八年级上册一次函数解析式

来看一道有关一次函数函数表达式的题目，说一次函数他的图像经过点 a， 那么是负二负一，这个点 写于直线 y 等于二 x 减三平行，让我们来写出此函数他的表达是好。首先我们说了 确定函数的表达是我们常用的这个方法，就是待定系数法，是不是？那我就先设这里的函数表达是为 kx 加 b， 那么如果我知道这里的 k， 知道这里的 b 是不是这个函数表达是，我就写出来了。好，那我们要根据已知条件，那我们说既然这个图像他经过这个 a 负二负一 这个点，那我把这里的啊，这就相当于是 x 和 y 的折 x 这个横坐标，那么就是 x， 纵左标就是 y， 所以那我给大家带入能够使这个方程成立，那我就可以得到关于 k 和 b 的这个等式，是不是？ 但是我们这里只有一个点，那么常常啊，这个写这样的形式的时候要告诉你两个点，是不是啊？那我还带进去两个未知数，两个方程我可以解出来，但是这里只有一个 点，那我们如何来解呢？我们再利用第二个条件，他告诉我们于这个图像他于这个直线 y 等于二 x 减三平行，那么关键就来看这里，那我们说再一次函数当中，这里的 k 和这里的 b， 他 他分别代表什么呀？这里的 k 我们说了是不是代表的这个遗残住他图像的倾斜度，是不是啊？那么既然这两条直线他们的图像平行， 是不是就说明他们的 k 值相同？所以那我就可以知道这里的 k 他就等于二， 我就可以直接带入这个解解析室，那么他就等于二 x 加 b 好了，那他又经过点 a 这个点是不是？那我就可以把这里的 负二负一给他带入，那么这个函数解释是就变成什么？就变成了负一等于二乘以负二加上 b。 啊，这是负二加上 b， 那我解出来这里是负四，那么 b 它是不是就等 等于三呀？哎，所以那我求出来这里的 k， 求出来这里的 b， 那么所以这里的函数表达是就是 y 等于二 x 加三。

如果已知依次函数图像上点的坐标，要怎么求依次函数的解析式呢？比如，已知一个依次函数，图像经过点 a、 二二和点 b， 五复四，求该依次函数的解析式。 因为依次函数解析式的一般形式为， y 等于 k， x 加 b， k 不等于零，所以我们可以设该依次函数的解析式为， y 等于 k， x 加 b， k 不等于零。又因为函数图像经过点 a 和点 b， 所以他们的坐标一定满足， y 等于 k， x 加 b， k 不等于零。 把两个坐标带入解析式中，即 x 等于二十， y 等于二，可列方程二等于二， k 加 b， 而 x 等于五十， y 等于负 四，可列方程为负四等于五， k 加 b。 接着把两个方程合并成一个方程组，现在只要解这个方程组，就能得到对应的 k 值和 b 值了。用方程二减方程一，得 负四减二等于五， k 加 b 减二， k 减 b， 化减一下就是负六等于三， kk 就等于负二。 接着把 k 等于负二，带回方程一，求得 b 等于六，所以该依次函数的解析式就为， y 等于负二， x 加六。 这种先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法。学习了待定系数法，再来做 一道题目，巩固。巩固图中是一个依次函数的图像，已知他经过 a 六负四和 b 负四十一两点，求他的解析式。 首先还是设这个依次函数的解析式为， y 等于 k， x 加 b， k 不等于零。接着把两个坐标带入解析式中， x 等于六十， y 等于负四，得到方程负四等于六， k 加 b。 另外，当 x 等于负四时， y 等于十一，列方程为十一等于负四， k 加 b。 再接着解方程组，方程一减，方程二，得负四减十一等于六， k 加 b 加四， k 减 b 化减一下就是负十五等于十， kk 就等于 负二分之三。然后把 k 等于负二分之三带回方程一，求得 b 等于五，那么就得到该依次函数的解析式为， y 等于负二分之三， x 加五。 最后总结一下，用待定系数法求依次函数解析式，就是先设依次函数，解析式为 y 等于 kx 加 bk 不等于零，再根据条件确定解析式中未知的系数， 从而得出函数解析式。怎么样，你都学会了吗？

那在讲究下内容之前呢，其实我觉得直接我们通过一个具体的问题来学习一下就可以，那他说某一次函数经过点一二和点三五，问我们能不能算出这个依次函数的解析师，哎，那怎么来思考这个问题呢？ 那我们说了函数它其实是数和形的结合，对不对？那其实这个问题我们就可以从数和形两个角度来思考一下。好，首先我们来看，如果从数的角度来思考，那我问大家，要想求出这个依次函数的解析式，我们需要求出几个位置数来， 那我们想想什么叫做依次函数的解析师来着？哎，我们说 y 等于 kx 加 b， k 不等于零，对吧？这是依次函数解析师。那我们要想求出这个解析室，需要求出其中的 谁呀？是要求出 s 和 y 吗？不是，应该求的是 k 和 b， 对吧？那你要想求出 k 和 b 这两个字母，它到底是多少？也就说我们有几个位置数， 有两个位置数，那我们知道要想求两个位置数需要有几个方程呀？那就应该有两个方程。那所以从数的角度我们就知道，我们需要练两个方程 去求 k 和 b， 目的是要把 k 和 b 求出来。好，那我们接着来看，那如果从行的角度来想呢？那我们知道依次函数的图像是一条直线，那我们以前学过几点定线两点对不对？那也就是说我们需要有两个点。 哎，那利用这个思路，其实我们现在就能够明白怎么来求一次海流解析师了。我们来想啊，我们 一说某一个函数经过了减一二，经过了减三五，那也就是意味着这两点在这个函数图像上，对吧？在函数图像上又意味着什么呢？是不是又意味着我把这两点的横纵坐标带到他的解析适中，那这个等式应该是成立的呀，对吧？所以呢，我们来看， 那我们因为都知道他是依次函数了吗？那我们就先说出来，他的解析师就是外地开了佳丽，因为依次函数解析师都长这样，那如果你为了严谨，可以再加一个 k， 不等于零。 好，那首先第一步我们把解析式的这个柿子给他射出来了，对吧？虽然有未知数，但是我们不要着急。那第二步我们是不是就可以根据条件来算出来它？ 因为函数图像过这两点，所以这两点坐标带到这个等式里面应该让他成立，那也就说往里一带，那一二带进来的话，那就是二等于一乘以 k 加上 b， 也就是 k 加 b， 三五呢，那五就等于三 k 加 b a， 那你会发现要想求出 k 和 b 了，那是我们用这个方程组就可以解决问题了。那解这个方程组很简单，我这不写计算步骤了，直接给结果，那 k 就应该等于二分之三， 那 b 呢？就应该等于二分之一。好了，那我们把二分之三，二分之一再带回到这里面，是不是就得到了外等于二分之三 s 加上二分之一。 哎，那所以我们再来回过头来看一下啊，那是不是我们要想求这两个位置数，需要有两个方程，两个方程是怎么练出来的？就根据他过的这两点练出来的。 那同样从行的角度来理解的话，行几点定线？两点定线，我们需要两个点的坐标，所以说我们来看，要想求依次函数的解析，是我们只需要找到两个点，然后列方程 求解即可。那我们来整理一下刚才这个思路，那像刚才这样的去求解析师的思路呢？我们给他起个名字叫做待定系数法。什么叫做待定系数法？顾名思义，待定就是还不确定的资源， 让系数不确定，然后去根据条件进行求解。那比如说刚才我们是外等于 ks 加币， 那你会发现这里的系数 k 和 b 是不是就不确定呀？不确定，我们先给他用字母射出来，然后你再去根据条件来确定他，也就是我这写的，你先射出解析室，然后根据条件来确定系数，最终得到解析室。哎，那这就是我们说的待定系数法。其有一次函数解析是， 那这有一个关键的要点，或者说关键的思路，就是一说某点在某个函数图像上，或者某个函数图像经过某点的话，那么该点的做， 只要带入他的解析室中，一定会让这个等式成立的。好，那我们就用这道例题来练一下手，看看你会不会用代理技术法来求解析室。他说直线经过点一二和点三零，让我们求一下这条直线的解析室，那其实这个题跟我们一开始我给大家那个例题是，呃，很相似的，对吧？那我们来做， 你上来先把解析室设出来，设，按住解析室为外，等于 ks 加 b 好了，那我们是不是只要把这两点带入就可以了？所以一二带进来的话，注意横坐标替换 x， 对吧？送坐标替换万，那就是二等于 k 加 b， 这也一样，那就是零等于三， k 加 b。 好了，那解这个方程组的话很简单，下面减上面二， k 等于负，二是具体 集团步骤我不写了，所以 k 等于负一， b 等于三，那么所以原函数解题是为外等于负， x 加三。 好，那这道题我们用待定记住法求出来。依次函数的解析是整个的做题的过程，或者说整个的思考问题的这个步骤你是否掌握了呢？ 好，我们一起来回顾一下啊。首先第一步，我们都知道直线了，肯定是依次函数，你就把解析师给他射出来，就是外界的 kfc， 对吧？好，第二步，把点带入， 注意，带的过程中一定要小心，纵坐标替换掉 y， 横坐标替换掉 x， 得到两个方程，或者得到了一个二元一次方程组，然后进行求解，把 k 和 b 解出来以后，再回带到这个式子中，然后得到最后的解析师。好，下面就是我们今天的金提金奖， 那我们来看这道题目，一次函数的图像，如图所示，求其解析时，哎，那我们来看题目，没有告诉我们这个函数他过哪几个点，对吧？