高中数学函数方程

其实高中的很多做题思路都是来源于小学的方法，比如已知这个方程让我们算 f x 的解析式，但是却出现了 f x 和 f 负 x 两个未知量，这不就是一个方程，两个未知数吗？当然没办法直接解决，思路自然是再添一个方程组成方程组， 而方程组中必须依然只有 f x 和 f x 这两个位置量，那只能让括号中的 x 和负 x 相互转化。当然是把 x 变为负 x， 这样原式就变为了 f， 负 x 等于二倍的 f x 加上负 x， 于是我们就有了关于 f x 和 f x 的方程组，经过简单的计算，就能够得到 f x 等于三分之 x， 也就是说，遇到式子中有 f x 和 f x， 就是把 x 变为负 x 去做题。 类似的，遇到式子中是 f x 和 f x 分之一，就需要把 x 变为 x 分之一，同样用方程组解决，你学会了吗？

这道题他非常经典，如果你没有掌握正确的方法，那可能到考试结束你都还没做完。题目告诉我们函数 fx， 然后他满足这三个等式， 就会要求 f 二零二四。如果我们把二零二一、二零二二和二零二三给带入到这里面去算的话，这个计算量他是非常大的，这样很明显他违背了出题者的意图。我们观察这三个等式，他们有一个很明显的特点，就是这边量和函数值都是相等， 那这样就说明，二零二一、二零二二和二零二三，它是 f x 等于 x 这个方程的三个根，也就是 f x 减 x 等于零这个方程的三个根。用英文 f x， 它的解析式是一个三次函数，那么 f x 减 x， 它仍然是一个一元三次函数，这样 f x 减 x， 他就一定可以表示成这样一种形式。接下来把 x 移到这边来，就得到 fx 的解决式，那么 f 二零二四，他就等于二零二四，加上 三乘以二乘以一，就等于二零三零。这一题的解题要点就在于，我们要把这三个函数值给转换为这个方程的三个根，然后再根据 f x 它的解析式的特点，就可以直接写出 f x 减 x 的解析式了。那今天的视频就到这里。

我抽到题目是二次函数与一元二次方程不等式。上课同学们好，在上课之前我们先来一起看看例子。假设我们现在想用栅栏为一个矩形的花卉，这个栅栏的长度为二十四厘米。 我想为什么矩形花卉面积呢要大于二十平方米，请问这个矩形花卉的边长为多少？ 对应用题，首先射元在列式射什么呢？我们假设它的长为 x， 那么另一边宽为多少呢？好，周长除以二再减 x， 所以长乘宽等于面积要大于二十，去括号移项后得到 x 方减十二， x 加二十 小于零。那我们想要解这个的话怎么填呢？首先我们得明细这个是什么呀？我们来下个秘密。首先，对于这种只有一个未知数， 并且这个位置数 x 呢？最高次为多少呢？哦，他应该是为二次，我们就称他为什么呢？大家类比之前学过的一元一次不等式，他应该是什么呀？没错，他应该是一元 orders， 不能是。 那我们把这个系数给它抽象出来， 它就应该是 a x 方加 b， x 加 c 小于零这样的不等式，或者我们小于也可以换成什么呢？还可以是大于零，或者啊，我还可以小于等于，大于等于。 接下来我们想要写的话，我们可以先看看类比之前学过的什么东西。假设左边的这个式子为外，那他是什么样的？有同学想起来了，他应该是我写的标题，二次函数图像，还记得怎么画吗？ 没错，它应该是一个开口往上对顺轴在 x 呃的正半轴，并且与 x 中有两个焦点的二次函数抛线图像。那我想要看 y 小于零应该在图像的哪个部分呀？ 哦，我们可以发现啊，小韵应该是在歪轴的部半轴，也就是在 s 轴的 下方，非常好，那这一段我们想要求的这个边长 x 的范围应该从哪到哪呢？哦，我们就发现了，应该是找到这两个与 x 轴交点 才可以，那么这个焦点怎么求呢？我们发现啊，这个当 x 轴上的焦点是不是就是 y 等于零的时候呢？我们看当是个 y 等于零，也就是 不等式， x 方减十二， x 加二十，零等于零的时候，我想要求 x 为多少，想想这是什么呀？应该是我们的一元二次方程， 这个会写了吧。哦，十四相乘大公司减二乘 x 减十等于零，写出 s 一等于二， s 二等于十。好，那我们这个 就可以看到这个 x 一二 x 二为十，那这个范围可不可以看到呢？应该是从 x 大于二小于十。 好，如果我把这个不等式换成 x 方减十二， x 加二十变为大于零， 请问这个时候取值范围从哪到哪呢？还是一样，我们来看图像，这个图像上现在要取哪个部分呀？哦，很明显应该是歪的正半轴大于零，那么他应该就是 左边这一只和右边这一只。那我 x 的区域范围从哪到哪呢？好，有同学已经看到了，应该是从小于二和大于十， 我们一零二四不等式解的办法，首先我们要去看他与 x 轴的交点为谁找到这个 x 的端点，我们才能够通过他的范围去 小于，还是带领来得到 x 的区域范围。那我们现在呢，就规定使得这个方程 a x 方加 b， x 加 c 等于零的实数 x 为 零点，顾名思义，也就是令我们的这个函数值等于零的 x。 我们要记住零点不是对，而是一个实数。那比如说在我们这个方程，它的零点是什么呀？ 没错，它就应该是 m 一等于二和 m 二等于十。这个我们把二次函数与一元二次方程还有一元二次不等式 想要联系起来。我们回忆一下初中学过的，如果这个函数图像与 s 轴两个交流， 这个相当于说这个方程有两个时根的话，有什么判断呢？