九年级上册平行四边形的定义

同学们大家好，今天呢我们一起来学习九年级上册第一章特殊平行四边形的复习课， 在复习课的时候呢，以后都一样，我们复习课所采用的这个背景模板呀，是一个呃类似黑板性质的，它的色彩和我们讲知识点和讲习题的时候的色彩不一样，这样的话呢，就便于大家在抖音上翻这个 视频的时候呢，注意区分一翻，一看见这个颜色的呃内容，你就知道前一张的内容呢就已经结束了，他是张一张和一张之间的一个分界线，分界线啊， 好，我在这里说明一下，便于大家去学习。首先呢我们对知识点进行复习，我们在菱形、矩形和正方形里面，内容呢主要分为两大方面， 一个呢是性质，一个呢是判定。定理我们收。首先来看性质这一部分性质呢还是沿用了我们总结性质时候的内容， 对称心，边角对角线这样的一个内容。我们先来看最后一部分的对称心啊，都是轴，对称图形 都有对称轴，只不过是条数。不一样啊，都是中心对称图形都有对称中心，都是对角线的焦点，对不对？这个是一样的哈，好在这个我们再写，从从右往左看哈，对角线上对角线 菱形的互相垂直且平分，每一条对角线平分一组。对角啊，菱这个矩形的呢，是互相平分且相等，从这个呃正方形上来看，它相等且互相垂直平分，垂直平 平分啊，这个强调了很多遍啊，因为垂直平分有垂直平分线的内容，这个是需要我们单独关注的，从角对角相等，菱角互补，四个角都是直角，其实四个角都是直角的时候，它也满足对角相等和菱角互补的这样一个特点。 好，这边平行且四边相等，在这一六里面呢，在这一列里面啊，第一个和第三个它是一样的，平行且四边相等啊，只有矩形的不太一样，平行且相等，因为它不能四边相等， 它是对边相等的这样一个内容。好，我们再来看知识点复习的判定内容，判定方法的一个总结，其中呢，呃，他们共同的部分呢，就 他们都有定义的这样一个判定啊，这个在我们讲课的过程当中呢，多次说过，他本身的定义就是他的一个判定。然后呢，菱形有两条矩形，矩形有两条， 而我们的正方形呢，有四条，它的四条呢有分别是和矩形和菱形相关的啊，这个内容呢，大家自己学习一下，前面的性质和判定定理还没有记住的同学请抓紧时间，抓紧时间。 好，我们这节课呢呢，除了复习知识点，之后呢，我们会研究一些新的题目，新的题目啊，加深大家对本章知识点的一个理解。 好，我们先来看菱形部分的内容，第一个呢是如图，两张等宽的矩形纸条交叉重合在一起，然后呢，标上了字母 a、 b、 c、 d， 那么我们来猜想重合部分四边形 a、 b、 c、 d 是一个什么样的形状，并且要说明你的理由。我们在学习菱形部分第三课时融合提升的时候呢，就说过这个题 啊，这个题呢，他是我们课本上第八页的一个呃，研究的一个活动啊，当时呢，他课本上呢，是有两条，一个等宽或者不等宽的，分别研究他的形状是怎么样的。那么我们再来看 这个题，这个题既然是等宽的一个矩形啊，等宽的一个矩形，上下都平行，是吧？上下边都平行。这样的话呢，首先我们就可以判断出 a、 b、 c、 d， 它是一个平行四边形，因为它的对与边两组对边分别平行，是个平行四边形。 然后我们再研究看看在平行之外还有没有其他的条件。就说老师等宽的啊，前面我们就学习过，等宽的话，我从一边的一个点向另一条边做一个垂线，那么这个也一样，我从 a 点呢，继续向他这条边做垂线， 那么我们所做到的这个垂线呢，就是这两条边两条平行线之间的一个距离，那么因为它是等宽的，所以说这两个距离是相等的，是相等的。好，那么我们继续看， 因为平行四边形，它的对角也是相等的，再加上这个直角相等，其实这两个三角形是全等的，我们能够得到零边相等，我们能够得到零边相等啊，零边 再加上零边相等，那么它是不是就成为一个菱形了，它就能够成为一个菱形，这是我们判定的一个方式， 那么我们在这里判定的时候呢，根据呃判定林边相等的时候呢，第一个是运用全等的方法，第二个呢，我们可以运用面积的方法啊，因为四边形 a、 b、 c、 d， 它既然已经定了啊，它既然这个图形已经定了，那么它的面积就应该是一致的， 对吧？