数学选修一向量α平行向量b怎么做

单招数学提分，一百题，带你提分，助你上岸！今天我们来看一下项链的垂直与平行试题，这类题目的话，他考的不难，但是呢，考的很多，请各位同学务必掌握。 如果说有两个项量， a 项量为 x 一、 y 一， b 项量为 x 二、 y 二。如果，如果说 a 项量平行于 b 项量， 只要他们首尾呼应 b 相等，也就是 x 一乘以 y 二等于 x 二乘以 y 一。如果说 a 项量垂直 b 项量， 那么他们相量依次相乘并相加等于零，也就是 x 一乘以 x 二加上 y 一乘以 y 二等于零。 ok， 那我们来看一下这两个题目。 第一题， a 项量平行 b 项量，那么他们两个项量的话首尾呼应并相等，也就是负四乘以三等于六乘以 x， x 的话就等于负二了。 第二题， a 项量垂直于 b 项量，那么这两个项量依次相乘并相加，号等于零，也就是三乘以四加上十二乘以 y 等于零， y 的话等于负一， y 的话就等于负一了。所以这个话就是我们下面的垂直与平行试题，你学会了吗？记得点赞关注哦！

好，上课，同学们，好，同学们，请坐，我们上节课呀，学习了像样的加法，有同学可以帮我们回忆一下像样的加法法则是什么吗？好，第二排的这位同学，你来回忆一下吧。 啊，你说啊，向量的加法法则有两个，一个是平行四边形法则，一个是三角形法则。三角形法则指的是首尾相接两个向量，一个是向 a 向量 b， 先让他们的首尾相接，然后呀，在首尾相连。 糟糕的，这个就是向量 a 加上一个向量 b。 好，平行空间行法的啊，是共起点，要把两个向量 a 和向量 b 平移到共起点的这个位置，然后以向量 a 的向量 b 为零边 平行四边形，然后再把他们的对角线相连，得到的就是向量 a 加上向量 b。 好，回答的很好，请坐。那么本节课呀，我们将继续学习向量的减法运算。 我们类比着数的减法运算，我们大家都知道减法是加法的逆运算，减去一个数等于加上一个数的相反数。那其实呀，向量也是如此的， 减去一个项量等于加上这个项量的相反项量。所以啊，我们先来介绍一下相反项量的定义。 我们大家都知道，相反数是大小相等，符号相反没错，那么相反相量啊，一定就是长度相等、方向相反的相量，所以相反相量的等 争议就是长度相等，方向相反的相量。那我们对于任何的一个相量 a 呀，那他的相反相量就是在前面加一个相反符号就可以了，就记做四的相量 a 的相反相量。那我们规定啊，零的相反相量啊，其实 还是零。那我们知道数的运算中，两个数如果互为相反数，它们相加的零 零，对，没错，那如果两个项量是相反相量的话，那他们相加到多少呢？那就是项量 a 加上一个项量 a 的相反项量。其实找到的结果啊，是零项量。 那我们再来想一想，如果一个数的相反数，再取相反数的话，就等于这个数没错，等于它本身， 那么向量也是如此的，如果一个向量的相反向量，再选一次相反向量，那得到的就是这个向量本身。好，这是相反向量的一些小性质。接下来呀，我们来看一下向量的减法运算。 我们知道，如果向量 a 减去一个向量 b 的话，就可以把它写作向量 a 加上一个向量 b 的相反向量，那我们对于任意的两个向量 较量 a 和相量 b， 把它转化成相应的加法。在加法加法预算，我们在上一节课已经学了三角形法则和平行四边形法则，那么请大家前后四个人为一个小组来推， 看看能不能得到项量减法的运算法则。好，现在开始时间到，有哪个小组愿意来分享一下呢？好，最后一排的那个小组的同学，你来说一下吧。