新课标高中数学基本不等式ppt

同学们好，我是来自北京市第二十二中学的数学教师马林。前面我们类比等式的基本性质，研究了不等式的基本性质及其证明和应用。 那么今天我们来学一个具体的不等式，基本不等式。我们知道乘法公式在代数式的运算中呢，有重要的作用，那么是否也有一些不等式，他们在解决不等式问题时，有着与乘法公式类似的重要作用呢？ 下面我们就来研究这个问题。在前面的学习中，我们利用完全平方公式得到了一类 重要不等式，任意 a， b 属于 r， a 方加 b 方大于等于二 a b， 当且仅当 a 等于 b 时，等号是成立的。 那么请同学们观察这个不等式，他的左边呢是两个数，平方的和，右边呢是这两个数乘积的二倍。 我们知道平方结构呢，对这个要求比较高，所以呢，我们是否可以想一想，用一个数字来代替这个平方结构呢？比如说，我们可以用 a 来替换 a 方， b 来替换 b 方， 那么当然这里要求 a 与 b 要是非复数，那么又因为 a 和 b 如果是零的话呢，这个不懂事，研究起来意义也不大。所以呢，我们要求 a 和 b 都大于零， 那么对于这个不等式，右边原本呢是 a 和 b 的乘积，那么既然我们用 a 替换了 a 方，那么用什么来替换 a 呢？ 所以在这里特别的我们就用根号 a 和根号 b 来分别代替我们刚才上市中的 a 和 b。 请同学们想一想，你可以得到怎样的柿子呢？ 下面我们一起来求解一下。将根号 a 和根号 b 分别替换我们原本 a 方加 b 方大于等于二 a、 b 中的 a 和 b， 可以得到根号 a 的平方，加上根号 b 的平方大于等 等于二倍的根号 a 乘根号 b， 也就是 a 加 b 大于等于二倍的根号下 a 乘 b。 我们再把这个不等式调过来，就可以得到根号下 a 乘 b 小于等于二分之 a 加 b。 这时我们就得到一个结论，对于任意的 a 大于零， b 大于零，根号下 a、 b 都是小于等于二分之 a 加 b 的，当且仅当 a 和 b 相等时，等号成立。 我们通常称这个不等式为基本不等式。其中二分之 a 加 b 叫做正数 a 和 b 的算数平均数，根号下 ab 叫做正数 a 和 b 的 几何平均数。那么从基本不懂事当中我们可以看到，根号 a、 b 小于等于二分之一加 b， 表明两个正数的算数平均数应该不小于它们的几何平均数。 好，那么你能不能利用我们前面学过的不等式的性质来去证明基本不等式呢？ 在这里大家当然可以去联系我们前面学过的实数比大小，可以用作差比较法来去证明它。 那么今天呢，老师要给大家介绍一种新的方法，叫做分析法。分析法呢，是我们数学中 一种常用的证明方法，他呢是一种执国索因的这么一种方法，就是要从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直到最后 把你要证明的结论呢归结为判定一个明显成立的条件。这个条件呢，可以是已知条件，也可以是我们原来学过的定理、定义、公理等等为止。 那么我们要证明的基本不等式，对于 a 大于零， b 大于零，要想证明根号下 a， b 小于等于二分之 a 加 b， 只要证二倍。根号下 a， b 小于等于 a 加 b， 那么要证二倍。根号下 a， b 小于等于 a 加 b， 只要证二倍。根号下 a， b 减 a 减 b 小于等于零， 那么要正二倍。根号下 a， b 减 a 减 b 小于等于零，就是要正负的根号 a 减根号 b 块儿平方小于等于零， 那么要正负的根号下 a 减根号 b 平方小于等于零，只要正根号 a 减根号 b 括号平方大于等于零， 我们可以看到根号 a 减根号 b 括号平方大于等于零，这个式子是显然成立的，并且呢，当且仅当 a 等于 b 时，等号成立。 