那我们说你要想求出来一次函数的解析，是必须要知道他过哪几个点，但是呢，虽然他没有用文字性说明，但是他给了我们这样一个图， 那我们是不是在图中可以获得到一些关键的信息呢？那我们来看这个图，这条直线没有问题，他过了两点，对吧？哪两点呀？哎，第一个就是这样的一零，第二个呢，是这的零负二。 好了，那既然我们从图像得到这个信息，是不可以得到这个函数经过这两点呀，那经过这两点，就用我们刚才讲的什么方法来着待定系数法进行求解就好了。所以我们设 y 等于 ks 加 b， 带入的话，那注意零 t 换掉 y， 那这就是零等于 k 加 b， 一 t 换掉 s， 对吧？后面呢，负二就等于零， t 换掉 k， 发现这儿没了，那这就是 b 在解这个方程组更简单了，那最后解得的应该就是 b 等于负二，这不变，那 k 就等于是二，所以最后的解题是外等于二 x 减二。 哎，好，那这道题待定系数法很简单，求出来了，对不对？那现在我希望屏幕前的你能想一想啊，这个题除了用待定系数法，还能用什么方法来进行求解？ 那我们一起来看啊，这个依次函数，我们得到他图像上的这两个点，不是一般的点， 对吧？我们之前说过，这是他的两个很特殊的点，为什么是特殊呢？因为分别是与 x 轴和外轴的两个焦点。那朋友们现在想想，我们说过外等于 k s 加 b， 他与两个坐标轴的焦点坐标应该是什么来着？哎，与 x 轴 应该交易的是副的 k 分之 d 零，另外周呢， 应该教育的是零币。哎，好了，那我们来观察一下， 现在其实是不是负的 k 分之 b 零就是这的一零呀，那这里零 b 呢，就是这的零负二，那你用这个特殊点是不是也能把 k 和 b 求出来？你看这两个点一样的话，那也就是意味 这个负的 k 分之 b 等于一，这呢两个点一样的话，也就是 b 等于负二，当然了，你解这个式子也很容易， b 等于负二， k 等于二，就是这个结果也是没有问题的。 好了，那做完这道题，这道题我给大家呈现了两种去求依次函数图像的方法，那做完这道题你有什么收获呢？ 好，我们来看。首先我想强调的是，虽然题目中没有什么文字的信息告诉我们图像过来这个点，对吧？但是我们要有一个能力，就是利用图像去挖掘这个函数的一些特点，或者说一些信息， 这是第一个我要强调，第二个我要强调的是求伊斯函数解析室。当然了，最传统的方法就是带定系数法，你设外角与 ks 加币，然后找两个点和坐标带进去，然后球球 k 和 b 是谁往回一带就完了，这是最传统的方法。 那除了这种最传统的方法，其实我们有的时候还有一些其他的方法可以用，比如说这道题我们就用了特殊点，对吧？那在这又跟大家巩固了一遍，这两个特殊点的坐标一定要牢牢记住， y 等于 ks 加 d 与 n 轴交于负 k 分之 b， 零与 y 轴交于零 b， 这两个特殊点必须要牢牢的记住。好了，那就是这道题我想总结的内容。 好，我们来看这个题目，正比例函数 y 等于 k s 和依次函数 y 等于 a， s 加 b 的图像都经过点一二，而且依次函数的图像交 x 轴与点 b 四零。那让我们求一下正比例函数和依次函数的表达是好了，那我们现在来想一下啊， 那我们刚才说了，依次函数很简单，就是你设解析式为外，等于 ks 加币，然后找两个点带进去就行了，对吧？那么我们来看这道题，又让我们求一个别的正比例函数，那正比例函数的解析是如何来求呢？哎，那其实思路是不是一样的呀？ 甚至这个正比例函数解析师的求法其实要比一次函数还要简单。而且我们来看这道题，他其实这里面已经把这两个函数解析师给我们射出来了，我们都没有必要在写射，然后给他列式子，直接带进去球就行了。那我们来观察一下， 正确的解析是万等于 kx， 那我要想求出来这个解析式的话，未知数有谁啊？未知数只有 k， 对吧？那也就是说我现在只要求出来 k 的值，我这个解析是是不是就求出来了？好吧，那未知数只有一个的话，我们需要几个方程呢？ 也只需要一个方程就够了，那需要一个方程，也就是说我们需要几个点呢？也就是一个点，对吧？所以我们只需要把点 a 的坐标带入到这个解析适中即可，那带进去 二替换 y， 一替换 x， 那就是二等于 k， 所以都写得 k 等于二的话，那么就是 y 等于二 x， 哎，这个很简单，我们把正比例函数的解析是求出来了， 好，那我们再来看一下依次函数，那我们知道求依次函数的解题是需要两个点，需要两个方程，需要求两个位置数，这道题中这两个位置数就是 a 和 b， 对吧？那我们需要两个点的话，这道题其实他说的有点啰嗦，对不对？ 那他一会说我们这两个图像交于点 a e 二，一会又说伊斯韩这个头像有 x 流交于点 b 四零。其实他这两句啰里啰嗦说了半天，我们给他经典一下，他就说了一个，什么意思呀？ 他是不是就说我这个依次函数过减 a， 一二过减 b， 四零没有了，对吧？那好，那你现在有了依次函数，图像上的两点，你是不是带进去， 我们这个解析师也就能敲出来了。好，那我们来看一二代入到这的话，二替换掉 y， 那就是二等于一替换掉 x 等于 a 加 b， 四零带起来零替换 y， 那就是零等于四替换 x， 四 a 加 b a， 那我们把这个方程组一解，把 ab 解出来是不是就 ok 了呀？好，那我们来做一下解。这个方程组很简单，我用下面写上面，那就是三， a 等于负二，那 a 就等于负的三分之二， a 等于负的三分之二，带在里面，你随便带哪个式子都行，比如说我们带到下面这个吧，那 b 是不等于负四 a 啊， b 等于负四， a 负四乘以负的三分之二，那就是三分之八，所以就解得 a 等于负的三分之二， b 等于三分之八，那也就是 y 等于负的三分之二， x 加上 三分之八。哎，那我们就把一四函数的解析师也求出来了，所以就正比例函数是 y 等于二 s， 一四函数的解题师是外等于负的三分之二， x 加上三分之八。 好了，那这一道题我们求出来了，两个函数的解题是一个正比例函数，一个依次函数。那做完这道题，你觉得我们可以总结哪些要点呢？ 好，首先我们来看啊，首先来说一下这个依次函数的解析式的求法，那我们说依次函数的解析式就是 y， 等于这道题中他给我们的是 ais 加 b 啊，这个字母换了一下无所谓，那外等于 ai 加 b 这种格式里面，我们要求的未知数就是 a 和 b 这两个，对吧？ 要求两个位置数就需要有两个方程，要列两个方程就需要有两个点坐标。所以我在这想跟同学们说的是，以后大家在做题的时候啊， 有的时候不要被他这个文字啰里啰嗦的文字所迷惑，什么两个交于哪呀，又说与挨着交于哪。说了半天，其实他就是想告诉你，我有两点在这个函数图像上，你把这个坐标带进去就行了。好，这是第一个我要说的，要想求一次函数解析师图像，你就找到两个点就 ok。 好，第二个我想说的是， 那作为特殊的依次函数来说的话，正比例函数的解析师的求法就更简单了，因为对于他来说，他的解析师中只有一个位置数，也就是这个 k 要去求， 要求一个位置数，我们只需要练一个方程，练一个方程我们只需要找一个点，当然同学们一定要注意这个点，不是所有的点都可以，一定要除去远点，对吧？因为你把远点 坐标往里一带，这等式永远都成立，你还是求不出来 k 的值，因为两边都是零了，对吧？所以说你只需要找到圆点外的一个点的坐标给他带进去就行了。同样，找这个点的坐标的时候，也不要被他的这些文字所迷惑，你就去找最关键的坐标在哪，往里一带求解即可。

哇哦，刚才有一个初二学员问了我这么一道题，那我一看，竟然是要求比例系数的范围，这个在初中里考的并不多啊。那这道题呢，对于绝大部分孩子来说都是比较困难的。 在讲这道题目之前，我首先需要做一些知识铺垫。学过一次函数的同学都知道啊， y 等于 k， x 加 b， 对吧？当然，这个 k 是默认不等于零的， 这个 k 呢，我们把它称之为比例系数。 k 的正负其实决定了直线的倾斜方向。当 k 大于零的时候呢， y c， x 增大，而增大 体现在图像上呢，直线是上扬的。比如我们可以来看这样的三条直线啊， y 等于二分之一 x， y 等于 x 和 y 等于二 x， 他们的比例系数 k 呢，分别是二分之一、一和二，这个 k 呢，都大于零，你看直线是不是都是上扬的？同样 的啊，如果当 k 小运的时候，比如我取三条直线，当 k 等于负，二分之一负一以及负二的时候，我们发现这三条直线都是下降的。所以我们说啊， k 的正负决定了直线的倾斜方向，这个是都能理解的。 但我接下来要说的这个知识点，可能大部分同学呢，是没有思考过的。我们看这三条直线，他们虽然都是上升的，但是他们的倾斜程度不一样，比如这条直线呢，相对比较平缓， 这条直线呢，更加陡峭，换句话说，他更偏向我爱轴。这个是由谁决定的呢？其实也是由这个比例系数 k 决定的，这个 k 从二分之一到一到二呢，是在逐渐增大，直线呢，也是更加陡峭。那我们能不能说 k 越大，直线越陡峭呢？ 这句话是有问题的，只能说当 k 大于零的时候，这个结论是成立的。但是当 k 小于零的时候，我们让这个比例系数从负二到负一到负二分之一，他是不是在逐渐增大？可是这三条线是在逐渐变平缓的， 也就是当 k 大于零和小于零的时候，它结论是相反的。