数论基本证明

朋友们好，我们上一道呢，我们留了一个治浊和述的基本性质的证明， 那这道题怎么证明呢？我们来看这道题哈，他说 n 是大于一的正整数， p 是 n 的大于一的因数中最小的整整数，则 p 为速数，速数其实就是质数。那这种题型呢？其实我们想 他其实是一句废话，大家都能想得来，这个是问题，但是你不知道怎么去描述他，其实这也是一种学问，我们想，其实一眼能看出来的问题，或者说像废话一样的问题呢？我们用什么方法正呢？用反正反， 那反正法，我们首先要有一个什么假设，我们要设 p 为何数？ 那我们要想啊，如果 p 是何数的话，我们是不是一定能找到一个 q 比 p 小，同时呢它也能整出 p， 那我们又知道 p 是能整出 n 的，那我们根据咱们这个整出的传递性，那就说 q 也是能整出 n 的，对吧？我们通过前面就可以推出这样的。 好，那我们想，那这样子的话产生的一个什么结果？ q 是不是为小于 p 的 n 的因素， 于 p 是 n 的 大于一因数中最小整数？ 矛盾，对吧？矛盾了呀，他和这句话矛盾了，那你 q 是一个比 p 还小的 整数，同时他又能够整出 pn， 那他是不是就是相当于是 n 的更小的一个 因数的吧？所以它其实是和 p 为最小的因数是矛盾的。那进而呢？说明我们假设是错的， 因此假设错误，我们的原证明成立，对吧？这个性质是成立的。好的，感谢大家的收看。

好了，我们先来看费马小定理是如何证明的。首先呢，我们先来解释费马小定理，他是这样说的，若 p 为速数，速数就是质数一回事啊， a 为整数，则 a 的 p 四方和 a 模 p 同于。 它另外一个形式呢，就是说，当 a 和 p 互制的话，那么 a 的 p 减一次方 和一磨皮同于，这是一个飞马小定理的一个标准形式。那这个要怎么证明呢？首先呢，我们先来解释一下飞马小定理它是一个什么样的东西。就首先呢，你这个 a 和 p 要互制， a 等于什么？ p 等于什么？怎么样互制？那比如说 a 等于二， p 等于三的话，那么它就是什么？二的三减一次方应该和一是 摩三同于的，对吧？二十三点一次方就是四，四是不是和一是同于的？关于三，摩三是同于的。好，同理，我们再看。哎，如果 a 是五，哎， a 是六， p 是五， 那这个情况的话，那就是六的五减一次方，他应该是等于一千二百九十六， 那这个一千二百九十六呢，他是和和一是模五同于的。 我们再解释一下这个膜的概念啊，膜是什么呢？就是说他同时除以五的话，他最终的余数是相同的，比如说一除以五的余数一定是一，对吧？那么幺二九六，他除以五，余数一定是也是一， 那这就是非法小定律啊。但我们要关注到，他这个前提条件是 p 是质数，同时呢， a 和 p 要互制。那我们再来举一个，嗯，返利的情况呢？比如说 a 等于六， p 等于三，那这回 p 依然是质数， 但是 a 和他不后置了，会发生什么呢？他就是六的三减一次方，应该等于三十六，对吧？那他三十六显然不是 他魔三是多少呢？魔三是零啊，他是能整出三的，这是不是一个典型的返利？ 那我们再来看，那我们把它调调转一个个，我们把这个 p 变成一个非质数，比如我们给它给到四， 但是那个后置条件不变，我们给他一个三， a 的给一个三的话，连续两个数必然后置，这是最基本的一个原理吧。所以 三和四互制，但是四不是质数，我们看一下会发生什么呢？那就是三的四减一次方，他是等于三的三次方，也就二十七。二十七，他要我们要磨什么呢？磨四 模四，它余音余三呐，也不是余一的情况，对不对？所以我们可以这样说啊，就是说当它满足 a 和 p 互制，同时 p 为质数的时候， 那我们这个条件是一定存在的，一定存在，但是他们不满足的时候也有可能存在，也有可能存在。这个我们呃，暂时也不举更多例子，但是你要想他也 有可能存在，但是只有当他两两者皆满足的时候是一定存在的，这是我们能保障的一个情况。那下面呢，我们就下一个视频对这个原理进行一个证明。好，感谢大家收看。