它的面积就是一致的。在这里呢，你比如说它的面积呢，就等于 b， c 乘以 a， e， 也就等于啊， c， d 乘以 a f。 既然 a、 e 和 a、 f 是相等的，那么 b， c 和 c、 d 就相等，也是一组零边相等的判定方式。好，同学们在这里呢，我们来看一下哈，我们来看一下这样一个答题的过程，它呢， 就是通过面积的方式来说明了零边相等，而我们呢，是通过全等的方式进行了零边相等的这样一个证明啊，这是方法都是可以的哈，方法都是可以的。 好，我们看第二题，如图，在四边形 a， b， c， d， 它为菱形角， a， b， c 等于七十度， a， b， c 这个角等于七十度， 这是一个菱形哈， a， b， c 零七十度。既然有角度有关系了，菱形的对角线是不是平分一组对角，那么我们可以得到，这个是三十五度，这个呢，也是三十五度， 因为对角相等，其实这个角和这个角也分别都是三十五度，对不对？好，沿乘 b c 到点， e 在角 d， c， e 里面，在 d c d， d， c， e 里面，我们做了一个这个射线 c， e， 使得角 e， c， m 做了一个射线 c m。 哈， c m 啊，然后呢，得到了一个这个角 e， c， m 呢，它等于十五度， 他定十五度，而过点地，过点地做了一个 d， f 垂直于 c， m 为 f， 然后呢， d f 为根号， d f 为。你好问，我们对角线 b、 d 的长，我们对角线 b、 d 的长，你说，既然是研究对角线了，而菱形的对角线，它有垂直的关系，我想用勾股定力， 是不是？啊？啊，这个是我们常考呃，常用的这种思路哈，我们就可以先连接 a、 c 啊，先让它相交于点 o， 连接 a、 c， 它是垂直的关系，对吧？ 那然后呢，我们来看，既然这里涉及到角度的问题了，你看这里是七十五度，根据平行的话，这里也是七十五度，对吧？哎，不是也是七十度啊，七十度，这里是七十度，这里也是七十度。减去十五度，这里是不是五十五度？ 五十五度，你看在这个三角形里面，这是三十五度，这是九十度，这里也是五十五度。刘老师知道了，我知道了这两条，这两个三角形是全等的，这样是三角形是全等的啊，因为他有直角，有五十五度的角，还有公共边，他就全等了。全等了之后你看， 那么既然 d、 f 等于根号五，是不是 d、 o 就等于根号五？ d、 o、 d、 o 它是 b、 d 的一半，是不是我们 b、 d 就等于二倍的根号， 是不是？同学们，是不是很简单啊？如果前面的课程你都已经学习过了啊，那么在这里的内容呢，就很简单啊，你会很快的反映到他本身需要的这个思路和知识点上。 好，我们再看矩形的性质和判定，如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 灯中，这是一个平行四边形，平行四边形，如说对角线 a、 c 和 b、 d 相交于点 o， 在平行四边形里面对角线是什么样的特点？相互平分，相互平分。 在这里呢，又告诉我们，三角形 abo， 它是一个等边三角形，等边三角形 ab 等于四， ab 等于四。然后呢，求平行四边形 abcd 的这个面积 平易四边形的面积他底乘以高就行了嘛，对不对？然后呢，我们去看一看他前面所应用的这些条件如何运用？这个我们已经运用过了，他就是互相平分，在这里呢， 又得到了什么？他是等边三角形的话，这个这个，这个是相等的， abo 是相等的，因为出现了 ao 等于 bo， 所以说我能够得到 ac 等于 bd， 可以吗？