分子有理化的公式

今天我们来看一道计算题啊，有的同学看到这道题在想啊，不能不能直接分母分母除啊，除的话很多同学可能会出现错误。那我们像讲一讲今天这个这一类题目怎么去做啊？其实这个题目呢，其实就让我们 进行分母有理化。怎么进行分母有理化吗？就是把分母想办法把分母构成一个平方差公式啊。那是不是需要分子分母同时乘以一个刚好六减高三，那就会得到刚好六乘以这个刚好六减高三， 这就是这个分母有理化的方法，就是想办法把分母构成一个平方差公式就可以了。那我们计算一下分母的话，等于六的平方减三的平方是不是等于三，对吧？然后再就是计算这个 分子的话，高六乘高六等于六减去三倍根号二，对吧？然后再约分一下就好了，等于二减根号二。关注小智，学好数学。

今天我们要分享的内容是双根式函数求直域问题，常见的类型主要是外等于根号下 ax 加 b 加减，根号下 cx 加 d。 我们通过三个例子来学习，常用的方法呢，第一个是单调性，第二个呢是平方，第三个呢是分子有理化。 下面呢，我们来看第一个方法，用单调性来求函数的直域。在讲例题之前呢，我们需要知道几个结论。第一个呢就是如果一个函数他的两部分都是单调递增，那这个函数整体他就是单调递增的。 如果两部分都是单调递减的话，那这个函数整体他就是一个单调递减的。还有一个小结论呢，就是加了一个负号，会改变函数的单调性。来看一下例一， 外等于根号下三 x 加六减去根号下八减 x， 它的治愈。首先呢，来分析一下每一部分它的单调性，根号下三 x 加六，是一个单调低增的。根号下 八减 x 呢是个单调递减的，但是前边呢有一个负号，所以他这个整体呢，又是单调递增的。对于外来说，两部分都是单调递增，增函数加增函数仍然是增函数，所以外整体就是单调递增的。 接下来呢，开始求函数的定义域，两个根号呢，都要大得零解出来， x 的范围呢是在负二到八之间， 那我们就可以得出来，这个外他的最小值呢是在负二这里取，最大值呢是在八这里取，所以最终外的取值范围也就出来了。这个题呢，非常简单，直接看单调性就能得出来。第二个方法呢就是平方。我们来看这个题， y 等于根号下一减 x 加根号下 x 加三。还是先用单调性分析一下。首先第一个根号呢，它是单调地减的，第二个根号呢，它是单调地增的，那增函数加上减函数，这个单调性呢，我们是判断不出来的。再继续观察，会发现这个函数的有 有个特点，他是两个根号相加，那也就是说这个外呢，一定是大于零的。第二个特点呢，就是根号下一个是正 x， 一个是负 x， 如果我们给他平方了之后呢，这里正负 x 是可以抵消掉的，满足这两个特点呢，我们就可以用平方 先来算一下，还是个定义域，两个根号都要大得零，写出来 x 的范围呢是负三到一，下面呢就是算外方的取值范围，把这个括号给它展开，它会出现一个一减 x 加上 x 加三， 最终呢他就是四加二倍。根号下两部分相乘，我们只需要把这个根号的范围算出来，一层一层往外算外方的范围的也就知道了， 因为 x 的范围呢，已经确定了是负三到一，所以可以得出来，根号下一减 x 乘上 x 加三，他的范围呢是零到二二倍的。这个根号呢，那就是零到四，再加上四，就可以得到外方的范围呢是 四到八，因为因为这个外呢，他是大于零的，所以我们直接开根号得到外的范围呢，是二到二，根号二，用这个方法一定要注意，这个外呢，他是大于零的，同时你平方的之后呢，有一部分是可以抵消掉的。下面呢再来介绍第三种方法，就是分子有理化，他用到的公式呢，其实平方差 a 方减 b 方等于 a 加 b， 乘上 a 减 b， 当你遇到两根号，要给他化解一下，那我们就凑这个完全平方。假如说现在外等于根号 a 加上根号 b， 因为这两部分相加，我们需要凑两部分相减，所以呢我就在乘上根号 a 减去根号 b， 多成了，我们还需要给他除掉，这就变成了后边的这个形式。