哦，你是先把两个项量 ap 平移到共起点， 这是项链 a 和项链 b 是一道工序啊，但是他要加的是 a 项链，加上一个 b 项链的相反项链，我们再把 b 项链的相反项链画出来，方向相反，大小相同，这个就是项链 b 的相反项链。 那由此呀，我们要得到向量 a 加上向量 b 的相反向量，就是以他们两个为明边做平行四边形，再把他们的对角线相连，得到的这个就是向量 a 加上一个向量 b 的相反向量。好，那又由我， 我们是以这个边为平，就是做到平行四边形，那其实他们两个也是平行起相等的，由此呀，我们把这一块一连，好像这个四边形也是平行四边形。由此呀，这一段 也可以理解成项量 a 加上项量 b 的相反项量，我们可以直接把它吸附 a 减 b。 好，那么我们已经得到向量一减去向量地的结果了。那大家能总结一下规律吗？因为下次我们遇见向量一减去向量地，不可能再这么麻烦的计算了，我们要找到又快又简便的计算方法，有同学可以总结一下吗？ 好，靠窗户的这位男生，你来说一下吧。哦，你，你的理解是，先把香港 a 和香港 b 位置，然后呀，由减向量指向被减向量，就得到了向量 a 减去向量 b 的结果。很好去做，那我们把减法的运算法则来总结一下，那就是共起点， 就是共起点，将把它移到公共的起点，然后呢，由减销量指向被减销量。 好，那由此啊，我们就得到了减法的法则。我们趁着拿铁来做几道例题练习巩固一下。 好，这有三个例题，请大家求出这三个例题吧。向 i a 减去相当 b 的结果，大家先自行在草稿本上计算一下。好，时间到有哪位同学愿意来分享一下呢？好， 这位同学，你来说一下吧。我们先来看第一个，你是利用减法的法则先把它移到共起点，那就是向量 a 和向量 b 平移到共起点， 然后呢，由减向量指向被减向量，被减向量是 a， 向量 a 是被减向量，由此啊，是由向量 b 指向向量 a， 找到这个就是向量 a 减 b 和向量 b 的结果。好，再来看第二和第三。第二和第三啊，是两种特殊的情况，是向量路线， 一种是横向，一种是反向。我们先来看第二个横向，也是把它移到共起点， 然后呢，由减向量指向被减向量，被减向量是 a， 那么我们就是由 b 指向这一小段，就是向量 a 减去一个向量 b。 好，再来看第三个 相量贡献，而且是反向的情况，还是平移到共起点，这个是相量 a， 这个是相量 b。 好，共起点了，由减相量指向被点相量，那这个就是被减相量。相量 a 减去一个相量 b。 好， 那我们已经计算完毕了，很好，请坐，到此为止啊，我们本节课马上就要告一段落了，有没有同学来总结一下我们本节课学到了哪些知识，有哪些收获，或者还有哪些疑问吗？ 好，倒数第二排的男生，你来说一下吧。哦，你知道了，向量减法的运算法则是由加法类比过来的，减去一个数，我们加上一个数的相反数，由此呀，就可以把减法转化成了加法，就得到了向量减法的运算法则 就是先把两个像量移到共起点的位置，再由减向量指向非减向量，就得到了减法的结果。而且呀，还体会到了小组合作学习的快乐。很好，请坐，那我们本节课的作业就是我们课本的习题。好，下课。

单招数学的向量垂直与平行试题，三十秒带你掌握。第一个是垂直试题，垂直就是向量依次相乘并相加等于零就是负一乘以三，负三加上二乘以 m， 二 m 等于零，二 m 等于三， m 等于二分之三，这道题直接写出来。 第二种平行式题就是首尔呼应并相等，那这个手乘以这个尾，负一乘以 m 等于二乘以三，这个尾乘以这个手就是六。负 m 等于六， m 等于负六。这道题直接写出来，你听懂了吗？

