f（x）是x的n阶无穷小什么意思

节选题， x 的最高阶无穷小，考研必考，杰哥做法最简单！哈喽，大家好，数学式思维体操，我是考研数学杰哥，关注杰哥，学习更多的考研数学技巧。今天咱们课程主题呢，就是 x 的最高阶无穷小， 那么之前做题做过的同学可以扣波一啊，没有做过同学你扣波二，为啥呢？因为咱们这道例题真题考过，你必须掌握。求 a、 b、 c 的值，使得 x 区域零是 f x 为 x 的最高阶无很小。 很多人看了这之后，大脑一片空白，不知道让干嘛啊。如果你是这种情况，你就可以扣波一，对不对？那好，我先介绍一个概念，比如说 f x 是 x 区域零时的 无穷小啊， f x 是 x 区零时的无穷小，那么当 x 区零时， f x 比上 x k 次方，如果等于一个非零长数 c 的话，那我们就说 f x 是 x 的几阶无穷小， k 阶无穷小啊，先引入这个概念，然后 三 e x， 我们知道和 x 是等价的，对不对？所以三 e x 呢，是 x 的几阶无胸小，它是它的一阶无胸小。 好，接着呢，我们三 e x 减去 x 呢？我们知道三 e x 减 x， 我们除以 x 三次方，当 x 区域零的时候，我们极限呢，是不等于零的啊，是等于我们的一个负六分之一，对不对？所以我们知道三 x 减 x 呢，是 x 的 三阶无穷小，对吧？好，现在呢？ 好，有了上面的知识铺垫呢，我们一起来做啊！这个题目，由于呢， x 区域零时 f x 呢是无穷小，注意，落脚点是无穷小，那是不是就意味着 x 区于零时 f x 这个极限呢？它必须得是零啊， 对吧？好，就因为咱们这个函数 f x 在零处是连续的啊，啊，实际上它就 就等于咱的 f 零，把零带进去，那就是一减零减 c 啊，所以 c 等于咱的一啊，所以 c 解出来了，接着呢，我们去找咱们 f x 呢，和谁是同接的啊？各位注意，就是三 e x 减 x， 它是 x 三次方的同接物。胸小 与三 e x 减 x 是 x 的三阶无穷小， 哎，是一个概念，是一个概念哎，就是他和他同阶，意思是他是他的三阶文小。所以现在呢，咱们找 找一下 f x 和谁等价，哎，找一下 f x 和谁等价就好了，你看我们呢，把一减 b x 分之一提出来， 这个就是杰哥说的，我是全网做的最简单的做法，一加 a x 减去一减 b x 乘以三 x 减去 c 倍的一减 b x， 那这时候 c 我们取出来是一对不对？ 好，各位来看 x 区域零时，咱们这个 f x 和谁等价？ 非零因子，它是不是非零因子 x u 零时。好，所以 x f x 是和 e 加 a x 减去 e 减 b x 倍的三 e x 减去 e 减 b x 等价的啊，就是他俩是等价的，在 x 区域零时，那现在我去找， 我去找他和谁等价，哎，我找他和谁等价，找到他的等价之后我就找，找到 f x 等价，我就找到我们 f x 的接，对不对？好，现在呢，合并同立项， 它就是一加 a x 减去一减 b x 倍的一个三 e x 减去一，再加一个 b x 一一减掉， 对吧？好，我们就得到 f x 呢，是和 a 加 b 倍的 x 减去一减 b x x 倍的三 e x 等价。现在我们只需将三 e x 做一个展开啊，我把三 e x 做一个展开，咱们知道三 e x 是等于 x 减六分之一 x 三次方加一个三次方的高阶，对不对？所以 如果把它看作是一个函数 g x 的话，那么 g x 应该是等于 a 加 b 倍的一个 x 减去一减 b x 倍的 x 减六分之一 x 三次方加一个三次方的高阶。 好，那就是 a 加 b 整体的一个 x 减去，这边是 x 减六分之一 x 三次方加三次方的高阶， 减去 b x 的一个平方， 他俩结合又是 x 三次方的告结，他俩结合又是 x 三次方的告结啊，想要都归到这了，对不对？好，那就是我们 a 加 b 倍的一个 x 减去一个 x 加一个 b， x 平方加一个六分之一 x 三次方，再加一个三次方的高阶。那也就说 a 加 b 减一倍的一个 x 加一个 b， x 平方加一个六分之一 x 三次方，再加一个三次方的高阶，好，所以 g x 呢，咱们太乐展开呢，就找到了啊，找到了，所以咱们 f x 和日夜等价就 如何？ a 加 b 减一倍的一个 x 加 b， x 平方加六分之一 x 三次方，再加一个三次方的高阶等价，对不对？好，现在 由于 a b 数值的不同，会导致这个东西呢，会导致这个东西呢，它等价不同。比如说这个东西呢， a 加 b 减一不等于零，只要 a 加 b 减一不等于零，那么这个玩意儿它就和 a 加 b 减一倍的 x 等价。也就是说 f x 呢，是 x 的一阶五，胸小。那么如果说我们 a 加 b 减一等于零， b 不等于零， 说明 f x 和 b x 平方是等价的，那么也就说 f x 人们的二阶五率小。如果 a 加 b 减一等于零，且 b 等于零，我们也就得到 a 等于一， b 等于零的话， 那么 f x 和谁等价？是不是和它等价，那它又和六分之一 x 三次方等价，所以 f x 呢，就是 x 的三阶母胸小，对吧？好，由于呢，我们 a b 的数值不论怎么变化， 都不会影响到六分之一 x 三次方，所以 f x 的最高结婚小只可能是，这是零，这是零，对吧？所以轻松求出来 a 等于一， b 等于零的时候， f x 呢 为 x 的最高界功效。那么我们反过来再去解读这道题目，它的意思就是，随着 a 的数值和 b 的数值的不同， f x 有可能和 x 等价， f x 有可能和 x 平方等价， f x 有可能和 x 三次方等价，他们对应的数值是不一样的，所以才会有一个求 x 除以零是 f x 的最高监控技巧，他瞄准的就是这里， 哎，瞄准这里，瞄准，就是让你这两项都等于零啊，因为我们 x 三四方前面系数是正的，对不对？所以 fx 他不可能是一个四次方的无穷小，因为他最低阶，如果一次和二次的系数都是零，他最低阶也是三次啊。 那么这个题目也可以改编，对吧？还可以改编，改编成什么呢？哎，改编成最 第一阶无穷角，哎，求你，求求这个啊，求最低无穷角，那最低无穷角怎么办？哎，就是只要 a 加 b 减一不等于零就可以了，对吧？好，那么我觉得我已经讲的非常清楚了啊，大家听懂的可以扣波一， 那么同学们呢，也可以把你们自己的过程打卡在咱们评论区啊，看一看你的过程呢，跟结构的过程相比，谁更简单一点， 对吧？好，那么我们一起在评论区交流，我希望在评论区看到你的解题过程啊。杰哥会看的啊，给大家一些建议。那我们这节课就到这里啊，我们下节课再见。拜拜。

很多人都知道无穷小不就是趋近于零吗？但是学到高阶低阶无穷小的时候就头晕了，这大家都是无穷小，怎么就比较起来了呢？哪怕是看到这坨公式也没有特别的理解，那今天呢，我们就通过一些小例子来强化你的理解。 首先要再次强调，高等数学研究的是一个动态的过程，研究的是趋势，与初等数学之中静态的谁等于几，那是不一样的。就好像你评判一个人是否富有啊，你不能只看他裤兜里有多少钱，这是初等数学的思维， 你还要看这个人有没有赚钱的能力，有没有守财的能力，对吧？所以遇到无穷小不是简单的他给替换成零，要理解他是一个逐渐接近零的过程，既然是接近，那就有速度。我们来看两个简单的数列，一个是二四六八十，一个是二四 八十六三十二，同样是五次变化，你是不是一眼就能看出来哪个变化的快啊？高阶低阶无穷小也是类似倒立，就是看谁区间于零的速度更快。落实到这坨公式上面呢，就是做一个笔， 有点像回合之游戏啊，就是你打我一拳，我打你一拳，最后活下来的那个是更牛的，你看，假如我这个分子上是一个四倍速无胸小，分母上呢是一个二倍速无胸小，上下预约分呢，就剩分子了， 所以这个计算结果就显示为零，也就是这个第一条公式，你看上面那个是四倍速更快啊，所以他就是高阶的吗？ 那如果反过来呢？月份以后，分子是一分母，是二倍速无穷小，一比无穷小，那结果就显示为无穷呀，所以上面那个就是低阶无穷小呗，等等啊，如果你觉得我说的很有道理，那可得好好反思反思。用倍速来代表阶，其实是 不太准确的。举个最简单的例子啊，比如 x、 x 方， x 三次方等等等等等，这一串呢，它的接是越来越高的。那如果是 x 二， x 三、 x 四，你肯定很熟悉啊，他们图像长得差不多， 这几兄弟呢，就是同阶的。所以我认为啊，在中文语境之中的高阶低阶呢，他一定会涉及数量级的不同，如果仅仅用快慢来表述，会造成一些误会。 就我的感觉来说呢，不同街的无穷小，有点像走路、开车、开飞机。同街的无穷小呢，就像是散步、快走和跑步。如果是等价无穷小啊，就是咱们俩并驾齐驱走的一样快。 据说这么多啊，请供参考。如果能理解但不会做题，也可以把题目发到评论区，我们到时候来操作一下。