我现在想到了，应该是由根的判别是 delta， 那我们现在以 delta 为入手点，来探究一下函数方程不等式这三者之间的对应关系。 首先还是以刚刚那个为例，当我们的吊塔大于零的时候， 我的这个函数图像 y 等于 a， m 方加 b， m 加 c 的图像应该为什么 要吗？还有它对应的方程 a and 加 c 这个方程的根什么情况呢？以及我们的不等式， a x 方加 p， x 加 c 小于零， 这个不等式的解题为谁呢？还有当 a x 方加 b， x 加 c 大于这个不等式的解题又为谁呢？ 我们现在来探究一下，当 x 大于它的图像应该跟我们的四轴怎么样啊？没错，两个 焦点啊。这里我们先规定 a 是大于的，接下来如果他的根呢？哦，如果大于，我们应该有两个不相等的十根， 假设 x 一 x 二，并且如现在先规定 x 一是小于 x 二的， 接下来如果他取这个小令剪辑为谁呢？啊？我们刚刚已经看到，他应该是取这个范围，也就是 x 在大于 x 一，小于 x 二这两个零点的中间。那大于是哪个范围呢？哦，它应该是这两块，那应该是 小于 x 一或者大于 x 二。如果我想要写成集合的话，我们可以用表述法写成这样。用描述法。 好，那我们已经看完了德欧塔大于零的情况，我们再来看，当德欧塔等于零是什么情况呢？好，它的图像应该长什么样子啊？哦，有同学们说了，它应该是跟 x 轴几个焦点呢？没错，一个焦点。 好，那它这个方程的根为谁呢？哦，它应该是有两个相等的时根，那这两个时根还是 m 一和 m 二，这时候 m 一二 能不能确定啊？没错，他应该就是我们对称轴所对应的这个 x 负的二 a 分之一。 好，那这个剪辑呢？小于零的部分，哎，发现他怎么小于零？没有啊， 你们没有猜错，他就应该是没有满足小明。那么没有任何元素的集合，还记得吗？嗯，我们学过了，空集好大于零呢， 很多人说，哎，全部都在大理呢。是吗？我们刚刚说啊，当它 x 等于负二十一分之一的时候，它是等于零的，所以我们应该要去掉这个点，也就是 x 的范围在哪呢？在不等于不等 二 a 分之 b。 好，最后来看，然后它小于零的情况，图像是什么样的呢？ 我们小于与 x 轴几个焦点啊？没错，是没有焦点的，我们开口又往上，所以应该是如此。那它这个方程的根呢？ 哦，我们发现没有焦点，他还有根吗？当然是没有啦，所以他应该是没有实数根据。 好，那这个小于零时候的姐姐呢？跟这个一样没有，所以还是空级，那么大于零呢？哦，这时候我就发现了，他应该确实是所有单词代入进去函数值都是， 所以我们取什么呀？没错，应该取得实数级啊。那这里我们除了后面两种比较特殊的情况以外，经常啊，遇到的是第一种情况，老师对这两种不等式的解题进行一个口诀 给你们看看。如果我们小于零，取得的是两个零点的中间，我们就可以说小于取中间， 如果是大于呢？应该取哪边呢？哦，很明显，大于应该取到两个零点的左右两边，我们就可以说大于取两边。那我们进行一下总结，今天学了什么呢？啊，没错，同学们说了，我们今天学了一元二次 等式的概念，还学了什么呀？啊，学了零点是什么？还学了什么啊？我们还学了这个二次函数方程以及不等式三者之间的关系。那我们 对这个写定二四不等式进行一下总结，他的步骤分为哪些？首先第一步，我们刚刚有人看到老师规定这个 a 大于，为什么我要这样呢？是因为我们如果统一都大于的话， 这个口诀就能独自使用，小于零的话，我们口诀就要反过来了。那为了方便，我们就用所有的不等式 x 方的 c、 u、 a 都先令他大于零，如果他从小于零怎么办呢？我两位同成一个后一呢，这个很简单。第二， 我们要判断什么呀？判断这个红色的根，判决是北欧塔，如果我们的北欧塔大于或者等于零，那么他存在十根，也就是我们这个方程是有解的，我就可以把它解方程 得出我们的两个十的。呃，如果说 delta 代理我们就可以用到这个口诀， 我们用到了一个口诀，如果没有他等于零分，这样两个情况小于零也分不同的情况。

各位同学大家好，欢迎来到月光的数学课堂，今天给大家带来的是函数级式里面的方程组法，这个呢，其实很多同学他第一次看见这种题都是不太会做的， 比如说我们来看一道题，他告诉我们已知 f x 加上二倍的 f 二减 x， 等于 x 方加上 x 加一，求 f x 是多少？从同学看到这就蒙了，这个东西该怎么去处理呢？ 现在告诉大家这个呢，其实就复值代换，他有一个特点就是什么呢？括号内相加或相乘是成为一个定值的，遇见这种相加或成为一相乘，成为一个定值的这种题呢，我们都可以直接让他们去互换，比如说让 x 去复制为二减 x， 那这样子的话，你的左边就会变成二减 x， 右边就会变成什么呢？ x， 但同时所有的 x 都会变成二减 x， 这样子的话就是四加 x， 方减四， x 减减 x 加二，加一，加三，就是 x 方减五， x 加七，对吧？ 那这时候我们会得到第一个式子，就是主题干里面给的式子，第二个式子就是这个式子，我们会发现通过这两个式子我们要去求 fx 的话，我们只能什么？只能把 f 二减 x 这个东西给消掉，只能把它给消掉。我们这先不写二呢，那你看我们可以给他乘个二倍， 那这个时候我们把它当做二式，那是不是我们只要拿二式去减一式对不对？那你的这 和这个整体就会消掉了，那左边留下的是什么呢？留下的应该是三倍的 f x， 对不对？