大家好，今天呢给大家分享一个关于质数有无穷多个的一个证明方法啊，那么这里呢，我备注了数数啊，因为呢，在不同的教材里面啊，有不同的教法啊，质数和数数呢，本质上都是一个意思，那么在小学五年级课本里面就是学过了质数与合数这样一个章节的。 好，那简单要带大家回顾一下，什么是质数啊？质数呢，指的是能被一和他本身整除的自然数，我们把它叫做质数啊，比如说二二呢，是不是就是一二得二，他能被一整除，也能被二整除，对不对？二就他本身了啊，比如说五， 他只能拆成呢，一五得五啊，既能被一整除，又能被他自己整除啊，这样的战术呢，我们把它叫做治除啊，当然还有十一对吧，一乘十一啊，好，当然还有别的数啊，别的数呢，不是这样的，比如说你看到八，除了可以是一八得八，是不是还可以是二四得八， 除了一和他本身以外，他还有别的因数，对不对？好，这样的数呢，我们是把它叫做和数 啊，而刚才这样呢，我们是把它叫做质数，我们发现啊，质数是只有两个因数的啊，一个是一，一个是它本身。而合数呢，至少有三个啊，比如说九，你看 九是一九得九，还可以三三得九，对吧？这样的话，一三九都是九的因数啊，这样的，我们都是和数，和数呢，至少有三个因数啊，质数呢，只有两个因数。 而我们还需要知道一点啊，任何一个较大的合数啊，比如我们随便说一个七十二吧啊，七十二呢，他可以分八九七十二啊，而且呢，继续分的话，分解金数，他会发现二乘二乘二，而九呢，可以分成三乘三，这个时候我们说七十二里面有三个二因子 和两个三因子啊，二和三都是智因数，对不对啊？分解知因数呢，我发现他里面有啊，三个二因子和两个三因子，也就是说任何一个较大一点的和数，他都是可以分解知因数的，对不对？也就说一定是某一个质数的倍数。 好，那现在呢，我们来看到这道证明题啊，让我们去证明质数是无穷多个，那无穷多个不就是无数个的意思吗？对不对？ 那我们怎么知道质数真的是无穷无尽的呢？说不定我往大了找，找到某一个质数之后就再也找不到了呢？ 这里啊，我推荐大家一个最常用的办法叫做反正法啊，因为我们也不知道怎么去证明他是无数个，我们不妨反过来去思考，假设他不是无数个，而是有限个哈，我们看一下好，证明题呢，我们先写个正啊，我备注一下， 这个方法叫做反正法，所谓反重反正法啊，就是从反面去突破它啊，从反面思考，比如说我们假设 你说他是无数个，那我说不是啊，假设质数既然不是无数个，那么就应该是有限个 啊，就是有限个，既然是有限个的话，那说明肯定会有最大的质数，对不对？到了最大的以后呢，就再也找不到了，这样呢，他就是有限个啊，这个时候呢，我们可以把最大的次数 啊，我们用一个大写字母 p 来表示啊，表示为大写字母 p 啊，最大的质数为 p 啊，当然这是我们假设的啊，不一定是真的啊，假设质数是有限个，并且最大的质数为 p， 那么 只要比屁再大一点的自然数，是不是都应该是和数？因为我们假设它是最大的，后面就没有了，对吧？那说明后面的所有自然数都应该是和数。 这个时候我们要看啊，那比他大的所有数真的都是合数吗？我们不妨令啊，我们用大写字母恩来表示所有字数乘积啊，既然最大的字数为屁，对不对？我们把所有字数先给他乘起来啊，最小的是二、二、三、五、七和十一，对吧？好， 如果是有限格的话，那么最大的就是 p 啊，我们把所有质数乘起来，用大写字母恩来表示。这个时候我们知道，恩是所有质数的倍数啊，它是可以分解金数在本变成这个样子的，对不对？那说明，嗯，肯定什么？ n 肯定是合数，这是没有问题的。但是接下来你注意看啊，我们稍微让这个 n 啊去加一个一， 变大一点点。当我用 n 加一的时候，你会发现什么呢？由于 n 是所有质数的倍数，但是 n 一旦加了一以后，他除以这里所有的质数呢，都位于一。你看， n 是二的倍数，三的倍数，五的倍数， p 的倍数，那 n 加一呢？他是不是就是他们的倍数还多了一， 那就意味着 n 加一就不能被所有字数整出， 也就 n 加一就不再是他们的倍数了啊，不能被所有质数整除， 并且都于几啊，且于数 均为一啊，是不是除以他们一数都是一啊？那我们再想想啊，既然 n 加一不能被所有质数整除， 那不就意味着他不是他们的倍数啊，那不是他们的倍数，那我怎么分解金数呢？我们知道任何一个较大的和数，他一定能分解金数的，所有质数都在这里的，我又不是你们的倍数，那是不是就不能分解金数了？所以 n 加一就肯定不是什么呀， 他肯定不是合数了啊，如果你是合数，他肯定是某一个自行数的倍数啊，而我不能被所有质数整除啊，所以 n 加一不是合数。那么既然 n 加一不是合数，那肯定是什么呢？哎，而是质数， 那说明我们是不是又找到了一个字数啊？我们发现 n 加一也是字数啊，那刚才我们说 p 是最大的，而 n 加一呢？ n 加一，你看啊，因为 n 加一，首先它比 n 要大， n 呢，又是 p 的倍数， 他比屁又要大，那说明 n 加一肯定是大于 p 的，对不对？