二次函数恒成立求参数取值范围

同学你好，我们来看这道题，是函数 y 等于 mx 方减 mx 减一 x 大于等于一，小于等于三。若 y 小于负 m 加五横成立，求 m 的取值范围。 在这里他以二次函数为背景，考察恒成力的问题，要求的是参数 m 的取值范围， 求餐的取值范围，我们需要做的是分离参数，把参数分离出来，也就是参数放到一边，未知数放到一边， 根据这个参数， m 与啊我们的这个未知数所形成的这样的一个函数的大小关系，那我们就可以啊，得到 m 他所对应的取值范围啊。 通过分离参数之后，我们形成一个新的不等式，在这个不等式中，一边是我们所求的参数，另一边是这样的一个新的函数，那如果这个不等式它是横成立的话，它就等价于什么呢？ 什么时候 m 小于 fx 是恒成立的？我比你的最小值都小的时候，我肯定是小于你恒成立的。从这个恒成立问题，那我们就等下于这样的一个不等关系， m 小于 fx 的最小值， 那同样的道理，如果 m 他是啊大于啊 fx 恒成立，他的等价条件呢？我比你的最大值都大的时候，我是不是就大于你恒成立呢？因此，在这里我们就得到一个 不等关系，是 m 是啊大于 f 啊 x 的最大值了。接下来我们就去啊求他的最小，他的最大，然后让 m 小他的最小值，让 m 他大于他的最大值即可。 关于恒成立问题，我们这有个口诀，如果 m 小于一个函数，解析是是恒成立的话，也就是我们得到小于他的最小值，小于最小，大于的话就是大于，最大有大于他的最大值。 这道题目我们首先需要把歪带入到这样的一个不等式中去，分离 m， 把 m 移到一边，把其他的移到一边，那我们得到 m 的平方减去 m x， 再加上 m， 把这个长数移到右边来，他应该是 小于六。我们把 m 作为工艺室提出来 m 位的 x 方减 x 加一小于六，要除以这样的一个因式。在除他之前，我们得确正他是不能等于零了， 因为不等式左右两边同时除以一个正数，那不等号才是不改变方向的。若是除以一个负数，那他不等号是要改变方向的。接下来我们去研究他的正负情况， 求这个二次函数，他的只预防使用配方的方法吧。 x 的平方减去 x， 那我要构成一个完全平方的话，我需要加一个一次，也就是一次向他系数的二分之一的平方，也就是在这一，他也就是二分之一的平方，也就是二次向系数一半的平方。我多加了 一个四分之一，然后我再减去一个四分之一，然后我再加上原来的那个一，这样我就可以得到 x 减去二分之一他的完全平方，然后这一步的话，一减去四分之一，应该是四分之三。 显然我们发现这个式子这一部分，他是大于等于零的。大于等于的数字再加上一个正数，显然对于整体来说他应该是大于零的。因此我们得到 这个式子，他是大于零的。大于零的话，那我们就左右两边同时除以大于零的一个式子，那他的不等号不会啊改变啊方向。 题目说了这个不等式横成立，我们通过这个不等式一步一步给它等加成这样的形式，因此我们就可以得到 m 小于这样的 个函数，这个不等式他是横成立的。不要忘了题目告诉我们的定义域的范围一到三之间， m 小于这个式子横成立的话，那我们就等价于这样的一个关系了。小于一个函数横成立的话，他就是等价于。啊 m 啊，小于这个函数， x 方减 x 加一分之六， 他的最小值，求他的最小值了， m 小于他的最小值即可。啊，那我们不妨领 jx 等于这样的一个函数，接下来在这个区域上求 jx 的最小值。 那我们想一下，分母上有物质量，分子上是一个长数，因此当分母取啊最啊大的时候，那我们整个分式它应该是 取最小的，要求分母的最大值。我们可以使用这种配方的方法球，在这里我们不妨使用塑形结合去求。你是二次函数，开口向上的抛物线堆成轴是负的二， a 分之 b， a 是 x 填门系数， b 是负一。先来对称轴为二分之一。要研究的是一到三这个范围，也就是在对称轴的右直上这一块区域，它所对应的显然在三这一块，就是当 x 取三的时候，它处在最高点， 最高点的话，他应该是直取到最大的，因此在 x 等于三的时候，这 x 他应该是取到最小的，因为此时分母越大，整个分式的值是越小的。 把 a 等三带入这个函数解析室求一下，得到最小值，求出来结果为七分之二六， 我们等价于这样的一个关系，因此 m 只要小于他的最小值，那我们这个横成率就是对的，就是 m 应该是小于七分之六的，他让我们去求的取值范围，那我们最好写成集合的形式。