那这样子的话，那你看这就是 x 方啊，这应该是十 x， 写错了，减去什么呢？十一 x 加上一个十三， 对不对？那这样子的话，你看 f x 就会变成三分之 x 方减十一 x 加上十四， ok， 那么 f x 就得到了，你会发现哎，我们通过复直得到另一个式子，这两个式子形成了一个方程组， 然后在这个方程组里边其实有两个变量，一个是 f x， 一个是 f 二减 x， 我们通过哎这个上下加减消圆的方法，我们把这个 f 二减 x 消掉，那么就只会留下 f x 和 x 之间的一个关系，是 ok 吧？好，那么再来看底下这个 f x 等于二倍的 f x 分之一，根号 x 减一，我们作为立体来看一下，因为你看啊，这个其实 x 和 x 分之一相乘是唯一的，所以说我们这时候依然利用什么呢？ 令 x 复制为 x 分之一，那也就是就会变成，哎，所有的这个 x 和 s 分之一，它掉个个，于是呢， x 分之一，这个整体知道，你把它带入到这个里边，你把它带入到这个里边，那是不是 f x 就相当于什么呢？ 带进来，然后再给右边乘开，那你看 f x 等于什么？等于四倍的 fx 减去二倍根号 x， 再减个一，就很多同学看的就不太明白了，这其实乘个根号 x， 你就可以把这个想到这对不对？想到这我给大家仔细的写一下， 左边不变，左边是 f x， 右边是不是相当于二倍根号 x 乘一个什么呢？二， f x 乘以根号 x 分之一，减去一个二倍根号 x， 然后再减一个一，对不对？你看这个跟这个消掉了，所以就是四， f x 减去二倍，根号 x 减一，大家这一定要看清楚啊，有很多哎，就把它想成这个之后成成成就成多了。 ok， 那现在呢？我们拿它减去它三倍的 f x， 等于二倍根号 x， 加以 f x 就变成了三分之二倍根号 x 加一，大家听到这样明白了吧？好，大家如果能理解这两种做法的话，就知道下次在我们再遇到 括号内相加或相乘为定制的时候，我们就可以哎，用方整组法去解决它。行，如果对大家有用的话，请大家多多点赞收藏，谢谢大家。

大家好啊，我是姜锋老师啊，本期视频呢，来看这个高一必会的啊，解函数方程啊，这个是网友问的一道题啊，那他这个第一题的话是相对比较容易的啊，但是呢，第二题呢，就有点这个，哎，不好说了啊， 好看，这个第一问，两倍的 f 一减 x 加一等于 x 乘以 f x 啊，求这样一个，就是哪个函数刚好会满足这个方程，这叫函数方程，那么对于这类方程的话，它其实是有固定的套路，对吧？固定套路啊， 就是比如说我们会看到什么 f x 里面有 f x 又有 f x 分之一啊，那么我们只要另其中的 x， 对吧？把它把它 x 换成另其中的 x， 给它给它换替，换成一减 x 啊，来试一下，对吧？你发现你看二，然后 f 一减七，括号一减 x， 就把 s 换成 t a 减 s 啊，加上一就等于 e 减 x 乘于 f e 减 x， 对吧？然后这个你看画出来以后，一减去 e 减 x， 刚好是 f x， 对吧？所以我们就得到了二倍的 f x 加上一等于 e 减 x 乘以 f e 减 x， 好，那么这样你如果把 f e 减 x 和 f x 当成两个未知数，对吧？ a b 啊，这是 b a， 对吧？然后我就可以解这个，把它解出来，对吧？削去，只需要削去这个 a 就可以了，就可以写出写出这个 b 啊， f x， 对吧？ 啊，这个是方程组，接下来连立方程组，对吧？啊，然后这个这个气气质把它解出来就可以了啊，然后我们可以用消炎法雕把它消去啊，比如说把这个啊，也可以用怎么加点消炎，也可以用呃这个方法来做啊 啊，比如我们用加减消音来做，那么这个一四我们就要乘以一个，呃，乘以一个 e 减 x， 二乘以 e 减 x， f e 减 x， 再加上 e 减 x， 等于 x 乘以 e 减 x， 再乘以 f x， 一四就变成这个样子啊，那二四呢？呃，二四我就要给他乘以一个什么二，对不对？乘以二啊？所以就得到我们把它把这 写到左边，就是两倍的一减 x， f 一减 x， 等于四倍的 f x 加上二三和四，然后你只要一减就可以了，对吧？ 把这个呃给它剪下来，或者这这个剪上去啊，都可以啊。呃，比如说我们给它剪下来，对吧？三减四，四减三，四减三，那这个剪上去就变成了 x 减一，等于啊，四减去这一串，对吧？四减去这一串啊， x 一减 x， 这样子， f x 再加二，对吧？再加二啊？啊，所以把这个，所以啊，这个 f s 就出来了，这个二移到这边， 对， s 减三，对吧？ 所以它等于 x 减三啊，来除以这个就可以了，对吧？这个给它化减一下，就是 x 平方减 x 加四，好，这样我们就成功的解除了 f x 的解析式，对吧？啊？比较复，这个就是这种固定套路啊。那么这种固定套路原理是什么？基本原理就是因为这个迭代一次之后呢？哎，这个一减 s 迭代一次之后会会得到这个，对吧？对吧？ 或者说我们可以这样理解啊，我们设 g x 等于一减 x， 对吧？那么这个 你就叠带一次，就是把 s 换成一减 s 啊，就是 g g s， 对吧？因为这时候一减 s， 就是就是，我现在要算 g 一减 x， 对吧？ 它等于 e 减 s， 是 g s， 所以是 g g s 啊，它就等于什么？ 一减去括二，一减 s， 对不对？