实，但是点不好画，我就画个小洞吧哈，表示这个地方是个眼啊，有一些带眼的， 他也不是单联通。为什么呢？你会任意画一个 b 曲线，你应该围城的这个区域都属于的这个地，但是你这个影啊就不属于， 所以啊，这个单联动区域大家在看的时候也好看，就是没有动， 没有眼的，哎，就叫单联通区域哈，就叫单联通区域啊。好，这是单联通还是 这个妇联通？他对这个定义啊，其实和我们后边做题啊，几乎，嗯，没有什么太大的影。嗯 嗯，有影响吧有影响吧，但是影响其实一般来说考察不到，考察不到，这两个建议好。就是这个 课本上啊，有两个例题哈，比方说什么叫单量同区啊，什么叫单量同区域呢？他举着一个例子， x 方加外方小于一，那这个是个圆 啊，圆，因为他是小一啊，所以他不不包含这个边界啊，是个圆面，但是不包含那个圆那个边界，那这 就是个单联通的。第二个，他又举了个例子，说这个上半平面， 上半平面假设是个 y 啊，啊，外带领，外带领，外带领啊，大概大家画图的话也好画，是吧？大概是这个样子的， 外大于零呢，那就在上面呗，注意不包含外等零，也就是不包含 x 轴，那这是个单联通区。他又举了个例子，副联通区域 一个呢，是 x 方加外方大于一小于四， 那这个很明显是个圆环，对吧？ 很明显是个圆环，这个啊，有洞，就是复联同取。他又举了个例子， x 方加外方大于零小于二， 这个也是个圆，哎，也是个圆，只是有一点，他这个 l 次方加外方要大于零， 大龄，也就说不能等零，所以要把那个零点，那个圆点，那个点要把它抠掉，所以啊，这个是带眼的，哈哈哈，就光光把一个点抠掉的，哎，这种叫叫带眼的啊， 啊，这是第一个概念，这个单联通，复联通， 下一个叫正方向， 下一个正方向。 好，我们啊，假设给你这样一个区域， 这个正方向啊，课本上有描述，也就是沿着他那个边界走，他那个区域地呀， 始终啊，要在左侧，就叫正方向， 哎，这个大家想象一下，这样吧，来来来，这个我们这个好想象，是吧？我们这帮同学嘛，坐在这就是这个，呃，就是这个区域地， 然后我在讲台这，沿着我这，咱们的这个边界在走，对不对？沿着这个边界在走， 要求走的时候，我们这个区域地啊，永远在我的左侧，大家看啊，哎，来，哎，这个这个看视频的同学就看不到了，哈，那这样吧，哎，我我我，我，这个把，这个图，哎，这个挺形象，是吧？ 我们同学啊，做的一个区域啊，是这个区域啊，这里边有很多的小朋友，对不对？大家都在这坐着，好吧？啊，大家都在 坐着，来，我啊，在这个边界上走，你看啊，我现在给大家现场听的同学表演一下，你看，我从这个大家这个边界走，要求我走的时候，你们始终在我左边，你看，这样走就是正方向， 这大家理解了吧？理解哈，好，大家看，我在看一下，哎，我如果在这走，对吧？划两个小手对吧？划两个小脚，对吧？哇，朝这走，这样的话，我们同学始终在我的左侧，这个就叫正方向， 哎，我，我举这个例子，我们都理解了，是吧，所以我大概绕着走啊，一直啊得这样走，哎，就是正方向哈，所以大家注意，如果是沿着外侧的话， 这个外侧他这个正方向啊，是逆时针 的方向哈，那么如果啊，我们做的这些同学啊， 这个不齐，什么意思呢？中间有些地方啊，没做人啊，好，我们同学今天是这样做的，对吧？ 我如果从外边这个边界走，正方向是这样的，是逆时针， 那如果我从里头走，你看啊，假设我在这走，假设我在这走， 我啊，就得这么走，你看，这不是人要求在左侧吗，对吧，我就得这么走，哎，左侧，这么走在左侧，这么走在左侧，所以你发现如果 是在他的里边走，也说他这个边界是在里边啊，里边 那就是顺时针的方向，哎，我画这个图挺清楚的，所以啊，但上课本上画的图是这样的哈， 这个如果是区域地，如果从外边的边界就是逆时针方向， 如果在里边的边界就是顺时针方向哈，这样话，你看走的时候保证边界都在左侧，这个就叫正方向哈。正方向我们规定个规定一个正方向。 好，那下面啊，我们就完整的给大家看一下格林公式是长什么样子的 好，大家看一下定理， 假设 b 区域 d， 所以格林公式应用的范围必须在 b 区域上， 哎，必须在 b 区上，你不能是开区。对，在 b 区上说是有分段 光滑的曲线 l 围城的， 给大家一个 b 区域啊，啊，这是个 b 区域，没问题，说他的边界啊，是由分段光滑的曲线围成的， 那如果是这样这个边界，那这个是很光滑的。什么叫分段光滑的？比方说这个样子的 这个区域就是分段光滑的曲线未成，为什么呢？在这一段是光滑， 在这一段这一段这一段都光滑，但是在这个尖上他是不光滑的，对吧？这个就叫分段光滑，但你如果一直 直接就是一段光滑的，那当然更好了，如果他不是整段光滑，也可以是分段光滑，哎，这个就是分段光滑的意义。 那如果说这个 p x y 跟这个 q x y 再区域地上有一节连续偏倒 啊，有一节连续频道，这个地方啊，大家得注意， 我们一般对这种条件啊，我们其实好像都不是特别的在意，因为一般的函数哈都有一节连续的频道，这个没什么问题，其实， 但是这个条件在一会我们讲那个立体三的时候会考虑到这个条件啊，在那个区域地上可能不成立的时候，怎么办好，这是 p q 这两个函数。 那什么叫格林公式呢？是在区域地质上 偏 q 偏 x 减偏 p 偏 y d x d y 就等于 在 l 之上 p d x 加 q d y。 好了，这个 l 是什么呢？ 因为这个地方有一个对曲线的这个积分， l， 这个 l 是那个区域地的那个正方向边界曲线， 这个就是格林公式。格林公式，好，那大家看一下，左右的这两个表达是 左边啊，是在区域地质上的一个二重积分， 哎，区域地址上一个正常的二中积分，右边是在 他的那个 l 那个 b 曲线上的一个曲线积分。 那我们刚才啊，引出来个令公式的意义尺度，我们说了，在整个区域之上的一个二重积分， 转化成在他的边界上，哎，转化成边界上变这个积分啊，也降虫了，为什么呢？左边是个二虫的，右边是个一虫的。 其实啊，牛顿莱伯尼斯公司也降虫了，为什么呢？左边是个一虫级， 右边 fb 减 fa， 有没有积分啊？没有啊， 格林公式，左边是二重的，右边是一重的，降重了，哎，降重了，好，这个就是格林公式。格林公式， 哎，说一下这个积分啊，呃，这，当然，这个整个的积分是我们，呃，讲的这个第二类曲线积分啊，就在一个曲线之上，他的这个对，叫做对坐标的曲线积分，就是第二类曲线积分。 但这地方啊，有一个画了个小圆圈，我们原来讲啊，这个地方透明画小圆圈，这个小圆圈啊，就表示 啊，这个他那个积分，那个曲线啊，我们不是在曲线上积分吗？我们原来都是从 a 到 b 不都是，原来我们都画图都这样画啊，那如果他这个球，这个积分啊，就这个曲线啊，是一个 b 曲线， 是一个 b 曲线的话，就在这地方画成一个小圆圈，就这个意思，就这个意思。 好，这个就是，呃，格林公式啊，他的意义以及格林公式到底是干嘛的？ 那下面我们一个任务啊，是要给大家证明这个格林公式，我建议看视频的同学，大家如果不是特别着急把想把自己搞崩溃的话啊，这个视频的剩余部分就是证明部分，我 不太建议你继续去看啊啊，因为我们的生活还是很美好的，是吧，我们不至于为了一个革命公司的证明而颠覆了我们对世界的这个美好的盼望。哎，这个是不值得的啊，所以建议看视频的同学，这个视频剩下的是革命公司的证明过程， 建议你跳过去，然后直接看下一个视频，就是用格林公式来解题，你就发现你如果光知道这个定理，下面这个证明你不知道， 哎，姐，实际的题目的时候发现其实依然是非常的熟练，一点问题都没有啊。