你刚才说 p 是最大的质数，而我发现 n 加一也是质数啊，那我岂不是找到了更大的质数？那这个时候，我们是不是与假设就矛盾了？我们因为我们找到了更大的质数啊，所以与假设矛盾。 好，那么也就说，如果我们假设是有限个，最大的是 p， 但是我又能找到更大的，那说明什么？与假设矛盾了，那说明质数就是无穷无尽。哥，好，所以通过反正我们发现质数啊，就是有无穷多个， 因为你假设是有限个，而我始终能找到更大的啊，这个时候呢，通过反面，我们就挣到了这个结果啊，说明我们就知道了，质数呢，就是无穷多个。当然这个 证明方法呢，到了高中和大学以后呢，肯定还有更多的别的政法啊，这个方法相对来说更常用，也更好理解。那么关于质数有何数呢？它是属于数论的范畴啊，我们叫数论，都是研究整数的啊，而数论呢，到了高端以后，特别是大学以后，如果是专门研究数论，那么在密码学里面是要经常去研究这个质数的， 而且我们知道质数是无穷多个，但是质数的分布呢，并没有明确的一个规律，也就说越大越难找，但是并没有很好的很明确的规律可以把它确定找出来。这也是这个哥德巴哈猜想啊，难以被证明的主要原因。 很多同学呢，不知道我们所学的数学呢，到底有什么用，因为在生活当中好像感受不到啊，其实，呃，最顶层的数学是我们普通人没有怎么接触到的啊，比如说在书论里面，经常是要用到最顶端的这个密码学里面去设计的啊。好，那么这样一个方法就分享到这里。

好，我们正式开始证明非法小定律，我们用自己的语言把这个再说一遍。那非法定律就是什么呢？他就说弱， a 和 p 互制，也说 a 和 p 的最大公元数为一，且 p 为质撇质数，那么 a 的 p 减一次方和 e 磨皮是同于的，看起来他好像很复杂啊，但是其实并没有那么夸张。首先我们想，嗯，首先我们说 一二一直到 p 减一，它们整体除以除以 p 的话，其余数 余数应该也为一二一到 p 减一，对吧？因为它不够除嘛，所以余数一定是这样子的，同时呢， p o 是一个质数，对吧？它显然是不够除的。那我们现在要证明什么呢？就是证明下证 a 二 a 一直到 p 减一倍的 a 除以 p， 这我们不写了啊，它余数也是一二一直到 p 减一，那怎么证呢？首先因为 e 和 p 互制，对吧？ 二和 p 互制，就是它是一个质数，它必然和其他比它小的均互制，这是不用说的。一直到 p 减一和 p 互制，同时 a 它也和 p 互制。 那我们想啊，不好意思啊，就是这块下证我们没写全，他应该是，就是他不是他除以 p 等于 余数一一定也是一二三一直到 p 减一，但不一定是按照一对应的顺序，他是 其中的一个排列是，我们是下面要正式的东西，大家可以根据我们的思路去往下看。那所以 a r a 一直到 p 减一倍的 a 一定与 p 也是互制的，对吧？也就是说余数不为零， 为什么呢？因为你 a 是跟它互制，对吧？你一到 a， e 到 p 减一，跟它一 一均互制，那他们乘起来必然也互制，对吧？因为你不一定不存在他们的因素嘛。那好，我们现在这样子，假设 有两个，一个 j 一个 k， 它是大于等于一的，小于等于 p 减一这两个， 那如果这样子，他，如果这是这么范围的一个两个数， j 和 k， 如果满足 j 倍的 a 和 k 倍的 a 磨 p 同于，那么 p 它一定是能够整除 k 减 这倍的 a 的，对吧？那么要因为 p 它一定和 j 减 k 是互制的，同时 p 和 a 也互制，那为什么和，诶，不好意思，是这个。倒一下，这应该是 k 减 j 同时 p 和 a 也后置，所以我们说 p 它一定和 k 减 j 倍的 a 是互制的，对吧？这是不是就产生了矛盾？所以矛盾 一定不会存在这样的情况， 所以 a 二 a 一直到 p 减一倍的 a 除以 p 余数 为一，二遇到 p 减一的组合。 好，那我们证实了这个之后呢，就很清楚了。那么所以一乘二乘三一直乘到 p 减一，它一定和，那么它一定是和 a 乘二， a 乘三， a 一直乘到 p 减一倍的 a 磨皮是同于的，我们这多画了一个道，磨皮是同于的， 那我们对它进行整理，那么一一直传到 p 减一，它就是什么呢？它就是 p 减一的阶层。 那右边呢？ a 一共是多少个？ a 一共是 p 减一个，所以 a 的 p 减一次方乘以一个 p 减一的阶层，一定是 抹 p， 同语，对吧？好，那我们两边都有这个 p n 的阶层，能不能直接画？显然不行，因为呢？为什么呢？我们给大家看一下这个公式啊。 所以那我们这要怎么整理呢？就是说因为这个 p 减一的阶层和 p 是什么关系呢？他俩如果求最大公元数， p 是一个质数的话，一一定是互制的。因为你这个 p 减一的阶层呀，虽然数很多，但是一定是没有 p 这个这么大的一个因数了，所以一定是互制的。所以 我们说，那你最后两边同时削掉，这个应该就是 a p 减一，磨什么呢？磨 p 除以一个 p 减 一的阶层和 p 的最大公约数。好，那它最大公约数是一的话，那就很清楚了。则 e 和 a 的 p 减一次方。 磨皮通语，也就是说我们可以交换一下，它标准形式就是记 a 的 p 字方和 e 么？ p 同于，那我们就正完了。好，感谢大家的收看。