然后他这个分子呢，是完全平方，就等于 a 减去 b， 分母呢就是根号 a 减去根号 b， 这就是分子有理化的过程。接下来呢来看一下。例三，求 y 等于根号下 x 加二，减去根号下 x 减一，他的职业。这里在分析的时候呢，先用单调性，再用平方，最后呢再选分子有理化，单调性呢，发现前边这一部分是递增的，后边这一部分呢是递减的， 那单量性的不确定。那第二个方法，平方发现他们两个平方了之后呢，会出现一个 x 加二，加上 x 减一，这里边 x 并没有抵消掉，所以平方也不行，那只能尝试着用分子有理化，分子有理化，它是两部分相减，所以我们要凑一个两部分相加， 那在城上两部分相加，所以呢分母还要再除以这两部分相加，然后他这个分子呢，就是个完全平方，算完了之后呢，就等于三分母呢，就两个根号相加，分母，他的单调性呢，其实是确定的，是单调递增的，那分母的范围呢，我就可以求出来，下面呢来求定音乐，音乐呢是两个跟 根号都要大一点零解出来， x 的范围呢是大一点一 x 的范围有了，那这个分母的范围呢，也就有了，他是根号三到正无穷大，取完倒数，他的范围呢就是零到三分之根号三， 外呢又等于三倍的这个式子，所以外的范围呢就是零到根号三。那这个题呢，我们就做出来了，今天讲的内容你听明白了吗？

看这样一题，若二 a 加一等于根号五，求 a 方分之一减 a 的平方等于多少？非常简单，对吧？ a 它就等于二分之根号五减一，然后把 a 直接带入，我们就能求出答案。 这种方法呢，作为新时代的高材生，有没有感觉太没有技术含量，对吧？我们在做题的时候要揣摩一下出题人的用意，他为什么要求 a 方分之一减 a 的平方呢？他满足哪些知识点？ 他满足平方差公式，对吧？所以我们可以把 a 方分之一减 a 的平方写成 a 分之一加 a， 再乘以 a 分之一减 a， 对吧？ a 他等于二分， 这根号五减一，那么 a 分之一呢？它就等于根号五减一分之二，然后我们再把它分母有理化分子分母同时乘以根号五加一，那么就是二倍的括号。根号五加一， 除以根号五减一，再乘以根号五加一，我们得到是二分之根号五加一，对吧？ a 分之一是二分之，根号五加一， a 呢，是二分之，根号五减一，那么 a 分之一加上 a， 他就是 二分之二倍的根号五乘以 a 分之一减去 a 呢，就是二分之二， 所以答案他就等于根号五。好，感谢大家的关注与支持，我们明天再见！

来看今天的中考必刷题，一道解方程的题目含有两个根号，直接去平方的话肯定不太行，那么今天咱们讲一种非常牛的方法，我们来看这个式子， 根号下 x 方加七十五，减去根号下 x 方加十一，我可不可以先把分母看成一，然后给分子分母同时乘以他和他的和，用平方差公式的方法来进行处理。 我们充满以后知道根号下 x 方加七十五，再加上根号下 x 方加十一，我们先在分母上把它写出来，而分子上既然构成了平方差公式，那么分子上等于 他的平方减去他的平方， x 方就消掉了。七十五减十一，六十四，而右侧九十四。 得到了这个式子以后，我们再来观察六十四，这里是四，怎么样约分呀？这里就变成了一，而这变成了十六分之一。 得到这个式子之后，你发现这个式子和这个式子加和就变成十六了，也就是说这两个式子的差是四，而这两个式子的和是十六。怎么办？换元， 我们让这个式子就是 a， 而这个式子我们设成 b， 我们就必然能够得到 a 加 b 等于十六，而 a 减 b 等于四。对于这个二元一次方程组来说， 大家肯定会我们把两个式子一加，就发现 a 是多少呢啊？ a 就等于十， a 等于十之后，说明根号下 x 方加七十五就是十，也就是 x 方加上七十五就等于一 一百，到这大家就已经非常开心了，那么 x 方就是二十五，也就是说 x 等于正负五。 刚才咱们使用的技巧叫做分子有理化，他和分母有理化，本是一家，大家学会了吗？下课。