所以下面一个证明过程啊，大家如果不要看这个视频，你可以跳过去， 好，当然我讲也得正常讲，对不对？现在就给大家正一下格林公式 啊，给大家正一下，好，那 这个格林公司啊，他这个 b 区域低啊，是任意的区域都满足，那也说这个区域，哎，去了拐弯，你爱怎么画怎么画，哎，对不对？爱怎么画怎么画， 只要是 b 区域就行，并且他的那个边界曲线是分段光滑的，那么我证，我们证明啊，一般是先从 就是简单的入手嘛，对不对？所以啊，我们假设他的这个区域啊，他的区域啊，用课本上的话说，就是沿着 坐标轴啊，假设他这个区域啊，是比较简单的区域啊，比方说这样的一个区域， 课本上的描述啊，就是沿着坐标轴你去切，比方说沿着这个外轴的方向去切，和他呢，比方说这样切，这样切，这样切，始终啊，嗯，只有两个焦点啊，不超过两个焦点。如果沿着这个去切， 他和这个区域的焦点啊，不超过两个啊，这种当然比较简单了，你看我画的这个东西啊，就麻烦了去了，因为你如果这样切的话，他的焦点啊，有六个，对吧？你如果沿着这这这个切，这个焦点也有好多个，所以我们先从简单的入手， 那，那 那这种比较简单的区域啊，有一个好处，就是我们都可以把它画成 x 型或者是外形区域，那这样的话，嗯，做题这个这个就比较简便嘛， 对吧？所以啊，假设这个区域是这样的一个形状， 假设这个是 a e， 这个 b， c， f， 这个 g， 那其实我在看这个这个名的时候啊，因为他他给点坐标哈，那肯定是 a 啊， b 啊， c 啊 d 啊 e 啊 f g 啊， 后来我就发现他偏偏就没有这个大写的地，为什么没有大写的地？因为大写的地啊，在这呢 啊，这个大写的地表示地区域低，所以后边所有的这个点的假设都避免了大写的这个地。 好，假设区域啊，是这样的一个区域啊，假设这个区域，这个区域啊，如果是看做 x 型的 啊，当然这个区域是 x 型的，这个是非常明显的，那这个是 a， 这个是 b， 假设上头是个 y， 等于 fy 二、 x， 下头呢是 y， 等于 fy ex。 好，那，那这个区域很明显这是个 x 型区域。 这个 x 型区域啊，我们也可以把它看作是外形区域，也可以把它看作外形区域。好，下面给大家说一说这个 区域怎么看作是外形区域，因为我们看作外形区域的。其实我给大家说大家以前的画图啊，外形区域大家都会这么画，哎，老师，这个是外形区域，对吧？ 这不是 y 从 c 到 d 啊，左边的函数，右边的函数吗？老师，你这个不是外形区域啊。好，下面给大家说这个图怎么样看作外形区域。 首先这个 y 啊，上面是个 d， 下边是个 c， 所以外啊，是从细到低。那么 老师，你不是要看坐左边的函数跟右边的函数吗？你这左边的函数，这哪是左边的函数啊？各位同学，左边的函数，我们把从这到这 到这到这看作是左边的函数。 老师，你这这这这这，这是个函数吗？是函数啊，这是分段函数啊，怎么了？ 那？从这到认识一段，从这到认识一段，从这到这一段，俺是分段还是怎么了？那左边的还是就是个分段啊？说可以啊， 所以啊，他把这个 f for g c e， 呃， f g a e 看作是一个函数，左边的这个 x 等于 pass x e x 看到是一个函数， 右边的这个，右边的这个，我们从这 到这到这，所以右边的这个 e b， c f 看作是一个函数，那这时候这个区域地表示 成 x y， 那 x 是大于等于左边的函数，小于等于右边的函数， 然后 y 呢？从 c 到 d， 所以这个区域既能看作 s 型的，也能看作外形的。 好，那下面我们就得来给大家争了，来给大家争了，注意，我们这个证明啊，我们从 不好意思这个，我，我关一下门，因为对面的教室又在发生一个很很让人着急的事情，就是对 爱的钥匙又开始放电影了，对不对？很让人着急的事情，对吧？我也很想冲过去看看他们在放了什么，对不对？好， 干嘛呢？哦，好啊，继续证明哈。好，那么我们在证明的时候，各位同学，我们注意，我们从左边到朝右边，正 左边那个二中积分啊，这个减这个，我们把它分开来，正，我们先正第二项，注意，我们先正第二项，就是这个在区域地之上， 偏 p， 偏 y， d x， d y， 来，我们先挣这一项。第一步，我们先挣这一项，这个东西求二重积分啊，求二重积分， 求二种积分，那你就求呗，求二种积分啊，我们把这个式子，把这个区域地看做 s 型区域， 把这道中积分转化成一个两次积分。看过 f h， 我们同学都会啊， a 到 b， d x， 然后呢，这个 y 是 fi 一 x 到 fi 二 x， 背肌函数呢，是偏屁，偏 y， d y 这个， 那么这个函数啊，那你就积呗，这里是先对外求积分，他前面已经是对外求偏倒了，这他的原数就是批， 然后把上下线 fi 二 x 跟 fi 一 x 把它带进去。所以啊，后面这个积分啊，就是个 p x fir x 减 p x fi 一 x， 然后再把这个玩， 这不是在对前面这个求积分吗？在对前面这个求积分吗？对不对？在对前面这个求积分那，哎，我们把这个擦掉哈，那就把它再求积分呗。所以啊，就等于 从 a 到 b 上，对前面这个球积分， 对前面这个球积分，那就是刚才那个超过来哈，就是个，呃， px 啊， f 二 x 减 p x f 一 x， 然后 dx 这个东西，这个东西啊，你写这啊就得了，你就写不动了啊，因为这个东西再求积分啊，你就，你就求不出来了啊，你就求不出来了，就只能写到这了啊，就只能写到这了。 好，这个东西写在这啊，那我们算一算，这一项就是在 l 之上， p d x， 这个 l 是整个的这个区域啊，整个的这个区域，我们因为 根据那个咱们曲线积分讲过，对吧？在一整段区域上的积分啊，我们可以分成好几段，所以啊， 所以啊，啊，这个是 l 一，这个是 l 二哈，那整个的这个区间是曲曲线上求积分啊，我们把它表示成先在 l 一之上求， 最呆呆的追这个顺序的街上去哈， l 一啊，到这个 b 系上求，然后 b 系完了以后再在 l 二之上 再求，然后在 ga 上， 哎，长成这四部分，我觉得我们同学到目前为止差不多应该还能听明白才。这这这整个区域上求吗？这在整个曲线上求，对不对？那四部分吗？那就在四部分上求。 好，这个第一部分啊， led 之上， pdx 你啊，超过来， 下面给大家讲，在这个 b c 之上对， p x y d x 球曲线积分。好，大家看吧，从 b 到 c 是这样的一条垂直 得的这样的一条线，方向是从必到起，这个玩意求他的结果是个零，这个玩意求结果是个零，为什么是个零？ 为什么是个零？注意，从 b 到 c 啊，这个 x 没有变化， x 都等着说没变，所以这个地方的 dx 对他求积分啊，直接就是力。 你从网上看其他的很多的老师的视频讲，就这么讲，一一代就过去了，哎，一代就过去了。但是我给大家讲啊，我给大家讲的稍微仔细一点，为什么呢？从 b 到细，你不是这条线吗？ 哎，从 b 到系不就是这条线吗？老师，你敢讲的细一点不行吗？啊，你就不理解啊，从 b 到系怎么着？取线积分就是零了？我给你好好讲一讲， 从 b 到 c 啊，这个 x 始终是个 b， 这个 y 啊，是从 c 到 d， 好，曲线积分啊。 第二类，曲线积分，我们在讲计算方法的时候，不就转化成参数方程吗？对不对？没问题吧？ 