这是一道比较有趣的初衷记载题，四个二的四个五次方与四个五的四个二次方相加，要证明他能被七整除啊。有同学用非常有趣的初衷知识证明了这个问题啊，大家也可以暂停挑战一下， 我们看看如何解决这个问题。用初中知识解决这个问题，需要有一定的因式分解的基础。现在回顾下，在因式分解状态里面，我们提到过的一种因式分解的方法 就是 x 等于四方减一，不管 n 是基数还是偶数，都可以因此分解。因为让他等于零的时候，我们可以得到一个减 x 等于，所以他可以因此分解成 x 减一 乘以 x 的 n 减一次方，加 x 的 n 减二次方，一直加到一，这个可以因此分解。实际上可以推出来 a 的 n 次方减 b 的 n 次方等于零，也可以因此分解。这个给分解成 a 减 b 乘以 a 的 n 减一次方，加上 a 的 n 减二次方，乘以 b， 加上 a 的 n 减三次方，乘以 b 的平方，一直到 b 的 n 减一次方。那这个可以应使分解的前提可以用这个推出来啊。 nx 等于 a 除以 b 就行了啊， 那么四就变成了 a 除以 b 的 n 次方减一等于零，他可以配成 a 除以 b 减一。后面 这么多啊，最后我们这把逼提出来啊，就能够形成分子部分的也是一样的， 也就说这个结构和这个结构从本质上讲是一样的，而这个结构有这个因，是证明什么呢？证明 a 的 n 次方减 b 的 n 次方被 a 减 b 整除， 如果 ab 都是整数的话，这个被这个整出。有了这个前提，我们再来回顾另外一个，至少那 x 的 n 次方加一是不是也可以应时分解呢？ x 的 n 这方加一等于零，当 n 是偶数的时候，无法隐私分解。当 n 是基数的时候，很容易观察出一个根 x 等于负音，也就是说它可以分解成 x 加一乘以一部分啊，那很显然，这部分是 x， n 减一次方，减 x 的 n 减二次方，加上 x 的 n 减三次方，以此类推啊。前提是 n 是基数， ok， 以这个为前提，那么 a 的 n 次方加 b 的 n 次方，在 n 是基础这个情况之下，他应该也可以因此分解啊。他可以因此分解成 a 加 b 乘以 a 的 n 减一次方，减去 a 的 n 减二次方， b 加上 a 的 n 减三次方 b 方， 他可以因此分解成这种样子啊。也就是说， a 等之方加 b 等之方，被 a 加 b 整出啊。 n 是激素。 ok， 有了这个知识点，就可以解决这个问题啊。 这个有个前提条件，嗯，是激素，看正量的说，要证明他被七整除，我们看看这个和这个跟七的关系啊。二二二二是等于 三幺七乘以七加三，而五五五五是等于七九三 乘以七加四啊，那这个有什么作用呢？注意这种结构啊，我们这个除以七与三，我们可以给他配 另一个除以七于四的四除以七刚好于四啊，他是零乘以七加四，也就是说，二二二二的五五五五次方加上四的五五五五次方，是被 二二二二加四等于二二二六整除的，而二二六刚好是三百一十八乘以七啊， 就是根据这个设置来配的啊，大家可以暂停体会一下。同意啊，这个五五五五的二二二二次方减去四的二二二二次方被五五五五减 四等于五五五一，他是等于七百九十三乘以七被七整除的啊，我们可以把这两下填进去啊，这个被七整除，这个被七整除已经证明过了，现在只需要证明这个被七整除啊。 如何证明这个呢？提一个四的二二二二次方出来，这个可以写成 他刚好是六十四啊，而六十四刚好是六十三加一，六十三是七的倍数啊，他是七乘以九加一一一次方啊， 这个肯定被气整出啊，因为他盛开之后是七从一块再加上一， 他在减一，他得到了数，肯定是七的倍数。那实际上这个题目有更简单的做法，如果知道点求鱼的知识的话， 五五等于， 然后这个除以七可以写成 七乘一部分，加三的五五四方， 七乘以 b 加四的二二二二次方，他们除以七的余数跟三的五五 五五次方和四的二二二二次方除以七的余数是一样的，而这个实际上可以写成七 b 加一减三啊，也就是说他跟负三的二二次方 加上这个除夕的余数是一样的，而三跟七有什么关系呢？三的平方等于九，三的三字方等于二十七，二十七刚好跟二十八差了一个一啊。三的三字方 刚好可以写成二十八减一，这个除以七刚好于负一，这个除以七刚好于一啊，他是负一乘以三的平方加上一乘以三的 平方，最终处于其余数是零啊。如果掌握了求于的知识的话，这个题目也是一道比较简单的题目啊。 ok， 更多的有趣的数学问题可以翻看我的合集和订阅我的账单，关注我，让学习变得更有趣的。