高镇教授解数学，朋友们大家好，我是高镇教授，今天我们跟高二同学分享一下你们这个选择性必修的这个第一站， 空间向量与立体结合啊，来看这个漂亮的题目啊，有一个正方体， 咱们正方体如图，这个白色的这一个啊，是一个正方体，那么背一个平面截出一个四边形 abcd， 我们这个四边形 abcd 啊，这一刀向一把刀咔嚓就切过去了。嘿，那么跟这个白色的正方体的四条侧轮啊，当然就有四个焦点啦，是吧，那题目提供的条件是 b 跟低哈， 是零的终点啊，是人编的终点，这个一呢是这一条 侧轮的终点，这个 d 呢，是后面这一条虚线侧轮的终点，然后还有一条线 ea 比耶夫等于一比二， ok 一点在这里一 ab 哈，这个 af 就是这两段线段的长度跟抵押这一段比，这一段呢，是一比二。那各位同学注意看一下啊， 这个教授写这个一，并不是说他的绝对长度是一厘米啊，或者是一米啊，他只是一个比例关机。教授呢，偷个小两步就写一撇一普拉比上二普拉的意思好了， 那么要求什么东西呢？要怎么求呢？扣上角 d a b 等于多少？ d a b 角是这个角对不对？我们假设这个角叫做细塔好了好不好？那就是要求呢，细塔的余弦直 考上一角 b a b 等于多少？那这个问题我们要怎么思考呢？咱们还记不记得 项链的数量机，来帮大家复习一个啊？项链的数量机有两个，项链 a 项链跟 b 项链夹角是 c 的， 还记不记得他的数量计公司啊， a 倒特 b 等于绝对是 a 乘，绝对是 b 乘，考赛西塔对不对？所以这个考赛西塔塔，这个考赛西塔就等于什么呢？很简单啊，把绝对 a 绝对是一搬到的二左边，那么就跑来分我的，哦，原来我们就是要用这个购物室来一球。好，上讲 dab 的， 这里面的项链 a， 项链 a， 那么我们就可以想象是什么呢？想象成项链 a d 是不是还有什么呢？还有项链 a d 对不对？好的，那么项链 a d 把它视为项链 a， 项链 ad 呢？可以看作项链 b 对不对？然后呢，这个角度口算系啊，就是 a 到的 b 除以绝对是 a 绝对值 b， 这样懂了吗？那些问题来了， 项链 ab 跟项链 ab， 我们怎么样列出他的代数式呢？ 记住， ok， 我们在下面数量计的公式， a 到的 b 等于绝对值 a 乘绝对值 b 乘口算系的，这个是数量计的定义， 那如果项链 a 跟项链一哈，他有 xya 三个方向的分量，比方说，项链 a 呢三个分量是 a y a 兔 a 三啊，三种哈， 那么下面咪呢？他三个方向的分量呢？一是为咪外咪兔啊 b 三，嘿，那么你们也可以想成 v 一 b 二 b 三 a l a 三，那么这两个项链的数量基啊嘿， a doctor a 这个 a 到头 b 会等于什么？在计算上就是 a 万乘 b 万 a 一乘上 b 一，再加上呢？ a 二乘 b 二， a 二乘上 b 二，然后再加上呢？ a 三乘 b 三， a 三乘上 b 三。好了，那各位同学，这个就是数量级的第二个计算公式啊， a 动的 b 就等于 a 下量的 x 分量，呈上咪向亮的 x 分量 y 分量乘 y 分量， z 分量乘 z 分量，然后把它加起来。好的，那么这两个公式复习 好了以后呢，我们就继续下面的解题步骤，首先一定要把哈整个题目呢的图形啊，坐标换， 什么叫坐标啊？在这个图形上，我们要找出一个什么三度空间三轴坐标系统，然后找出一个圆点，那么这个圆点最容易的就是这里啊， 是不是？好的，那么这样的话，你呢？这个点单坐远点，那一个是走，我们可以想象是这个位置啊， 是不是这个轴好不好？这个点呢叫做，如果把它命为 o， 那么 of 射线就是 x 轴，对吧？然后呢这个呢？