等于 s 啊，所以就是因为 g g s 等于 x 啊，这个符合函数就会变回来 x 啊， 啊，所以我们说这个叫迭代一次，最后就会回到这个 s 啊，那么有时候啊，就是比较恶心，就是那你迭代你迭代一次不行，那怎么办，对吧？那当然我们先看这个有个作业啊，你们可以自己做一下啊，这个我们先看这个第二问，对吧？ 那么我们就如果说 g x 这里让它等于这个 x 减一呢？ x 加一啊，我们来试来迭代一下 g g x， 对吧？ g g s， 我们看看能不能变， 如果能变成 s， 那我就可以直接直接两步就出来了，对吧？啊？一步就出来了啊，就是这里换成 s， 给他替换成 s 减一，除以 s 加一啊， 这个给它写成一式， x 减一， x 加一，乘于 fx 减一， x 加一啊，就是第一次我把 x 替换成 x 减一，乘于 x 除以 x 加一 啊，如果除以，如果这个替换一步替换之后，如果等于 s， 那就是 f 二倍， fs 等于一，那就很愉快了，对吧？一是二是一，连利，对吧？连利消去这一串就可以解除这个，对吧？但是可惜这个题不行，对吧？ 这个题这里这里出来，不是 f x 啊，我们来迭代第一次， g g s， 你看来迭代一次啊，就是把 s 替换成 s 减一，除以 s 加一啊， s 减一， s 加一， 一减一， x 减一， s 加一加一啊，去算一下，上下都乘以 x 加一啊，就会得到 x 减一，减去一块二， x 加一啊，这是负二啊，这里呢，就是二 x， 是吧？ 所以迭代迭代之后发现他，哎，是负的 s 分之一啊，所以我这里只能得到一个负的 s 分之一， 等于这个叫第二式，对吧？第二式啊，所以在这，你这，你这，这样的，这个出来三个维生素，你看到没有？ fxf 的这一串，这个是一样的啊，然后出现三个了，对不对？那就没法搞了，对吧？两个方程解不出三个啊，所以我们还得继续再叠带一次， 再往下携带，就是我们求 g g g s s s 这个大 等于多少，对吧？就把这个东西再叠带一次啊，再叠带一次 啊，这个结蛋呢？就说你看这个 g g s， 这里的 s， 我们再给它替换成 g x 就可以了，对吧？就把这里的 s 再替换一次就可以了，所以我们直接这样来处理， x 减一， s 加一啊， 就得到了。好，这个是一加 x 一减 x， 对吧？好，就是说我把这里的 x 啊， 这里的 s 再替换成啊，这个 s 减一除以 a 加一啊，再替换一次，那这个替换 d 刚才已经替换过，是负的 s 分之一乘以 f， 负的 s 分之一， 在后面替换出来，出现一个新的，又又出现一个新的东西了，你看是一加 s 一减 s 的， 所以是二倍的 f， 一加 s， 一减 s， 对吧？等于一啊，出现三个了，好，这样你看出现了一个什么？ 一个未知数，两个未知的，一个两个，三个啊，四个，对吧？四个，所以我们还需要一个方程，对吧？还需要方程，所以我们只好什么再来一次啊， 这个在后面再套个记，对不对？再套个记啊，再套，再再叠带一次，好，那我这个这个不写了，太太 等于什么呢？就是把 x 再替换一次啊，再替换成，呃， x 减一，除以 x 加一，再替换一次，那就是一加上 x 减一， x 加一，对吧？ 一减去 s 减一， s 加一啊，这样替换一次再替换一次。 好，这个算出来啊，上下都乘以 x 加一，对吧。啊？ x 加一，那上面是二 x， 那下面呢？是二，对不对？刚好等于 x 啊，所以我们再替换一次之后呢，就会发现他回到了 x 啊，那这里替换，当然 s， 这里所有的 s 替换成，哎减一，哎哎。加一啊，除以二加一，就是就是一加 s， 一减 s f 一加 s， 一减 s， 加上两倍的啊， fs。 好，终于回归了，对吧？这个叫回归了啊， 这替换了好几次之后东西出现这个 s， 那就可以回来了，对吧？就串起来了，对吧？就不会产生新的未知数了，新的未知量，对吧？ 这里终于回来了啊，回来之后就不产生新的 vs 量啊。我知道啊，所以一个，两个，三个，四个，然后四个方程解这个。什么叫方程组对吧？叫四元 啊，可以理解四元一次函数方程组什么的啊，跟类似跟那个类似吧，但他他这个次数没法说，对吧？啊啊，可以理解为是一次啊。嗯，然后我这个不解了，这个挺繁琐的啊。然后这个网上有些参考答案是错的啊，我要提醒一下啊， 像你作业帮一搜的话答案是不是对的啊？好的，那本期视频就讲到这里啊，拜拜。

最近不少高二同学应该都学完了导函数的知识吧，那么在每年高考数学中，其实有一个考点一直会出现，就是切线和公切线的问题。那么我们先说一下什么是切线问题啊？最简单的情况就是已知 f x 这样一个解析式，那么图像的话大概就长这个样子， 然后呢，让你求他的某一个切线是什么？那么某一个切线的话，他有可能是告诉你切点的， 但也有可能不告诉你切点，告诉你过另外一个点，这个点有可能在这个解析师上，也有可能不在这个解析师不在这个图像上，能清楚我的意思吗？所以说第一个切线问题相对来说不是那么麻烦，一会我们主要研究的是通用的方法， 更难的情况是什么情况呢？是公切线的问题，就是已知 f x 和 j x 解析式不一样，那图像一般也不一样， 两个函数虽然图像不一样，但是他们两个呢？有可能出现一条公共的切线 l。 什么叫公共的切线？就是 l， 他既是 f x 的切线，也是 g x 的切线。那如何求这个公切线问题呢？肯定是后者更麻烦一些。我们这节课研究一下通法啊， 通法的话是什么方法？