来看这个跟三减一二，其实这相当在分子上，你要不理解，我把它写长，跟三减跟二除以一是不就可以啊？好，这个时候再看是不是分子上跟三跟二是不是都是五里数？ 好，分子上是五理数，那么我们要把分子上的这个根号去掉，就要加上他的工作室。记住哈，有理化一定是分子分母同时乘以他的工作室， 所以下一步目的就是跟三减跟二乘以，跟三加跟二，分子上乘以他分母上呢？也得乘以。可能有些人不明白，说，那我这好好的，我为什么要去 非得把分子有理化或分为有理化呢？得，具体问题具体分析，我们得看需要。而我现在是逼着你这么画，是为了让你什么体会？我碰到这个事情怎么处理？怎么处理？有检必须成家。那么结果是什么 结果？大家体会。就是上面这个一层就相当是跟三的平方减去跟二的平方，下面是跟三 加根啊根，三的平方，三二是不就是一？好，这就是咱们初中当中给出的最基本的叫什么？有笔画。

这个视频咱们要掌握一项关键技能，叫分母有理化。有理化是什么意思呢？我们知道根式化解到最后的时候，分母里面是不能有根号的。 分母有理化就是在保证世字值不变的前提下，把分母里的根号去掉，使分母变成有理数或整式。 具体怎么操作呢？其实啊，咱们之前去掉过一些分母里的根号，比如这个狮子分子分母同时乘以根号五，分母就从五里数根号五变成了有理数五，这就是分母有理化了。 整个过程的关键就是找到一个与分母相乘以后，结果不带根号的数，分子分母同时上一塌分式者，值保持不变，有理化也完成了啊。 当然了，如果分母像根号五这么简单的话，称他自己就完事了。不过咱们不可能花一个视频的功夫讲这么简单的问题，分母得复杂一些。比如这样的分母是根号五减根号三，那该乘个什么数呢？ 选 d， 不管选哪个都会有根号剩下来，尤其是 c。 最可惜球了，完全平方，根号五和格号三都平方了，但是中间又出来一个成绩项，功亏一块啊。 嗯，要是有哪个乘法公式，只有平方向，没有成绩项就好了。哎，平方差公式不就满足条件吗？ 只有两个平方做差，没有成绩像。那我们要成的自然就是分母的平方差。兄弟，刚好五加刚好三了， 这样分母就变成了根号五和根号三。平方的叉五减三等于二，根号不见了，平方叉公是 v 五，上下都有二，可以约分。最终结果呢，就是根号五加上根号三， 明白了吧，分母为二次根式的合语，差的时候有理化，只需三步，找到分母的平方差兄弟，上下同城，最后化解约分。好，那就来道题试试吧。 a、 b、 c 三个都是错的，要选四 d， 哪错了呢？看看正确的做法。 分母是根号二减根号五，找到他的平王炸兄弟，根号二加根号五，分子分母同时乘以他，然后把新分母 算出来。注意啦， abc 全是错在这一步。根据平方差公式，分母等于根号二的平方减，根号五的平方二减五，也就是负三才对， 最后约分得了。答案，负二乘以括号，根号二加根号五。看来哪一步都不能掉以轻心啊，上下同声平发达兄弟，这一步都没错。但是呢，要是蛇在套公式三分母的时候，那可就太冤了。 那咱费了这么半天劲，分布有理化，到底有什么好处吗？光说分布里不能有根号，恐怕没啥说服力。你来看看这道题吧， 试想一下，如果直接通分求和，那可就热闹了，光分母盛开了就是四项，还有合并算分子再约分。我的天，不知道多久呢， 那分母有理化就能把它变简单吗？确实如此，咱们试试看吧。先看第一个式子，分母是三加根号五，需要上下同城三减根号五， 这样分母就变成了三的平方，减去根号五的平方，也就是四跟分子的四一约分，结果就是三减根号五。 好，后面的狮子交给你，把它也分母有理化了吧。分母是一加根号五，可以按照刚才的套路，上下同城一减根号五，这样分母就等于一减五，也就是负四 分子等于四乘以括号，一减根号五，上下预约分，结果等于负的，一减根号五，也就是呢，根号五减一， 这下相加就容易多了吧，加减跟号无抵消了，答案就是二没坑你吧，这难度简直是骤降啊。