众所不周知，初等数论里面有四大定理，分别是费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理和威尔逊定理。这段时间，某些高考出题人似乎开始向数论伸出魔爪。作为我们国家数学教育的缺失，了解一点数论知识也不是坏事。这次我们了解的角度特殊一点， 从定理的名字以及历史发展的角度来看，在了解数论之前，必须要介绍同于的概念，这个符号是高斯引入的，可以说大部分数论定理几乎都与同于有关， 而且它的概念实在也不复杂。它的意思是说，选一个大于一的整数 m， 然后用它去除任何两个整数 a 和 b， 如果得到的余数相同，那么 a 和 b 模 m。 同于这个概念其实毫不夸张的说，小学就学过，你只需要知道除法余数的概念，然后再稍微总 总结一下，就是同余。比如我们小学的时候会遇到一些问题，今天是星期三，那么加七天以后是星期几？三加七当然是十，而如果你说星期十实在不妥，还是星期三计算星期几就是模七。三和十除以七的余数都是三， 所以是摩七。同余的这个概念实在不复杂，一说就懂，其实就是给整数分类，除以某个数以后的余数相等的分成一类， 术语叫做胜于类，胜者于也。再换句话来说，同于其实和相等有很多相似之处。从某种意义上来看，相等其实就是模式无穷大的同于呗。 所以很多加法和乘法的规则都是平行的。要是实在不懂，咱看看日历呗，每一列的数都是同于的。在这里来看， m 实际上是对数轴进行了折叠，很多不同的数被折叠到 同一点。说完同于，咱们该开始讲数论定理了。第一个是费马小定理。费马这个人大家很熟悉了，有业余数学家之王的称号。之所以说是业余，当然是因为他本职工作是律师，也没上过数学课，做这些都是纯粹搞着玩，但人家是真能搞，解析几何、 微积分、概率论、数论都有涉及。当然，一个历史上的科学家如果广为大众所知，要么是他的研究结果，大家上学都要学，要么是他足够有梗，其中典型代表就是薛定鳄薛老板。费马这个人毫无疑问也算是有梗的那一类， 因为他的众多谜语、人行为，费马的很多定理都没有证明，包括费马小定理和费马大定理。他往往是跟人写信说我有这个那个发现，然后这件事应该是这样，然后呢？然后没了， 你们自己去证明吧。为啥会取名叫小定理、大定理呢？无非就是小的被证明了，大的好久也证不出来呗。费马大定理实际上叫做费马最后的定理，意思是其他都证完了，就这个不会证。自从费马在丢翻图的书边角写下 我有妙证，可惜空小以后，大家花了三百五十八年才搞出来。我个人认为费马是对自己的无穷递降法过于自信了， 其实他并没有挣出来。不过费马小定理好挣，我们接下来看这个。费马小定理是在说这样一件事情，随便给一个整数 a， 再给一个质数 p， 如果 a 和 p 的最大公因数是一， 也就是互制，那么 a 的 p 减一次方，模 p 为一。这里可能有必要说一下这个小括号，意思是两个数的最大公因数。最大公因数大家总不能昧血吧。如果是一，那么说明二者没有 有公因子，所以互制。一个书论定理的有趣之处在于，任何人都可以验证他的正确性。比如你选择 a 等于二， p 等于三，那么二的三减一次方，也就是二的二次方除以三一定于一。因为 a 是任意的， 所以我们可以选取任何恰当的数。费马小定理的一个优点在于右边的一，不论乘多少次还是一，这就为化简很大的指数带来了简便。然而费马这个老谜语人并没有给出这个定理的证明，还需要后人给他处理。这个守门员就是欧拉， 欧拉对于费马研究的每个问题都不会轻易放过，有一种说法是做数学问题要做欧拉以后的，因为之前的全给他做完了。欧拉仔细检查了费马的结论，并且证明了一个更强的结论，史称欧拉定理。当然，欧拉定理实在太多，跟人讲话 的时候应该叫数论里的欧拉定理。