哎，这一条射线呢，我们假设是 y 轴， 然后呢往上的这个上升的这个呢，就是这一种， 好，这是 f 点对不对？我们现在用到了 abcdef， 那这样好了哈，我们把这个点呢就叫做 g 点， ok， 那么这个点呢叫做 h 点， 所以现在呢， o f 射线就是 x 轴， og 这个射线就是 y 轴， o h 射线呢，就是这个 z 轴， ok， 好了，那么三轴确定以后呢，我们还要找一个长度啊，对吧？ 最简单的就是怎么样呢？这个是正方体嘛，是吧，那这是终点呐，第一也是终点呐，那这样我们就剩每边的长度呢，是二 哎，既然他是一个正方体，题目说哈，这是一个正方体，对吧？那每一边的长度是二哦，那各位同学， of 的长度就是多少就是二啊，对不对？ og 的长度是多少？ og 的长度呢也是二啊，是不是？那么 oh 的长度是多少也是二哦，知道吗？ oh 的长度是二，那么既然如此，第一点是 o h 的终点对不对？所以 o d 的长度就是多少，这一段的长度不就是一一吗？ 是不是？然后这个 b 呢，也是这条车轮的终点，那么这个呢，长度呢？不也是一？哎，那这样定好了以后哈，就很容易定出 a、 b、 d 三点坐标，对不对？那你看 a 点坐标应该是什么？ x 坐标是不是二？同学们看这里啊，这个 a 点头有个大 x 轴是 f 点，那么这 f 点离远点是二嘛？说 a 点的 x 坐标就是二， 然后记住，哎，那么 a 点的 oi 坐标同样现在可以看出来了哈，这个 eaf 还有 obh 这个平面呢，他是在 xz 这个平面上，那么在这里 平平面上的每一个 y 的坐标指都是零啊，这样懂了吗？好，那么这一坐标呢？ a 点的这一坐标，记住哎，因为 ef 长度他是二， 那么 a 点呢，占这一个侧能长度二的三分之二，那才是三分之四， 这样懂了吗？所以一点坐标知道了，是二零三分之四。那 v 点的坐标呢？ a v 点在这里，你看 v 点的投影到呢， x y 点位是这个点，那么同样这个点的坐标是多少？ x 坐标是二， 对不对？那 y 坐标是多少？这个 x 坐标，那 y 坐标是不是也是二？那这一坐标当然是零啊，这个点的 坐标是二二零，那 b 呢？那 b 是往上升啊，所以 b 等的 z 坐标是多少？一嘛，所以 b 等的坐标就是二二一，这样看懂了吗？哎，注意，你看一等的坐标 就是二二一。同理，我们再来看第一点的坐标，那么这个第一点哦，投影到呢， x y 零点四十元点哦，所以第一点呢， x 坐标是零， y 坐标也是零， 但是这一坐标是一啊，为什么？因为 od 这一段的长度是一嘛，所以第一点坐标就是零零一。好了，那么一点坐标你知道吗？是二零三分之四， 第一点坐标是二二一，第一点坐标是零零一，如此我们就可以算出 a b 下面啊，那么 a， b 下面是 b 坐标，写 a 坐标，所以同学们看一下，二减二零，然后这个二外坐标减外坐标 二减零，这个是零一减三分之四是负三分之一，那么零二负三分之一就是 a d 下量的 x， y， z 三个方向的分量。同理， a， d 下量呢？是这个 d 坐标减 a 坐标来 d 坐标 x 坐标零减这个二，所以是负二。那么 y 分量 ad 相量的 y 分量呢？是 d 的歪坐标零减， a 的歪坐标零，那零减零，所以是零。 那么 ad 下面的 z 分量呢？就是低点的 z 坐标减掉 a 点的 z 坐标 e 减三分之四，负三分， 谁是不是啊？所以是负二零负三整齐。那这样就简单了，你看 ab 下量的三个分量是零二负三分之一。那我们要求下量 ab 下面 ad 夹角的余弦呢？ 项链 a b， 项链 a， b 夹角的余弦，那不就等于带这个公式吗？