哎，这就是分母有理化的一个重要作用了，简化计算，毕竟如果分母不是有理数的话，通分起来会特别麻烦，有理化以后呢，就好说了。 不过说到简化，刚才的方法还有简化的空间呢，你看这一步， 上下同时乘以一减个号五，结果分母带了个负号，后面还有专门处理。其实呢，完全没必要， 要知道一加根号五还有一个平衡差，兄弟是根号五减一，上下同时乘以他就不会有符号了。分母等于四，分子等于四倍的括号，根号五减一直接约分就得 到结果了吗？所以像这种小加大的分模，找平方叉兄弟的时候最好找那个大减小， 这样省的后面还要收拾副号吗？通过了这些练习，相信两个根式的分母有理化已经难不倒你了，初题老师基本也只会出道这个水平。不过你要是好奇带三个根式的分母该如何有理化，可以先不关掉视频看我给你演示一下专业表演，欢迎模仿。 三个根号怎么办呢？还是要用到平方叉公式，别看他一次只能处理两坨东西的和与差，只要把前两个根号当成一个整体， 分母就成了根号加根号三与根号五这两坨东西之合。先用公式对付这两坨，你看根号五 平方根号就没了，前面这个完全平方展开以后呢，也就剩一个成绩，像带着根号这样，分母里的三个根号一下子就剩一个了，那不就变回最简单的那种问题了吗？ 好，找到思路就开工吧。先找分母的平方叉兄弟，就是根号加根号三，这个整体与根号五的叉上下同城分母我们刚才比划过了，前面的完全平方展开。 哎，巧了，加五减五正好抵消了，就剩二倍根号六上下，再同时乘一个根号六，就能把分母变成优里数十二了。 分子则是根号六乘以括号，根号二加根号三减根号五乘开，依次是二位根号三加三位根号二减去根号三十也没什么 化解约分的最终结果就是这个了。 这道题碰巧是有理相都抵消了，就剩二位根号六。不过就算换一个问题，有理相没抵消也没关系，反正跟号就剩一个了，无非就是再利用一次平衡查公式的事吧。 看来这平方叉公式真是管用啊，一两个根号根本不在话下，哪怕是有三个根号的分母。找到平方叉兄弟上下同城以后，就剩下一个了。 以后看到带根号的分母，千万要记得抱紧平方沙公式的大腿啊。

同学们大家好，今天我们再来看一个双根号求植玉的问题，他说求这个柿子剪这个柿子的植玉。我们观察左边这是一个增函数，右边也是一个增函数，一个增函数减去一个增函数，他不确定， 那说明我们直接判断是不行的，怎么办呢？我们可以把这个式子分子有理化，就把这个式子分子分母同时乘以根号 x 加一，加上根号下 x 减一，于是我们就会得到这样一个式子。 得到这个式子以后来你看分子 a 加 b 乘以 a 减 b 平方差公式，那还会剩下 x 加一，减 x 减一，还会剩一个二，于是这个式子就会变成分子是个二，分母是根号下 x 加一，加上 根号下 x 减一。这时候我们再重新来看单调性分母，根下 x 加一是个增函数，根号下 x 减一也是个增函数，相加还是个增函数。又因为 整个柿子分子是一个正数，分母越大，整个柿子越小，相当于整个柿子是一个简函数，它竟然是一个简函数，我们来看一下它的定义域。 这个题目当中 x 加一要大于等于零，因为有根号解除 x 大于等于负一， 更要是 x 减一，那就 x 减一要大于等于零，我会解除 x 大于等于一，最终 x 的范围是一到正无穷。现在他是一个单减的函数，当 x 等于一的时候，将会取得最大值，那 y 的最大值他就等于个把一带进来，可以直接带入这个式子来，这是跟二，右侧是零，所以呢，最大值是跟二， 最小值很明显是在 x 取正无穷的时候取得。好，当 x 趋近于正无穷的时候，我们来分析一下 y 是趋近于多少？ x 趋于正无穷，他是正无穷，他是正无穷相加还是正无穷？分母是正无穷，分子是二。这时候一相处，这个柿子是趋近于零的，所以呢， y 趋近于零， 于是这个题的直域就出来了， y 的范围是零到跟二左开右臂，此题拿下。