先不告诉你，你一会你自己就能总结出来了。看了二零二三年假卷，去年的吧。然后这个是最简单的情况， 因为 f x 这样一个函数解析式给你了，并且这个点是什么？很明显它就是切点，切点的话， 他肯定是在这个解析式上的吧，你不信你把 x 等于一带入一加一分之一的一次方，那不就是二分之一啊。所以首先缺点就告诉你了，那么缺点告诉你之后的话，那接下来我们就 就是求导吧，求导的过程非常简单，我就写成这个样子了，那你说缺点，有了缺点的话，切线肯定是过这个缺点的，那么另外有了点还得有斜率吧？斜率？怎么斜率？根据我们学过导函数的知识，实际上他就是等于你把 f 撇一，你把这个一 x 等于一带入这个导航数里头，对吧？那最终就求出来了吗？一加一分之，那不就是二的平方吗？然后二的平方分之多少呢？二的平方分之，这个是一乘一的意思哦，四分之一啊， 也就是说斜律我们知道了，然后呢，点也知道了，知道点，知道斜律，大家还记得这个东西吧，这不就是直线的点斜式方程吗？点斜式方程我们只需要知道两点，比如说斜律知道， 然后呢，过 x 零， y 零这样一个定点，那此时直线方程不就是 y 减 y 零，再乘斜略被的 x 减 x 零吗？所以接下来我们只需要套用点斜式方程，直线的点斜式方程就可以了，那么切线就出来了，因为切线 首先是过一逗号二分之一这个点的，其次呢，还知道斜率，我们把斜率求出来了，所以直接套点就是方程。 那么最终呢，稍微整理一下，整理一下不就变成了四分之一， x 加上四分之一吗？清楚了吧？所以这个题的话，显然就是选 c 呢。这个题非常简单，因为他已经给了缺点了，但是 万一给的你那个点，他不是缺点，你注意这道题仔细读了啊， y 等于 low， 这个题两个。首先就要需要注意的一个点呢，就 是这是 x 绝对值，他可不是 x 啊， x 绝对值。其次呢，是过圆点，人家说了圆点一定就是那条切线的切点嘛？ 不一定哈，所以这个圆点怎么办？再说了，这个 lon x， 其实 x 就不可能等于零，缺点不可能是圆点的，他只是说那两条切线过圆点而已。这个时候怎么办呢？很简单，我们只需要掌握一种方法，待定切点法。 待定切填法的话，因为这道题你要注意啊，我们现在考虑的是 x 大于零，一会还得考虑 x 小于零，你说为什么要考虑 x 大于零和 x 小于零这个情况？原因就在于这个解析室里头 有绝对值啊，清楚了吧，那有绝对值的话，肯定要分 x 大于零和 x 小于零两种情况了。有同学就要说了， 老师你光分大于零小于零，你怎么不写这个等于零的情况呢？因为 x 等于零的时候，老演零是没有意的，他定义于里头根本就没有零。所以我们不需要考虑 x 等于零的情况啊，我们先考虑当 x 大于零的时候， 假设切点，假设切点就是我们这节课要说的求切线方程的方法。什么方法？待定切点法？ 你看横坐标是含有 x 零的，纵坐标代入解析式里头也是啊，用 x 零表示出来的。那么接下来 求导吧。求导主要是为了确定那条切线的斜率是多少，对不对？那好，斜率知道了，点知道了，其实你这个点和斜率都是用 x 零来表示的，我们最终只需要把这个 x 零等于几求出来就一切都解决了，所 以这个方法叫待定切点法，清楚了吗？所有的都是用这个切点的横坐标表示出来，我们只需要求切点的横坐标 x 零等于多少就可以。那么接下来你看斜律有了，点有了，直接根据 点斜式方程吧。这个跟第一题就一样了，那么 y 减 y 零等于斜律位的 x 减 x 零， 那么他说了过什么？切线是必须过远点的，过远点的话，那接下来我画横线的这个方程，肯定是要把这个远点坐标零的话零带入的，这个非常简单，带入以后的话就变成了零，咱就不写了啊，负的 low x 零等于一， 不就是 low x 零等于一吗？哦，负号都消掉了，所以 x 零等于一啊，你 x 零都求出来了，你说切线 方程出来了吗？只需要把 x 等于 e 带入这个里头， y 减 e 等于一分之一，然后 x 减去 e， 你说是不是这个样子呀？当然最后呢，我们要一般情况下整理成这个一般式哈， 那么代入以后，一整理就变成了 x 减 e， y 这个 e 就是那个自然长数啊，等于零，清楚了吧。那么再接下来的话，你还需要求另外一种情况吗？不用去求了，我直接写都能写出来。 有朋友说，老师，你凭什么根据圈一就能写出圈二？另外一条这个切线的方程呢？很简单，原因在于什么呢？ 在于你这个 lon 绝对是 x 这个图像，它是关于谁啊？这个函数图像，显然它是关于外轴对称的，它是一个偶函数，因为有绝对号码。那既然是一个偶函数的话，你看你有 右侧的这样一条切线，我们刚刚求出来是 y 等于一分之一 x， 那左边这个切线不也是吗？它俩什么关系啊？ l 一和 l 二这两条切线 他俩都过远点，他俩的斜率正好是反过来的，那另外 l 二不就是负的一分之 e x 不就行了吗？两个斜率是互为相反数的，所以就直接写出来了。根据对称性小题，我们一写就写出来了， 所以两个横线上分别是 x 减意外等于零和 x 加意外等于零。清楚了啊，这是第二题，一定要记住待定切点法，这个就是通用的方法，能解决所有的切点问题。 那现在看了啊，是我的切线问题，第三题的话也是也是啊，二零二二年新高考一卷的，他说的是什么呢？说的是 若曲线怎么样？就是这样，一个曲线有两条过圆点的切线，注意是有两条。其次是过圆点的切线，他不是说圆点就是切点吧，清楚了吧，圆点不一定是切点啊。 