所以为啥飞马小定理和欧拉定理老是绑在一起，因为就是欧拉研究小定理时候，推广的方法是这样的，首先考虑小于屁的屁减一个余数， 然后用 a 乘他们，得到两个集合，我们可以证明这两个集合恰好便利了 p 的所有非零的余数。第一个集合瞪眼看就知道。 第二个需要一种类似抽屉原理的思想，首先他有批减一个元素，然后只需要说明两两磨批不相等，然后没办法了，只能占批减一个位置。 这个上次我们讲过了，这次简单一点，正如我们上次说的，虽然 k 乘 a 到底磨 p 等于多少不知道，但是全部乘起来还是知道的，所以我们直接乘得到这个结论。然后我们就得说到同于的除法，其实原则很简单， a 磨 b 同 于就相当于 a 减 b 整除 p， 你大不了就把等式写出来，然后看看除完是啥样就完事了。这个是底层逻辑，你总可以写成等式。然后等式的性质大家心知肚明，在表观上来看，就是两边可以直接除于 m 互制的因子。非常非常显然的， p 减一的阶程百分之一万和 p 互制，道理是阶程的数全比 p 小， p 本身是质数，那最大公因数最多是一碰瓷，碰上质数算阶程倒霉。放心大胆除，除完废马小定理就出来了。你说这玩意吧，说难实在不算难， 但是需要认识到，这个问题似乎不算简单。欧拉证明完费马小定理以后，提出了一个问题，这里的批如果换成任何一个数会怎么样？这就是第二个数论定理。欧拉定理。欧拉属于研究结果丰硕，并且任何 人总要学上几个，那种是所有人的老师。欧拉定理基本上就是把支数 p 换成了任何数 m， 但是代价是把支数也换成一个奇怪的东西。这个发函数是所谓的欧拉函数，他的意思是 你把一道 m 所有的数写出来，然后瞪大你的眼睛瞅看看于 m 互制的数有多少，这个数值就是所谓的 fim。 但是这个描述并不方便计算，比如我要计算发一百，总不能一百以下的数，瞪眼睛数吧。所以我们有欧拉函数的显示表达。 就像这样，首先你得将 m g 因数分解，然后不管 p 的质数啦。有一个 p 算一个 p， 全部取倒数用一减，然后全部乘起来，最后结果乘 m， 大功告成。这个式子之所以成立，基本上就是基于所谓容器原理。你把括号全部乘开，就会发现，其实是 m 先减去 除以一次的项，再加回来除以两次的，这样加回来减回去，最终得到了互制的数的总个数，理解不是很困难。当然我们可以举几个例子看看。比如我们算六，那直接套公式得到二， 然后把一到五全部写出来，瞪眼看哦，一算一个，五算一个，总共两个，很完美。再比如，任何一个知数 p， 那他就一个知因子，算一下就是 p， 减一正好就是费马小定里的指数。 从欧拉定理迅速回到费马小定理。欧拉定理的证明其实和费马小定理没啥太大的区别，也是取一个集合，然后用 a 乘他们，最后全部乘起来，两边约。只是这个时候就不能取一到 m 这些数了， 需要选取与 m 互制的数，或者说磨 m 的结果。与 m 互制的数，这个玩意叫做简化剩余系，有的地方会叫它缩细， 其实道理都一样，名词吓人而已。一个很明确的道理是，如果找一个知数 p， 那小于他的所有正整数都属于这个集合。所以之前的内容中，人们张口闭口缩细圆根， 只在吓人和制造焦虑，我觉得没意思，你要知道别人并没有听过这种词，如果名词胡脸，那和废马区别也不大。再者，看似高等的名词，说的再多也不见得有多厉害， 像欧拉这样把事情讲明白才叫厉害。我们说回来，其实和之前一样，选取的集合会稍微小一点，无非就是挑互制的，然后过程就是套路，总共发 m 个，然后全部乘 a， 最后全部乘起来，因为互制，所以放心的除吧。 欧拉定理证明完毕，我们总结一下，这两个定理其实是一脉相承的，讲究是饱和式打击，一个集合里面的数到底谁 谁是谁不知道，那我就把他们全程起来，这个结果是知道的，从这之间搞一些小动作，比如乘个 a 什么的，就能达到奇效。然而这又有什么用呢？我们说一个竖的很大次方，如果知道了，能够简化很多运算。现在我们简单讲一个应用， 就是公开密药的。而 sa 体制做这个事情需要四个数字， p 和 q 是两个质数，他们需要取得很大很大， a 和 d 分别是密药和解药。做法是首先把大质数 p 和 q 乘起来，得到 n， 然后算一下 n 得欧拉函数，其实也就是 p 减一乘 q 减一， 然后随便找到一和地乘起来磨它为一。准备好这些数以后，就可以传递信息了，我们会公开数 n 和一地，自己知道就行。现在随便一个其他人想要向我们发信息，那他的信息总可以变成数字吧。 假设为 a， 那么他先将他的 a 取一次方，然后取摩安的余数 b， 然后发给我们。当然这里的 n 肯定要尽量大， a 和 b 都需要小于 n， 这样就没有奇异了。