初二二次根式在考试题里经常会出这类题，但是很多同学呢，无从下手，然后考试得不到分。实际上这类题呢，最简单，因为它有方法和技巧，第一，分母有理化，第二，平方大公式，你要会直接就搞定了。然后什么意思啊？首先求这一串的值， 你看有什么特征，他们的分母是不是根号二加根号四，根号六加根号二，根号八加根号六。哎，是不是都是带根号的？遇到分母带根号的，我们专门有一类题叫分母有理化，还记着吗？ 好的，这是第一，而且分母优理化里有一种方法，用平方叉公式分母优理化，那个公式是什么？我在前面的视频讲过啊，不知道的可以去看前面的视频来。我在这可以再说一句啊，就是根号 a， 听好，根号 a 加根号 b 分之一，那么用平方叉空式进行分母有理化，把分母从一个无理数变成有理数，叫有理化啊。那我用平方差公式就是分子分母同时乘以根号 a 减根号 b 一乘以高 a 减高 b 就是他。那么分母乘的时候注意平方差公式，两个数相加，乘以两个数相减，等于两个数的平方相减， 所以就是根号 a 的平方去减去根号 b 的平方， 对不对啊？那根号 a 加根号 b 乘以根号 a 减根号，那不就变成了 a 减 b， 分支根号 a 减根号 b 吗？好，是不是分母从带根号的变成没有根号了，这叫分母有理化。这种题考试是必须你得会的啊，考试总考，那这个题是不是就考这个？ 那他怎么去变呢？来，我直接写了，就不写解了。根号二加根号四加根二分之一，那么分子分母我应该乘以的是什么？根号四减根号二，对不对？好了，那这分母变成什么了？ 分母变成什么了？是不？根号四加根号乘以根号四减个二，是不是就应该是根号四的平方减根号二的平方啊？ 分子分母同时乘以根号四减根号二。好了，后面依此类推啊。这个是不是相当于是根号六减根号四去除以根号六的平方减根号四的平方。 好，加上点点点啊。最后一个是不是相当于是根号下二零二零再减根号下二零一八除以一个 分母相当于是根号下二零二零的平方，再减去根号下二零一八的平方。好嘞，来，接着往下做啊，往下做的时候在这，你看这个分母是几 根号四的平方？四减勾二的平方二是不是就是二二分之根号四减根号二来第二项相当于二分之。什么？二分之，根号六减根号四。好，来找规律告诉我这一项相当于什么？ 二分之什么？你根号八的平方减高六平方就是二，再根号八减根号六。好嘞，那我把这个擦掉了啊，没有整理的，没有记得啊，你回头好好整理一下 来，那下面就应该是加上点点点来，这个是不变成二分之根号下二零二零减去二零 零一八，对不对？好了，那大家发现啊，都是二分之多少来分子相加减，分母不变，这分子是不是很多东西消掉了？哪些消掉了？研究研究。你看相邻的两组 啊，前面这一组第一个数和后面一组后面数减掉了，来相邻的两组，前面这一组第一个数和后面这组后面的数减掉了，对不对？都把后面那一组后面的数减掉了，对吧？所以在他的前面啊，在他的前面是不是相当于能把他给减掉了？能听懂吗？ 那剩下的什么？这剩一个根号下二零二零，这剩一个减根号二。好嘞，这是不就做完了？他就是最后答案啊，这不理解的，在他前面一定有一个二分之。什么呀？二分之， 你，你把它倒一下，在他的前面是不是二分之根号下二零一八，减根号下二零一六，然后那二根号下二零一八，和他约掉啊？减根号下二零一六，跟前面的约掉。 好嘞，迅速把它整理收藏一下，这都是考试里边总考的二次跟日块的压轴题，很多同学丢分的，来赶紧点赞收藏。

高一的同学，我们再来看一种求函数单调性的典型方法。判断函数 fx 等于根号下 x 加一，减根号下 x 减一的单调性。 求一个函数的单调性，最正统的方法就是定义法，但是我们不可能每次做题的时候都用定义法，在解决问题的过程中，我们会采用一些比较特殊的方法，对函数的单调性做出快速的判断。 比如说这道题，我们要判断 f x 的单调性， x 加一，他单调递增添个根号还是单调递增的， x 减一，单调递增添个根号还单调递增， 但是两个增函数相减，他究竟是增的还是减的，可就说不清了。 