那如何统一呢？也简单，我们只要说当 k 的绝对值 增大的时候，直线越陡峭，或者说越偏向 y 轴，这个是没有问题的。大家看啊，从负二分之一到负一到负二，他的绝对值是在增大的呀，对吧？那他确实越来越陡峭啊。所以我们理解 k， 不仅仅要从正负角度来理解， 还要从他的绝对值的大小角度来理解。当 k 的绝对值越大，直线越陡峭，越偏向瓦尔轴。这个知识点呢，书上没有明确说，很多同 同学呢，也没有深入思考过，而这道题却需要用到这个知识点，让我们一起来看一下吧。已知依次函数 y 一，他是含有参数 a 的直线啊，这个 a 呢，就相当于是 k 是一个比例系数， 还有一条五二二呢，是确定的直线。如果两条直线交点在第三项线，要我们直接写出比例系数 a 的取值范围。这种题目啊，肯定是首先抓不变量，我们发现五二二的图像完全是确定的，那我们先把它绘制出来，就是图中这样的一条 直线啊。然后我们聚焦 y 一这条含餐直线，因为它有参数啊，所以它的直线是不确定的，但也不是完全无需变化的，这条直线在变化过程中是有不变的东西的，它是横过一个定点的，我们可以找到一组 x y 的值，使得这个等式呢，横成立，也就是跟 a 是没关 关系的。那我们只要把 a 拎出来，大家看啊，这条直线可以写成 y 一等于 x 加三倍的 a 加二，对吧？跟 a 无关，我只要让他前面的系数 x 加三等于零， 那么 x 是不是就等于负三了？ x 等于负三的时候， y 它始终都是二，所以它横过一个定点负三二，这是本题的关键。所以这条直线啊，它其实就只要穿过负三二这个定点就行了，它表示的就是这里面所有的穿过负三二的 线。当然，由于本题是依次函数，那这里面要扣除两条，一条是竖直线，还有一条是水平线。他说两条直线的交点要在第三象限，我们把这个交点找到，此时呢，这两条直线是有交点的，对吧？交点确实在第三象限。好， 我们晃动一下这条红线啊，我发现这个时候他们的焦点就不在第三象线了，对吧？我们再晃一下，那我们其实可以找到这条红线的范围。首先这个应该是一个临界位置吧，往上的话呢，焦点就不在第三象线了，往下的话呢，焦点还在啊，那我们就往下继续走吧。啊，逆时针转吧， 这时候焦点没问题，对吧？走走走，走走走。哎，走到这个时候，我们发现焦点他不在第三象限了，对吧？然后 直至回到刚才的临界位置。那这里的交点为什么会从第三象限突然间跳到这个上面去了呢？实际上他经历了中间这么一个临界位置，也就是这两条直线平行的时候打开， 对吧？此时呢是没有焦点的，如果这条直线往这边来一点，他其实会交代第三象限，当然现在 我们看不到，对吧？只要往这边来一点的话呢，就会交到上面去了，所以平行又是另外一种临界的位置，实际上这条直线呢，他就应该在这么一个范围内啊，就这么一个范围内，对吧？从平行的临界位置，一直到 这么一个临界位置，哎，这个范围就是这条直线的范围，我们只要在这个范围里面确定出比例 c 除 a 的范围就可以了。 那这个比例系数 a 到底是什么范围呢？那就要讨论。因为此时的直线啊，它既有上扬的，也有下降的，也就是这个比例系数 a， 它既有大于零的情况，也有小于零的情况，对吧？那我们就分类讨论，比如我们先看 大于零的情况，我们先让这条直线啊竖直，像是一个裁判一样啊，从这个位置我们转转转，转到平行的位， 是呢，此时的直线都是上扬的啊， a 都是大于零的，那么这时候的 a 的范围是什么呢？大家看啊，当他们平行的时候呢，他们的比例系数应该相等，所以这个 a 跟这里的这个一应该相等， 也就此时的 a 是等于一的。那从这到这呢，实际上直线是越来越陡峭，大家看从这个地方走过来，是不是越来越陡峭了，所以他的 a 呢，是越来越大的。刚才我们说过了，当 k 到零的时候， k 越大， 直线越陡峭，所以这段红色区域，它指带的 a 的范围呢，应该是 a 大于一， 不能取等啊，因为取等的时候刚巧平行，没有焦点，那么这个是 a 大于零的情况。接下来我们再考虑 a 小于零的情况。同样的，我还是把这条直线啊放在竖直的位置，然后我将它换一种颜色啊，大家可以看得更 加清楚啊，换成绿色，此时的直线呢，应该是走这么一段范围，那这里 a 的范围又是什么呢？我们先看这个临界线的 a 的值，这个焦点应该是负一零，对吧？又经过负三二，那不难算出此时的 a 等于负一。 然后我们看啊，从这到这，直线是越来越陡峭的，也就意味着 a 的绝对值是越来越大的，而 a 本身小于零，那么 a 本身它是越来越小的。所以在 a 小于零的时候啊，它对应的范围是 a 小于负一，能不能等于负一呢？ 不行，因为等于负一时，这个焦点刚巧落在 x 轴上，不属于第三象限，对吧？所以本题的答案就是 a 小于负一或 a 大于一。

光说不练假把式，今天我们就就依次函数这块的这些难点呢，找其中的一两个来找一个综合性的题目，一起来练习一下。这道题有三问，我将它拆成了三个视频，我们分别来看啊，今天我们先看他的第一问， 那这里题干说有一个矩形 o、 a、 b、 c 放到了平面照做标记了啊，就这样放完了， o、 a 的长是十五， o c 的长是一个九。接下来他把这里的 o、 a、 d 沿着 o、 d 进行了一个折叠，使得点 a 的对应点 e 落在了 c、 b 上。 那么现在呢，求的就是这个直线 d、 e 的一个解析式了。那我们这里肯定得知道点 d 和点 e 的坐标嘛。那么点 d、 点 e 的坐标，我们现在只知道点 d 的横坐标以及点 e 的纵坐标，剩下的还要去求， 怎么去求呢？那不是矩形里面的翻折问题吗？那你想一下，翻折前后的图形对应边相等，所以此时 oa 的长和这里 oe 的长就是相等的，这是一个十五 a， 我们在这看到了 oce 直角三角形 十五九，所以这个直角边应该是十二三四五的勾股数。好了，那接下来呢？根据 oa 十五，所以 c、 b 十五减十二，这边 e、 b 就是一个三。 好到这，其实点一的坐标已经出来了，横坐标是一个十二，纵坐标是一个九，接下来就只剩了这个点滴的纵坐标了啊，他横坐标是一个十五，纵坐标，怎么去求呢？哎，我只要知道了这里 b、 d 的长不就 ok 了吗？ b、 d 长是多少？来看一下。我不妨把 把这个 b、 d 设为 x， 那么此时我的 a、 d 是不是就应该是九减 x 对应的 e d 也就是九减 x 了？来这里 e b d 它不就是一个直角三角形吗？ 再用一次勾股定理啊，那么得到 x 的平方，加三的平方等于九减 x 的平方，这里我们 x 解出来等于四，那么也就意味着点滴的纵坐标九减四啊，是一个五 行了。接下来你只需要把这个十二九十五五 a 给他带定叙述法去求他的解析式就好了， 这块自己去算，我们最终的结果是 y 等于负三分之四， x 加二十五，看跟你做的是不是一样的。那么下个视频呢？我们再来讲一下这个题的第二问，依次函数与等腰三角形存在性的问题，自己可以先来尝试做一下。

八年级的同学们大家好，今天我们来讲解一道依次函数的形成信息问题。这类题目在我们金融考当中经常是以压轴题的形式出现，我们来看这道经典例题。甲乙两人参加从 ad 到 bd 的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程外与时间 x 之间的函数关系如图所示。请你根据图像回答下列问题。 一问，他说谁先到达终点，那么通过图像我们会发现这里的话很明显是乙先到达终点，他们两个同时出发，乙用了十六分钟跑完了全程，而甲用了二十分钟，所以第一问直接由图像可知，直接选乙。 第二问，他说根据图像求出假的函数表达式，那求表达式我们直接用带定系数法求解析式就可以了。那么在这里甲是一条过圆点的直线，所以他肯定是一个正比例函数，所以我们直接设假的函数表达是为 y 等于 k x， 那我们算开 k 是等于二百五十，所以甲的函数表达是为 y 等于二百五十 x。 这里要 注意，我们在之前的课程中讲过， y 等于二百五十， xk 等于二百五十。在这里二百五十其实也就是指假的一个速度，我们会在第三和第四问当中用到。好，我们来看一下第三问，第三问他说求何时甲乙相遇？第三问，在这里老师给大家讲两种方法，第一种就是我们之前所学的应用题的一个思想， 让我们知道甲乙两地都是从 ad 到 bd 去跑，所以他俩运动方向是一致的，所以这里肯定是一个追击问题。那么追击问题想要相，就意味着甲和乙他们两个在一定时间内走的路程要一样，所以我们就具体来分析一下。我们先来看一下甲 甲，我们刚才在第一位已经说了他的运动速度是二百五十，在这里我们不妨就设甲乙他就 x 分钟之后相遇，那对于甲来说，他的运动速度是二百五十，那么 x 分钟内他是走了二百五十 x 米，对于乙来说，他们两个要走的路程一样才能相遇。乙的话前十分钟 是走了两千米，后面的话他是不是应该走了 x 减十分钟？通过图我们会发现这个乙的话，十分钟之后他变速了，十分钟之后他的速度是多少，那我们会发现十到十六是走了六分钟，他走了两千到五千，也就是说走了三千米的一个差值，那其实也就意味着他每分钟要走三千除以个六也就是 五百，那么它后面的速度就是五百千米每分钟，那乙所走的路程就是前两千米加上后面五百乘以 x 减十米， 我们直接列等式就可以了。