所以这个时候怎么办呢？还是得用什么方法？得用带顶切点法。首先我们假设切点横坐标是 x 零，你切点肯定是在这个图像上，在这个解析式上的，我们把 x 零带入以后呢，就是 x 零加 a 再乘以的 x 零次方，这个就是切点坐标带顶切点法。 那么接下来的话，我们要求什么点加入出来了，那么接下来斜率还得加入出来吧。斜率好说呀，斜率你把 x 零带入这个导函数里头，就变成了一的 x 零次方加上 x 零加上 a 再乘以的 x 零，是吧？你看斜律有了点呢？也有了，都是用含有 x 零的式子表示出来的，那么接下来根据什么？根据直线的点斜式方程，那么切线 它的方程就出来了吧， y 减去 y 零等于斜律辈的 x 减 x 零就是它。 人家说了这个切线怎么样，这个切线还必须是过远点才行。那好说，我们接下来只需要带入就行吧。跟刚才那道题一样的，把这个零多少零远点带入这样一个解析师里头，只不过这解题是看起来稍微复杂一些而已。 把 y 等于零，还有 x 等于零带入，最后一整理就变成这个样子了。但是还得化减啊，要不然这个形式太复杂了。化减之后原来 就长这个样子呀。是关于 x 零的什么一元二次方程吧，你注意几个？有两条切线，那肯定就有两个不同的切点嘛。两个不同的切点，那其实意味着我们假设出来的切点有几个呀？有两个， 两个的话，不就代表切点的横坐标一定是两个吗？也就是说，关于 x 零的这个方程，一定是由两个不相等的实数根，或者说有两个解的，它等价于什么？ 一元二次方程，有两个解不就等加于判别是大于零吗？所以接下来你只需要研究判别是大于零就可以了。就这个方程， b 方减 c， c 这道题里头其实就是 a 方减去四倍的负 a 再乘一，那其实就是 a 方加四， a 大于零很好解。 大区两边吗？所以是负四的左边或者零的右边都可以，最终他的范围我们写成集合的形式，横线上直接写服务琼 到负四并上零到中穷都是开区减就行了，清楚了哈。哦，还是待定前减法，只不过最后结合了一下一元二次方程两个解判别是大于零的这样一个知识点，很简单。 那么第四题的话说，真的有一定难度，虽然表面上看起来他也是一个高考原题，看起来是 y 等于一的 x 方，他呢，图像确实啊，是挺好画的，但是哈， 大家看了，他说的是过 a 逗号 b 这个点的话，人家说是缺点吗？不一定是缺点，然后这个点的话，人家说过 a 逗号 b， a 逗号 b 这个点一定在这样一个函数图样上吧？也不一定。所以说 a 逗号 b 究竟是谁不知道。然后呢，跟 ab 有关的出现了四个不等式，让你选择哪个不等式是正确的？ 哎，你说哪个不等式是正确的？其实哈，你说高考时候做小题，尤其是这样的选择题，我们是不是只要怎么样，只要选对那个选项就行了？有些题目你画图就能够完全解决。你像这道题就是我只需要画一个图，你看，因为他这个函数 是向下图的这样一个函数。那既然是向下图的这样一个函数的话，哦，我知道了，所以切线这边有一个切线，哎，右边也有一个切线，那 a 号 b 大概就是这样的，所以 a 的号 b 一定在哪啊？ a 的号 b 这个点 肯定是在 x 轴和这个函数图像 f x 等于 e x 之间的，也就是说，我画出来这个图像之后，请你告诉我，这个点 a 怎么表示？横坐标都一样都是 a 呀，纵坐标就是一的 a， 什么 a？ 所以点 a 在点 b 的上方，点 b 就是 a 多号 b， 所以说中坐标 b 是小于一的 a 次方的满足要求的选项只有 c， 所以这个题就做完了，而且你就是正确选项清楚了。好吧， 这个题确实可以这样做，因为是小题。那如果作为大题，我们应该怎么写过程呢？其实还是带定切点法。一开始怎么办？ 我们假设啊，过那个切线啊，过点他的切线，然后应该说的是切线的切点啊，切点为 t 逗号 e 的题词方，这个是切点还是带定切点法吧。那么再接下来假设出切点来以后的话，那斜率是多少？斜率很简单啊，你求到以后也是 e 的题词方，是不是好斜率有了， 然后呢？点也有了你的题词方，然后呢，我们用点斜式方程就表示出来了， y 减去纵坐标，等于 k 倍的 x 减去横坐标，那么整理之后呢，其实就长这个样子了。这个方程我们就写出来了啊，还是带点切减法， 那么只不过这个 t 是切点的横坐标，那么你要注意的是人家怎么样？哎，人家是这样的呀，他这个切线是必须过 a 和 b 的，你刚才第二题和第三题带的是零逗号零是因为过远点，现在过 a 逗号 b， 那你就带入呗，把动作 不要换成 b， 把横组不要换成 a， 那不就变成这个样子了呀，我画横线的，也就是圈一这样一个方程的话，接下来其实就可以帮助你解完这个问题了，我们研究谁呢？你看右边 右边，我们是不是可以把这个 t 看成一个自变量，看成一个自变量，把 a 呢看成一个数字，这样来对待。 哦，也就是说等号右边啊，他是一个关于 t 的函数，那么接下来我们对这个函数进行求导，那求导之后我们想干嘛呢？求导之后很简单啊，你看这个导函数嘛， 这个 e 的 t 次方肯定是正的，不用去研究它，我们只用考虑谁，只用考虑 a 减 t 究竟是正的还是负的。显然 t 比 a 小的时候，导函数是正的，它就是个增函数，能清楚了吧？ 然后呢，当这个 t 怎么样的时候？比 a 大的时候，我这个函数是减函数，所以所有的 f t 都是怎么样的，这都不用我说了吧。