二次函数横乘力问题。大家好，我是北大数学霍老师，我们来看一下这道题，这道题啊，是一到二次函数的横乘力问题，然后他的条件的不同，然后就有三种不同的方法。我们先看第一问， 第一问说 x 属于 r 的时候，这个二次函数是横成立的，那你想想这种题怎么做，只需要讨论得的就可以了。 来，我们先把这个 a 给他移过来，你看左边就是一个二乘，而数开口向上，那么根据灯罩的不同，他的图像就有三种，这三种情况分别对应，都是他带领，都是他等于零，都是他选为零。那你想想哪种情况能符合他的要求，能保证大于等于零横成立。 这个时候你发现第二种和第三种符合咱的要求，所以说咱的单呢，就在小于等于零，来，我们把这不等式给它写出来，最终就可以把 a 的取的范围求出来， a 大于等于负六， 小于等于二行了，这题咱就搞定了。来，我们总结一下，就是说如果是一个二尺行的混动力， s 还属于 r， 这个时候特别简单，只需要讨论嘚的就可以了，你学会了吗？

这个视频咱们要来解决一类新问题恒成力问题。先看看例子。 题目说二三数的直外大于零，得对一切 x 横成立。哎，这句话是什么意思呢？ 横字是永恒的，横就是永远的意思。横成立呢？就是永远成立。那外大于零对一切 x 横成立呢？就是甭管你 x 四取几，我 y 永远都得大于零。但是这个解析室里面除了 xy， 还有 abc 啊，这三参数都得取什么样的值，才能成全了 x 和 y 的这个关系呢？题目问的就是这个， 那该怎么下手呢？光看题目的语言描述，感觉还是一知半解。咱们就先想想在图像上外达于零对一切 x 恒成力会长成什么样吧。这有四个函数图像，你看哪个能符合这个描述呢？ 答案是 a。 函数值大于零，意味着对应的点在 x 轴上方。要是函数大于零，恒成力呢？ 自然就是图像全在 x 轴上方啦，所以 bcd 选项全错。好，知道了图像 大致的样子，我们就来试着总结一下符合 t 一的函数解析式有什么特征。首先，开口肯定要向上，开口向下的话，抛物线两边会无线向下延伸，不可能一直在 s 楼上方的万达 a， 零自然就不能横成立了。 其次，观察 ab 两个选项，我们发现抛物线的顶点要高于 x 轴，图像再符合要求。图像连最低点都没碰到 x 轴，自然的他跟 x 轴就不会有焦点。 有一个焦点，图像就能碰到轴了，函数值也就能等于零了。要是有两个焦点的话，那焦点之间的部分必定越过了轴。 这样函数值既有大于零的情况，也有小于零的情况，大于零就不是航程力啦。所以必须 也得保证没有跟 x 球的焦点。这么一来，能让这个不等式恒成立的图像对他的解析师有什么要求也清楚了吧。 开口向上说明二次。要记住 a 要大于零，与此同时，无焦点意味着 y 等于零时得到的二次方程无解。 因此判别是 b 方减四， a、 c 必须小于零。这两个要求同时限制着三个参数的取值。于是把他们两个连立成不等式组好。这就是 a、 b、 c 需要满足的条件，也就是答案了。 好，现在题目稍作修改。外，大于零改成小于零。那你推想一下，这时 abc 又要满足什么条件呢？ 选 a， 不管 x 取几还是值，永远不超过零。所以抛物线肯定是开口向下。 a 小于零，不等号变方向。 可是判别是符号呢？也跟着变吗？那可就大错特错了。想想看嘚，他要是大于零了，抛物线和 x 轴就有焦点了，那焦点之间的那段肯定冲到零上面去了。 所以现在和刚才一样，还是不能出现焦点，但是他依然小于零。 那如果把题目中的小于号再改成大于等于或者小于等于呢？现在符合我们要求的抛物线可以碰到 x 轴了，但是不能越过 x 轴。也就是说跟 x 球的焦点可以有，但是只能有一个。因此要把第二个不等式改为 drat 小于等于零。 好，摸到了这类题的规律，下面就来看两道变异了的问题。已知关于 x 二十三数 y 等于布拉。布拉若 y 大于等于一横成立，求 k 的取值范围。 哎，韩顺真要跟零比，咱们有办法，因为判别是能反应抛线与 x 轴焦点的情况。可这回是跟一比，那老办法就不能用了吗？ 别担心，照样能用。利用不等是性质。左右两边同时减去一，右边不就变成零了吗？从图像的角度想， 原函数减了一，就相当于将抛物线向下平移了一个单位。原来的抛物线和直线外等于一的位置关系，就是现在新图像和外等于零，也就是 x 轴的位置关系。这样，咱们就把这种变异问法转化成了更经典的形式 外减一照样对应着一个关于 x 的二次，是吗？