是不是？你看这个系统的 posa 是 a dot b 除以绝对是 a， 绝对是 a， 那给我说，那 a dot b， 那么就是项链 a， b 爆腿项链 ad。 那么再用这个公式啊， a 项量的三个分量是 a 一， a 二， a 三咪项量的三个分量是 bb 二 b 三，那么 a 到的 b 就 a 一乘 b 一，这个加 a 二乘 b 二，这个加 a 三乘 b 三，这个那么就是什么呢？哎，是不是零乘负二 等于零，加上二乘零等于零，加负三分之一，乘负三十分之一就是正九分之一啊，就是这三个数字啊，然后绝对是 ab 呢，那么大家就是开一个闹零的平方，加二的平方，加负三分之一的平方，对吧？就是四加九分之一， 那么绝对是 ad 呢，是不是这个开个大负二的平方等于四嘛？零的平方等于零，负三分之一的平方九分之一，所以这个数字算出来就是我们的答案了， 有吗？所以算一算，你看啊，那种凡分数分子是九分之一，那么分母开出来都是九分之三十七，那么这个，哎，内向成内向，外向成外向，是不是？但是九十分三十一，内向成内向，内向相乘为分五， 外向相乘为分子。那因为这个酒啊，跟这个酒们可以约分啊，是不是用酒约约分之一嘛？所以一乘三十七，内向相乘为分五，外向相乘为分子。所以你看最后的答案就是多少，三十七分之一 就是 pose i 角 d， a， b 最后的结果了，这就是我们最后的答案，这样有没有很清楚这一题我们分享到这里， ok， 关注、点赞加推荐！

这个视频我来讲讲空间项链的线性运算，你已经学过，平面项链就是这种既有大小又有方向的线段，在空间中他就是空间项链，可以用项链 a 表示，或者项链 ab。 和平面相量一样，相量的膜就是相量长度，如果膜为零，就是零相量。如果两个相量方向相同，或者方向相反，就是贡献相量，也叫平行相量，即做相量 c， 平行相量地相量 m， 平行相量 n， 而零相量和任意相量都是贡献的。 不仅这些概念和平面相量一样，运算其实也是一样的。先看加减法，同样是三角形法则和平行四边形法则，比如平行六面体中，要算项链 aa 一撇，加项量 d 一撇， c 一撇， 他俩不在一个平面内，所以先把这个项链平移到这，就转化为他俩相加，根据三角形法则，就 等于项链 ab 一撇。像这样两个项链不在一个平面内，你就先平移到一个平面内，再相加。再比如项链 aa 一撇，加项量 ab， 加项量 ad 又等于啥呢？先看项量 aa 一撇，加项量 ab， 根据平行四边形法则，就等于项量 ab 一撇， 把它再加上向量 ad， 根据平行四边形法则，就等于 ac 一撇。搞定。再来看个减法的，比如向量 aa 一撇，减限量 ab， 方法也不变，减限量 ab 就看成加上向量 ba， 他俩相加，就等于向量 ba 一撇。 除了这些加减法，还有数乘项量也是一样的。已知项量 a 那两倍的项量 a 方向和项量 a 相同，长度是 a 的两倍，而负三倍的项量 a 方向则相反，长度是 a 的三倍。总之，这些都是咱学过的，接下来做个复杂点的 题吧。先画出图，这是举行 abcdpa 垂直面 abcd 这一位三角形 pac 的重心要求的是三分之一乘相量 ab 加相量 ad 加相量 ap。 咱一步步来先算项链 ab 加 ad 显然等于项量 ac， 把它再加上项量 ap， 根据平行四边形法则，就等于项量 ae。 这三个相加得项量 ae， 别忘了还得乘个三分之一。所以接下来找出三分之一项量 ae 等于啥就行。不难发现，其实就是 ag， 咱来证明一下。首先， af 显然是三角形 pac 的中线，那肯定过这这个重心，根据重心的性质，像量 ag 就等于三分之二像量 af， 而 af 又是 ae 的一半，所以把像量 af 写成二分之一像量 a， 一两个二约掉就得三分之一像量 a。 ae 相量 ag 等于三分之一 ae， 也就是限量 ag 等于。这个式子搞定。解决这道题，关键就是利用重心的性质，限量 ag 等于三分之二 af， 也就是三分之一 ae。 好了，以上就是空间限量的限行，运算和评论的方法都是一样的，我就讲到这，赶紧刷题去吧！