所以接下来你应该清楚了，它就是小于 f， 谁所有的 ft 其实都是小于这样的函数，我写了哈，都是小于这个 fa 的。 a 是一个其他之点嘛？我把 fa 带入，那么就是其他之点所对应的众多标。你把 fa 算一下，带入这样一个解析式里头哈， 那就变成多少 e 的 a 次方，然后呢？ a 加一再减 a， 哎，那最后不就是 e 的 a 次方吗？ f t 是谁？ f t 就是 b 啊，同志。所以我们最后得出来 b 是小于 e 的 a 次方的， 满足要求的选项只有 c 选项，所以我最后还是能够得出来 c 是对的，现在清楚了吧。好，那么接下来就是什么问题了，最难的问题还是公切线问题， 因为他往往会给你两个函数，他的图像也不一样，但是人家却有公共的切弦，这个问题肯定更难一些。比如说我们看一下这个去年前年假卷的那样一个最后一道压轴答题啊，有两问。第一问的话 还是比较简单的，因为他是让这个切点，他已经告诉你 f x 长这个样子是完全确定的函数，然后这 x 呢，含有参数 a， 然后两个曲线看好了哦，曲线 y 等于 f x， 在这个点处，你 x 一等于负一呢？ f x 第一不就是 f 负一吗？那你最后可以代入啊，等于零，所以这个点其实就变成了什么，就变成了负一，逗号零，清楚了吧？那点知道了，那斜率不是也可以求出来吗？我们只需要对 f x 进行求导，三 x 方减一， 那斜率的话，其实就是 f 把这个导函数里头的自变量 x 变成负一，那斜率也有了，点有了，然后斜率呢，最后也能够求出来，应该是二 斜率等于二，点有了，所以那个切线方程是不是就完全确定了？剩下的就非常简单了啊，这是第一问，我们一会主要研究这个。第二问啊，好，写出来之后就这个样子吧，啊，这就是斜率。然后呢，这个就是点。写完之后的话，他又说这条切线是公 切线，它不仅是谁，它不仅是 f x 的切线，它还是 j x 的切线啊。所以接下来对这个 j x 也要用待定切点法来求这个切线方程了。我们假设这个切点呢，在 j x 上的切点是 x 二， j x 二，这是切点， 那么这个斜率的话也好说，我们对 j x 求导，把这个横坐标 x 二带入清楚了吧。那你说写到这之后的话，有同学就不明白了，老师，凭什么后边还等于二呢？原因就在于你这个公切线 是不是公切线，它既是 f x 切线，也是 g x 切线，所以这撇 x 最后求出来，它的斜率得一致，也等于二才行啊，那求出来这个 x 二也是等于一的，清楚了吧。那么既然 x 二等于一， 那 g x 二是不是也可以求出来啊？也可以求出来是等于四的，也就是移动号四，那后边呢？后边应该就好说了吧。这我写一下啊，也就是这个切线方程确定了之后呢， 这个切点是他，然后把这个切点带入这样一个切线方程上， y 等于二倍的一加一。 哦，那不就是等于四呀？那么 j x 的坐标 j 一所对应的那样一个纵坐标，也就是 e 加 a， 它也是等于四，所以 a 等于三就求出来了。这个是第一问， 我们重点研究的是第二问，第二问的话可不一样了，第一问和第二问没什么联系。第二问直接让你求 a 的范围的，也就是他俩有公切线的时候求 a 的范围，怎么求 a 的范围呢？这才是重要的 啊。第二问，那我们首先用待定切连法先表示出 f x 的切线来，这个是很容易求的吧，那你说这个三 x 方简易是怎么得出来？通过求导把 x c 带入得出来的，整理以后就得这个样子 清楚了哈，这个是斜截式，这就是 k， 这就是那个总结句嘛，那继续往后边斜。嗯，那对于 j x 这样一个函数，也是根据带点切点法，我们假设切点就是他，那么哦，在这个 x 二所对应的导航，这个值就是斜率，你看斜率有了， 点也有了，那么接下来根据直线的点斜式方程，我们很快就可以得出来 j x 的切线了。第一个切线呢，注意圈一是 f x 的切线，第二个切线呢？这个是 j x 的切线，因为是公 线线，所有我们要求什么？要求他俩的斜率得一致，并且要求他俩的结距也得一致，所以接下来就得要求什么？斜率等于斜率吧，然后圈一和圈二的这个纵截距等于纵截距吧，你得保证两个同事成立。 我们最终求的是 a 的范围啊，你先看第二个方程 a， 它是等于 x 二的平方减去二倍的 x 一的三次方的，是不是？那么再继续画 看好了，我们把 x 二消掉。怎么消掉？你把它这个 x 二带入第二个里头不就消掉了吗？最后呢，这个方程就变成了仅仅含有 x 一的方程，你要注意 x 一是什么？ x 一人家是在哪的呀？ x 一是在 f x 这样一个切点的横坐标。那好了， x e 的范围肯定是任意实数啊，因为 f x 它的定义域就是任意实数，所以 x e 的范围也是任意实数。那你要注意的问题是什么呢？你要注意的问题，你其实不就是求右边这样一个值域吗？如果我们把 x e 看成自变量的话，那右边实际上就是一个新的函数啊，我们把这个函数构造出来不就行了？ 你看是不是四分之九 x 四次方，二 x 三次方，这是一个四次函数，一元四次函数啊。 这个四字函数的话，接下来求导，因为我们现在就想得到 h x 的值欲，怎么求呢？求到以后呢？我们意识分解，你可以先把这个三 x 提出来，里头就变成了 x 方，减二 x x， 嗯，然后呢？再来一个负一，是这样吧？嗯啊，当然了，还有一个三 x 方啊。