他的二四项系数是一毫无减。碳口向上第一个条件已经满足了。所以咱们只需让判别是小于等于零，就能求出 k 的范围了。 好，思路想清楚了。剩下的就是计算判别是等于一四项技术。负二 k 的平方减去四，乘以一乘以常数项 k 方减， k 减一化减得到四 k 加四，小于等于零， 解除 k 小一对负一。这就是答案了。总之，还是直和零比咱们能搞定。那如果不是零的话呢？转化成零再搞定，就是这么简单直白。 最后来看这类题的终极变异版。 瞧，这回是给了两个函数，他们的值互相比。题目要求外一，也就是二次函数的值，不管 x 是几，都要大于等于一次函数的值。那你想想，如果题目转化成了一个式子，和零比的形式应该是下面哪个呢？ 答案是 b。 方法跟刚才一样，左右两边同时减去二， x 减二，右边就变成零了。 又因为是大于等于零，所以左边的二四项系数 a 叫大于零，嘚儿探呢？还是小于等于零？然后就按部就班的表示出嘚儿探跨减。结果能配方成六， a 减二的平方小于等于零。 哎，等一下，平方不得是黑负的吗？哦，那看来是子就只能等于零了。这样解除 a 得三分之一，也符合第一个不等式嘛。因此，只有当 a 取三分之一时，这个大小关系才能横成立。 好红成立。问题就讲到这里，函数值和零比的四种精胆情况都放在这了。把系数带入 解不等式，就能求出参数的取值范围。如果不是和零比呢？那就先通过一项，把不等式右边变成零， 然后看老花花姐就行了。 这个视频就到这，拜拜。

像这道题的第一问啊，这是一个一元二次不等式的横成立问题，那怎么做呢？方法很简单，因为 iphone 加头系统是个 a， 我们并不知道他的开口方向，所以说我们要分三种情况讨论， 第一种情况就是让 a 等于零。第二种情况，一张 a 大于零。第三种情况，一张 a 小于零， 那么 a 等于零的时候，你发现左边就是个一，右边是个零，一大于等于零确实是横乘力的，所以说 v 等于零是符合咱的要求的。将来讨论第二种情况， a 大于零， a 大于零的时候，你发现他是开口向上的，有三个图， 那么这三个图哪个符合他的要求呢？哎，很明显要大于等于零，横乘力的话，很明显这个不行，这两个都可以，这是单打等于零，这是单打小， 所以说我们只需保证灯的小于点零就可以了。然后接下来 a 小于零的时候，你发现他有三个图， 很明显我们能看出来，别管是哪个图都不符合他的要求，因为他没法保证永远都答案等于零，所以说 a 小于零排除，所以说我们接下来只需要研究这个不等字就可以了。 我们求出来了 a 的范围，但是别忘了跟 a 大于零去交际，所以说最终求出来的结果就是 a 大于零，小于等于一，但是你别忘了这是一个分类讨论，这三种情况，求出来的结果一定要去并及， 他的结果是这个，他的结果是这个，他的结果是空级，这三个取并计，那你想想结果多少，结果就出来了。 a 大于等于零，小于等于一，我们把它写成区间的形式，照的答案就是零到一，你听懂了吗？

在数学解题中，经常碰到求解某些结论，横成立，那么什么是横成立呢？假如题目在最后的时候出现诸如在给定区间上某关系横成立，或者某函数的定音域为全体时数，而又或者某不等式的解为一切时数，再或者某表达式的值恒大于 a 等等，这些都是恒成立的问题。对于今天要说的二次函数恒成立问题，这个问题有两类，一类是全域恒成立，一类是指定区域恒成立。 那今天我们先讲简单的第一类，全域恒成立。全域恒成立，说白了就是整个定域都成立，它大底可以分为 两种，如果二次函数 fx 等于 ax 方加 bx 加 cfx 恒大于零，则说明图像像这样整个部分都在 x 轴的上方。满足这个条件，只要开口朝上，图像与 x 轴没有焦点，它对应的也就是 a 大于零。 第二是小于零。反之， fx 横小于零的话，则说明图像是这样的，整个图像全家都整整齐齐的在 s 轴的下方。满足这个条件，只要开口朝下，图像与 x 轴没有焦点，那么它对应的是 a 小于零，第二是小于零。也就是这两个结论，我们可以解决所有的此类问题。 我们来看例题，这个题先判断 a 等于零的情况，原式变为二， x 加二大于零，想要在 r 上横成立显然是不行的，所以舍去 再考虑 a 不等于零，这时就是二次函数全域大于零恒成力的问题，应该套用这个式，也就是 a 大于零。第二条等于二方减八， a 小于零， 解得 a 大于二分之一，那这样所求的取值范围应该是二分之一到正无穷。再看例二，这个题直接可以转化为被开方数，也就是根号下这一堆在 r 二上横成立的问题。同样先讨论 a 方减一等于零，那这里 a 加一不等于零，圆式等于一不等于成立，所以 a 等于一是可以成立的。在讨论 a 方减一不等于零，同样的，只要满足开口朝上得，而他小于零，也就是 a 方大于一， a 方减去十， a 加九小于零，这样可以求出 a 大于一小于九。中上所述，那么这个函数的定于 vr 十 a 的取值应该是一到九双 b， 你学会了吗？支持一下，给点个赞吧。