那么这时我们只要把上面这个过程倒过来，就可以直接推出基本不等式了。 那么经历过上面的推导过程以后呢，大家可以看到，我们从要证明的问题一出发， 逐步去找寻每一个命题成立的充分条件，直至最后到五。这个式子是一个显然成立的公式。通过前面的证明过程，我们可以看到，我们经历了从要证明的问题一出发， 逐步寻求使命题成立的充分条件，直至最后归结为判定一个明显成立的公式五，也就是根号 a 减根号 b 括号平方大于等于零这个公式为止。这个呢，就是我们今天给大家介绍的分析。 那么下面请同学们想一想，我们在上面证明过程中，每一步推理的依据又是什么呢？ 比如说我们由二推一，也就是我们由二倍根号下 a 乘 b 小于等于 a 加 b 来推得，根号下 a， b 小于等于二分之 a 加 b， 是根据我们不等式的性质， 在不等式左右两边同乘以一个正数所得到的不等式与原不等式呢，是同向的。 这里呢，我们根据前面所学的中药条件的知识可以知道，这个二式应该是我们 一式成立的充分条件。那么由三式推二式，也就是由二倍根号下 a， b 减 a 减 b 小于等于零，推得二倍根号下 a， b 小于等于 a 加 b。 我们是根据不等式性质，在不等式两边同时加上正数 a 加 b 所得的不等式呢，应该与原不等式同项。这里我们根据前面的知识也可以知道，三式是二式成立的充分条件。 由四式推三式，也就是由负的根号 a 减去根号 b， 块平方小于等于零，推得二倍根号下 a， b 减 a 减 b 小于等于零。这里呢，我们是运用 完全平方差公式打开计算化减得到的。那我们也可以得出四式是三式成立的充分条件。 由五式推四式，也就是由根号 a 减根号 b， 括号平方大于等于零来推得负的根号 a 减去根号 b， 括号平方小于等于零。 这里呢，我们是根据不等式，在不等式左右两边同乘以一个负一，那么所得不等式呢，应该是与原不等式反向。 那根据我们前面的重要条件的知识，也可以知道，五是应该是四是成立的充分条件，显然我们五是是显然成立的，而且当且仅当 a 等于 b 时，五中的 等号是可以取到的。 那么经过上面的分析，大家能总结总结我们分析法的证明格式是什么吗？ 我们知道，因为分析法呢，是要从证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，所以分析法在书写过程当中呢，必须有相应的文字说明， 一般每一步的推理呢，都要用到要证什么什么，只要证什么什么的格式。 那么当推导到一个明显成立的条件之后呢？指出显然什么什么成立。 同学们，经过了从前面基本 不等式的代数解释，你是否能联想到我们从几何角度基本不等式也有背景和它来对应呢？下面呢，我们一起来探究一下。请同学们看我黑板上的这幅图， 在圆中 a、 b 呢是圆的直径，点 c 呢是直径 a、 b 上一点 a、 c 的长为 a， b， c 的长为 b， 那么我们过点 c 做垂直于 a、 b 的弦， d、 e 连接 a、 d 与 b、 d。 那么你能在这个图中分别找到二分之 a 加 b 和根号下 a、 b 所对应着哪条线段吗？同时你能从这幅图中得出 我们基本不懂事的几和解释吗？下面我们一起来看一下。 我们观察这个图形可以看到，因为 a、 b 是圆的直径，而 a、 c 的长是 a， b， c 的长是 b， 那么 a、 b 的长就是 a 加 b， 那么二分之 a 加 b 就应该对应着是我们圆的半径， 那么根号下 a、 b 又对应着谁呢？那么我们就要去想，在图中哪条线段有可能是由 a 与 b 的乘积构成出现呢？ 在这里我们比较容易能想到去证明三角形 a、 c、 d 与三角 形 b、 c、 b 相似，通过相似三角形当中对应边乘比例，我们可以得到 c、 d 的平方是等于 a 乘 b 的，那么 c、 d 的平方等于 a 乘 b， 也就意味着 c、 d 等于根号下 a、 b。 