那么说不清，我们怎么快速的判断出 f x 的单调性呢？这时候我们要采用的方法就是分子有理化法。怎么分子有理化呢？我们给这个式子添个分母一， 添个分母一，这个式子的值并没有发生变化，然后我们在分子分母同乘以分子的平方差的另一部分，也就是根号下 x 加一，加根号下 x 减一， 那么 f x， 它就等于 根号下 x 加一，加根号下 x 减一分之。根号下 x 加一，减根号下 x 减一，乘。根号下 x 加一，加根号下 x 减一， 分子分母同乘以根号下 x 加一，加根号下 x 减一，那么这个分子这两项相乘，也就是 x 加一，减 x 减一，他就等于二，所以 f x， 他就等于 根号下 x 加一，加根号下 x 减一分之二，那么现在分子它就变 变成一个有理数二，所以叫做分子有理化。那分子有理化以后，我们就可以对 fx 的单调性做出判断。怎么判断呢？ x 加一，他单调递增，添个根号还单调递增。 x 减一，单调递增，添个根号，还单调递增。那么两个增函数相加，他还是个增函数， 然后再取倒数，他就变成一个减函数了。所以说 fx 他是单调递减的，那么他在哪个范围内单调递减呢？对于所有的函数问题，我们一定要关注他的定义， 那么要想让这个式子有 e x， 它得是大于等于一的， 所以 f x 的定义是一到正无群，那么 f x 它在一到正无群上是单调递减的。

大家好，今天通过下面这个题给大家讲一下分子有理化啊，顾名思义，分子是吧？要出现分数里面的分子是一个无理数的情况下，我们对他进行有理化啊，这样子的一种方法叫做分子有理化。 那么下面这个题，你看根号七减根号六都没有出现分子怎么办呢？我们就把它还原回去，对吧？还原成一个分数的形式，那么也就是一分之根号七减去根号六，是不是他就还原成一个分数的形式了？分五是一，分子是根号七减根号六，现在分子是一个五里数， 接下来我们要对他进行有理化，也就是利用平方叉功式啊，分子分母同时乘以一个根号七加上根号六，根号七加上根号六，为了表示他的大 小不变，对吧？接下来我们观察分子是不是就等于了根号七括号的平方减去根号六，括号的平方，注意，一个根号七加上根号六，他就等于 啊，根号七加上根号六分之一，这是第一个啊，我们就把它化解成根号七加根号六分之一了。接下来我们来看第二个，也就是根号六减去根号五啊，这个时候你可以自己画一下，你想一下， 第一步是不是要还原分母啊？因为现在没有分子嘛，对不对？我们就把分子分母全部还原出来，也就等于一分之根号六减去根号五，他和原来的大小是相等的。 第二步，利用平方叉公式啊，分子分母同时乘以一个根号六加上根号五，注意 前面是减，我们后面就乘以加，这是平方差公式哈，前面是加，我们后面就是减啊，分子分母同时乘以一样的哈，也就是根号六加上根号五，他就等于啊，分母还是根号六加根号五， 分子就变成了根号六括号的平方减去根号五括号的平方，对吧？他就等于根号六加上根号五分之一。接下来你看要比较他们两个的大小的话，我们发现 这个两个最终我们分子有理化之后哈，分母都是一，你看一除以根号七加上根号六和一除以根号六加上根号五，我们只需要比较分母的大小就可以了。分母是根号七加根号 六，对吧？他很明显是大于根号六加上根号五的，所以呢？这个啊，分母大的反而小，所以啊， 对不对？那么所以啊，根号六减去根号五，他是要大于根号七减去根号六的，听懂了吗？什么是分子有理化？