第一类曲线积分，第二类，曲线积分，你做题的时候你是不是只会一种方法？是不是就是转化成三种方程啊？对不对？好，那咱转化呗。那从 b 到细这条线方程是什么呢？ x 等于 b， 没毛病吧？没毛病，这个 y 的变化范围呢？是从 c 到 d 啊， y 是从西到底，所以啊，这个大家朝里带啊，你爪还能参数方程的话， 转化成参数方的话，你会注意到一个问题，就是你朝里带的时候，你那个参数方程，我们都知道 s 等一个什么参数方程， y 等一个参数方程朝里带的时候， 这个 dx 在球的时候是不是得是 dx 那个参数方程？球倒在地梯呀，想起来了没有？想起来了，那么 s 等于 b 是不是个常数啊？常数九倒是不是等于零啊？ sorry， 在 b c 段上是等于零，那么在 l 二区域上，咱们超过来在这个 g a 之上，这项也等于零啊，这项也等于零。 好，我们就转化成从哎哎 l 一到 l 二， l 一 l 二这两段上的这个曲线积分呐，曲线积分，好，我们来算一下 l 一， 哎呀，从这到这找按照参数方程吗？那从这到这，那么从这到这， x 就是从 a 到 b， 那 p x y 是什么呢？这不是这个吗？下面这段曲线， y 是 fi e x， 所以 y 就是 fi e x d x。 艾拉，艾拉，要引起高度的重视，艾拉是从这到这，艾拉从这到这。 所以你如果写个加号的话，是从 b 到 a， 然后 p x l 二呢？这个 y 啊，是个 fir x d x， 你这个从 a 到 a 啊，我们一重积分啊，颠倒他的上压线积分前面要加个什么符号啊？符号，所以减，从 a 到 b， 从 a 到 b， 好，从 a 到 b， 从 a 到 b， 这两个式子我们把它写到一起，从 a 到 b， p x 发一 x 减 p x fir x d x。 对下左边的这个， 从 a 到 b， p 减 p， 哎， p x 犯二 x 减 x 犯 e x， 这个是从 a 到 b， p x 犯 e x 减 p x 犯 2 x d x。 大家看这两个式子，你不要以为他是一样的，这个是个 fi 二 x 减 fi 一 x， 这个是个 fi 一 x 减 fi 二 x。 所以这两项插个符号能看出来吧？ 能看出来，所以啊，这个玩意，也就说我我们刚才第一步求出来这啊，也是说这个东西 跟这个东西，也就说这个东西跟这个东西差了个符号。呐，这差了个符号啊，在这，符号在这搞定， 所以对 p 的这个表达是搞定，各位同学，还没正确呢， 所以我们说了这个生活呢，还是挺美好的。我看一下，我看了，现场的很多同学都默默的低下了头，对不对啊？表示对这个定理的证明内心是拒绝的。对， 光挣了屁，还没挣 q 呢。好，我们再来挣一下 q， 对吧？再来挣一下 q 啊，这个我得擦掉了， 要不然我就没地方了。 好，我们看一下对 q 的证明对 q 的证明。好，我们来写第二步啊， 我们来证明 q 的事。注意这个 q 跟右边这个 q， 他没有负号，你看这个偏 q 偏 x， 这是正好 q， 这里是正号，这个没有负号啊。第二步，我们来证明一下 q 的这 个事。在区域地址上偏 q 偏 x d x d y 等于。好了，来了， 刚才咱不是说这个区域啊，这不是转化成对外的这个积分，呃，转化成外形区域吗？这不是我的表达，是还从这写吗？好了，对外形区域求积分啊，大家也会从 c 到 d d y， 然后那么上下线嘛，这不 s 取值范围吗？ plus i e x e x plus i r x 然后是这个 pnq pnx dx 啊 dx。 好，下面这步我不再详细写了，因为这个对 x 求原来说就是 q， 然后把上下线把它带进去，这我不再写了哈，那就等于 从 c 到 d 上线带进去，那就是一个 q x plus r x 减 q x 特赛 e x， 然后是个 dy wow 哦，哇哦，哎，不好意思，这就写错了，这个 x 的两岸范围啊，他他他他他不能是关于 x 的车手法呀。不好意思，这整个就写错了啊， x 啊啊啊啊， 这个是 y， 这个是 y， 所以呢，是个呃，菩萨 r y y 菩萨一 y y， 好，这个写过来， 这个写过来，搁这搁这，这个， 这个直接就等于，这个就直接等于了。好，打开满这个，大家看满，从 c 到 d， 这个是大追忆，哎，我我我画一下哈。从这到这到这的这个函数， 这一座是个刚才说了，嗯，这是左边的是一个菩萨一 y， 右边的从这到这到这的这个函数是个 poss， i r y。 好，大家 满，先看左边几项。第一项，从 c 到 d， p c r p c r 是这儿，从 c 到 d， 哎，刚好就是顺着这一段曲线，它的这个曲线积分， 所以就等于 l 二一撇。 qdy， 注意， l 二一撇是右边的这段线，叫 l 二一撇。 好，这是右边的这段。剪这这段， 这一段就稍微有点问题了，就是从 c 到 d 啊，大家注意， 从细到地是这个方向啊，从细到地，但你有没有注意到你左边的这条曲线是从上到下的，所以你如果整这个从细到地的这个方向和左边这个曲线的方向就反了， 所以怎么整呢？你把这个减这个，这这这一项啊写过来应该是个负的。从 c 到 d， q， please e y y d， y， 别说，哎哎哎，这第二项写出来应该是这个样子的，你这样，你把这个符号啊去掉这里，变成从 d 到 c， 哎，从 d 到 c 和这个曲线的方向就是一样的了，所以加上 l e 一撇 q d， y 左边这个记做是 l e 一撇对方，大家一定要引起高度的重视，就是这里这个减号，为什么在这个地方就变成了加号的原因 就是左边这个方向和他反了，反了，你把这个符号和这个 cd 交换过来就行， 哎，这个的证明比较简单啊，那，哎哎，你看，从这到这，嗯，从这段上求取现积分，加上从这段上取取取现积分，那不就是整个上 的曲线积分嘛，所以这个比较直接，就是这一项，就等于这一项 理解了，是吧？那这样的话，对屁跟对 q， 咱啊都证明完了， 各位同学，你以为证明完了吗？没有啊，咱就证明了。第一种情况是啥呀？就是他这个区域是这种简单的情况啊， 是不是啊？你这个区域不是任意的图形吗？你如果不是这种简单的形状再复杂一点的呢？好了，下面再说，如果整复杂了， 再怎么正好，大家看，晚安。咱看来说哈，我们到目前为止就证明这种简单的情况，就是他那个边界啊，是 s 型啊，是外形区域，那如果他这个区域啊是这个样子的， 这个就复杂了，为什么呢？你这样切，你这样切，他和这个边界有四个焦点，所以这个就复杂了， 这种复杂了怎么办呢？我们给他转化成简单的啊，给他转化成简单的假设呢？是这样的一个区域啊，那我们这样，我们把它啊， 从中间啊把它切一下，这样的话，左边的第一、第二、第三这三个区域独立的 都可以用刚才的这种情况，对吧？这这这三个是简单的这种区域，对不对？好了，假设这个是 a m c n b p 啊，他定义了一些点，这样话，我们一会整这个曲线的时候就比较好整啊，就比较好整 好。那么原来在原来在区域地质上， 这个偏 q、 偏 x 减偏 p、 偏 ydxdy， 在整个区域地质上，大家知道二重积分啊，是具有这个区域可加性的，在整个区域地质上，给他转化成在区域 第一之上，加上在区域第二之上，加上在区域第三之上，所以啊，我们要正左边这个，在区域地之上，我们就转化成第一、第二、第三这三个， 那么我们看一看，在这个区域第一之上，这个偏 q、 偏 x 减偏 p 偏 y， d x， d y 这个东西，这个东西啊，你不是在这个第一者上，因为他这个简单的区域嘛，所以你可以用刚才我们证明的那个东西，那他就等于啊， 在他的边界曲线正方向上，求曲线积分。