新高考三次函数大招

这是新科标教材必修二第八十二页隐藏的一个三次函数回答定理回答定理大家都学过，那三次回答呢？现在的高考越来越灵活，喜欢深挖课本知识，所以这个三次回答大家一定要学会。 fa 的系数为 a、 b、 c、 d 三个零点，那么三根之和就是负 a 分之 b， 两两相乘的加和等于 fc， 三根之极等于负 a 分之 d。

来来来，同学们，看这道高考题，这道高考题如果你用传统方法，太慢了，太慢了，简直帅到炸裂，帅到无敌！同学们，同学们，比传统方法快几百倍的解法，同学们，来看一下，来看一下。首先同学们，暂停一下自己来做，看你会不会做，需要花多长时间。 这道题的传统解法，你需要讨论，需要讨论，需要讨论，太麻烦了。同学们，修导。然后讨论同学们，这种题目的传统解法，你就要对他修导，然后看他的单调性，然后为一零点，然后再讨论他代理。 同学们，这时间太浪费了，如果你这么做下来，你别说考一百四了，你考一百分都难了。同学们，但是如果我们这道题对三四函数比较熟悉的话，那么这道题直接把它搞定，很快就能够把它搞定。首先我们来看一下，前面 我们讲过参数函数的集资点是不是有这个，是吧？这是上一个视频，给同学们讲了一个公式，同学们可以回去看一下上上一个视频，明白了没？这个是一个公式。首先如果参数函数长这样子， 那么他的极值点就是什么三 a 分成负 b 加减根号 b 平分减三 ac， 如果这里是正的，他就写极小值点，如果这里是负的，那么对应的是极大值。然后我们来看一下，对于这道题的时候，同学们看一下，他说有唯一零点，那么这就考到我们三四行四的图像了。 那么同学们，首先看 a， a 能不能等于零， a 不能等于零，为什么？ a 如果等于零，这就是负的三 x 平方加一，他是有两个零点了，他他就不满足，得练了。所以我们只有两种可能，要么是 a 大于零，要么是 a 小于零，是吧？如果是 a 大于零，同学们，他的图像应该怎么画？ 这是挨着找他的图像，只有可能是这个样子，这是一种情况，或者说他是这种情况， 是吧？我们对三十二岁的图像要熟悉，我们如果不知道这个怎么画的话，同学们，这个就做起来太慢了。好，接下来我们的 a 如果是小于零，那么他的图像是不是只有这样子， 是不是好？那么接下来他还有是什么？还有就是我们这种情况 是不是也是可以的，是吧？如果是 a 小于零，他这个注意号到战无雄，他就变成负的了吗？明白不？同学们，好，那么接下来，接下来 我就用我们上一个视频讲的公式，直接带公式，直接带到这个公式里面来，那么我们就能够求出 x g 是吧？ x g 他等多少带到这个公式里面来，带到这个 公司里面来。艾克吉他就带到里面来，他就得到我们的三 a 分子，三加减根号九，加减根号九，比如说他要么 x 大是吧？ x 大写正的时候他就大， 他就等于零，然后 x 小及小值，然后他就等于什么 a 分之二。好，同学们，利用这个，我们就能够把题目做出来了，你看集大直点，这个是不是集大直点，是吧？集大直点等于零啊，所以这个就是歪着啊， 是吧？这个就 y 轴啊，哎，那么这就是 x 零啊，题目告诉我们 x 零大于零啊，但这是小于零啊，所以这个就排十了。再看这个，其他指点在这里， 这个等于零，也就是 y 则在这里，是吧？好，那么这里是 x 零诶，同样 a x 也 x 零要大于零，但是这里是小于零，所以不满足牌时， 是不是？好，接下来我们再来看这两个图，到底是哪个呢？来，我们接着看 x 零， x 等于零的时候，我们看 f 零，他这时候就等于一啊，是吧？你把零带进去，他等于一啊，是吧？比如说这种情况， 好，这种情况你看这个是负的，这个正的，所以这种是排舌，因为他等于一了，是吧？所以这里他应该是一才对， 是不是？同学们，是不是？是不是？好，那么我们接下来看，接下来看。所以我们要要讨论他是集大值点的话，那么我们就什么，我们就得保证这个东西，如果他只有一个零点，我们就保证这个集小值点要大一点，是不是？ ok 了？ 就保证这个东西就 ok 了，是吧？所以我要 f 的极小值点，这个要大一点，也就 a 分之二 要大于零，是吧？他不能下来，下来他就有三个九九点或者两个九九点了，是吧？他必须要大于零，那么你把这个带到这里面来，他大于零解数，我们的 a， 他就等 a 平方要大于四， 是吧？ a 平方要大一岁，所以我 a 就大于二，或者 a 小于负啊，是吧？这种情况是 a 小于零，这种情况，是吧？所以取这个，所以我们的 a 的范围就负熊到负啊， 搞定是不是很轻松？很简单，是不是？同学们，是不是？你再对比一下他原来的答案，你这么写下来太麻烦了。同学们，你看他最后也是得到这个答案，是吧？最后你看他讲了那么久，他说了那么久，最后还不是这个东西 是不是？还不这个东西是不？同学们是不是很爽？所以我们真是函数的这些性质你要掌握住。好，更多精彩内容可以报我的系统号，高一、高二、高三都可以，我们要一起数学优视频加。

我们今天一起来拿下这道倒数非常经典的题目来读题。函数三次函数函三在 x 等于负三处取得及值，则 a 的值 非常经典，必考的导数三次函数已知九点，求参问题，其实他对应三种题，然后常规方法呢？不是很难，但是每次都要检验，浪费时间，五分钟还不一定能拿到分。今天白老师教你一个技巧， 一套口诀，轻松解决这类所有问题，那就是大龄小，小龄大级值等不等。这个题他不是告诉你是三次函数 cs 等于负三处取得级值吗？ 靠这个口诀及值，然后接着一街道等于零，二街道不等于零，那么就是我们 f 撇儿负三等于零， f 撇撇儿负三是不等于零的，我们带入轻松 计算， a 等于五，再也不需要检验，直接五分到手了。当然，如果我告诉你，他是极大指点，一阶倒带入等于零，二阶倒带入小于零。如果我告诉你，他是极小指点， 一级导代入等于零，二级导代入大于零，这类问题都能够轻松秒解，你学会了吗？给老师点个赞！

三次函数是我们高中新学的函数中最友好的一种了，快把它发给你的同桌考一考他。 今天我们就来看一下三次函数的单调性。研究三次函数的单调性，最简单的方法呢，就是求导，假设函数 fx 等于 ax 的三次方加 bx 的平方加 cx 加 d， 这里边 a 不等于零。 求完导了之后呢，会发现这个导函数呢，是个二次函数。接下来呢，我们就来研究一下这个二次函数的图像，因为这里边 a 的正负不知道，所以呢，他就分两种情况，第一种情况呢，是 a 大于零，第二种情况 a 小于零， 当 a 大于零的时候，说明这个二次函数呢，他开口朝上，那到底跟 x 轴有没有焦点呢？我们还需要再讨论他的 deta， 当 deta 小于零，这个二次函数呢，跟 x 轴是没有焦点的，如果 等于零的话，那这个图像呢，跟 x 轴就有一个焦点，如果等于它大于零，跟 x 轴呢，就有两个焦点。这个是二次函数的图像，大概分为这六种，我们知道倒数的正负决定了原函数的单调性。 在这里边呢，我们会发现这两个图呢，他们这个都是大于等于零的，是一类情况，那下面这两个图呢，是另外一类情况。最后这种呢，他的函数值有正有负，那对应了原函数的单调性呢，就比较复杂， 下面呢，我们一个一个来分析。先来看第一种情况，当这个导函数开口朝上与 x 轴没有焦点的时候，我们会发现这个 f 撇 x 呢，大于等于零横成立，那对应的原函数它就是一直单调递增的。 第二种情况，当开口朝下跟 x 轴没有交点的时候，那导函数小于等于零横成例，对应的原函数呢，就是单调定 减的。比较复杂的就是第三种，当开口朝上跟 x 轴有两个焦点的时候，由图像呢，我们会得到，在 x 一的左边，导函数呢，是大于零的，那对应的原函数它就是单调递增的。 x 一到 x 二中间的这一段，它的导函数呢，是小于零的，所以对应的原函数就单调递减。 