高一的同学看这道题，求函数 f x 等于根号下 x 加一，减根号下 x 减二的值域， 要求这样含有两个根式的式子的值域，我们可以考虑用平方法，也可以考虑用单调性，其实单调性法要比平方法更简洁。 那么首先我们就得判断 fx 它的单调性。怎么判断呢？ x 加一，单调递增，添个根号还单调递增， x 减二，单调递增，添个根号还单调递增，再添一个负号，他就单调递减了。一个增函数加上一个减函数，他是增的还是减的， 可就说不清了。那是不是就说 f x 它不具有单调性呢？也不一定，之前我们介绍过，对于类似的题目，我们要求它的单调性可以用分子有理化的方法， 所以说我们可以利用分子有理化进一步的判断 fx 它的单调性。那就给这个式子添个分一， 添个分母一以后，式子的值并没有发生变化，然后我们给分子分母同乘以分子的平方差的另一部分，也就是根号下 x 加一，加，根号下 x 减二， 那么这个式子他就等于根号线 x 加一，加，根号下 x 减二分值，根号下 x 加一，减，根号下 x 减二，乘上根号下 x 加一，加根号下 x 减二，也就是 x 加一，减 x 减二，它就等于三，所以说这个分子它就是三，三就是一个有理数，所以说这叫分子有理化。 那么分子有理化，得到这个式子以后，这个式子的单调性是一目了然的。 x 加一，单调递增，添个根号单调递增 x 减二，单调递增，添个根号，还单 单调底子。两个增函数相加，他一定是个增函数，并且这个分母他还是大于零的，那么取到数他就单调递减了， 他在哪单调递减呢？ fx 他的定义是 x 大于等于二，也就是说 fx 他在二到正无群上是单调递减的。 既然单调递减，那就在二除去到最大值 f 二等于根号三， 求出它的最大值以后。那么最小值有多小呢？当 x 区域正无穷的时候，这个分母就是个正 无穷三，比上一个正无穷，他在无限的接近零，但是永远都不会等于零，那么 f x 它的值域就是 零到根号三的一个半开半闭的区间。

这道中考题你能用一分钟做出来吗？这道题的话是二零一二年的一道中考的填空题，填空题是小题，小题其实有小题的做法， 只要您能够写对这个答案，过程其实不写也可以。我们来看了啊，在草稿纸上的话，我们先用这个小题的做法来做第一种方法。 第一种方法怎么去思考呢？他这道题是二零一二年出的题，那如果是今年是二零二一年，大胆猜想一下，他如果再促成同样类型的题目的话，那今年的话，这个 a 肯定是要写成根号下 二零二一分之一，然后 b 的话，肯定是要写成多少，要写成根号下多少啊？根号下二零二二，减去 根号下二零二零了，肯定是这样的。嗯，但是写成，我知道这样一个出题思路了，但是写成这个样子以后，我这个根号下二零二一啊，并没有比原体重这两个数字更容易比较，其实难度是差不多的。 那怎么办呢？哎，咱们大胆猜想一下啊，你非得写这个公元二零二一年啊，咱们假设啊，不要管这个真实的历史怎么样的，咱们假装公元一年，公元二年，公元三年的时候就已经有这个中考了啊，假设 啊，假装吧啊，假装公元一年就有了，那假装公元一年，公元二年，公元三年，公元二年。中考的时候，他这样来出题，那 a 的话，肯定是等于多少了？根号下二分之一了，然后 b 的话呢，应该出成多少？ 根号三，减去根号一，对不对？那肯定是这样一个出题思路的，那写成这个样子以后的话，其实 a 很容易算，它等于二分之根号二分指分母同乘这个根号二吗？ 那么再接下来这个 a， 其实他这个二是约等于多少的？根号二约等于一点四一四，每一个初中同学都知道，那么最终算出来是零点七零七这样一个数字，这个好说，那 b 的话，大家知道根号三是约等于一点七三二的， 然后这个一其实，嗯，更好，一还是一嘛？那最终算出来是 b 是约等于零点七三二，谁大呀？零点七三二当然大于零点七零七了，所以说 b 大于 a， 那这道题横线上的话，肯定是写这个小于号 好了，那第一种方法不就结束了吗？想到这，肯定很多同学还有疑问，老师，如果万一这道题他是一道大题的话，我不能用这种方法吧。那可以啊，咱们再讲一下大题的方法，还有这道题的处理思路， 那大题的话，咱应该怎么来考虑呢？来第二种方法啊，大题的思路的话，这道题显然是考察了一个分母有理化或者是分子有理化的题目。 a 的话，咱们怎么去转化？ a 的话，先这样来写，它等于 二零一二分之一，嗯，然后先写成这个样子吧。