好，上课，同学们，好，同学们，请坐！在本节课上课之前呀，我们先来回忆一下我们之前所学习的平面项链贡献定理，有同学还记得吗？ 好，第二排就会穿红色衣服的女生，你来帮大家回忆一下吧！哦，你说呀，若 b 项量平行于 a 项量，则存在唯一的实数达入塔， 使得呀 b 等于销量， b 等于一个两百倍的销量 a。 好，回答的很好，请坐。这个就是我们之前所学的平面销量贡献定理。 那平面项链公线定理到底用来表示什么呢？他的意思呀，就是对于一个平面内有任意一个项链的意义，只 只要和一一贡献的这个项链，任意一个项链只要和一一贡献都可以用啊。这个任意一个项链等于兰卡贝的一一去进行表示，那这就是平均项量贡献定理的一个表示。 那么请同学们再想，如果啊，在这个平面内有一个不贡献的香料 a， 这个香料 a 和一不贡献，那他还能用一一去进行表示吗？ 很显然是不能的，那他至少能有几个项链去进行表示呢？对，回答的很好，至少有两个项链进行表示，那这项两个项链可以贡献吗？ 当然不能，如果他俩贡献的话，那怎么说还是只有一个项链，那我们再取一个不物献的项链一二，那这个项链 a 能不能由一一一 二进行表示呢？那他们又该如何进行表示呢？这就是我们今天这节课要研究的一个内容，平面向量基本定理。 好，那我们先来想一下我们物理中学过力的合成与分解这个物理模型，我们先来回忆一下这个模型，看看能不能从中得到启示。 我们先给出一个任意的立 f 呀，我们可以做平行四边形法则，把这个立 f 分解成两个立的和立 好这个 f 呀，就可以分解成这两个立 f 一和 f 二，哎， f 一和 f 二的合力就是 f， 那么 f 呀，可以分解成 f 一 f 二。那大家再来想，在这个例子中啊，这个项链 a 可以类比于 右边的这个例子，由一一一二去进行表示吗？那这个表示唯一吗？又该怎样的表示呢？接下来啊，我们来一块探究一下， 对于一个任意的销量类，我们看一下能否由无贡献的销量一一二来进行表示， 而且啊，这个表示我们一定要看一下是否唯一。好，那请同学们啊，前后四个人为一个小组，一起来探究一下这个问题， 时间到，有哪位小组愿意来分享一下呢？好，最后一排这个男生，你来代表你们小组回答一下吧，回答的很好，请坐这位小组呀，这位同学刚刚代表他们小组回答了一下他们讨论的结果，我们一块来看， 他们俩是首先把一 a 和一二平移到了共起点的位置，把他们三个平移到共起点，然后呀，把 a 进行分解，根据这个例的分解，把相量 a 进行分解做平行四边形法则，交这个一一与 n 点， 然后再做平行四边形，宝宝教这个一二五的 m 点。由此呀，我们就可以看出来，这个 a 项链他就可以写作 on， 加上一个 om， 又因为啊 on 和一一贡献， om 和一二贡献，那 on 和 om 不就可以用一一一二进行表示吧， 那 on 呢？就可以写作蓝卡一倍的一 om 呀，就可以写作蓝卡二倍的一二。 那我把 o n 和 o m 再带到这个式子里边，我就能得到香料 a 啊，它就可以写作南塔一倍的一一，加上一个南塔二倍的一二。