这是一个横成立问题，对于横成立问题，我们知道有很多种方法，这个题实际上可以考虑的只有图像分析和参变分离。有人会说，这个变换主源可以简单的做出来，其实是不行的。变换主源需要知道参数的范围，题目要求的正是参数的范围。参变分离可以做，但是讨论量比较大，所以我们选择图 图像分析。对于图像分析，其实也有两个方向可以讨论，洞轴定区间和定轴洞区间。在我从交的经历中，很多同学根本分不清他们的区别，于是为了理解和简化这个过程，我将题改为看图说话。这个思想可以分成四个步骤，第一步，画出所有情况。第二步，写出描述语言。第三步，求出所有结果。第 四步，合并所有区域。简称画写求并好，我们开始。第一步，画，在这个有图有真相的时代，画图一定是学习函数最好的方法。原函数开口朝上，所以满足情况 的图像不外乎下面三种，第一，所有区域都在 x 轴的上方。第二，指定区间在对称轴的左边，第三，指定区间在对称轴的右边。第二步，写写出图像对应的代数关系。比如第一个，只要第二条小于等于零就可以了。第二个，第二条大于零，对称轴要在负二的左侧，函数在负二处直大于等于零。 第三个，点点大于零，对称轴在二的右侧，函数在二处的值要大于等于零。这样其实就可以了。但是我们还可以做一点点合并和优化，把二和三合并成一种情况，对称轴在负二和二的两侧，函数在负二处值是大于等于零的，函数在二处的值也是大于等于零的。 写完就完成了球，这里解不等式，包括图一的情况一起求出来，分别把它画在区间上。分别把球出来的区间画在竖轴上，并将所求出来的结论合并在一个竖轴上 求交集，然后再和第一张图的范围求并集，这就有了最后的答案。复期到二，你学会了吗？最后，数学是一门基础学科，要想学好一定来源于谦虚谨慎和认真积累，不会是一两个大招，少年们，撸起袖子加油干吧！

今天呢，我来给大家分享一个利用分离参数法去解决二次函数恒成率问题的小技巧。 通过题目呢，我们可以发现， ax 平方减二， x 加一大于零，对于我们任意的 x 属于二分之一到二是横成立的，最终我们求解的是 a 的范围， 我们可以将 a 单独待在不等号的一边，最终就会得到 a 大于二， x 减一比上一个 x 平方。那么我们对于这个式子呢，可以进行这样的处理，二 x 除以一个 x 平方，得到的是 x 二，而我们 减一除以一个 x 平方呢，得到的是减一比上一个 x 平方，那么我们 a 呢，会大于这个函数的最大 大值，这样才能彭成立。那么我们接下来呢，观察一下这个函数数的结构，可以发现，如果说我们令 t 等于 x 分之一之后，那么这个函数呢，也就变成了一个二， t 减去一个 t 平方， 也就是说只需要让 a 大于二， t 减 t 平方的最大值就可以了。那前提是我们得知道 t 的范围， 因为 x 的范围呢，我们是二分之一到二之间，所以说 t 等于 x 分之一呢，它依然在二分之一到二之间。那么我们会发现这个函数的 开口是向下的，我们的对称轴呢，是 t 等于一个一，所以说二分之一和二 分别在一的左右两侧，那这个函数的最大值当然是提取一的时候最大，那我们将一带进去，就会得到 a 大于一个二，减一等于一个一，那么最终 a 的范围呢，就属于一到正无穷 选 c 分离参数法你学会了吗？我是大葱老师，关注我，让数学更简单！