现在其他人收到 b 是没有办法很快知道 a 的。 你说两边开一次根号，我只能说天才，不开玩笑。对于有 d 这个数的人，其实是很好解密的，只需要将 b 在 d 次方，然后磨 n。 因为 b 和 a 得一次方同于，所以同于到 a 得一 d 次方， 同于是可以随便加随便乘的。我们上面说了， e， d 选取的就是魔 fi， n 为一，所以写成等式是这样。接着将 a 独立出来，后面是 a 的 fi and k 次方。 欧拉定理上阵疯狂简化运算，结果就是后面的其实就是一的 k 次方就是一，结果就是 a。 这就是最简单的加密原理。 简单来说，有地就能解密，没地就难解密，原因就在分解大案，几乎没有办法，也就得不到 fin， 更不用说 d 了。当然现在的算法会更复杂，这里先不涉及了， 接下来我们看下一个数论定理。中国剩余定理。之前的两个定理基本上都涉及的是数字的规律，而后面的两个定理涉及的是式子的规律。是的，威尔逊定理看似是数，实际上是式子规律的副产物而已。中国剩余定理也叫孙子定理， 最早是在冬季时候，有本作者不祥的书，里面记载的不是那个孙子兵法的孙武。哦。这个书里面询问一个叫做物不知数的问题，其实就是问一个数，除以三于二， 除以五于三，除以七于二，问这个数是多少。当然这个数肯定有很多，但是最小正整数是二十三。此数 初中还拓展了这个问题，研究了除以三个任意数的同一问题，或许是三个就够用了吧。他没有提出最一般的理论，最一般的办法是宋代的秦九勺提出的。秦九勺在我初中的时候出现了两次，一次是代数式的秦九勺算法，一个是三角形面积的秦九勺公式。 我初中时候不好好学语文，天天玩三国杀，班主任数学老师就老考我些刁钻的问题，比如 tangent 在哪几个象限大于零，还有一些简单的高中问题和极限题， 琴九勺的三角形面积公式就是其中之一。当然大家更知道他的另一个名字，海伦公式。现在我们说琴九勺这个人，他可不是个简单的人。孙子定理被传到西方以后，康托尔称赞他为最幸运的天才，这可是拉格朗日称赞牛顿的话，因为万有引力定 只能被发现一次。科学史之父萨顿说，秦九韶是他那个民族，那个时代，也是所有时代最伟大的数学家之一。当然，因为中国古代对数学的贡献很小，虽然现在很多人叽叽喳喳， 但是这确实是事实，所以你从萨顿的话里面也能听出来一点嘲讽的味道。现在我们说一下为什么将其命名为中国胜于定理。 按照数论专家潘成栋的说法，西方之所以这样命名，是因为他们觉得中国古代对数学的贡献也就这一个，这是西方的一种轻视。如果真的是这样，那我们或许能做的是少玩梗，多学习。现在我们看一下秦九勺定理的形式。秦九勺定理是关于同于方程组的， 随便取整数 b 和 m 组成 k 个方程，意思是想求一个数， x 除以 m e 于 b， e 除以 m k 与 bk 秦九勺的结果是，如果 m 之间两两互制，如果不互制，其实可以拆成互制的。然后所有的 m 乘起来，得到整体的 m， 对于 mi 找到对应的大 m 和其逆。所谓的逆就是乘起来与异同于 其实除法，也就是两边成立准备工作做完后， x 就可以表达成这样，并且是魔 m 的唯一解，看起来就像串糖葫芦一样。 这个定理其实很好证明，直接将解验证即可，只要磨一下 m 一，那么瞬间就能得到 b 一。 至于唯一解，只需要假设另一个证明相等即可。按照我的经验，中国剩余定理的证明有解性似乎比给出界更有价值，只要把方程组一百，然后有解结数。当然他的其他应用可太多了，比如说密码学不过多缀数。接下来我们说最后一个数论定理。 威尔逊定理。这个威尔逊是何许人也？为什么在数学上就只有这一次出现？原因很简单，他后来没搞数学了。威尔逊定理首次出现在数学家华林的书中，那是一七七零年的事情。华林说自己的学生威尔逊有这么一个猜测，也没给出证明，不知道是不是对数学没啥兴趣。 威尔逊后来没学数学，跑去做废马的同行当法官去了。当然，这个定理也不难证明，一年后拉格朗日就挣出来了，然而后来人们才发现，又重复造轮子了。 这玩意一个世纪以前莱布尼茨就证明了，可是没有发表，所以还是给其命名威尔逊定理。作为最早的证明人，我愿放个来爷的话，让大家看看雄风。来爷属于工作比梗多的那种，咱瞻仰就完事了。威尔逊定理说起来很简单，对于知数 p p 简易的接成 摩 p 为负一就一个字母，我们验证一下，取 p 为三两的阶层除以三，确实为负一。值得注意的是，这个事情反过来也成立，如果一个数减一的阶程除以这个数于负一，那么这个数一定是质数。