两者在 x 分钟之内搜的路程一样，这也解出来 x 是等于个十二的，所以说在十二分钟的时候相遇，这是第一种方法，那么第二种方法我们来用函数的思想来解决问题。 既然说两者相遇，而这个函数图像他所表示的就是两人所跑的路程和时间之间的关系，那么他们两个既然要相遇，反观到图上会发现他肯定是他 他们两个的焦点，那也就是在一定的时间内所走的路程是完全一样的，所以我们只需要去求这个焦点的横坐标就可以了，那么我们如何去求这个焦点的横坐标呢？那么我们是不是只需要把这个粉色乙的执行记忆式给他求出来就可以了？ 那很明显乙的直线解析式是很容易求财的，因为乙这两个点，一个点是十动两千，一个点是十六动五千，两点确定一条解析式，所以我们直接用带定吸收法求财就可以了。 那我来给大家求一下，那我们算出来 k 等于五百， b 等于负三百，所以 y 就等于个五百， x 减三百，那我们既然要求焦点只需要连力两个直线解析式就可以了， 把它当做一个新的二元一次方程组直接解出来， s 是十二，所以仍然算出来是在十二分钟的时候相遇，这两种方法都可以求出来两者相遇的时间。第一种方法就是利用应用题的一个思想，接下来我们来看一下最后一位，他说根据图像直接 写出何时甲和乙相距二百五十米，那么在第四位跟第三位其实是一样的，我们也可以用这个应用题的思想，当然也可以用函数的思想，那么在这里我们来用一下函数的思想，那我们怎么样利用函数的思想呢？在这里大家一定要注意，他既然说甲和乙相距五 二百五十米，让我们知道这个函数图像上他的任何一点的横坐标是不是对应的都有纵坐标。其实是不是也就意味着在他俩相距二百五十米的时候，他俩的 x 是一样的，那其中的一个函数的图像是不是应该是在另外一个函数图像上方二百五十米的这一个差值就可以了。 我们现在看前十分钟是不是存在一种情况，使得假的函数图像有可能是在这个乙的函数图像的上方二百五十。那我们只需要求下来，外甲减外乙等于二百五十的时候，这个时候他们两个所对应的时间在前十分钟之内，乙的一个直线几仪式，他在十分钟之内走了两千， 它又是一个正比例函数，所以它的这个速度肯定是两百，所以它的 k 也是两百，所以很明显我们能得出来这个 y 是等于一个两百 x 的，所以第一种情况就有了。那我们再看第二种情况，十分钟之后，此时外甲是不是也有可能仍然在外以上方二百五十米？ 这里一定要注意，十分钟之后，乙的直线结是已经发生变化了，所以注意替换，也就是二百五十， x 减去个五百 x 减去三千， 等于个二百五十，可以减出来第二个 x 算上 x 等于十一。同样第三种情况，当他俩相遇之后，乙开始跑到甲的前面了，所以此时就变成了外乙减去个外甲，所以就变成了五百 x 减三千减去二百五十， x 等于个二百五十。我们算上 x 等于十三， 是第三个答案。三个答案之后，大家以为就要结束了吗？我们来分析一下，你看乙是十六分钟的时候到达，那甲 是四分钟之后再到达，假的速度是二百五十后四分钟他是不是还要再走一千米？那大家来想一下，已到达终点之后，坐在那里是不是可以等待着假的到来的过程中，假设也有可能距离已是 二百五十米，所以我们还有第四种情况，是不是他已经走过了剩下的三千减二百五十，也就是二百五十 s， 等于三千减去二百五十，那我们可以算出来第四个 s 就是十九， 所以我们会发现这个第四问其实是有四个答案的，这就是一道非常典型的依次函数形成信息问题。我们在做这类题目的时候，无论是函数的思想，还是说应用题的思想，大家都可以用，尤其是第四，其实我们利用函数的思想可以快速的帮助我们去找出来这个等量关系，列出来等式，那么答案是不是就是很容易算出来了？

同学们，我们今天呢来复习一下这个一次函数的基础题型啊，我觉得需要给大家去分享一下一次函数的基础题型，因为好多同学他连这个解析师都不会求啊，那么看啊，我们看这个题，嗯， 他呢就是给了三万，他可能是你们期末复习期末试题里面的其中的大题的一道啊，以这一个一残数呢，他呢经过 a 点， a 是负二斗一， b 是一斗三，两点好，并且与 x 轴交于 c 点 好，与 x 轴交与 c 点与外轴交与地点。第一问求解依次函数的解析是，那么这个老师会带着你细细的去解啊，包括如何去解，我都会带着你们去解， 你看他要求一残数点是一般一个一残需要两个点，这里面知道的点是 a 点和 b 点，那就是第一步将 a 点是负二，逗号负一， b 点是一逗号三好，带入到我们的 y 等于 k， x 加 b 中， 好，那么怎么带呢？就是，嗯，我们在这里就复职嘛，给 s 到 s 等于负二的时候， y 等于负一，所以第一个可以到负一等于来把负二带进去，负二 k 加 b 好，这边等于三，等于 k 加 b 好，那么他现在是一个二元一次方程组解一下一和二 好，一般的话你可以用代入校园，也可以用加减校园，这个的话我们用加减校园啊，我们爱用加减校园，就是先看 b 前面的系数一样，所以把 b 消掉，那么我们用一下这个二减一，就大的减小的好，三减负一，左边三减负一是不是四， 右边 k 减负二， k， 那是三 k 啊， b 减 b 没了，所以我得到 k 等于，呃，三分之四 是不是好？ k 等于三分之四，完了之后你需要带入到柿子里面去，我们带到哪个里面，我们觉得哪个简单带哪个啊？带入到二中，好，那我们我们就会得到三等于三分之四，再加这个 b 是不是？那 b 是不是算出来三分之五？好，三分之五啊？ ok， 那我们现在呢？如果，所以我们求出来的这个解析式就是， y 等于三分之四， x 加三分之五，好，但是我一般我会留个心，就我 害怕我自己的计算有问题，所以我还会带入一个点验证一下。那我现在带入这个一豆三点 b 啊，好，带一下 x 等于一的话， y 等于几啊？ 是不刚好十三没问题，所以我们第一问解的就没有问题，第二问是让我们算 c 和 d 的坐标。好，那大家注意看哦，这个 c 和 d 的坐标我跟你说清楚，依次函数与 x 轴的焦点， x 轴上每一个点的特征都是呃重，左边为零 对不对？那你求，不管是一次还是二次，他与 xo 焦点就是令 y 为零，好，与 y 轴的焦点就是令 x 为零。是不是？那么要求 c 和 d 的坐标，那我们就可以先看啊， c 是他与 xo 的焦点。第二个，好，我们先令这个 啊， y 等于零，我们算出来三分之四， x 加三分之五是不是等于零？那么三分之四 x 等于负的三分之五，好，三和三就约了。好，四， x 等于负五，所以 x 等于负的四分之五。 好，我们在这写啊， x 等于负的四分之五，好，那么所以 c 的坐标就是负四分之五。逗号，零，因为 c 是他与 x 轴的焦点。好，那么接下来我们求歪轴的焦点令， x 等于零，另 x 等于零，带进去 y 是不是直接等于三分之五，所以点 d 的坐标是零？逗号，三分之五，好，我们看啊，这是 c 和 d 的坐标，我们就求出来了，嗯，接下来呢，人家 第三位让我们去求的是 aob 的面积， aob 的面积这一块呢，老师要给大家讲一下，这个就是如何去弄啊？ aob， 他并不是一个非常规则的三角形，但是，呃，我们如果让我们去直接用底层高是不可以的，但是我们可以把它分割成两个，你想你看啊，这块如果我让欧的分割开来的话，那第三位我是可以得到三角形 aob， 他呢等于三角形 aod 加上一个三角形 bod， 是不是？好，那，那我们看啊，这个是 od 的话， aod 的话，那他的高是不是在这 h 一， 好，这个，这个是高啊，这个高呢，恰好是 a 的横坐标的绝对值， a 的横标是负二， 所以这个高呢，这一节就是二。再看过点 b 做这个 bod 的高好， b 的横着是一，所以这个高是一啊，所以在这里呢，我们是会得到我们做一个啊， b a b c， 那给他弄一个 a d 和 b e， 好，这个辅助线你提前要写啊，过 a 做 a d 垂直于 x y 轴 好，过臂做臂翼垂直于崴肘， 好，那么这个时候我们的三角形啊，他就等于二分之一， aod 就是二分之一 od 呈上一个这个 ad， 再加二分之一的 o d 乘上一个 b e， 然后现在我们把直带进去 o d 的长度也是知道的，因为点 d 的坐标是知道的，你看，在这一块儿，我们求了三分之五， 所以就是二分之一乘三分之五， ad 是二，再加二分之一乘三分之五。 b 一是一，是不是？那么这样的话我们算啊，第一个是三分之五，第二个呢是六分之五。好，三分之五加六分之五，那是不是我们的这个？嗯， 这可以写成六分之十加六分之五。六分之十五，是不是？好，六分之十五的话，我们可以给他统一除以一个三，那就是二分之五。 好，我们算出来是二分之五啊。好，这个答案呢，这个面积就是二分之五。好，今天的题老师就讲到这里啊，同学们好好去抓基础吧。