那么在这里呢，我们就找到了二分之 a 加 b 应该是对应着我们圆的半径，根号下 a、 b 呢，是对应着我们圆中弦长的一半，那么根据呢， c、 d 小于等于圆的半径， 我们就可以得出根号下 a， b 小于等于二分之 a 加 b。 当然，当点 c 与圆心重合时，也就是当我们 c、 d 等于半径时，我们就可以说上面的等号是成立的。 好了，在刚才这幅图中，我们从条件和基本不等式出发，发现了圆的半径长为二分之 a 加 b， c、 d 等于根号下 a、 b。 因此我们所学的基本不等式可以利用圆中直径不小于任意一条弦来得到解释。当且紧当我们弦过圆心时，二者相等， 我们把这个就可以看作是基本不懂事的几何解释。 前面呢，我们学习 起了基本不等式的定义，并且呢，利用分析法和不等式的基本性质，给出了基本不等式的证明，而且我们还学会了在图中给出基本不等式的几何解释。 那么下面我们来看一看利用基本不等式如何解决我们简单代数式的求最值问题呢？我们一起来看一下。利一， 已知 x 大于零，求 x 加 x 分之一的最小值。 请同学们观察我们要求的 x 加 x 分之一这个结构，我们发现这两个正数的成绩得一，那么联系前面学过的基本不等式， 我们可以利用正数 x 和 x 分之一的算数，平均数与几和平均数的关系来得到 x 加 x 分之一的最小值是二。 下面是我们解答的过程。因为 x 大于零，所以呢，根据基本不等式， x 加 x 分之一应该大于等于二倍的根号下， x 乘 x 分之一，也就是等于二。 当且仅当 x 与 x 分之一相等时，即 x 平方等于一，也就是 x 等于一时，等号是成立的。那么因此呢，所求的 x 加 x 分之一的最小值应该就是二。那么在这里呢， 老师要问大家，在我们写的过程当中，是否一定要写明当且紧当 x 等于 s 分之一，也就是 x 等于一时，等号成立呢？ 我们说是一定要写明的，因为只有当 s 等于一时，我们这个代数是 x 加 x 分之一，才能取到这个最小值二。 那么请同学们再想一想，如果我有一个 y 零， y 零呢，是小于二的，这时我们能说 x 加 x 分之一大于等于 y 零乘以吗？你能说 y 零就是 x 加 x 分之一的最小值吗？ 那我们知道，如果 y 零小于二的话， x 加 x 分之一大于等于 y 零确实成立，但是呢，我们找不到一个 x 零， 使得 x 零加上 x 零分之一呢，等于 y 零。也就是说你找不到一个 x 零，代入到 x 加 x 分之一中，使得他取到你这个 y 零。 那么所以我们 y 零小于二的时候呢，是不能说它是我们 x 加 x 分之一的最小值的，也就是说，只能当 x 等于一时，我们 x 加 x 分之一等于二，这个二才是我们 x 加 x 分之一的最小值。 通过立一的学习呢，我们知道，如果有两个正数，他们的乘积为定值时，我们可以求他们和的最小值，那么下面我们看一下这个立二，已知 x y 都是正数， 求证。第一问，如果 g x 乘 y 等于定值 p， 那么当 x 等于 y 时，和 x 加 y 有最小值二倍根号 p。 第二问是，如果和 x 加 y 等于定值 s， 那么当 x 等于 y 时，乘积 x 乘 y 有最大值四分之一 s 方。 下面我们先来看第一小题，如果两个正数 x， y 乘积等于 p， 那么当 x 等于 y 时，和 x 加 y 有最小值二倍根号 p。 在这里呢，因为 x 和 y 都是正数，利用我们前面学过的基本不等式，我们可以知道二分之 x 加 y 大于等于 根号下 x 乘 y， 又因为 x 乘上 y 呢，等于 p， 所以呢，我们可以得到二分之 x 加 y 大于等于根号 p， 当且仅当 x 等于 y 时，这个不等式当中的等号呢？