在 x 二的右边，导函数呢是大于零的，那在这一段呢，原函数就是单调递增的，我们就可以把原函数大致的走向画出来，由图像可以得到，在 a 点这里，其实 fx 的一个极大值， b 点这里呢， fx 呢，取到极小值， 在极大值与极小值中间的这个部分一点，其实这个函数它的对称中心，我们从这个图上呢，也能观察出来，圆函数的对称中心呢，其实是在导函数的对称轴这里取到的。 还有第四种情况，跟他差不多，当这个导函数开口朝下与 x 轴有两个焦点的时候，我们会发现，在 x 一的左边呢，导函数是负的，所以对应的原函数单调递减， x 一到 x 二中间， 导函数是正的，那对应的原函数呢，就单调递增， x 二的右边呢，又变成负的了，所以它又单调递减，那这个原函数的图像就画出来了，在 c 点这里，它取到了极小值， d 点这里取到了极大值， 并且呢，它也有个对称中心，就是 f 点，这个就是三次函数的性质。下面呢，我们来看一道例题，已知 m、 n 都大于零，有这么一个函数， 说它在 x 等于一处有极值，为 m 乘上 n， 它的最大值是多少？我们要研究三次函数的单调性或者极值的话，最好的办法呢，就是求导，这个函数求完导了之后， 他等于十二， x 的平方减去二， mx 减二 n。 分析题干可以得到这个二次函数，跟 x 轴呢，一定有两个焦点，这个是导函数的图像，根据导函数的图像呢，我们也可以画出来原函数， 我们会发现在 x 一这里呢，取到了极大值， x 二这里取到了极小值。不管极大值还是极小值， x 一跟 x 二都是导函数的零点， 所以 x 等于一就是其中的一个零点。我们把 x 等于一带到导函数里边，那这个 f 撇一呢，就等于零。化解一下可以得到 m 加 n 等于六。 现在我们要算 m 乘上 n 的最大值，那这里呢，就要用到基本不等式。 m 加 n 大于等于二倍，根号下 m 乘上 n， 又因为 m 加 n 呢，等于六，给它带进去就可以解出来， m 乘上 n 呢，小于等于九，所以 m 乘 n， 它的最大值呢， 就等于九。在用基本不等式的时候，一定要注意取等条件，当且紧，当 m 等于 n 等于三的时候，等号成立。今天分享的这个知识点，你听明白了吗？

来来来，同学们，看我们的高考题，三四函数。三四函数几乎每年都考，考了很多次了。同学们，所以我们一定要对三四函数有所重视。来看这种题， 这种题，同学们，如果你知道三十行式的一些性质的话，那么这种题直接就能够把它秒出来，如果你不知道，那么你就得乖乖的学到看当，要是然后再来学，那就比较麻烦了，那你别说想考一百四十加了，可能你考一百分都比较麻烦了。同学们， 来，我们减三四函数来。同学们，看三四函数，他有一个重要的特点，就是他的集值点，集值点，来，我这里给同学们直接讲公式，就是对我们的三四函数 mx 等于我们的 ax 三十分加 bx， 平方加 cx 加 b 站的三次函数，它的即直点 x g， 注意，我写的是即直点，不是零点。同学们， x g 它要等多少？它是等于我们的负 b， 然后加减根号下的我们的 b 平方减去三 a c， 然后下面分母就是三 a。 注意，这时候如果这里的这里的符号是正的话，他就是什么正的对应的是极小指点，然后负的呢？对应的是极大指点，注意不要搞错了。好，那么知道这个特点之后，那么这道题直接秒，直接秒。来，我们看这道高考题。同学们， 这道高考题我们直接就能够把它秒掉。来看，他说 e x 轴有两个公共语。同学们，你知道三十函数的图像怎么画吗？他 x 前面的系数是正的，所以他的函数 图像它只有两种可能，一种是这样子的是吧？还有另外一种是这样子的，因为它只有两个，两个焦点啊，是不？只有两个焦点，那么只有两种这种可能 是吧？好，无论是哪一种，他都及时点，他都有可能等于零，是不是？所以我们直接用这个公式直接求他的及时点，他就相当于 x 零方加上零 x， 哎，这是 x 三，是吧，是吧？零 x 零方减去三 x 加 c 啊， 是不是这个 b 就相当于等于零嘛，是不是？好，那么我们直接带到这个公带公式，直接就能够熟悉他的极值点，他就等于我们我们的什么，他就等于我们带进去，他就等于我们的零加减，然后零加九，然后这里是十一三，他就等于政府一 一，是吧，好，那么几指点，他要么几大几，要么几小子啊，是吧？