好，今天我们一起来看下这道题。已知抛线经过 a、 b、 c 三点写满足 y 小于 y， 三小于 y 要小于点，负 a 横成立 m 的起值范围，那么观察下这个负 a 哪里来的？这个是小于很小于负 a， 所以负 a 是最大值，对吧？那负 a 我们可以带着抛线求一下这个横坐标是等于多少了， 等于 a 平方减去二， a 两边同时除以 a， 那就负一等于二平方减去二，那一项过来，二平方减二加一等于零， 那这个是二减一的，平方是等于零的，那二就等于一，也就是二等于一的时候， y 是等于负 a 的，也就横住了一，但你重做了，是等于负 a 的， 那么再求下，求这个啊，比较大小题目，那么肯定要对称着用，对称着求一下负二 a 分之 b 啊，负二 a 分之 b 刚好等于一的，那你会发现 对称头等一带进去了之后，顶点刚好啊，这个众坐标等负 a 的，说明说这个点刚好是顶点啊，这个点刚好是顶点， 那要满足所有的外的值都小一点，因为这个顶点的重坐标的话，说明这条抛物线开口必须向下，向下的话，顶点才会最大， 是吧？所以不再抛件开口是向下，顶点是对称的二点一。好，那现在 a、 b、 c、 三你要怎么排布了，排列的时候才能满足外一小于外三小于外二呢 啊？外二是最大，所以外二离对称轴是最近的，是吧？所以必点离着对称轴最近的，那必点就是我们可以在这个位置必点，比如在这个位置必点离离对称轴比较近。好，那接我们距离看来看一下这个外三，外三他是第二大了， 所以啊，他也比较靠近对称轴啊，他啊比 b 来的小一点啊，比 b 这个点， b 这个点是外二嘛？ b 这个是外二啊， b 这个是外二啊，那个外三要比他小一点，外三比他小一点，外三是在这个位置吧，这个是细点外三。 好，接着我们继续来看一下，这个外衣是最小的，最小的，他最远离对称走了，是吧？也最远离对称，这个是外衣啊，这个是 a 点，这个就是 a 点了， a 点 这是外一。好，那这个排布是长这个样子的啊，这样子的话外二是最大，外三的话就是第二大，外一就是最小了，他只能这么排列啊。那 a b 三点这么排完之后，那我们看一下满足这个条件。我们知道又接近对线轴啊， 越靠近对称轴，它是越大的，越远离对称轴，它是越小的，那么从这里可以看出来， b 是离对称轴是最近的啊。 b 离对称的距离是什么？ b 离对称的距离是等于一一减去 b 点的，很重要，对吧？所以一一减 m， 这个距离是要比谁来小？ 比 c 点离对称的距离来的小啊， c 点离对称的距离短， c 点离对称的距离是 m 加三减去一的，是吧？然后 a 点离对称的距离是最大了， a 点离对称距离最大，怎么求呢？那他是小于 a 点离对称的距离， a 点离对上距离是一一减去 a 点的。横中标，一一减去这个一一减去 m 减一， 是吧？那解这个不等式就可以了，这个就变成一减 m 是小于 m 加二了，然后小于这个二减 m 了，这个就是 解，这不能是主就可以一减 m 是小于 m 加二，那么 m 加二，它是小于二减 m 的，那这个解一下，我们看第一个式子，就是一项为二， m 大于负一， m 就是大于负二分之一的。第二个是指 m 约二， m 小于零， m 就是小于零的，所以解出来 m 是大于负二分之一小于零，所以这个答案就是 m 大于负二分之一，小于零就可以了。 好，那有一种讲 abg 四三零，我不知道怎么分布了呀？那也可以做，不知道怎么分布也能做，但是就是计算比较麻烦。那么知道不知道怎么分布的话，但我知道开口已经向下了，开口既然向下的话，我们知道 又远离对声越小，越靠近对声的就越大了，所以 y l 是最靠近对声中，它离对声的距离，它是最近的，对吧？ y 一 最远离对称轴，那么来一个求一下万一的对称轴，万一离对称轴的距离怎么求？万一离对称的距离是 m 减一减一的绝对值，因为你不知道在哪个位置，所以要加绝对值。我们 a b c 前面的方法是排完之后，那我们知道谁在前谁在后，就不用加绝对值。 这个是这个距离肯定带 y 三的距离， y 三的对称轴距离， y 三的对称轴距离是减一， 然后大于什么？大于 y 二的对称的距离， y 二的对称的距离是 m 减一的绝对值，是吧？那要求这个绝对值不等式 啊，这个也就可以变成两个方程，一个 m 减二的绝对值，他是大于 m 啊，加二的绝对值，这边是 m 加二的绝对值啊，大于这个 m 减一的绝对值，那这个的话就把两边都是平方就可以了，也 是可以做的。这个大于 m 加二的一个平方啊，这个是 m 加二的平方，大于 m 减一的平方， 然后把它解出来。啊，这两种方法都可以啊。第一种方法我们建议把 a、 b、 c 在抛物线排排列出来，那这样子的话我们计算量就小非常多，学会了吗？