好，第一的这个曲线哈，他的正方向，我们说是逆时针，所以啊，是这个方向，这个方向，这个方向， 哎，这个答案，逆逆时针方向，所以啊，他就等于他那个逆时针方向啊，是 mcbam 来看啊， m c b a m， 这不是逆时针绕一圈回来了吗？ 他在这个 mcbaem 的上头啊，画上了这这样一段呼啊，这这个符号，这个符号大概也没什么特别的意思，因为他就是绕一圈回来呗，对不对？那他绕一圈回来，这玩意既不是个直线，也 也也不是个弧，因为左边是个弧，右边是个直线，对吧，大概就是这个意思吧，转一圈回来了呗，那么 pdx 加上 qdy， 这是在第一之上，那么在第二之上，这一堆我就不抄了，等于这个第二啊，我们也许他的正方向， 那就是从这呗，从这呗，但是注意得是从这下来，对吧？这不是逆时针方向吗？所以啊，是一个 a b p a， 你看啊， a b p a 逆时针，然后是个 p， d， x 加 q， d， y， 那么在区域第三之上就等于也是取他的逆时针方向，这这这注意逆时针方向，所以呢，就是这个 b， c， n， b 啊，密实的方向，然后 p， d， x 加上 q， d， y。 好， 你看我们刚才在这三段区域之上取他的那个边界曲线的正方向，我们发现一个事，就是这一块挺好的，这一块挺好的，这一块挺好的，这三块挺好的， 那么你就发现从这到这朝上积了一次同样的东西，又从上到下积了一次， 这俩一家就消了。从上到下这段积了一次，从上到下这一段又积了一次，这么一家他这段也消了。所以这三段 逆时针方向的这个壁曲线上相加呀，这一段跟这一段上下俩都消了，那就光剩了这一段，这一段，这一段，那不就是 l 之上 p， d， x 加上 q， d， y 吗？是不是啊？行了， 这次是真的行了，这次是真的行了，怎么样？这就是格林公司的证明过程啊，证明过程， 哎，你要是愿意看证明啊，你看看我，我讲的这个过程，你要不愿看啊？哎呀，不要紧啊，对我们后边做题的一点影响都没有啊，大家放心啊，大家放心。

大家好，今天我们来学习格林公式。格林公式的发明人是乔治格林，英国数学家。乔治格林有点大器晚成的意思，他四十岁才考上剑桥的本科生， 四十四岁毕业后才开始在凯斯学院任教。虽然仅仅只在那里工作了四年就去世了，不过在凯斯学院的纪念窗上依然留下了格林和格林公式的名字。窗户上的这幅图虽然非常简单，但他却巧妙的展现了乔治格林推倒公式时的思路。 接下来，我们将帮助同学们理解这幅图，并借此展示格林公式的直观意义。首先给出公式的定义， 可以看到这里等式的两侧，一个是面积分，一个是线积分。那是如何想到把两者联系在一起的呢？ 在乔治格林生活的那个时代，电磁效应是个热门话题。为了研究这一效应，物理学家们会将通电的线圈放入磁场中，此时通电线圈会受到磁力的作用，从而产生旋转。我们把这里的线圈用一条封闭的曲线 part 收地，表示 其受到的磁力场。用向量场来表示，当线圈通电后，会有电子沿线圈运动， 这个运动方向可以抽象为这个封闭曲线的方向。又由于电子受到磁力，因此当电子绕线圈运动时，磁力会对他做工。 那电子绕线圈一圈磁力所做的工其实就是其在线圈方向上的曲线积分。 而如果我们将立 f 分解为水平和数值方向，并且分别用 p 和 q 表示他们，那么这个现积分又可以写成这样。此时就可以看出，格林公式中右侧的现积分其实求的就是此例对电子做的功， 然而计算这个现积分往往是比较麻烦的，因此格林公式其实就是给出了计算该积分的另外一种方法。 假设封闭曲线所围成的区域为 d， 那么根据格林公式，在有向曲线盘 sod 上的取显积分就可以转为在 b 区域地上的平面积分。 那这个公式是如何推倒的呢？首先我们在坐标系中画出许多个小格子，然后计算每个小格子边界上的 曲线积分，多算几个后就会发现，在相邻的边界，我们会计算方向相反的积分，由于立场是相同的，只是方向相反，因此他们就相互抵消掉了。 那么计算这四个蓝色格子的曲线积分，然后加起来得到的就是外部正向边界上的积分。而如果我们把区域地内所有的小矩形格子上的曲线积分加起来， 那么就可以近似的得到的正向边界 partial d 上的去显积分，并且随着格子数量的增加，近似的效果也变得更好。 可以想象，当格子数量达到无限个时，最终得到的就是 partiald 上的去显积分。思路有了，下面来开始计算。首先来算单个小格子的曲线积 积分，将此区域的正向边界用 pearso di 来表示，立场在 x 和 y 方向的分力分别为 p 和 q， 那么要得到此区域正向边界的曲线积分，就是要计算这个式子， 把区域的四个顶点分别用 a， i， b， i， c， i， e， i 来表示，那么此曲线积分也就等于 p 在四条直线上的积分加上 q 在四条直线上的积分。 而从图上可以看出，由于水平方向的分力劈垂直于竖直方向上的直线，因此他在这两条直线上不做工，也就是说他这两项的积分结果就应该是零。 同样的，我们还可以从图上可以看出，竖直方向的分力 q 垂直于水平方向 项上的直线，因此它在这两条直线上也不做工，也就是说这两项的积分结果也应该是零。 因此，我们要求的曲线积分就等于 p 在水平两条线上的积分加上 q 在两条数值直线上的积分。 下面，假设 a 点的坐标为 xi 减一， yi 减一， c 点的坐标为 xiyi， 那么 p 在 abi 上的积分也就等于 p 在 xi 减一到 xi 之间的积分。 而由于直线 aibi 的纵坐标始终为 yi 减一，则被积函数为 p x yi 减一。 同样的道理， q 在 b i c i 上的积分也就等于 q 在 y i 减一到 y i 之间的积分，而由于直线 b i c i 的横坐标识中为 x i， 则被积函数为 q x i y。 后面的两项我们也用同样的方法进行改写，然后继续化减。 我们把对函数 q 进行的积分放在一起，注意到两个积分线是相反的，那么采用前一个积分线合并时，前一个被积函数不变，后一个被积函数就变成了其相反数， 然后再把对函数 p 进行的积分放在一起。同样的，这里的两个积分线也是相反的， 那么采用前一个积分线合并时，前一个不变，后一个被积函数取负号继续化减。下面我们要把这 式子化为二重积分的形式，这个时候需要反着用牛来公式，也就是牛顿莱布尼兹公式。首先是第一项对外的积分保持不变，这一个被积函数反着用牛来后，就变成了一个对 x 积分。 然后是第二项对 x 的积分保持不变，这一个被积函数反着用牛来后，就变成了一个对外的积分。 不过这里要注意的是，由于积分线的关系，这里会多出来一个符号画剪成这样。后面就比较简单了，交换积分顺序 合并，最后就得到了区域上的平面积分。至此我们就把 一个曲线积分转换成了一个平面积分。结合图片可以看到，等式左侧就是区域边界的曲线积分，而等式右侧就是区域的平面积分。 再结合前面所说的，当格子数量达到无限个时，我们把每个小格子的平面积分都加起来， 得到的就是边界的曲线积分，这就是我们的格林公式。