好，那么我们就来看 他的什么。首先是一是吧？一是几大的还是几小的？一是几小子是吧？这里起站的时候他几小子，不管几大还是几小子嘛，是吧？是不是零，是不是直接等于零啊？你把一带到这里面来，直接等于是能够解释 c 了，解释 c 等于，哦，是吧，你把 f 负一同样带进去啊， 是吧？正负一嘛，两个都带嘛，同样等于零啊，这对应的是这种情况，其他的这种情况啊，把 c 解出来，他同样等于负二，所以这道理的答案是，正负二轻轻松松搞定，是不是？不要修答，同学们， 是不是做的很快？你只要把这个写下来，把这个学一下就 ok 了，不用学到，不用讨论，不用看他的单调性，通通不需要，是不是很爽，这就是我， 我们知道了他的性质和他的图像之后，做题才是非常快非常爽的。同学们好，同学们自己看一下这道作业题。这道作业题是传统方法，是相当相当麻烦的，但是我们用我们的秒杀方法直接搞定这道作业题。我下一个视频同样会讲到， 同学们可以知道三十函数究竟都威力有多大。好，更多精彩内容可以报我的系统哦，高一高二高三都可以，我们一起数学幺四零加。

这道高中数学的纪念题，图中函数 f s 的 x 三次方减 c x， 它在 a 到六减 a 方上有最小值，则是说 a 的取值范围是什么？那遇到这种情况，首先呢，把函数 f s 求下导，研究一下它的一个单调性就可以了啊，所以直接对 f s 求导。 那么 f x 倒数，它等于什么呢？ f x 的倒数，它就直接等于三 x 的平方再减三，直接另导函数等于零得到 x 呢，等于正负一啊，所以它两个极之点啊，一个呢是正义，一个是负一， 然后再来画一下这个导函数的图像就可以了。那么这个导函数的图像呢，它是一个开口向上的一个啊，参数啊，所以它大致图像是这样的，对不对？这个地方呢是负一，这个地方呢是正一就可以了。 然后接下来呢，这个圆函数图像应该是什么样的呢？圆函数的图像就是，如果这个导函数是正的话，如果这导函数是正 的，圆函数就是增的，对不对？那导函数是负的，圆函数就减的，对吧？所以呢，我就知道这个这个圆函数的图像应该是先增，对吧？然后呢，再减，然后呢，再增就可以了，对不对啊？先增再减，再增就可以了。 所以呢，你看他这一个极小值点是在 x 等于几的时候取到，是不是在 x 等于一处取到，对吧？所以呢，只有当什么呢？当 a 和六减 a 方，一个在这个一的左边，一个在这个一的右边的时候，他才能够有最小值。 a 和六减 a 方呢，它都是什么？都是这个开区间，对吧？它都是开区间，它都是空心的，那么在其他位置的时候，它都没有最小值，对吧？啊？它必须有一个这个极小值点在它中间的时候，它在才能在这个 a 到六减 a 方之间啊，有最小值。你比如说它是 在这一个增区键上啊， a 到六减 a 方的在一个增区键上，那么他有最小值吗？ a， 因为他取不到，对不对啊？所以呢，他就没有最小值，他必须是在什么 在？呃，就是在这个有极小值点这个位置的时候啊，极小值点在他中间的时候，他才有什么最小值就可以了啊，所以只需什么只需这个 a 小于 一对吧？一呢又小于六减 a 方就可以了。好，分别解一下啊，左边是 a 小一，那右边呢？就直接是什么？右边是这个 a 方小于五，对吧？啊？所以这个 a 的值呢？就算出来了啊，就是 a 是 大于负的根号五，小于正的根号五就可以了，那左边呢就是 a 小于一，然后两个取个交集的话，就是 a 的范围呢，就是什么 a 的范围就属于负根号五到一就可以了啊，所以 具体选什么呢？直接选择 a 选项就可以了。好，最后做总结啊，那遇到这种情况，首先我们要知道怎么去处理它，其实就是把这个三次函数的图像给画出来， 只需要这个什么极小值啊，极小值点，对吧？还是等于一，他在什么 a 到六减 a 方之间啊，他就有最小值了？好，这就是这个主要内容，希望你能帮助好，谢谢大家。