二次函数横成立问题二大家好，我是北大数学霍老师，我们来看一下这道题的第二问。这是一个二次函数的横成立问题，如果 s 属于 r， 就可以用得二大来处理，但是这道题 x 的小区间负二到二，那就没法用得二大，那怎么办呢？因为咱的 fs 大于等于， 所以说只要保证 f i 最小子爱的人就可以了。那么怎么研究 f i 最小子的分类讨论？这是一个二尺八开口向上，然后顿轴负的二分为，然后这个区间负二到二。行了，你会发现我们需要分三种方法分， 第一种对应轴转轴，第二种在右，第三种在主驾。来吧，我们先讨论第一种情况，对应轴在左边的时候，你发现负二刀上，看到题中的负二对应的就是这条。来吧，让这个词大于等于 a， 就可以把 a 的范围求换，但这个词是咱的结果吗？不是， 为啥还得去交集，最终你发现 a 是出来的。来，接下来讨论第二种情况，其实是一样的，盾出来右边的时候，你发现富二刀上三角地捡到二吨呢，就是要当这个大一点的 a， 就会把 a 的范围， 然后再取交集，最终得到一个结果。来讨论第三种情况。第三种情况对应轴在中间，这个时候你发现错的二分之 a 对应的就是追项组。行了，那么这个大于等于 a， 就可以把 a 的放出来，再取交集。 ok， 我们分了三种情况讨论，最终得出来了三个结果，这三个结果应该干啥取，并进行了道题的答案又求出来了。来总结一下，如果是二尺排位的横轴 s 又属于一个小区间，我在分类讨论，你听懂了吗？

不等式横乘力求参数取值范围问题，我们来看这道题目说关于 x 的这个不等式横乘，力求 a 的取值范围， 那么这里边呢，咱们可以考虑，因为要求 a 的范围，咱们可以考虑先分离参数，把 a 单独分离出来。那么这里咱们首先可以一项， a 乘 x 是小于等于 x 乘 e 的 x 密，减去 n， x 减一， 由于这个 x 是对数的帧数，显然 x 是大于零的，所以我们把 x 除过来，拨打号方向不改变， a 小于等于 x 分之， x 乘 e 的 x 米减 l， n x 减 e， 那这个时候呢？这个问题就变成了什么？右边这个表达式大于等于 a 横乘力，那就相当于右边的表达式的最小值大于等于 a， 是不是？所以现在的问题就是求 这个表达是他最小值，那这个表达最小值怎么求呢？我们当然可以说构造一个函数，然后求导来研究他什么时候最小，但是我们看到这种结构，咱们构造函数求导的话，应该是比较 复杂的，是不是不太好做？那我们这里边咱们可以利用一个切线不等式，通过放缩的办法来求他的最小值。我们看我们非常熟悉的这个切线不等式， e 的 x 是密，是不是大于等于 x 加一， 当 x 等于零时，这个不等式能取到等号 是不是？那这里边呢？咱们有的是 x 乘 e 的 x 密，我们可以把它这样写，你看啊， x 乘 e 的 x 密，它可以写成这个 e 的 line x 蜜乘以 e 的 x 蜜，也就是 e 的 long， x 加 x c 蜜。好，我们现在你看把这个式子 e 的 long， x 加 x 蜜，利用上面的这个不等式， 你看现在这个 x 位置换成 l x 加 x， 那它就应该是大于等于 l n x 加 x 再加一，对吧？好，那么成立的条件转化成立条件就是当 l n x 加 x 等于零时 去等号，那我们看上面这个表达式，我们现在就可以这样去考虑，请看是 x 分之 x 乘 e 的 x， 是 me 减 l x 减一，那么把它进行放错，它就大于等于 x 分之，谁呢？是 l x 加 x 是吧？加一再减 l x 减一，正负消掉，是不是就得到 x 比 x 就等于一啊？ 那就是说什么呢？这个表达是是大于等一的，他的最小值就是一，什么时候取到最小值呢？当 l x 加 x 等于零时，能取得这个最小值一，所以我们得到最小值是一，那么 a 要小一等这个最小值，所以 a 就小一等一，所以正确答案就是 c 选项。