谁能给我解释解释格林公式是什么意思？格林公式就是格林在杜兰德在永世最后一年，格林跟杜兰德说了一句话，你来之前我们就是总冠军了，这就是格林公式的起起步式， 是吧？那杜兰特因为这句话我走了，我要证明自己，证明你们没有我夺不了冠，证明我没有你们，我能夺冠，但是杜兰特没夺冠，勇士在离开杜兰特第三年王者归来夺冠了，那格林的攻势扣环 没有你，我们还是总冠军，你走了后我们还是总冠军，这就叫格林公式，你来之前我们是总冠军，你走了后我们还是总冠军，就直接给杜兰特扣那了，这就是整个扣环格林公式。

格林公式不仅完成了闭环，甚至开始了循环，杜尔特的闹剧正在持续发酵，继七六人、太阳、热火、猛龙后，老东家勇士也加入到了交易的谈判当中。 根据 espn 记者马克 j 斯皮尔斯报道，多位消息人士透露，勇士有可能会给出双方都满意的筹码，这个筹码包括乔丹、普尔维金斯、库明嘉和怀斯曼。消息一经发出就受到了许多球迷的质疑，勇士此举无疑是在将未来十年培养的中流砥柱都送给篮王来换取杜安特 斯。比尔斯并不意外，他在推特上表示，勇士对杜兰特感兴趣，我一点都不惊讶，有半个联盟都想要杜兰特，这可是杜兰特。如果勇士和篮网真的达成交易，那么三十三岁的杜兰特将和三十四岁的库里、三十二岁的克莱和格林再次组成末年宇宙友，格林公式将开启循环，在你来之前，我们又是 冠军，这恐怕对于杜兰特和杜兰特的球迷们来说都是无法接受的。其实冷静下来想想，谈判并不太可能达成，按照勇士管理层的作风，应该做不出透支未来以球的一时的夺冠窗口。这样的报价更像是针对其他球队，可以抬高杜兰特的交易价值， 让其他真正想得到杜兰特的球队付出更高的代价，避免下赛季出现难以处理的银河战舰。但并不排除勇士真的想得到杜兰特的可能，如果杜兰特真的回到勇士，勇士是否有机会再次统治联盟呢？

你来之前我们就是总冠军，你走后我们又是总冠军，这叫格林公式扣环。但是如果太阳守着赢勇士，格林公式能打破吗？打不破 周大使跟大家唠过吧。跟杜兰特特球迷是不是唠过呀？打不破勇士公式。勇士公式格林公式是什么呀？我再给大家回忆一下，你们别不高兴啊。我不是我说的啊， 你来之前我们就是总冠军，你走后我们又是总冠军，这叫格林公式扣环。啪，给杜兰特扣死了 是不是啊？那你说今年就算你首轮给勇士干掉，只是能球迷狂欢，杜兰德球迷可 可以去开枪开炮跟他干起来，你有了话语权，你不至于被一直压着骂，你有了话语权可以随着去喷他，但是格林攻是你给他解不开 格林公式，你想解开干掉勇士，你太阳今年夺冠，你杜兰德拿到不用拿到那 fmvp 你夺冠就够了，夺冠就够了就好使了。那真要拿到那个 fmvp， 那不更牛逼了？那你就可以把格林公式给他干碎淘汰达你登顶 给他干，妥妥干废。废啥？这公式那公式以后连声都不敢吱，以后但凡网上出这个什么叫格林公式什么的，都完全是就纯粹这这这找骂呢？这就是你要有本事你就干这个那行，否则光淘汰没有用。

在你来之前，我们就已经是总冠军了，没有哪句垃圾话可以达到这样毁天灭地的效果。追梦！格林对着凯文杜兰特大吼道。 当这句话从格林口中说出来时，一个球队的王朝便轰然倒塌。二零一八年夺冠后，勇士全队除了杜兰特外都非常开心。原因很简单，哪怕杜兰特拿了两座 fmvp 奖杯，但外界还是一致认为他比不上勒布朗詹姆斯，甚至他都不配和库里相提并论。 杜兰特很苦恼，敏感的他不明白其中的原因。随着二零一九赛季正式开打，金州勇士暴露的问题也越来越多，库里的缺席让球队战绩一落千丈。在这危急关头，是杜兰特站了出来， 他用个人表演为勇士队强行续命，可换来的却不是尊重。格林在媒体前公开表示，只有斯蒂芬库里 回来，我们才是一支真正的勇士，目前的赢球只是因为对手实力不匹配，这样的话显然在针对杜兰特，但后者并没有任何表示。终于，这种积怨已久的情绪在一场比赛后爆发了， 当时比赛时间所剩无几，格林抢到后场篮板后，无视了杜兰特的要求，尴尬的是，随后他就将球丢掉了。这样的举动令杜兰特很不爽，他在替补习朝着格林吼道，把那该死的球给我！ 格林可一点都不惯着杜兰特，随后回击道，在你来之前，我们就已经是总冠军了。杜兰特听后无奈的摇了摇头，因为格林说的句句属实，他没有任何理由反驳。 这次冲突后，更令杜兰特绝望的是，勇士全队上下都闭口不谈，似乎一切从来没有发生过，就连领袖库里也没有任何表示，这是杜兰特第一次真正感觉到被轻视。 当库里受伤回归后，勇士逐渐步入正轨，但杜兰特心里只想着一件事，那就是拿到冠军，然后离开。可能杜兰特怎么也没想到，他的季后赛之路会这么难走，以至于自己将职业生涯的巅峰都留在了这里。第一轮面对平民快船，他们几乎找不到任何输球的理由， 因为对面阵容中最能打的竟然是没有任何防守的路威。可就是这样的情况下，他们硬是从老虎嘴里拔下两颗牙齿，这还没完 好心思的跟箭也留在了这轮系列赛，艰难挺进。次轮后，他们的对手还是那支火箭队。这轮系列赛更惨， 杜兰特小腿受伤被迫离场，库里手指脱臼强行登场。最终他们在缺少杜兰特的情况下，用六场将火箭队送回老家西决面对开拓者，勇士队不费吹灰之力四场晋级。但有一个问题摆在眼前，杜兰特的腿伤还没好，他们该怎么和猛龙队对抗呢？

好，那下面啊，给大家讲一讲用格林公式啊，怎么样来做题。首先啊，这个格林公式啊，大家得记住 这个高龄公司啊，记啊，不是特别好记，为什么呢？他这个，他这个地方有个符号， 这个比较讨厌。再个就是这个 dx 前头呢，是个屁，这个屁在这呢，又对外求的偏倒， 这个 dy 前头的是个 qq， 在这呢，又对 x 球的偏倒，所以这个，这个这个倒腾，这个顺序就不是特别好倒腾， 对吧？啊，就是这个这个形式这么记，那下面来说格林公式做题啊，用这个公式做题，大概他出的题会有两种模式，第一种， 从右边啊，向左边出，什么意思呢？告诉你了，右边的让你出，左边的 告诉右边的以后这个好弄。为什么呢？给了右边的这个师傅啊，那 dx 前头的就是 p 啊， p 是谁知道啊，那 dy 前头的就是 q 啊， q 是谁知道啊？那 pq 在分别 球球，呃，分辨球偏倒，然后这个好弄，对，第一个，从右边朝左边出题，这种好处， 这种好处 一会啊，我们奖励题里头从右边朝早边出题，特别清楚。那第二种就是从左边朝右边出，这个就不好弄了， 为什么呢？他从左边开始出题，是这样的说啊，在区域地质上一个什么函数 dxdy， 哇，那这就晕晕了，为什么这个函数啊， 他是他俩分别球偏倒相间以后得了是这个函数，那这个球没球偏倒以前是啥？那这玩意谁知道啊？ 对，哎，这个就有难度了，我举一个很恶心的例子啊，大家想象一下， 为什么从左右边朝左边出题，简单呢，就是 pnq 告诉你了，让你求偏倒，然后相减，这个简单，就好比大家吃饭一样，对吧？你先吃的胡萝卜， 然后又吃这个鸡蛋，对吧？哎，吃了好多东西，然后呢？这个，这个，这个栗子比较恶心，对吧？当然也行啊，就是哇，你那个第二天早晨去厕所嘛，对不对？然后 那个排出来的啊，好吧，哎，不要恶心啊。哎哎，那大概来说，你前天吃的什么东西，第二天出来的东西，大概差不多能能知道是什么东西，对不对啊？反过来就是 他求完岛以后的那个东西，知道的，问你前一天吃的什么，那这个就不好弄了，对不对啊？这个比较恶心，还比较恶心，哈哈。所以哈，从左边到右边出去啊，这个就比较难了 啊，就是给的这个函数啊，到底谁是 p 谁是 q， 那这玩意谁知道啊，对不对？你别忘了他求完岛以后这个地方还有个相减，他有的相还给你减掉了呢。那么原来是什么？那这玩意谁知道，对不对？那比方说吧，比方说这里函数这个 函数里头有一个五 x， 那老师五 x， 那求偏道以前那就是六分钟六分之五 x 六十方啊，那也不一定啊，他那个五 x 是求完导求完偏道以后相减也会是五 x， 那说不定原来是个十 x 减五 x 呢，对不对？