然后 b 的话应该怎么去改变改变呢？ b 的话，咱们这样来写，也写成这样一个分式的形式啊。一分之根号下二零一三，减去根号下二零一一。分子分母的话，根据 平方差公式，分子分母同乘二零一三，加上根号下二零一一， 当然这个分母它也得成分次分母同成嘛。 好了，再化解一下这个分子，根据平方差公式，其实就等于二零一三，减去二零一一，其实等于二除根号下二零一三，加上根号下 二零一。那写成这个样子以后的话，现在大家肯定有疑问。老师，这个 a 的话，分子是一，分母不一样，然后 b 的话，分子是二，然后分母也不一样。嗯，你不用太在 这个啊，你看了我 a， 改变一下形式就可以。其实 a 的话，分子分母同乘二倍，其实它就等于几啊？等于二乘二除二倍的根号下二零一二，我直接写成二零一二， 它更好加二零一二了，你看 b 的话，我再写一遍，重新写一遍啊。 根号下二零一三，加上根号下二零一一。 其实我们发现呢， a 和 b 这两个分母他是不一样，但是这两个分子都是二，所以我们就不需要比较两个分子大小，只需要比较两个分母的大小，分母越大，整个分式反而越小嘛。那我们既 第一个分母呢？ a 的分母是 a 撇儿，二零一二，加上根号下二零一二，其实就是二 会的二零一二啊，这个不多说，那 b 的话，我们这个分母呢，即为 b 片，根号下二零一三，然后再加上根号下二零一一，这个没问题吧？那接下来怎么比较 a 和 b 的大小呢？ 同时平方就可以了，对吧？那 a 撇儿平方以后的话， a 撇儿的平方应该是等于二零一二，加二零一二， a 方加 b 方，再加 r a b， 我把 r a b 呢写到最后， 再重根号下二零一二，这没问题吧？然后 b 撇儿的话，你为了比较这个大小，咱们也平方，平方之后的话，得的是二零一一，加上 二零一三，再加上二倍的根号下二零一二，二零一一啊，再乘二零一三了。那写成这个样子以后的话，咱们换一种颜色，我继续来说一下啊，其实就特别简单了，我换成黑色吧，你看， 请大家告诉我啊，换个蓝色。这个二零一二加二零一二和二零一一加上二零一三，是不是一样大呀？一样大的这部分咱们就其实不用比较了，只需要比较哪一部分？二根号下这个二零一二乘二零一二 和根号下二零一一乘二零一三，比较这两个划横线的部分就可以了，对不对？那看了啊，二零一二乘二零一二，我们先写到这，那这个二零一一的话， 再乘这个二零一三，怎么比较大小呢？那二零一一和二零一二的关系不就是二零一二减去一，再乘二零一二加上一吗？然后根据平方差公式，等于多少等于二零一二的平方再减一。 左边呢，这个 a 撇画双横线的部分就是二零一二的平方，然后右边呢是二零一二的平方，减一显然是个大于号，所以从分母这个角度来说， a 撇的平方是大于 b 撇的平方的， 那所以说 a 撇就大于 b 撇。注意了啊，咱们现在算的是分母的大小，我分母越大，整个分式反而越小吗？所以说最终结果应该是 a 小于 b 才对， b 是更大一些的，所以跟第一种这个方法最后得了 答案可能一样，所以横向上写小于号这道题我们就做完了，可以了吧。嗯，最终再做一下总结啊，那这道题的话，主要是运用了两个知识，哪两个知识呢？大家看一下右下角就行。一个是咱们初中，应该是初二学的平放差公式， a 加 b 乘 a 减 b， 等于 a 方减 b 方。这道题的话其实用了几次啊？分母优力化，这道题的话是分子优力化，你看 b 在化减的过程中呢？分子怎么化成二的？分子分母同成了一个根号加二零一三， 对不对？根号加二零一三加上根号加二零一。然后用了一下这个平方踏公式，最后一步的话也是二零一二这一步，二零一二减一乘二零一二加一也是平方踏公式，然后利用平方踏公式再结合一下。 这道题不是分子有理化，是比较少见的啊。不是分母有理化，是比较少见的分子有理化。 好了，如果是大题的话就这么做，同学们再见啊，记得关注我，我是一个喜欢历史的数学老师。