我们今天讲的这道题呢，同样来自于最近一所名校八年级上第一次月考试卷中的一道题，那么这个是填空题的压轴题啊，这里呢结合了依次函数以及这个线段差最大的问题啊，是一个综合题。 那么现在我们一起来看一下这个题怎么做啊？这里告诉了点 a 的坐标是一零，点 b 的坐标是负的四分之九负二， 然后说点 p 在这个直线 y 等于 x 上，现在我们要的是这里的这个 p a 减 p b 绝对值的最大值，那么其实就是线段差最大的问题啊。 那么现在想象对于线段差最大的问题，他和我们的将军一马，将军一马其实是线段和最小的问题，你把他俩可以对比着去看啊， 将军密码问题，我们是需要把那两个点放到直线的一侧的，那反过来线段差距大的问题是我们需要把这两个点给他放到这条直线的同侧的， 如何去放呢？就是利用做轴对称啊，那这块你看一下，显然我们做点 a 关于 p 点所在直线 y 等于 x 的 对称点是更方便的，这样做过去了之后呢，他的对称点就落在哪里，哎，就落在了这个歪轴上，这个点我们记做 a 撇，那么此时你看一下，我这样做完轴对称，我的 oa 和 oa 一撇是相等的，所以这里我们 a 撇的坐标呢，就是一个零一 行了。接下来呢，你再在这个 y 等 x 上，我随便的去啊，去画一个点屁啊， 比如说我现在这个点屁在这个位置，那么现在我要的是 pa 减这个 pb 绝对值的最大值，其实就是 pa 一撇儿减 pb 的绝对值的最大值，是不是？ 好，那么在这我们会发现 p a 一撇和 p b， 哎，我再给你连一个谁呢？我再连一个 a 一撇 b， 它构成了一个三角形， 那么根据三角形三边关系，我们知道这个叉呢，它一定是小于等于什么第三边的，哎，当它等于第三边的时候，就无法构成三角形了， 对不对？好，那么我们的最大值是谁呢？其实就是这里的这个 a 撇 b 啊，什么时候取最大来，你只要把这里的这个 a 撇 b 给它延长，然后和我的 y 等于 x 这个值 线相交，交在屁撇的时候，那么此时我们这里就可以取等，也就是说你是可以有差最大的，能明白吧？好，我们在这来写一下啊，就是 pa 减 pb 的 最大值就等于 a 一撇 b， 什么时候取最大点？ p 在 p 撇儿处取最大。好，然后你再看一下 a 撇 b 的长，我们怎么去求呢？ 两点的坐标我都知道呀，直接爱利用两点间距离公式，其实这个两点间距离公式又是这个直角三角形勾股定理的一个使用，你看我在这去 构造一个直角三角形， a 撇 b c， 那么此时啊，我们这一段的长就是谁啊？就是我的这个零减 负的四分之九，没问题吧？然后 b c 这一段长就是一减负二啊，所以我们用勾股定理就可以了啊，咱们这块直接是零减负的四分之九括号的平方，再加上一个一减 负二括号的平方，两加起来开方，我们最终可以得到你的长度是一个四分之十五。那以上这些内容在叮当老师依次函数这个专题里面都有讲解。那想要跟着叮当老师系统学习的话呢？私信我就好了。

我们来看这道题目，已知正比例函数 y 等于 k， x， 当 x 等于负三十， y 等于六，那么该正比例函数应为好，我们来看，大家想想，让我们来求这个函数的解析式，对不对？我们想想啊，正比例函数解析式长得是什么样？是不是就是 y 等于多少多少 x 呀？ 对吧？那也就是说，在这个 y 等于 kx 这个式子里面，到底谁是我们应该去求的未知数呢？ 谁就是这个 k， 对吧？那 k 怎么求？人家这已经给你说了， f 等于负三时候 y 等于六，那我们是不是只要把这个代入就可以了？ 所以说我们看 x 前这个系数，我们先代定它设为 k， 对吧？然后你把这两个 x， y 这两个数给它代进去，那就得到的是六等于负三，注意这是负三 k 好，所以 k 等于负二，那么正比例函数为 y 等于负二 x， 那我们看一下这道题，题目他告诉我们 x 等于负三的时候外等于六，这句话也就是说明了什么呀？ 也就说哪个点在这个函数上面，哎，是不是负三六这个点在这个函数上？好，那这道题我们做完了，我们来看下一道。 而已知依次函数 y 等于 k， x 加 d， k b 为常数，且 k 不等于零，它的图像经过 a 零负二和减 b 一零。那么依次函数的解析式是什么？好，我们来看 y 等于 km， 加密一个依次函数。同样，我还需要大家再想一下，对于这个式子来讲，如果我们要求出来最后那个函数解析式的话，谁是我们要求的位？看到 y 吗？ 不是，因为我们在讲函数最初的时候就说 x 和 y 叫做什么？他们叫做变量，对吧？那我们要找的是这变量之间的关系，那变量之间的关系用谁来描述呢？ 其实用到的就是这的 k 和 b 这两个系数，所以我们这里应该求的是谁啊？求的是 k 和 b， 对吧？那好，那我们接着来看他的图像，经过 a 零负二和 b 一零，那我们知道依次函数的图像，他是一条直线，那有两点，这条直线就能够确定下来了。那我们要想求一下这条直线的解析式只需要做什么？ 哎，只需要你把这两点给他带入到这个式子中，是不是就可以了？那也就是说，当 x 等于零的时候， y 等于负二，当 x 等于一的时候， y 等于零，那我们带进去 x 等于零的话， 等号左边就是负二等号右面 x 等于零，这是零没了，这是等于 b。 但如果一零的话，进去 x 等于一的时候，等号右面这是 k 加上 b， k 加 b 等于多少呢？那这边就得零。好，那解下这个方程， b 等于负二， k 等于二，所以依次方程解 题是 y 等于二， x 减二。哎，好了，那我们到这就把这个题目做完了。好，我们一起来通过这个两道小题巩固一下依次。还有解析式的怎么去求？ 那我们说求一次函数解析式的方法叫做待定系数法，什么叫做待定系数法呢？就是我们知道一次函数的解析式，他是不是长得都是这样的， y 等于 k， s 加 b， 而且 k 不等于零，那我们 这个形式既然确定了，我们要求的其实就是 k 和 b， 我们一开始不知道，不知道怎么办呢？你先给他待定，待定，我设为这两个，然后由他经过两点，把这两点坐标带进去，我们就能列出来两个方程，对吧？组成一个二元一次方程组，那用这个二元一次方程组， k 和 b 就求出来了。 好，所以我们来看这块其实是不是就是一个数和形的结合？那我们想未知数 k 和 b 两个对不对？如果 从型的角度来理解的话，你要想确定一条直线，让这条直线变成唯一的，你需要两点，因为我们叫两点定线。好了，这是从型的角度来理解，如果从竖的角度来理解呢？我们要求的位置数是 k 和 b， 这两个对不对？求两个位置数，你就得有一个二元一次防城组。 那好，需要有二元一次方程组的话，我们就得找到两个点的坐标在这条直线。好，我们来看这道题目，直线 ab 与 s 轴交于点 a， a 坐标一，零与 y 轴交于点 bb 的坐标零，负二低稳，求直线 ab 的解析式， 这个解析式很好求，对吧？几种思路，我们说应该两种。第一种就是按我们今天讲的，我们设这个直线，他的解析是为 y 等于 k， x 加 b， 然后我们把这两点坐标给他带进来，去列一个二元一次方程组来求解一下。那我们一起来看，把一零带进来的话，那是不是就应该是零等于 k 加上 b。 好，把零负二带进来的话，那就应该是负二等于 x 等于零，一带进去这一项没了，那就负二等于 b， 那解这个方程组解得 k 等于二， b 等于负二，所以解析式为 y 等于二， x 减二。 哎，这是第一种方法。第二种方法是什么呢？我们想想，你观察一下这两点其实是什么点啊？这是两个依次函数的特殊点，对不对？他是与 s 轴的焦点，他呢，是与 y 轴的焦点， 那我们知道 y 等于 k， m 加 b 与 x 轴焦点坐标是不是负的 k 分之 b 零，对吧？那与外轴焦点坐标是零 b， 那你根据这两个一对应，你是不是可以让负的 k 分之 b 零等于一，然后让 b 等于负二来求解。 当然了，两种方法都可以啊。第二种方法我也是简单提一下。好，那我们第一问，用这个比较基础的方法给他做出来了，得到外等于二， x 减二， 好，我们来看第二个。第二个就是弱直线 a， b 上的点 c 在第一象限，而且三角形 b o， c 的面积等于二，让我们求一下点 c 的坐标。哎，那这样的题要我说，怎么着你也得把这个函数的图像大致的画出来，对吧？哪怕画一个草图呢？那我们来看一下， y 等于二， s 减二 过一，零过这个点过零，负二，我们知道两点定线，那有了这两点，它的图像这条直线你就基本可以画出来了。嗯，大概是这样的一条线，对吧？好，那我们来看，这是点 a， 这是点 b。 好，他说三角形 b， o， c 等于二，而且 c 在第一象限，第一象限 c 也就只能在这个范围内，对不对？那我们来看一下假设啊，我们现在还不知道 c 具体在哪，假设 c 点如果在这的话， c 点，如果在这，我们找出三角形 boc 在哪？哎，你是不是需要把这个 oc 给它连起来？ oc 连起来，你看三角形 boc， 它的面积等于二，那现在我们想想它的面积怎么求呢？ 哎，我们知道三角形啊，面积就是二分之一的底乘以高，那他的底是多少？他的底是不是就是 ob 啊？ 那么高是什么呢？哎，高，其实你看，如果底为 ob 的话，我们做出高高数，就是这一段线段的长，这一段线段的长是什么呀？ 是不是就是 c 点的横坐标的绝对值？注意，我在这强调一下，同学们以后一定要养成一个很好的习惯，就是说我在平面直角坐标系里面研究几何问题的时候，所有线段的长，你一定要给他加一个坐标的绝对值，一定要养成这个好习惯。虽然这道题目中 c 的横动坐标都是正 对吧，他的绝对值跟本身是相等的，但是以后免不了你会遇到其他象限里面的坐标跟这个线段长的一个转化，所以说你只要涉及到线段长度，你就给他加一个绝对值。好了，那我们来看，那这个就是 c 点的横坐标的绝对值。