所以那求道以前是啥，那就不知道了。所以啊，这个从左向右出啊，这个就比较难啊，就比较难。 当然其实这个格林公司啊，还有一个重要的问题，就是他成立的条件是那个 p 跟 q 在那个区域上必须有连续的一截片倒数，我们一般对这种条件我们不太在意，但是立似的一个 题在一个点上就没有，没有怎么弄，那就不要麻烦了啊，就是这个啊，为了讲这个东西啊，那个课本上有一个小的特殊的应用， 就是在那个利益的上头，利益的上头， 呃，说一个简单的应用哈，啊，他，他有这样的一个简单的应用，给大家简单的说一下啊， 说假设 p 等于负， yq 等于 x， 好啊，这个啊，这个，那么，呃 啊，我们这个 q 对 x 球偏倒， x 对 x 球偏倒，就是一，这个 p 啊， 对外求偏倒就是个负一，那么啊，这个是一减负一，那就是二了呗，所以就出来个二，在区域 d 之上， d x d y 等于 l 之上，这个 p 啊，就是 x d x q 啊， p 是个负啊， p 是个户外啊， p 是个户外。我们把这个顺 去颠倒一下吧，我们先写这个 q 就是个 x d y 减 y dx 啊，减 ydx。 好， 这个左边在区域地址上，这个地方相当于对一球二重积分啊，这个大家都知道，我们在讲二重积分的时候，我给大家说过哈，就是把这个积分的这个区域地啊朝上抬高度一 啊，朝上抬高度一，然后用这个面积乘以高，就是他的体积，因为是面积乘以一等于体积，所以体积就等于面积，所以这个东西就是啊， 二倍的面积，所以这个啊，就是 a， 假设是面积，那就是二倍的面积，所以 a 就等于二分之一， 在 l 至上， x d y 减 y d x 啊，这是求他那个计算区域的面积，可以用这个公式来求。 好了，那下面啊，大家就得仔细听了，格林公式怎么样做题？先看一下利益， 让你计算，在 l 之上， x 放 y， d， x 减 x 外方 dy， 其中的这个 l 是个正向圆周， x 方加 y 方等于 a 方。好了， 这个题是从右边朝左边出，所以你看啊，在 l 之上，你看这个式子，你先一对应着把，这个 p 是 dx 前头的， 这个 q 啊，是 dy 前头的，你先把这个 pq 把它拿出 出来，然后球偏 q 偏 x 减偏 p 偏 y， 这个球偏哪比较简单，我就直接写吧。那偏 q 偏 x 减偏 p 偏 y 就等于负外方仅 x 放，所以原来那个柿子就等于在区域地之上， 在区域 d 之上，这不是偏 q 偏 s 减偏 p 偏 y 吗？这样把就超过来就是负的外方减 x 方 d， x， d， y 写的是负二提出来等于负的这个区域地啊，是一个正形，是这个区域地，是个原狱，你就不，嗯，这个 l 是那个曲线， 这个区域 d 就是个圆，圆的话，我们就用正常的这个及坐标呗，所以就是零到二拍 d， c， 他，然后是个零到 a， 那 s 方加二方是一个肉方，别忘了要多个肉的肉。 那这个正常的去求及坐标是等于一个负的二分之派 a 的四次放。所以啊，从右 朝左边出题，简单，下边看。里面 说啊，在区域 d 之上， e 的负 y 方 d， x， d， y， 其中这个区域地啊，他说了是这样的， 去一地 a， b， o， 这个是个一，这个是个一，一一方向是正方向啊，正方向，哎哎，当然了， 其实观看这个积分啊，呃，是区域地址上的，其实你还用不到正方向的这个东西。好，这这个东西， 这个是从左边向右边出，这个就不好弄了， 那也就是说啊，这个 e 的负外方啊，是偏 q 偏 x 减偏 p 偏 y， 他俩相见以后是他，那下面的问题是，到底他啊，当然我们会很自然的假设某一项是零， 对吧？哎，他俩相连等他，那很明显，我们假设某一项是零，那，那现在问题是这一项娶得他，还是这一项娶得他， 那这是个问题。当然了，我们课本上取的是 p 等于零， q 等于 x， e 的负外方。课本啊，是 pq 是这样取的， 那我们看书或我们学习，你不能说课本这么取得，你就这么取啊？对，那为什么课本不那样取啊？明白我弟什么呀，对吧？那，那为什么不那样取啊？那你得试一试他为什么不那样取？ 好，咱假设那样去，就是他，他课本是把这一项把他看作 q， 求偏到以后的，那咱们就把他看作是 p， 求偏到以后是这个呢？ 啊，我们认为前面这项是个零，那说这一项球案偏倒是个亿的负外方。 好，你这样想当然也没有什么问题，但是你就发现你如果这样想，有个巨大的问题。就是，哼，就是 你，你不是说这个屁，对外求偏刀以后是这个吗？那么这个业的负外方啊，求偏刀以前是啥？你写不出来呀，对不对？ 所以这样搞你是搞不出来的。为什么我们课本上是用这个的去搞的他呢？是因为这个是 y 的表达。是，这是对 x 球偏倒， 那对 s 级弯道 y 是不是看作常数啊？ y 看到常数，他的原数不就是 x 吗？哎，所以为什么课本这样搞，对不对？大家在做题的时候你得想一想啊，对不对？他为什么不那样做啊，对吧？ 好，这是，嗯， pnq 啊，我们就知道了，取得谁取得谁，取得谁知道了，那么我们下边做题啊，就 要有针对性了。好，那也就是说就直接到右边呗。好，原式就等于 加速，就等于 在他的正方向上，正方向啊，三段，先是 oa， 再是 ab， 再是 bo 啊，这三段上，然后，然后 这个 p 啊，是等于零，所以这个 p d x 这个玩意你啊，就甭写了，光写这个 q 就是 x 一 的负外方， d 外就行，那写这个就行。好，那么那对于 oa 的这一段， o a 的这一段，你啊，正常的去求 加上，哎哎，这个就不能再画圆圈了啊，就不能再画圆圈，因为他不是 b 区啊， b， 因为他不是 b 区线，加上从 a 到 b 这一段， 从 a 到 b 这一段啊，是对 y 球曲线积分，这个 y 压根就没动啊，所以这一段是零 没了，然后再加上从 b 到 o 的这一段， 从 b 到 o 朝下 b o 这条线， x 是等于零的，你看 x 是等于零的，也等于零， 所以这项也没有了，那光变成了从呃呃，从 o 到 a 呀， 从 o 到 a， 这个好办啊，他这个区只是个 y， 等于 x， 所以就等于从零到一。 x e 的负 x 方 d x， 你看从 o 到 a， x 从零到一，然后这个 x 拿进去变成 x 的负 x 的平方，然后前面是 e 负 x 平方，这个球原来数直接就能就能击出来了，这个击出来啊，就是一个二分之一 一减一的负一，所以啊，这个从左边到右边球啊，就不是那么的好球了。 好，我们看李三， 求椭圆。 x 等于 a 扣三 e c， 他 y 等于 a 三 e c， 它围成了图形的面积。好，那么，呃，这个 x a 都有了啊，不是 x y 都有了，求面积。 各位用这个公式，这不刚才咱推了一个面积公式吗？所以啊，用这个公式， a 就等于二分之一， 对吧？二分之一，那在 l 之上， x d y 减 y， d， x 就等于二分之一。好， s y 啊，这还，现在已经是转换成参数方程了，那你就按照参数方程去做呗，注意，这里的这个参数是个 ct， 这个 a 啊，是个长数， 那谁的是从零到二派，因为是椭圆嘛，对不对？大家知道椭圆嘛，所以啊，直接转化成从零到二派， 那这个 x 是个 a， 扣三印随他，然后再来 dy 啊， d y y 求导啊，所以就是 a 扣三， e 随他减 y 是个 a， 三 e 随他， 然后 d， x， x 在求导是个扣三，求导是个负的三 x， 所以就是加 a 三 e c， 他 d c 他。 