来看这样一道高一数学函数的计算题， fx 等于 a 减二倍， x 方加二倍， a 减二， x 减四，当 x 属于一到三的时候， fx 小于零，横成立， 那么求 a 的取值范围，那么首先对 a 进行讨论。第一种情况，当 a 等于二的时候，那么此时 f x 等于负四 小于零是很成立的，所以说第一种情况是可以的。那么第二种情况，当 a 大于二的时候，开口向上，那么本题二函数的对称轴为， 直线 x 等于负一 啊，直线 x 等于负一 对称轴。那么我们把这个大致的图像给画一下， 比如说这样一个图像一到三的时候，那么 f x 要小一点横成立， 这是一，这是三，一到三是递增的， 所以这个时候只需要让 f 三小于 等于零，因为旗杆里面是没有取三的，所以在三处是可以等于零的。小于等于零， f 三小于等于零，于是得到九倍的 a 减二， 加上六倍的 a 减二减四，小于等于零，所以十五倍的 a 减去， 这是十八，再减十二，再减四小于等于零，所以得到 a 要小于等于十五分之三。 三十四，那么大，前提是大于二。第三种情况 就是当 a 小于二的时候，那么此时抛物线开口向下对称轴线， 那么现在一到三上要小于零，这是一，这是三， 一到三单调递减，所以此时只需要让 f 一小于零即可，那么 f 一就等于 a 减二， 加上二， a 减四再减四，那么就等于三。 a 减十小于零，得到 a 小于三分之十， 那么根据同小区小，所以 a 小于二，那么第一种情况是 a 等于二成立，第二种情况是 a 大于二，小于等于十五分之三十四。第三种情况是 a 小于二。 综上所述， a 求病急。从负穷到十五分之三十时，三种情况求病急。

咱们来看这道题啊，这道题呢是二次函数的限制定律问题。 什么叫限制定律呢？就这你看 x 是不是给了一个他自己的这个取值范围啊，对吧？ 除了限制定律呢，还有一个名词叫做自然定律。那自然定律是啥意思呢？比如说，我再给你举个函数的例子，看见了吧，我在这个表述里并没有把 x 给出具体的限定，但是你也知道 x 加二必须大于等于零，对吧？那么 x 就大于等于负二， 定律，就是负二到正无穷，那么就这个我们就叫他自然定律。 限制定律。这个题怎么做呢？就这道题来讲，方法有两个，咱们先说那个简便的，然后再说那个 用二次函数来理解的事啊。方法一，哪个简便呢？就是用基本不等式，这个简便啊， x 是属于一到二的，对吧？那么就知道 x 一定大于零，那咱们来看 x 方加上 m x 小于零，这是已知条件，对吧？我可以把 m x 移向，移到不等号右边， x 方加四就小于负 m x 来，注意，我这是不强调个 m 大于零。当你在不等号两边同时除以一个 x， 除以一个大于零的数， 不等号不改变方向，所以我们这个不等式就变成了，左边是 x， 加上 x 分之四，右边是 fm， 然后他说这个不等式是 横成立的，你这样想啊，左边呢，这是个参数，你可以把它理解成一个具体的数啊，不是这个右边啊，这个 fm 右边啊， fm 是个参数，你可以把它理解成一个具体的数，那么左边呢？这个 y 等于 x， 加上 x 分之四，他是个函数，没问题，是吧？那么我们 要求的是这个负 f 比这个函数的函数值大横成立，你想想 函数值在这个函数里，他不是一个具体的数，他是变的，他是一个取值范围，对吧？你可以把这个取值范围这么多数想象的 他们在一个班级里边，那么这个 fm 呢？你就想象成，嗯，你就是咱们自己，那我如 我想比这个班的同学都高，那你想想，我就要比他最什么的高，最高的高是不就可以了，对吧？那我现在的 事情就剩了找到就这个函数的最大值是在哪里的最大值呢？一定要注意，是在 x 在一到二开区间上的最大值，那这个函数是是个什么函数？没有问题吧？这个函数是一个对号函数， 如果对对号函数没有理解的同学，你可以在这仔细听听啊。你想想， x 加上 x 分支 四是不是大于等于二倍的根号下，他俩相乘是不是？这是不是大于等于四啊？那当切紧当他俩相等时区等号，对吧？那 x 方等 等于四， x 还大于零呢，那 x 是不是得是等于二啊？那么这个对号函数就是当 x 等于二的时候， 哎，歪的几呢？歪的四，那这个就是最低点啊，那这个位置就是最低点，然后呢？对号吗？就大体画个这样的形状啊， 咱们现在的事情是这样的啊，要注意的是 x 题中给的不是全都要，只是要一到二开区间这个部分，那么咱们知道这个最低点是 x 等于二，然后呢？ a 这个位置是 x 等于一， 但是你看人家是什么区间开区间，所以就这两边的点都是空点，然后呢？哎，就是我画绿色的这个图像，这这一段图像是我们要的，对不对？ 那你想想，当 x 等于神谁时，取最大值啊？其实这个他是没有最大值的， 你看，就我上边画成粉色的这个点，他应该是最高点，对吧？但他是空的，所以我们取不到这个最高点，但是你取不到，说取不到的，我一会给他让出来就行了，但是 我研究得研究他呀，所以我们来看啊，就是当 x 等于一时，就这个 x 加上 x 分之四，会取到什么最大值吧。