那现在让我们求 c 点坐标，我们不妨设 c 点坐标为 m n， 横坐标为 m， 纵坐标为 n， 那你看一下，二分之一底乘以高，底是 o b 高是不就应该是 m 的绝对值，所以这才乘以 m 的绝对值 好了，他等于什么呢？就等于这个三角形 b o c 的面积，那就是等于二，那注意了，二分之一，这不用管 o b o b 长是不就是这个 b 点纵坐标的什么 绝对值，对吧？因为 b 是零负二，所以这一段线段长为二，那也就是变成了二分之一乘以二，再乘以 m 的绝对值就等于二，所以解得 m 的绝对值等于的是二，那注意，我们又知道 m 他是一个正的，对不对？因为什么呀？ c 在第一象限，那所以这就是 m 等于二。好了， m 等于二出来了，如何求他的纵坐标呢？ 那我们知道，如果一个点在一个函数的图像上的话，那么这个点的横纵坐标带到解析室里面，带到这个解析室里面是使这个等式成立的，对吧？那你要想求 n， 你只需要把 m 等于二带进去，那我们可以得到 n 就等于 m 等于二，带住二乘二，四四减二等于二，所以 c 点坐标出来了，就应该是二二。 好，那么这道题目做完了。好，我们首先来看一下。首先根据第一问，求一次函数解析式的话，其实我们说方法最基础的是这样的带定系数法，你先把解析式设出来，然后去列一个方程组，对吧？当然你也可以用我刚才提到的这种的特殊点法都可以， 所以说这个还是比较灵活的，需要同学们去针对不同的题目来进行不同的选择。好，第二问，这我想强调一下，首先第一点我们来看啊，第二问，这是一个在平面直角坐标系中研究几何问题的题， 对吧？那在这我要强调的就是刚才说到的细节，只要是坐标系中研究的几何问题，所有线段长一定要自动的给他转化为横坐标或者纵坐标的绝对值，必须要把这个记得牢牢的，一定要给他把线段长转化为坐标的绝对值，要不然很容易出错。 而且有的时候同学们在设未知数的时候，你也要明确你设的是他的坐标还是他的长度好，这是第一节第二点，我要说的是，如果一个点在一个函数的图像上的话，那么你把这个点的横纵坐标带到这个函数的解析式中，是会使这个等式成立的。你比如这我们求出来 m 等于二，以后你要想求 n 的话， 只要把二替换掉，这里的 x 代入，求出来的那个函数值就是 n。 这道题目如图，一条直线过减 a， 零四。好，这个点的做到是零四，还有减 b 二零， 将这条直线向左平移，与 x 轴、外轴的副半轴分别交于点 c 和点 d， 而且使 d b 等于 d c d b 是这一段儿等于 d c。 那第一位让我们求一下直线 c d 它所在的这条直线的函数解析式，那我们来看这个怎么来求呢？ 怎么来求这条直线呀？哎，那我们发现你这两段线段相等的话，意味着这个 b、 c、 d 是个什么三角形？是一个等腰三角形，对不对？如果这是一个等腰三角形的话，你看一下 o、 d 这条线段是等腰三角形的什么？哎，是不是它那条特殊线呀？ 什么叫做特殊线？就是我们等腰三角形三线合一，对吧？底边的中线，底边的高和顶角的角分线是重合的。那你看我这个 od 既然是直角坐标系的话， od 是不是和 bc 是垂直的，对吧？那也就是说 od 它是底边上的高，那它如果是底边上的高的话，它是不是就应该是底边上的中线？所以说 od 的长应该跟谁相等？ ob 的长就应该跟 oc 相等，对吧？那 ob 的长如果要跟 oc 相等的话，这一段是二，那这段是不也是二？那这一段是二。我问你 c 点的坐标是什么？是二零吗？ 注意，还是我之前强调过的，坐标细内，线段长跟坐标的关系一定要分清楚，坐标是有正负的，而线段长都是非负的，对吧？所以说 c 点坐标证应该是多少？应该是负二。好了，那 c 点坐标知道了，那我们在 接着看，他说将这条直线向左，这个 c、 p 是怎么得来的？是平移得来的，对不对？那大家现在想想，如果两条直线是平移关系的话，他们的解析式应该有什么关系呢？ 哎，在这有个很重要的结论，我们说这个 k 是不是决定了一条直线的倾斜程度呀？那你想，如果两条直线他的倾斜程度是一样的话，那他们的 k 值是不是就应该是相等的？ 那你想平移的过程中，这条直线的倾斜程度发生改变了吗？没有。所以说既然倾斜程度相等的话，他们的 k 值是不是也应该是相等的？那么你看一下这条直线的 k 是多少的话，那么这个 c、 d 的 k 是不是也是多少？所以我们来先求一下 a、 b 的解析式是多少？它过零四又过二零，那我们知道它肯定能写成 y 等于 k， x 加四的形式，对吧？为什么呢？因为你看零 b 嘛，外等于 k， s 加 b， 外轴条件应该是零 b， 那现在 b 数等于四呀，那你再把二零带进去的话，那这就是零等于二， k 加四，所以 k 等于负二。那也就是说 ab 直线 ab 的解析式。我这记着 lab 冒号 l、 a、 d 解析式是什么呢？ y 等于负二， x 加四。好了，那有这个基础的话，你看一下，那我们是不是就可以设 l、 c、 d， l、 c、 d？ 解析式是什么呀？那就是 y 等于负二， x 加上 b。 好了，那我们又知道它现在是不是过负二零，你看一下这个解析式里面位置数是不是只有一个 b 啊？所以我们只需要一个点的坐标带进去就行了。那你把负二零带进来的话，那就是零等于 x 等于负二，就等于四加上 b， 所以 b 等于负四。那也就是说 l、 c、 d 的解析式应该是 y 等于负二， x 减四。哎，好了，那我们把第一本做完了， 我们来看第二个求证， od 等于 oaod 等于 oaa， 这很简单吧，我们第一问求出来了，这条直线减去是 y 等于负二， x 加四，这条直线减去是 y 等于负二， x 减四， 所以 a 点坐标零四， d 点坐标零负四，那自然 o、 d 就等于 o a 了。好，我们来看第三问，求一下三角形 b、 c、 d 的面积。哎，这也很简单，对不对？那我们知道 s 三角形 b、 c、 d 的面积，三角形面积就等于二分之一的底是 b， c 乘以高是 o、 d。 好，那我们来看一下 b、 c 长多少呢？ b 点坐标是二零， c 点坐标是负二零，那这边的长度是二，这边长度也是二，所以 bc 的长度就应该是二加二等于四。那我们知道 b 点坐标求出来是零，负四的话，那 od 的长度就应该是四，对吧？注意是他纵坐标的绝对值，所以说，那这就应该再乘一个四，那最后算下来就等于八。 好，那我们再看一下第四位，第四位说在直线 a、 b 或者直线 c、 d 上是否存在减 p， 使三角形 p、 b、 c 的面积等于三角形 b、 c、 d 面积的二倍。好，我们刚才求他三角形 b、 c、 d 的面积是多少来着？十八，对吧？ 那这是八十，他的二倍的话，那也就意味着面积是十六倍。好说，如果存在的话，请求出点屁的坐标，如果不存在，请说明理由。好，我们先看一下这个三角形 pbc 大概是什么？ bc， 这确定了，那现在是不是也就是让我们在这两条直线上面 找点 p， 使得这个 p b、 c 这个三角形的面积等于八的二倍，那就是十六，对吧？让它的面积等于十六。好，那别着急，我们先怎么办呀？你先假设一点，你说假设这个点 p 在这儿的话，在这儿的话，你看一下这个 p、 b、 c 的面积应该怎么去算？ 那 p、 b、 c 的面积，我们知道三角形的面积等于二分之一底乘以高，是不是我们就可以把 b、 c 的长作为底，对吧？ b、 c 作为底的话，那高等于多少？高？其实是不是就是点 p 的纵坐标，注意，是纵坐标吗？ 一定要记住纵坐标的绝对值，对吧？好了，那我们一起来看一下。那现在也就是说我们设点 p 为 m n， 坐标为 m n 的话，那现在 s 三角形 p b、 c， 它应该等于什么？就等于二分之一的底，那就是 b、 c 乘以高，高是多少呢？注意想想高是多少？ p m、 n， 那高数就应该是 n 呀， 注意不要犯错， n 是什么？这应该有一个绝对值，对吧？好了，那我们来看，那这化解一下，就这边 sn 要求的面积应该等于十六，十六就等于二分之一乘以 bc 的长， bc 长为四，再乘以 n 的绝对值， 那最后 n 的绝对值解下这个方程就得八，那也就说 n 等于正负八，好， n 等于正负八，意味着我这个 p 点是不是既可以在 x 轴上，又可以在 x 轴下，对吧？上面下面都可以。 好，那你看一下， n 等于正负八。我们要想求 p 点的坐标的话，是不是还是要求出 m 来？那 m 怎么求呢？你想想，纵坐标为八的话，那这个 p 点它的横坐标应该是多少？ 注意 p 点在哪条直线上面，题目中说 p 点在哪条，他说直线 ab 或直线 cd， 所以说我们是不是得在两条直线上都考虑？如果是在直线 ab 上的话， 那你看纵坐标等于八的时候，纵坐标等于八，你需要把 ab 的解析式我这再写一下，刚才算出来是 y 等于负二， x 加上四，这是 y 等于负二， x 减去四。好，那你看，如果在 ab 上的话， n 等于八， 对应的 m 等于多少呢？你带进来， n 等于八， n 替换掉的是 y， 对吧？在这八减四，四四除以负二，那就是负二，所以 m 等于负二。 好，那如果 n 等于负八呢？你再带进来，这又减四，负八减四等于负十二，负十二除以负二，那这就应该等于六。好，那如果在 cd 上我们知道 n 的值了， n 等于八的话，在 c d 上， n 等于八，你带进来，注意 n 替换钥匙，这的 y， 对吧？