这个东西求导比较简单啊，我就不说了，最后的答案啊，还是一个派 ab 啊，椭圆的这个面积就是派 ab， 这个大家都知道 立一立二啊，分别是演示了从右向左跟从左向右立三啊，是给大家用了一下我们推导出来这个特殊的情况求面积的这个公式， 历史就有点与众不同了， 我们来看一下丽丝 类似啊，他的点是什么呢？是我们定理里边的那一个条件，就是 pq 在那个区域地上应该有连有连续的一阶偏倒数 立四是考察这个点。好，我们给大家来看一下立四， 说啊，在 l 之上， x d y 减 y， d x b， x 方加 y 方，其中说这个 l 是一条无重点， 这也不是无重点啊，你别说是，哎，老师，怎么取现还有重点啊，是吧，我们考试有重点，对吧，怎么还取现还有重点啊，哎，那无重点，那就不是重点呗，那这个题就不用看了呗，对不对？注意，是无重点， 分段光滑， 并且不过原点， 不过远点的连续 b 曲线， 其中啊，他的方向是逆时针方向。 好，下面对于这个 l 的这一段描述，这个给大家再解释一下， 不过圆点好说，那就是这个，这个 l 这个曲线啊，你啊，不能过圆点，你看，假设我们画这个曲线，注意这个 l 是个 b 的， 因为这个地方带个圆圈啊，他是个连续 b 曲线，第一条要求不过圆点，不能过圆点，这个大家好理解，当然了，肯定不能过圆点，因为这个玩意有个分母啊，对不对啊，不过圆点大家好理解。 第二个分段光滑，这个其实大家也好理解啊，你你你分段光滑，你比方说啊，这样的，对吧，就是分段光滑呢？ 好，那么第一个就不好理解了，就是无重点，什么叫这个 曲线无重点呐？你看咱们画这样的一个曲线， 没有重的点，什么叫有重点啊？ 这个就有重点了，那在这个点啊，他重复了一次，明白了没有？就是你这个壁曲线啊，不能有交叉的地方， 这个就叫这个就叫有重点了啊，有重点要求 i 了，是这个啊，无重点的，好好， come on， 这个证明啊，这个证明啊， 我们大家给大家演示一下，就是如果他的这个 l 的这个壁曲线啊，如果是这个样子的 刘海是这个样子的，就是这个曲线啊， 形成的一个区域，不包含圆点这种简单， 但是这个问题他最重要的一个问这个难题就是如果矮了，这个曲线形成这个区域包括原点。 哎，老师啊，你你你，你忘了条件？这老师，人家说了，那个不过原点啊，注意这个 不过原点指的是这个曲线，不过原点，明白我的意思没有？我说的是曲线形成的那个区域，包括这个原点，大家理解有区别吧？ 哎，一个是曲线，他不过原点跟曲线形成的区域包不包括原点，这是两码事啊。这个东西你要理解不了啊。这个题你就理解不了啊。我们假设这个 p 啊，注意，因为他这个题啊，是从右边向左边给的，所以 d x 前头是个 p， dy 前头是个 q， 所以 p 跟 q 啊，谁是谁这个一清二楚。所以这个 p 啊，就是个负外比， x 方加外方，那这个 q 呢？就是 x b x 方加外方，所以这个题啊， p q 是谁谁都能写出来。 那么我们假设第一种情况，这个 l 四方加外方不等于零， 不当零，那你就求偏倒呗，我们把因为这餐从右边向左边那 q 对 x， p 对 y 都要求偏倒，所以啊， p 对 x， p 对 y 求偏倒， 你就去求，那等于外方减 x 方比 x 方加 i 方方，你如果把这个 q 啊对 x 也求偏倒，他也是这个，所以 p 对外求偏倒跟 q 对 s 求偏倒是一样的，一样的。 那有东西看。哎，老师好啊，一样的，那一样的一样的。想减不就等于零了吗？一样想减不就等于零吗？ 易烊千玺不就等于零吗？好你呀，不能直接这样弄，下面我们再说。我们下面分成两种情况， 第一种情况就是如果第一种情况，如果他那个曲线，这个曲线围成的区域， 围城的这个区域不包括原点，不包括原点，那么 p 跟 q 对 x 对外的这个一阶偏倒是存在的， 因为这个区域不包括原点，那么分母 s 方加完完就不会等零，所以 bnq 的一阶倒数是存在的， b 也是连续的。所以如果第一种情况就是课本 怎么说的，如果零零不属于这个区域地，其实画图就是这么画的，就是这个区域地啊，不包括那个圆点，那么这时候那原来要求的这个式子 就等于零。第一种我们同学很好理解，下面我们来看第二种，就是 这种区域地， 包括了原点，包括了原点，就有个问题，就是在原点的这个地方，他的一节天 电脑是不存在的，分布等于零，那你就不能想第一种情况直接搞了。所以第二种情况，如果这个圆点在这个区域地里头， 他怎么弄呢？课本上啊，有一句话，曲适当小的 r 是这样的，他取一个小 r， 使得他中间啊能插上一个远， 取适当小的一个 r， 这个适当小的，我们不没太说过这个话，我们原来都是取，哎，我们原来学爱高速上的时候，我们都取任取一个什么数，对不对？哎，存在一个什么数，大家是不是都这么弄啊？ 这里说取一个适当小的，这是什么意思呢？我给大家解释解释来，大家看，如果他这个区域啊，包含了原点，是这样一个区域， 你这个在原点附近取个圆啊，你就可以这样取，哎，这个好理解，这个啊，就取这个就行， 那么如果他的这个区域啊，虽然包含了 远点，你看啊，虽然啊，包含了远点，但是这个区域啊，离这个远点非常近，你看紧挨着这个远点，这个小的 r 怎么取呢？ 哎，就取这么小，没有意思，没有，甭管你怎么进，我都能取一个小的 r， 其实说白了就是取个小圆，这里其实就是取了个小圆啊，取适当小的 r， 然后在圆点附近做个圆，那假设这个圆周 l 是 x 方加 y 方等于 r 方，大家注意，外头取的是 大牙了，里头的这个小圆是取得小 l 啊，大家注意，外边一圈，里边一圈，注意，里边这个就是个圆，外边这个形状是个任意的，外边这个形状是个任意的。那么我们 对这个区域，这个区域啊，我们在前面讲单联通跟这个副联通，这个是有洞的，有洞的就是副联通区域啊，副联通 下面有一个细节请大家注意一下， l 这个方向就是逆时针方向，你仔细看， l 的方向就是逆时针方向， 没问题。哎，老师，刚才讲那个正方向的时候，老师，俺老师跟俺讲过了，我在外边走就是逆时针走。 哎，老师啊，课本画错了，你看看课本画的里边的这个方向，怎么也取得逆时针方向啊，哎，别改，别真改啊，别真改，有他拿笔就改啊。不不不，他就这么弄的， 他他他里边就取的逆时针方向，有的拿笔就开始改呀，啊哈，人家没画错啊，我忽悠你的啊，里边他就取的这个逆时针方向。哎，老师，不对呀， 刚才你那个讲正方向的时候讲，如果在里边的话，是不是应该是顺时针方向啊？老师，他这里为什么要取逆时针方向啊？你啊， 别着急。哎，且听我慢慢讲啊，注意，大牙了跟小牙了都取得逆时针方向啊，这个地方啊，这个点大家注意啊，这个点大家注意哈，这是这个啊，这是这个 好，好，嗯，好， 那么在整个这个区域之上，如果应用这个格林公式，应用这个格林公式。好，这个我给大家怎么写呢？ 哎呀，在整个的这个区域之上，咱这么说吧，在整个的这个区域之上啊， 我这样我直接写吧，等于 l x 那个 dy 减 y dx x 发加 y 方减在 l 之上， x d y 减 y d x x 发加 y 方 等。领，这样吧，我先把这公式抄这吧，要不然我就就就不好说了。