取到最大值几呢？ 那你算一下是不就知道了，是不就五啊，对吧？那你想想你这个 fm， 但是你要知道的事情，是啊，就是我们是取不到这个点的，就是这个粉色的点，他是个空点，那你想想，你 fm 可不可以等于这个五，因为你的这个函数值就是 x 加上 x 分之四十，取不到五呢？那你负 m 如果取五，那就比这些绿色的部分的那个函数值都大吧，对吧？ 所以你的 m 是可以等于五的，当然也可以大于五啊，所以负 m 的取值范围是大于等于五，那么 m 就小于等于负啊，这就是这个 m 的取值范围啊。 当时你写的时候咋写的？就像你这个可以不写啊，你就这么写啊，到时我都是给你讲解的过程，想让你听的更明白，当 x 等于一十，他加上 x 分之四，你就写就等于几啊，就等于五，然后你就写负 m 大于等于五，然后就这样表述就行了啊。 那么我下一个视频录第二种方法，其实这个题叫做二次函数的限制定律问题，对吧？他是个二次函数，所以下面 我们就直接用二次函数的讨论来解决这个问题啊。就下面那个视频，咱们还讲这个题，然后咱们用的方法就是二函数的方法。

鹏程利问题求参数的取值范围，我们来看这道题，已知对任意的 x 属于零的中穷都有这个不等式成立，让我们求 k 的取值范围。那注意到这里边这个式子里既含有指数结构，又还有对数结构，那我们可以考虑构造同构函数来解决这个问题。 那么由于 s i 零这里我可我们可以把这个不能是两边同时乘以一个 x 就变成 kx， ekx 加一 减去这个乘以 x 之后，应该是 x 加一乘以老 x， 因为这个 x 带领的，所以不等会方向不改变，我们把这个式子移过去，就变成是 kx e kx 加一大于 x 加一乘以老 x， 对吧？好，那这里边呢，我们其实可以 把这个 kx 给他进行一个等价的变形，我们把 eks 加一放在前面，这个 ks 是不是就可以写成乱 ekx 他大于 x 加一，对吧？好，我们观察这两个左右两边这个式子，我们发现这个结构是相同的，我们可以构造一个函数啊，构造一函数，我们另 这个 f x 让它等于什么呢？说得 x 加一乘以让你 x， 对吧？然后那么上面这个不能是左右两侧这个函数都是这种结构的吧？ 那我们现在要研究一下构造的这个函数它的单调性，我们可以把它求到，求到乘法导数，前面导乘，后面就是乱 x 加上前面乘，后面导数 啊，后面倒数 s 分之一，把这块打开乘一下就是一加上 s 分之一。好，那么这个呢？倒数他这个方程是什么？超越方程，咱们直接解不出来根，是不是怎么办呢？我们可以求他的二节倒 二阶档呢，就是 s 分之一减去 s 方分之一，同分 s 方分之 s 减一，那么他的极致点我们容易找到，这个是， 是吧？当他等于零的时候，这个 s 一一是他的极致点，然后大于是增，小于是减，是不是先减后增？ 那也就是说明什么呢？说明这个 fs 一撇，这个函数，他是先减后增，在这个一这个位置取得几小时，对不对？好，我们写在这边， f f f f 一撇，他的 极小值也就最小值，是不是就应该是 f 一一撇，我们把这个值求出来，一带入进去呢？是，这是多少？是二，他是大于零的，说明什么？说明 f x， 他的倒数是不是应该是横带零啊？他既然横带零，说明云海数 fx 是不是在零到钟穷上是单调低增啊， 对不对？好，既然是单调递增的，我们知道单调性之后，我们再看我们要研究的这个问题。这个表达是，其实他可以看成什么？左边相当于是 fc， 是不是 f e kx， 对吧？ 是他，右边就是 fx， 那么既然他大于他横成立，而我们刚才已经研究了， fx 在领导中全是单调递增的，所以我们可以把这个外边的 f 号给他去掉， 里边就应该是 eks， 恒大于 x。 现在咱们要求这个 k 的区域范围，怎么求呢？我们可以把两边同时取以 e 为底的对数，那左边就是 kx 了吧，大于乱 x。 好，因为 s 二零，我们把它 x 除过去，就是 k 大于乱 x bx， 那这个横长立等于什么呢？等于右边的这个式子小于 k 横长立，那只要他的最大值小于 k 就可以了，那这个最大值这个函数是一个我们非常常见的一个基本函数， 我们非常熟悉他当 x 等于一的时候，他是取最大时的，那么这个最大时应该是多少呢？一分之一，所以这个 k 的范围就是 k 大于一分之一， 好，取车范围就是一分之一，到账无情。