那么再音是分解三 x 乘 x 这乘法拆两边吧， 然后呢，负一加二，所以最后呢，因式分解之后很轻松，先提一个公因式，然后再用十字相乘法，就得出这个结果来了。我们要得的是导函数等于零的值，这得出来有三个 x 满足要求，其中一个是零， 另外一个呢，是负的三分之一，还有一个是一。那么接下来我们分析一下就行了啊，当 x 在负三分之一到零之间的时候，倒数是大于零的，当 x 大于一的时候，倒数也是大于零的。继续 当这个 x 小于三分之一，或者 x 在零到一之间时候，倒数是小于零的。那接下来我们换一个表格更清楚了，你看符 穷到三分之一之间是单调递减的哈，然后呢，到了这个负三分之一到零之间，又是单调递增，然后到这个零到一之间又是单调递减，然后继续往上写，就是这个样子吧。那么你看好了这个呢？ 他最低的点在哪啊？最小的值其实就是一逗号负一这个值，这个点是最低的啊，你看这几个值吗？最小的值当然是那个负一了，所以说他的值域是在什么范围内的？是在负一 到正无穷这样一个范围内。既然这个 h x 的值域是在负一到正无穷这个范围内，我们根据一开始构造的这样一个函数，那所以 a 的范围其实就是 h x 的值域负一到正无穷，清楚了吧？那么这节课大家学会了切相问题了吗？不管是切相问题 还是公切的问题，大家都要记住一个方法，非常通用的方法就是待定切点法，我们只需要把这个切点 x 零 f x 零表示出来， 你看然后呢？这个斜率就是 f 撇 x 零，不管是斜率还是这个点，点有了，斜率有了，都用含有 x 零的式子表示出来了。 那么接下来根据直线的点写方程，这个切线不也是用含有 x 零的式子表示出来的吗？最后我们把点带入 x 零，一旦算出来了，这个切线方程就算出来了。清楚了啊。分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下节课再见。

大家好，我们来看一下这一道题。已知八十一的萨 x 平方次方加上八十一的 crossax 的平方次方等于三十。现在让我们在 x 是属于零度到三百六十度范围内求 x 的值是多少？ 首先我们来看一下，在这里出现了萨 x 的平方和口萨 x 的平方。我们知道同角的三角函数关系，有萨 x 的平方加口萨 x 的平方，他是等于一的。 那我们就可以得到口三 x 的平方，它就等于一减三 x 的 平方。那我们把它带入圆式，它就可以得到八十一的三 x 的平方次方，加上八十一的一减三 x 的平方次方等于三十。 在这里他又出现了八十一的一减三 x 平方次方，那就相当于我们以前见过的 a 的 m 减 n 次方，那他可以写成 a 的 m 次方比上 a 的 n 次方。那这个式子它就可以改写成八十一的三 x 的平方次方加上八十一的一次方，也就是八十一 比上八十一的萨 x 的平方次方等于三十。做到这里我们来看一下，这个地方有八十一的萨 x 平方次方，这里也有他， 那么其他的地方都没有了。如果我们把它看作一个整体，那另 t 等于八十一的三 x 平方次方，那么这个式子它就可以写成 t 加上 t 分之八十一等于三十。那这个时候我们可以左右两边同时 长 t， 那它就变成了 t 方加八十一等于三十 t。 整理一下， t 方减三十， t 加八十一等于零。 那这一种情况下该如何来做呢？他有三种方式，第一种配方法，第二种求根公式，第三种因式分解。 如果按照熟练程度呢？第三种因式分解，他是最简便，但是他需要的基础更深。那这个时候我们采用因式分解，那他可以写成 t 减二十七， 七乘 t 减三等于零。我们可以得到它有两个减，一个是 t 等于二十七，一个是 t 等于三。那 t 等于二十七的时候，也就是谁等于二十七， 那这个手也就是八十一的三。 x 的平方次方等于二十七或者八十一的三， x 的平方次方等于三。 那看一下，在这里这个是八十一，这个是二十七，与他们都相关的。我们可以看一下。八十一我们可以看成三的四次方或者九的 平方。但是二十七呢，它可以看成三的三次方，它和九它的关系就不是整的平方的这种关系。那这一个时候我们就可以把这一个式子写成三的四次方的 三， x 的平方次方等于三的三次方。那整理一下，也就是三的四倍的三， x 的平方次方等于三的三次方。 这一个时候我们就可以得到四倍的三 x 的平方等于三。所以三 x 的平方，它就等于啊四分之三。 那三 x 它有几个值啊？它有两个，一个是二分之根号三，一个是负的二分之根号三。当它等于二分之根号三的时候，在这里要注意了， x 是在零度到三百六十度上， 那它就可以达到 x。 一个是等于啊六十度，一个是等于啊一百二十度。当 x 等于负的二分之根号三呢？ 那 x 一个是等于二百四十啊度，一个是等于啊三百度。这是这一种情况，它有四个减。那我们再回到这里，这里直接 就是三。那我们直接把八十一看成啊三的四次方，那如同这一个三的四次方的范。 x 的平方等于一 三的四倍的三 x 的平方次方等于这里是三的一次方，等于三的一次方，那也就是四倍的三 x 的平方，它是等于一的。 所以三 x 的平方是等于啊四分之一的 那三 x。 它也有两个，一个是二分之一，一个是负的二分之一。当它等于二分之一的时候， 他在零度到三百六十度上，他有两个减，一个是三十度，一个是一百五十度。那他等于负的二分之一呢？一个是二百一十度，一个是三百三十度。 在这种情况下，我们能算出他在零度到三百六十度，他有八个结。