好，那么在这个区域之上， 这个区域，注意，这个区域是不含原点的，所以在这个区域之上是 可以用格林公式的哈，可以用格林公式啊，所以右边就等于左边，用格林公式等于左边这个减，这个注意，这俩刚才说不是他俩相等吗？这个减，这个是个零，所以在这个上面应用格林公式就等于零。 好，所以这个玩意等了零，我给你解释清楚了啊，用格林公式等于左边，他就能零。好，这样解释一下这个东西， 这个 l 是个正方向，那用格林公式，它是正方向没问题，因为外圈就是正方向，那就是它的逆时正方向，但是这个地方的方向和我们格林公式的是个反着的，应该是那样个方向，那么根据 我们这个呃曲第二类曲线积分他的那个方向性，如果方向反的，那就得加个符号，所以在这个地方加了个符号，因为这个 l 的方向是反着的，所以这个地方再加个符号， 他为什么加个负号呢？他把这一项又挪过去了，所以在 l 之上， x d y 接 y d x b x 方加 y 方，就等于这一项挪过去，就等于 在 l 之上， x d y 减 y d x b， x 方加 y 方，在小 l 之上，求他的区间积分。 对，小 l 是这么一个圆，半径是 r， 求曲线积分，曲线积分啊。第二类，曲线积分第一类，曲线积分，大家只会用一种方法，就是参数方程啊，对不对？那这不是个圆吗？那圆用参数方程啊，哎，这个大家都会圆的，参数方程就是几座标吗？对不对？所以啊，注意， 这个小圆是这么转的，是逆时针转的，所以这个是零到二排，哎，这个零到二排，这个谁的这个变化范围，哎， 这个学问很大，为什么这个 c 字是从零到二判？因为这个小圆是这样转的， 各位同学啊，如果这个圆是这样转的，你就得写二派到零了， 那这样转，这不从二派转到零吗？哎，从零到二派，还是从二派到零，哎，这个东西你得注意，对不对？这个东西你得注意。 好，那当然下边 x y 朝里带，这个就比较简单了， x 呢，是个 r q 三 e c 他 d， y 呢，是个 r q 三 e c 他啊，这个简化， 哎，又变成加号了啊，所以就是个 r 三 e c， 他 r 三 e c， 他，然后 d c， 他，然后 l 四方加外方啊，就是个 r 方啊，就是个 r 方， 然后啊，直接呃，结果啊，就那样拍，结果就那样拍，哇哦， 所以啊，这个立体啊，他最重要的考察那个点，就是那个，就是 pq 那个一阶的呃偏倒呃存不存在啊？如果 始终都存在，那就直接做，如果 p q 的偏倒呃在某一点上可能不存在。大家注意这个类似的，这个题可以做成一种模式， 就是如果 peo 的天岛在某点不存在的时候，注意处理的方法都和这个是一样的， 都在这个点取一个圆，并且是吧取一个圆 都是这样来处理的啊，当然了，他在原点部分的讨论应该是最多的啊，其实也不一定都在原点啊，你在其他这个点上其实也行啊，对不对？如果在这点上他的意见这个偏倒不存在的话啊， 对吧？这就是格林公式总体来说啊，这个格林公式的计算啊啊，大家说白了就是按照我刚才说的，你要判断如果是从右边向左边做就比较好做 这个计算啊，他比较麻烦，就整个的这个东西，既有二重积分，又有曲线积分，又最终吧又得转化成参数的积分，所以有的东西就会晕， 就是有一些积分是要讲方向的，比方说曲线积分就是第二类曲线积分，要讲方向的，你想重积分是不讲方向对不对？ 最后还得和这个一重积分啊联系起来啊，哈哈，这就是格林公司啊， 刚才也给大家说，刚才看上一个视频，看那个呃证明的过程，如果你跳过去了，你直接看我们这部分的计算啊，其实一点问题都没有， 但是你看完这部分计算，你也可以再倒回去再看看我那部分的证明。其实我看这部分内容啊，就是我先看计算，我一看哈不就 套公式做呗，对不对啊，我把这些例题我看了一遍以后啊，我又去看了那个啊，证明过程啊，当然证明过程啊，的确是很复杂啊的确是很复杂，对吧？这个就是格林公式啊，大家在下去从扣利利扣 题里边啊，再去找一些题目啊，大家再去做一做啊。大家看到今天我也换了新的装备啊，今天这个耳机啊，是新的耳机啊，这个比较美观一点，对吧？啊这个这个比较高级啊比较高级，大家看电电视台的这种主持人啊，都带的这种耳机 啊，但是我这个肯定比他们的那个价格那便宜了不知道多少倍了，是吧？他们那个设备都很贵，但是我我这个也还可以也还可以，从这个开始我们这个收音啊就用这个收 啊，我之前的那个第一个那种麦啊，是别在领子上的那个麦。有个问题，就是离嘴巴太近就是太远，这个教室里边就回音啊，也能收进来，所以导致那个声音收起来比较浑浊，就是呃控就是这个有回声，之前第二个我带的那个 差不多，但是那个特别大，然后也很颜色也黑的，那个收的音效果一般，他收高音啊还行，那个低音啊跟中音啊都收的不是特别好，对吧？宋老师， 据说他们评价宋老师的声音据说是比较典型的这个男中音，对吧？低音算不上，男高音也算不上，据说这个低音 啊，中音还可以，对吧？所以啊换这次换了这个耳机啊这个这个啊这个这个，有的同学有的同学，哎，你知道吗？有的同学竟然还评价我说，哎，宋老师的男低音特别有磁性，特别好听，对吧？ 我就想问你这个同学，你大耳朵是什么时候聋的呀？对不对啊？怎么能听出来声音，宋老师的声音好听呢？还有同学在这个视频里边评价，可能我有一个视频啊，里边上课的时候 在喝水，在喝水，可能这口太干，然后喝水。有的同学发了个弹幕说，嗯，宋老师听这个，这个宋老师上课的时候喝水的声音都这么有魅力，对吧？哎呀，我说你这个同学实在是闲的太无聊，对不对？ 但是不管怎么样，就是我对这个设备啊，还是要求比较高的啊，所以为什么花了这么多钱，不断的升级各种设备， 也也是我们保证这个录课的效果，对吧？大家不用担心，宋老师，快点，十一点了啊，你赶不上班车了，哎，其实我们同学是想吃饭，对吧？啊，那宋老师赶紧，十一点了，赶不上班车了，不要紧，今天我开车了，对不对？

哈喽，大家好，我是考研数学冰冰老师，我们今天做一道稍微有点难度的格林公式，大家还记不记得格林公式的三个考点呢？叫做封闭正向无奇异。 首先，今天我们学的这道题目呢， l 告诉我们是不经原点的封闭曲线，当然不经原点有两种情况，一个是将原点包含在里面，一个是将原点包含在外面，那么这两种情况都可以是 l 的一种例子， 那么并且第二 lv 逆时针是正方向的，封闭正向好。第三是什么来着无奇异。那么该题当中的 p 和 q 很明显的在当包含零零点的时候，零零代入都是其一点，也就说无定义点。所以此时我们需要研究零零设 是否在该区域内或区域外以及格林公式的使用。好，那么首先在计算之前，我们会发现偏 q 比偏 x 和偏 b 比偏外，他俩相同，那么在相应使用格林公式的时候很明显，那么他俩一做差直接得零。所以第一种情况，当零零点不在区域内部时， 那么很明显，现在满足封闭正向无奇异，直接用格林公式为零好。第二，当零零在在区域地之内，那么我们此时需要搞一个复联通，为什么？因为我们要挖洞，挖洞就是我要找一个圆周， 相当于本来在包含原点的情况下，这个 l 我又找一个小小的洞，小 l 将其挖掉，那么此时这个副联通我们之前讲过叫做外逆内顺，再取这个方向的情况下，那么整个我 我们 l 大 l 取逆时针，小 l 取顺时针，那么此时我们利用格林公式正常求解为大的格林减去我所补的这个小 l， 整个我们对应的这个格林公式直接替代进去，将积分值算出即可。所以在这个地方我们需要两种情况，一个是零零包含一 六十零零不包含他主要破坏于其一点的存在性。所以今天这道题目是一道考研真题，大家好好做一个研究。我是冰冰老师，我们明天再继续更新。