那这八八加上四十二十二除以负二，那 m 就应该等于负六， 那这如果 n 等于负八的话，你再给他带进来，负八等于负二， x 减四，那这负八加上四就等于负四，负四除以负二就等于二来，所以最后你需要把 p 点的这四种情况的答案都给他写出来，那这四点坐标分别是负二八 六负八。注意 m 对应的是横坐标， n 对应的是动作标六八以及二负八。 哎，好了，所以最后我们求出来 p 点的结果应该是几个？一二三四四种情况。好了，那这道题做完了，我们一起来总结一下吧。通过这四好，我们来看一下。首先我想强调是第一问就告诉我们一个很重要的结， 我们知道对于直线 y 等于 kx 加 b 来讲， k 决定了这条直线的一个倾斜程度，对吗？那你想在平移的过程中，我的倾斜程度是不改变的，那倾斜程度如果不改变的话，也就是意味着他的 k 值是不变的，所以同学们在计算平移前后的这个直线的解析式的时候，你可以让他的 k 值保持不变，你只需要去算 b 就可以了。 好，那第二问和第三问涉及到求线段长度以及面积的问题的时候，我想说的就是一定要记住坐标细内，你的线段长度应该是某个坐标的绝对值， 一定要记住这个一定要分清楚你写的是线段长还是坐标。好，那最后一问我们来看一下。最后一问，做这样的题的话，问你是否存在的时候，往往我们的思路是，你也不能判断是不是存在，你先假设这个屁，给他假设传一个位置，哎，假设传这个位置以后，你去看一下让你求的这个图形大概是什么样的？或者说这个面积到 到底应该去怎么算？那我们刚才推断发现，哎，这个面积就是二分之一的，用这个底乘以这个高就可以了，对吧？那根据这个你可以算出来一个他的这个纵坐标的绝对值。 好了，那有了纵坐标的绝对值以后，你再去分别给它带入这两个直线中，去，求出它相对应的横坐标，然后把结果都写出来。那么这一定要注意一点， 还是我之前强调的，在这高意味的是 n 的绝对值，而不是 n， 如果你写的 n 的话，那这块你肯定就要丢掉某个结果了，这是第一点。第二点，一定要看清楚我们要求的 p 在哪一条直线上，对于这道题来说，两条直线上都可以，所以你要把情况都给人 看。这道题目依次函数外等于 k， s 加 b 表示的直线经过 a 点和 b 点，两点分别是一负一和二负三。那让 让我们求一下这个函数解析师，那可能很多同学做完这道题以后都觉得，哇，老师你这个满分冲刺，这不是今天忽悠我们的吗？给我们找来了一道这么简单这么基础的题。好，我们来看一下。首先我想说的是，你们如果觉得简单，觉得基础，你们肯定是怎么做的？肯定是用待定系数法撤退， y 等于 k， x 加 b， 对吧？然后你把这两点都给他带进去，那得到的两个方程应该是，负一等于 k 加 d， 负三等于二， k 加 d 好了，那你做叉就会解得下面减，上面 k 就等于负二， d 就等于一， 然后最后所以是 y 等于负二， x 加一。好，你觉得我会在满分冲刺放一个这么简单的题吗？那我把这个题放在这肯定是有我的目的的，对吧？那我们下面一起来看一下，到底里面有什么 规律。好，我们来看。通过这道题呢，我是想给大家讲一个更为简便的来求一次函数解题式的方法。那么讲之前，我先强调一下这个方法可以用来干嘛？你在做大题的时候，你还是老老实实的按照这个一步一步去做， 对吧？但是呢，我下面要讲的这种方法可以作为你对题目的一种检查的方法，或者说如果是在小题做小题的时候，这种方法会让你的效率变得更快一些，更高一些。好，那我们来看这个方法什么样？讲他之前，我们先找几个规律，我这给你列出几个函数， y 等于二， x 加一， y 等于三， x 加二，还有 y 等于负二， x 减三。好了，那我们来观察一下，我让 x 分别等于一、等于二、等于三的时候，我们一起来求一下它的函数值。 x 等于一， 这等于三， x 等于二，这等于五， x 等于三，这等于七。哎，你现在可以观察一下我的字变量每增大一的时候，我的音变量或者说函数值增大了几，对吧？那我们接着往后看， x 等于一，这等于五， x 等于二，这等于八， x 等于三，这等于十一。那你看看这，我 x 每增大了一，我的函数值增大了几。注意，你只需要观察他每一次都增大了几，而不用去关注他是几好。那我们接着来看后面这个， x 等于一，这等于负五， x 等于二，这是负七， x 等于三，这负九。 好，那我们一起来看一下我刚才问的这个问题。你看啊，这对于这个函数来讲，我 x 每增大一，我的 y 是不增大了二啊，这是 二，这是二。对于这个函数来讲，我 x 每增大一，我这的函数呢，是不是增大了三， 对吧？我 x 每增大一，我的函数就增大三，那对这个来讲呢？我 x 每增大一，我这是不每次增大的都是负二。好，那你能不能用一句话给我概括一下这里的规律，对于函数 y 等于 k， x 加 b 来讲， 我的 x 每增大一，或者说 x 每增大一个单位的时候，我的 y 增大了几呢？增大了几个单位？哎，你看一下，二哪是二，是不是在这呢？ 三哪是三在这呢？负二哪是负二在这呢？来，注意，我这想多说一下啊，你看，虽然这有同学说， 这不是减小了吗？怎么能是增大？你注意，我这减小了二，是不是相当于我增大了负二呀？对不对？所以你看一下，我 x 每增大一个单位，我的 y 对应都会增大几个单位，增大 k 个单位，对不对？ 注意，这跟 b 无关。你看，我这 b 是一二负三，并没有影响到我后面的这些数。但呢，我的这 k 是二，这 k 是三，这 k 是负二，那么这都是随着 k 变化的。所以这个结论大家一定要记住， x 每增大一个单位，我 y 的值就会增大 k 的单位。不管你 k 是正是负， 正的时候，我就增大，比如这增大二，增大三， k 是负呢，那我这是增大负二，增大负三，但是增大负二，增大负三，最后表现出来的应该是一个减小的一个关系了，但是你一定要记住这个结论。我再强调一遍， x 每增大一个单位， y 就要增大 k， 好，那我们再 回头团看一下，让我们求的这个解析师，那这个方法就很简单了，你看啊，一负一到二负三，你观察一下， x 从一到二增大了几个单位？增大了一个单位，对不对？我的 y 要增大几个 x 每增大一个单位， y 就增大 k， 我这 x 增大了一个单位，我这 y 从负一到负三，是不是增大了？相当于是负二个单位呀， 对吧？那所以我的 k 是不是等于负二？但其实你可以直接写出来， y 就等于负二 x， 所以负二 x 后面还有个 b 要求，对不对？那这个 b 怎么来求呢？你就随便拿一个点带进来求下 b 不就行了吗？你比如说我拿一负一 一带进来，这是负二，对吧？怎么样为负一，那我们怎么把负二变成负一呢？你这给他加上一就 ok 了。然后你再拿这个点检查一下，你看二乘以负二负四，负四加一等于负三，没有问题。所以大家记住，你有了这个方法，你就可以很快的算出 k， 很快算出 k， 怎么算 b 呢？你随便找一个点带进来， b 就出来了。 那在这一定要记住这个结论， x 每增大一个单位， y 就增大 k 个单位。那比如说我们再随便找两个点来试一下，你比如说我找一个二五和零八， 哎，那你看一下，从这到这看，对吧？横坐标 x 零到二增大了两个单位， x 零到二增大两个单位，那 y 是不是增大了二 k 单位？二 k 单位是多少呢？八到五，注意，八到五是增大了三个吗？ 不是，是增大了负三，对不对？所以这等于负三，那 k 就等于负的二分之三，所以这 y 就应该等于负的二分之三 x， 那怎么求 b 啊？哎，你注意零八是不是就与外轴的交减，那这个八是不是就应该是 b 的值？所以这直接加上八， 那有了这种方法，你算解气式的速度就会快很多，同时我们也加深了对 k 的理解。好，那这道题做完了，你现在能不能对于这个 y 的 k m 加密里面的 k 进行一些总结呢？结合我们之前学过的内容，也就说这个 k 到底决定了这个因此函数的好，我们一起来回顾一下。首先我们知道，如果这个函数图像往上走的话，那 k 是正的，往下走呢？ k 就是负的。 好，那还有第二点，我们说 k 的绝对值决定了什么？ k 的绝对值决定他的倾斜程度，对吧？哎，这个 k 的绝对值越大，那么这条直线越抖，越抖，也就越接近外手。注意，这是 k 的绝对值。好，这是第二点。第三点就是刚才讲的， x 每增大一个单位，对应的函数值就会增大 k 的单位。你不用去管 k 是正是负。来看看这道题目，你这如图平面这道坐标器 xoy 中， a 坐标是一零 a， 这是一零， b 呢是零一， c 呢是负一零。他说过点 c 的直线绕 c 全 转，就是这条过点 c 的直线，它绕着 c 在转，对吧？它与 y 轴交易，点 d 交线段 a， b 呢？与点 e。 好，第一问，他说求角 oab 的度数以及直线 ab 的解析式，那第一问根本就没涉及到这个 ce 这条直线什么事，对吧？让我们求的是 ab 这个角 oab 呢？就是这个角的度数，还有 ab 的解析式，那么观察下这个角度数怎么求？ 哎，我们知道三角形 oab 中这是不是一个直角呀，对吧？两个坐标轴吗？互相垂直的，这是直角，这条线段长为一，这条线段长为一。那你说 oab 是什么图形？是不是等腰直角三角形？等腰直角三角形的？