billy billy， 我们来看一下什么叫做无穷小的比较。 f s g s 为同一变化过程中间的无穷小，然后把它写成这种笔直的形式，然后再求它的极限，如果它的极限值为零的话，我们就记作 f s 比 g s 高阶无穷小，计作 f s 等于小 o g x， 那么通俗的理解，什么叫做高阶无穷小，他的意思就代表着上面这个 fs 比下面这个 gs 更快的去于零，所以说他们的极限是等于零的。 然后如果它们的比值为 k 的话，那么 f s 与 g s 为同阶无穷小，但是这里的 k 不等于零，也不等于一，如果它们的比值为一的话， f s 和 g s 叫做等价无穷小，我们记做 f s 等价于 g x。 第四点哈，如果 f s 比上 g s， 看一下哈， g s 有个 k 次方，那么等于 l 不等于零的情况下呢么我们认为 f s 为 g s k 界无穷小，那么给大家的要求哈，第一点，记住这四种形式， 因为在考试的时候，我们经常会给你两个函数，告诉你他们是同阶或者等价无穷小，让你求某个参数的值。然后第二点哈，注意等价无穷小， 对于等价无穷小，待会我们会讲到等价无穷小替换公式，它主要用来求极限的，而且是非常常用的必考的。然后第三点，我们来理解一下高阶无穷小。 好，下面我们先来讲一下高娇无穷小，其实对于高娇无穷小的定义来讲，考的时候并不多，主要考的是等价无穷小替换公式，这个才是重点，那么我们有助于大家理解。我们讲一下高娇无穷小啊， 比如刚才我们讲了高阶无穷小，记住小 o， 那么我们随便写一个，比如小 o s， 它叫 s 的高阶无穷小。那么在这里问一下大家，这个小 o s 是一个数吗？ 就是它到底是什么东西？这里给大家说一下，它不是一个数。小 o s 是指的 b s 高阶无穷小量的集合， 也就是说它是一个集合。那么谁比 s 高阶无穷小呢？很多，你比如说我举个例子，比如说 s 的平方， s 的三次方， s 的四次方都是它的高阶无穷小。为什么？因为你只要把 s 区域零的时候， s 平方比上 s， 它都是等于零的。或者说 s 区域零的时候， s 的三次方比上 s， 它也是等于零的，这说明满足高 高阶无菌小的定义。所以啊，小 os 它对应的是一个集合，是比 s 高阶无菌小量的集合。那么我们做一下这几个题目哈，比如说小 os 的平方再加上个小 os， 它等于什么东西？ 这里是比 s 平方高阶五角角，你可以认为是 s 大于二次方的啊，一些函数，那么这里呢，是比 s 高阶五角角，你可以认为比 s 次方大的。这些函数的集合，那么加起来相当于曲并，所以啊，它是等于小 os 的。然后我们看第二个小 os 平方啊，比如说加减小 os 平方，它等于什么东西？ 同样的是取边里他仍然是 s 的平方。然后我们再来看一下乘的哈，比如说小 os 的平方乘以个小 os， 那就相当于啊，把某个集合里面同时乘以个 s， 或者乘以 s 平方，那就相当于啊，要么把前面这个集合同时乘以个 s， 要么把后面这个集合同乘以个平方，所以他等下来以后应该是小 o s 的三次方。好，下面我们再来看一下，即使后面的就是不加小 o， 就是小 os 平方乘以 s， 他仍然是等于小 os 三次方。 然后我们再来看一下这个，假如说 limit s 除以零的时候，小 o s 平方再比上 s 平方等于多少？刚才我们是不是讲了，这个代表的是 s 平方的高阶无穷小，那也就相当于你可以认为是三次方、四次方以及大于二的都行，那比上二，在 s 虚零的时候，他的极限肯定是零。那么如果能理解这些啊，对于这个无穷小，大家就算理解透彻了。