乘以， 也就是当 x 等于 y 的时候呢？我们这个和 x 加 y 有最小值二倍根号 p。 我们再来看第二小题，如果两个正数 x 和 y， 它们俩的和等于一个定值 s， 那么当 x 等于 y 时呢？它俩的乘积有最大值四分之一 s 方。 还是根据我们前面学的基本不等式，当这两个正数合 等于定值时，我们知道根号下 x 乘上 y 应该小于等于二分之 x 加上 y， 因为 x 加 y 呢，等于定值 s， 也就可以写成根号 x， y 小于等于二分之 s， 进而我们得到了 x 乘上 y 小于等于四分之一 s 方， 那么当且仅当 f 等于 y 的时候呢？上面取到了等号， 经过立二的学习呢，我们可以看到，如果给我两个正数 x 和 y， 那么这两个正数的乘积如果是一个定值时，我们可以求这两个数和的最小值，当 这两个数相等的时候呢，取到等号，如果两个数和等于定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，也是当这两数相等的时候取到最大值。 好，那么经过我们这节课的学习呢，我们需要同学们掌握三点。第一， 首先我们要知道基本不等式就是两个正数的算数，平均数不小于他们的几何平均数， 用我们数学符号语言来表达，就是对于任意的 a 大于零， b 大于零都有根号下， ab 小于等于二分之一加 b， 当且仅当 a 等于 b 时，等号是成立的。 第二个呢，我们还学了用分析法，根据前面我们学习的不等式的性质，证明了基本不等式，并且我们在语文中呢，利用一些已知线段的大小关系，记住了基本不等式的几何特征。 最后，我们在利用基本不等式求代数式的最值时，首先要明确这个代数式是否能转化成两个正数的和或者积的形式， 并且他们的和或者积是否是一个定值，而且这个不等式中的等号是否能取得到。通俗的来讲呢，就是要做到一正二定三相等， 我们就可以利用基本不懂事来去求解代数式的最值问题。好了，这节课我们就上到这里，祝大家学业有成，同学们再见！

同学们好！我是江西省乐平市第十中学高中数学教师戴静。今天我们开始学习基本部的是第一课时，首先请同学们观看一段视频。 勾股圆方图里第一张就是弦图，四个直角三角形围成一圈，弦边朝外，作为正方形的边。勾股相乘为朱十二，背之为朱十四， 以勾股之差自相成为中黄石，加差石亦成咸石。 凡并勾股之时，即成弦时行鬼而亮君，体书而数齐。就是说，不管直角三角形怎么变化，这个结论都成立。照赏利用弦图。

基本不等式，很多高中小朋友说是基本不等你，你题目还没读明白呢，老师已经写下一题的解了，生怕你撵上他。但这里的关键其实就是求和凑。基定，求基凑和定，比如这道题， 求和，咱凑鸡的定值，但这里鸡也凑不出定值啊。咱前面还说过一的妙用，但条件这里也没有一啊，没有一，也不用像失恋了一样哭哭啼啼，因为不值得为这丑不拉几的踢。 咦，丑不拉几？那我就可以凑个一，两边同出 e、 x、 y， 右边不就是一吗？有了一之后就好说了，原是成他一乘一展开，基本不等式就出来，一利用，一检验，答案就扑面而来。所以说，当条件等式没有一 一十，我们就可以凑。比如这题，条件等式都没有，怎么凑？硬凑看分母，这俩一加差点就是一，差哪点？ x 差个二，那咱就给他个二，这样一凑，不就是一吗？ 有了这个大衣，妈妈再也不用担心我学习了，乘一下大衣，用一下基本不等式，修一下，答案就出来了。 但是如果要求的式子里面不止分母有字母，分子也有字母的话，那咱就不能先去应凑大意了，因为分子的事没有解决大意，应凑容易挨揍。那怎么解决分子分离乘数法 分完之后，原来的式子就变成了这样，两个分子常数的式子减一随缘分子，你才可以放心大胆吃席凑大一，凑了大一你才能乘一。基本不等式。基本不等式用完，一检验，这答案不就扑面而来了吗？