这两个角相等的，又是互余的，所以他们俩都等于多少度？都等于四十五度，对吧？所以这个低温，这是很 好。那我们再来看后面这个让球 ab 的解析式。哎，那我们知道 ab 这条直线是不是过点 a 一零过减 b 零一，那有两点你这个解析式就能求出来了，对吧？那好了，所以我们设它的坐标为 y 等于 kx。 注意，能不能偷个小懒啊，有必要设 y 等于 kx 加 b 吗？你看 b 等于谁？ 哎，你看 b 点是不是这条直线与外轴的焦点，那我们说外轴焦点坐标是零 b 零 b 现在等于就是这个零一，那 b 就等于一了呗。所以你直接设为外点 k x 加一就行了。 那你把一零带进去，那就是零等于 k 加一，所以 k 等于负一，那就是 y 等于负 x 加一。好了，那 a 的解析式我们也求出来了。 好，来看第二问说，若三角形 o、 c、 d 与三角形 b、 d、 e 面积相等的话，那么求直线 c、 e 的解析式，这个问题好像就不太好做了。来主， 我们现在不知道 cd 是多少，对吧？我们可以设他的解析是为 y 等于，为了跟 d 问的区分吧，我们设为 y 等于 k 撇， x 加上 b 都给他统一一下。那好了，那我们来看一下那 d 点坐标是不是就是零 b 撇呀？ 那有很多同学说那三角形 o、 c、 d 的面积是什么呢？那就是二分之一的 o、 c 乘以 o、 d， 然后可以列出一个式子来，但是做到这以后，你会发现怎么着你也算不出来三角形 b、 d、 e 的面积，或者说三角形 b、 d、 e 面积很难算， 那这有没有什么简单点的方法呢？难道我们非得去把这个看着很不规则的这个三角形的面积给他求出来，然后让二者相等，利用这个面积相等这个条件去建立方程吗？哎，注意了，这就涉及到一个问题，就是这两个三角形面积相 等的这个条件到底应该我们想想怎么用呀？你看这两块面积都相等， 哎，那这时候你可以把思路或者说把你的眼光稍微放的远一些，大一些， 怎么回事呢？你来看这两块面积相等对不对？但是他们俩的面积都不太好算，但是我们看这两块面积如果相等的话，那是不是意味着我都给他加上这个四边形 a、 e、 d、 o 以后面积也是相等的， 什么意思呢？也就是说三角形 aob 的面积是不和三角形 aec 的面积是相等的，因为相当于我给刚才相等这两个三角形都加上了中间涂着阴影的这一块，对吧？哎，那也就是说你告诉我这两个三角形面积相等，我不去算他们的面积，我算这两块大 大的面积去，是不是就很好说了？所以你看 s 三角形 ocd 加上 s 四边形 aode 是不是根据这个条件也可以知道 s 三角，它就等于 s 三角形 b、 d、 e 加上 s 四边形 a、 o， d， e， 对吧？好了，那我们来看一下，也就是说这等于 s 三角形 o、 c、 d 加上这一块的话呢，就是 a、 c、 e， 它等于哪一块的面积呢？ b、 d、 e 加上这一块的话，那就是 a、 b、 o。 好了，那我们来看一下三角形 a、 b、 o 的面积，很好算吧。怎么算呀？这是一，这也是一，那不就是二分之一乘以一，乘以一，那最后就等于 二分之一。好，那你再看一下，三角形 a、 c、 e 的面积怎么算呢？三角形面积等于底乘以高除以二，那我们设一点坐标为 m n 的话， 那你看一下，对于三角形 a、 c、 e 来讲，它的底是不是应该是 a、 c 的长高呢？是不是就是这一段，也就是一点纵坐标的绝对值？注意，一定加的绝对值啊，也就是 n 的绝对值，对吧？那所以我们也就可以知道，二分之一乘以 a、 c， 再乘以 n 的绝对值，那就应该等于二分之一。好，所以 n 的绝对值等于多少？ n 的绝对值，这一段长为二，那这二分之一，二分之一约掉以后， a、 c 长为二，挪过来就应该等于二分之一，那因为 n 又是正的，所以这儿 n 就等于二分之一。好了。 n 等于二分之一的话 啊，那一点的坐标现在能不能求出来呢？哎，我们发现你一点不光是在 c、 e 上，对吧？你还在哪？你是不是还在 ab 上呀？ ab 的解析师，我们上一位已经求出来了，他的解析是 y 等于负 x 加一， 对吧？那我们把 n 等于二分之一往里一带的话，也就是有二分之一等于，注意，我带 n 同时要带上 m， 对吧？等于负， m 加上一，那解得 m 就等于二分之一，好，所以你一点的坐标就应该是二分之一，二分之一， 好，那你知道 c 的坐标负一零， e 的坐标二分之一，二分之一，那你求 ce 的解析式的话，带定技术法术就可以了。那我们刚才说的 y 等于 k 撇， s 加 b 撇，你把这两点坐标往里一带的话，那就是零等于负， k 撇 加上 b 撇好，然后二分之一等于二分之一， k 撇加上 b 撇， 好的，解一下这个防尘组的话，这个很好解，你看下面的减，上面的 b 撇， b 撇没了二分之一减负一，那就是二分之三，二分之三， k 撇等于二分之一的话，那么 k 撇就等于三分之一，好，那 b 等于多少呢？ b 也等于 三分之一，所以最后求出来这条直线解析是 y 等于三分之一， x 加上三分之一。好了，那这道题目做完了。 好，我们先来看一下第一问，其实很简单，我还是那句话，就是我们在研在坐标系里面研究这个图形的时候，第一个要注意的是 你所描述的这个东西是他的坐标还是线段长？如果线段长一定要加上坐标的这个绝对值，对吧？第二个我想说的就是我们在坐标系中研究图形，经常会利用到其中，把这个坐标转化为线段长，或者以及利用这个 坐标轴加角为九十度这样的条件，这是很重要的。那比如说我们第一问，确定这是一个直角三角形，然后又确定它是等腰直角三角形以后，那所有问题都解决了。好，这是第一点。第二点就是对于这道题来讲，这道题难点就在于这个条件如何来用。 那同学们以后可以注意一下，如果两块较小的面积都不是很好算的话，你看看能不能给他增添上一块公共部分，组成一个大的图形。哎，如果你能把这道题变成这两个大三角形面积的关系的话，这道题目 说直角坐标系中两条直线 l 一、 l 二，直线 l 一所对应的函数关系是 y 等于 x 减二。我们在这记一下，如果将坐标纸折叠，他把这个坐标纸折了，折了以后，他说 l 一和 l 二就重合了， 他说此时点负一零与点零负一也重合了，那么直线 l 二所对应的函数关系是为什么？哎，我们来看一下。首先我们先把这个坐标大概给他画出来， 他说他把这个坐标值给他折了一下，折完了以后谁和谁重合了呢？他是怎么折的呀？怎么折的？我们是不是就看一下这重合的点，负一零和零负一，这是负一零，这是零负一，你想我折了一下，这两点就重合了，那我们知道折叠其实是我们几何变化里面的哪一种， 是不是就是翻折？也就说是轴对称，对吧？那么这样对称轴跟这个对应点的连线是什么关系来着？ 是不是他的垂直平分线，对吧？那你看垂直平分线什么样？这条线段跟这条线段是不是相等， 对吧？因为这是负一零，这是零负一，他俩长度都为一，那到线段两端距离相等点在这条线段的垂直平分线上，所以说其实这个圆点是过他的垂直平分线的。那我们来看，那我现在画出来的这条直线是不是就是折叠这个对称轴呀？ 对吧？你想我这样一折，哎，两边重合在一起了，好，那我们来看一下 l 一和 l 二。首先 l 一他说是 y 等于 x 减二，那你就需要把这个函数画出来了， y 等于 x 减二的话，他肯定经过的是零负二，这一点 还经过哪一点呢？你再看一看，再找一点吧， x 等于一的时候吧，外等于多少？外等于负一，那就应该是这，那所以这条直线应该是他的吧，这是 l 一。哎，那我们看一下啊，沿着中间这条对称轴折叠以后，你说这个 l 一应该折到哪去了？ 折到哪去了？ l e 是不是就应该折到差不多这个位置上来了？那你说这条直线他的解析式是什么呢？ 哎，那我们观察一下，那我们来看，这三条线是不是都应该是一个平行的关系，所以说我们说平行的话，那么它的 k 值是不会发生改变的。以前 l e 是 y 等于 x 减二，所以我现在这条直线是不也应该是它的 k 值也应该是 x， 那就应该是 y 等于 x， 后面怎么着，对吧？那我们现在根据这个就可以排除一些答案， c 和 d 排除掉，那到底是 y 等于 x 加二还是 x 减二呢？那根据选项的话， y 等于 x 减二，是 l 一的解析式了，那到这的话，肯定就是 y 等于 x 加二，所以选择 b。 当然了，你也可以不这么做，你可以怎么想呢？你看我这条对称轴在这，对吧？那我们知道对称轴上的点到这个对应点的连线肯定距离是相等的，对不对？那也就是这两段线段长是相等的，这个点坐标是零负二，那这个点坐标应该是负二零， 那你看一下这 k 值为一了，又过负二零，那就只能是外等于 x 加二，所以选择 b 全项好了。那这道题其实就是一个在坐标系列进行折叠的这样的几何变换的一道题目。那做这种题，其实同学们重要的点 就是你只要能把这个图做出来，然后根据线之间的关系给他转化为解析式之间的关系就可以了。比如我们刚才说的线平行的话，那么他前面的 k 值是一样是固定不变的。 好，那我们今天的课就上到这，回顾一下今天讲过的要点。第一个求一次函数解析式的方法，那最基础的就是带定系数法，那一定要注意，这强调一下未知数是谁？未知数是 k 和 b， 而不是 x 和 y， x 和 y 叫做变量。