好，这刚才我们说的是一一一二不贡献 a 也和一一二不平行的情况。那么接下来我们来看一下特殊的情况， 如果 a 项量 a， 它平行于一一或者一二的话，那这个 a 项量还可以用这个式子进行表达吗？ 好，第三排的这位同学，你来回答一下吧。啊，你说可以，因为当他平行一一的时候，只要郎牌二等于零就行了。 a 项链 a 项量平行于一二的时候，只要郎牌一等于零就可以了。很好，请坐。好，那就是 第一个问题，同学们再来想一下第二个问题，那如果 a 销量等于一个零销量的话，他还可以用这个式子进行表达吗？ 好，同桌你来回答一下吧。啊，你说可以，只只要蓝牌一等于蓝牌二等于零，他依然是可以表达的很好，请坐。 那，所以啊，我们就发现了，在平面内任意一个向量 a， 不管 a 和这一面是否平行，不管 a 是否否平向量，那么 a 啊，都可以由这一个式子去进行表达。好，那同学们再来思考一下，这种表达唯一吗？还能不能用其他的方式进行表达呢？ 同学们啊，前后四个人可以围一个小组来继续讨论一下这个问题。好，时间到，有哪个小组的同学愿意来分享一下。好，靠窗的这个男生，你来说一下吧。哦，你们 小组啊，是用反正法来证明的是吧，他是先假设呀， 这种表示不为一，那如果这种表示不为一的话，那 a 呀，就可以等于六一一一加上一个六二一二， 就因为啊，他们两个表示的都是同一个项量，肯定是相等的，由此啊，我能把这两个式子相等，再进行整理就能得到六一减去一个难含义， 乘以一个一等于加上一个命二减去一个蓝盘二乘以一个一二等于零。好，很好，请坐。又，因为啊，我们来观察，一一一二肯定是不贡献的，那这两个项量相加要等于零的话，只有他们两个的细 技术等于零，也就是缪一减栏目谈一一定等于零， mu 二减栏目谈二一定等于零。由此呀，我们就可以达到缪一等于一个答么谈一，缪二等于一个答么谈二， 所以啊，这个表示他是唯一的。好，我们来回顾一下刚才的探究过程，来总结一下平面相关基本定律。 首先呀，我们事先有找出了两个不贡献的项量一和一二在平面中的任意一个项量 a 啊，我们都可以有实数郎牌一和郎牌二去进行这样的表示，而且啊，这种表示还是唯一的，由此啊，我们就可以总结出来了平面销量基本定理， 对于平面内任意两个不贡献的像样一一二，对于任意的像样 a， 存在唯一的实数 number 和 m r， 我们呀，就有 a 项量就等于蓝牌一倍的蓝牌一倍的一，加上蓝牌二倍的一二，并且啊，一一一二我们就称为一体性 好，这就是平面向量的基本定理，下面请同学们思考第一个问题，什么样的向量可以称之为金笔呢？ 好，倒数第二排这位同学你来说一下吧。啊，你说呀，不贡献的两个项链 可以成为基底，那零项量可以成为基底吗？啊，当然不能，因为零项量与任意项量都平行。很好，请坐。那在请同学们思考第二个问题，这个基底唯一吗？好，同桌你来回答一下。 哦，不，唯一，回答的很好，请坐。这个项经理是不唯一的。那在请同学们思考第三个问题，这个经理到底有什么样的作用呢？ 好，第四排这位同学你来说吧。啊，这个基底啊，是可以用来表示平面中的另一个项链 a， 并且啊，这种表示方法是唯一的。很好，请坐。那这就是我们今天学习的重点内容，平面项链基本定点 到此为止啊，我们本节课的学习马上就要告一段落了，有没有同学来总结一下，你在本节课学到了哪些内容，有哪些收获，或者还有哪些疑问呢？好，靠，过道的这位同学你来说吧。 啊，你说啊，由这个物理模型意义的分解，然后给我们的启示进行探究，就得到了平面销量基本定理，而且还体会到了小组合作学习的快乐。很好，请坐。那我们本节课的作业就是我们课本的客户信息。