正因如此， 这个式子可以用来判定一个数到底是不是质数，但是也没啥太大用，因为阶层算起来更麻烦。威尔逊定理的证明其实是结合饱和式打击和逆源的， 前面我们总是两边除掉的，像其实内部总是两两乘起来，唯一除了 p 减一这个例外。有人会问， 为什么逆源必须存在？其原因需要追溯到所谓陪属定理上面去。简单的来说，只要和批互制，就有逆源，批下面所有的数都和批互制，然后两两配对消掉，最后把批减一补上，结果就是负一。我们会很明显的观察到， 这种饱和式成绩和费马小定理有联系。那能从费马小定理出发理解威尔逊定理吗？我们来看看。首先回望费马小定理，他说 x 的 p 减一次方减一于零，对任何 x 成立，只要 x 不是 p 的倍数即可， 那么它就是批减一次方程。然而我们已经知道了，批减一个减，无非就是一道批减一，那说明啥？是的，可以因式分解，这里在数论中也是可用的，也就是说，它可以分解为 x 减去所有根的乘积，这个式子中把 x 换成零，也就是威尔逊定理了。 所以我开头说威尔逊定理实际上是世的性质的简单推论，威尔逊定理其实并不是很常用，主要是阶层太难算，也没啥算的需要。但是因为是质数的冲要条件，所以有人会拿他整活搞质数的通向公式。比如说 这个其实某种意义上来说就是质数的确定通向公式，但是很明显，其实也就是一一检验是否满足威尔逊定理而已。这个式子是上个世纪六十年代发表的，但是看看就好，没啥用处，一堆取整还有接成。不如趁早洗洗睡了好了。到这里为止， 我们介绍了初等数论里面的四大定理，并且介绍了他们的一点历史由来。我实在不会总结，就这样吧，再见。

这是五年以上期末考试的一道压轴题目啊，难度较大，考场中做出来的同学还是比较少的。那为什么这么说呢？因为呢，这是一道非常典型的数论的题目，大家都知道啊，数论对我们数学思维能力的要求非常高，所以呢，今天帅老师带着大家我们来分析一下这个题目。 好，五年级学生参加表演活动，人数呢，是在一百到一百二十五人之间，如果六人一列或者八人一列，都正好能占整齐，没有剩余。好，五年级有多少人参加了这次表演活动？好，那这个题呢，我们先正向分析一下啊，相当于是我们 人数，哎，除以六对吧，或者是除以八，最后都除尽了。哎，因为按照题目的描述嘛，正好占整齐，没有剩余，这是第一步的 直观的表示。那么当然了，我们可以把它换成我们数论里边的表示方法，对吧？人数除以六，最后除尽了，说明我们人数能被六整除。答案，你可以换个描述方法，就是人数是六的倍数。好，那同样的道理呢，那我们人数呢，也是 八的倍数。好，那得到了这个信息之后，我们接下来可以做这样一个啊，推论就是，我们人数是什么来着呢？是六和八的公倍数。 好，这就考验同学们对于公倍数这个概念的理解了。到这之后，同学们可能又会产生一个疑问，哎，老师啊，我只学过最小公倍数，我不知道公倍数怎么求。哎，这个同学们啊，就属于思维不够灵敏了啊，我们在求公倍数的时候怎么办 办来着呢？要记住这个基本的逻辑，公倍数一定是最小公倍数的倍数啊，这句话虽然有点绕，但是呢，不是很难理解，那也就是说，我们在求公倍数的时候，一般来说第一步怎么办来着呢？我们先求一下六和八的最小公倍数。 好，那这样老师带着大家啊，把最小公倍数的求法再复习一下啊，常见的两种方法，一种是短除法，一种是分解知音数法。咱们今天先复习一下这个短除法。好，先除以二，这边是三，这边是四。好，除到这之后就可以了，然后最小公倍数就是二乘三 乘以四，最后等于二十四。好，先求出来最小公倍数，然后咱们说了吗，人数是公倍数，公倍数是最小公倍数的倍数，那所以呢，最后这个总人数应该是二十四乘以一个，是不是什么东西？好， 那根据题目的描述呢，也就是，哎，我们乘完之后要让得到的这个数啊，在一百到一百二十五之间。好，所以同学们简单的口算一下啊，二十四乘以谁在一百到一百二十五之间呢？乘以四不够， 乘以五刚好乘以六超了。哎，所以这个题最后答案就是，人数应该正好是二十四乘以五等于一百二十。 做完之后，同学们啊，别忘了，别忘了啊，为了保证我们的正确率，我们可以验证一下，也就是用一百二十除以六，除以八，看一看是不是都除尽了，并且验证一下一百二十是不是在一百到一百二十五之间， 验证之后发现没有任何问题，那我们一百二十就是本题的答案啊。同学们啊，数论这一类题目对大家思维的要求非常之高，同学们一定要尽量在这一部分多去思考思考，那么大家的数学能力就会在这个过程中得到质变的提升。