同学们，可以吧？ 再加上它本身是一个平行四边形，所以说它是一个矩形，不能用等号，我们用个推倒的符号哈，它是一个矩形。矩形的话你说，老师，我知道了矩形的话，它这都是垂直的关系嘛，这都是垂直的关系。那么 a、 b 既然知道了，如果， 如果我再能去找见 b、 c， 是不是这个内容就可以了，对不对啊？我去找见 b、 c 就可以了啊。好，然后呢，我们去找一下 b、 c。 李老师，这个，呃，这边呢？呃，它等于四，它 等于四，它等于四，它也等于四，是不是啊？啊，那么你是不是就可以应用 google 定理求出来 b、 c 是多少？ 然后呢，再运用咱们的这个面积公式，底乘以高就能够进行计算出来啊。好，我在这里呢，不进行计，不进行具体的运算了哈。同学们来这里看一下，一起看一下这个答案啊，一起看一下这个答案。 好，我们看第二题，第二题呢，是一个中考题啊，中考题，我们来看来体会一下它的难度。 如图，在矩形 a、 b、 c、 d 当中，它已经告诉我们是矩形了， a、 b、 c、 d 当中， e 是边？ a、 d 上一点。然后呢， f、 j、 f、 g 分别是 b、 e、 c、 e 的终点，看，是不是出现了终点了啊？ f、 g 是 b、 e、 c、 e 的终点，这个你说老师一看，他是在三角形 b、 e、 c 里面，他是一个中位线， 然后呢，我们连接 aeaf 啊，再连接 dj， 再连接 dj， 现在呢，告诉我们 af 等于三， d j 呢，等于四， f j 呢等于五，你说老师好，因为它是。呃，最后呢？还是求矩形的面积还是求矩形的面积了，那么还是呃，底乘以高吗？是吧？底乘以高，然后呢，这里等于五，中位线等于五的话，那么 b c 是不是很明显等于十啊？ 啊，然后呢，你说老师看看这里面，看看这个三怎么运用，四怎么运用？我们来看看 他是三的话，这是不是直角三角形里面，他的斜边上的中线等于三，斜边上的中线等于斜边的一半，所以说我在这里呢，能够得到 e b 等于六，同理 e c 等于八，然后呢， b c 等于十，这是不是满足我们常见的勾股数，这样的话能够得到角， b， e、 c 是个九十度。 刘老师好，九十度有了啊，九十度有了啊，这个很好，九十度有了之后怎么办呢？ 九十度有了之后，我们是不是就可以计算中间的这个三角形 b， e、 c 的面积了？是不是它就是二分之一乘以六，乘以八等于二十四， 对吧？那你说老师知道他的三角形的面积，呃，然后呢，人家问的是矩形，矩形的话，其实我如果要是知道这个就好了，那我们先看三角形的组合的这一，这一种方式，是不是中间的这个是不是两边的这 三角形加上中间的这个三角形，它的面积正好就是矩形的面积了。现在我们知道了一部分，我们看看剩下的这一部分， s 三角，我在这里简单写哈， a e b s 三角形 a， e， b， 它加上 s 三角形 e， d， c， 你看看这个它是不是二分之一？ a， e 乘以 a b， 再加上二分之一 e， d 乘以 d c， 其中 a、 b 和 d c 是不是相等的？我们都看成 a b， 然后呢？ a， e 和 e、 d， 我们如果把二分之一 a、 b 提出来的话，是不是里面就成了 a e 加上 e d 了？ a， e 加上 e、 d， 是不是 a、 d？ 于老师，这两个三角形的面积加起来，它等于总面积的一半，那么空下 下来的这个三角形，他是不是就是面积的一半？他是不是就是整个矩形的一半？很好理解吧。啊，是一半，一半是二十四的话，那么他的，呃，那么矩形的大面积是不是就剩下他的二倍，是四十八？ 有的同学呢，在这里说了，老师，这个我知道了，你看这条线我知道，然后呢？这条线我知道，他们的高是他们的，这个呢？是，呃，一致的啊，他们这个是一致的，然后呢？这个东西呢？加起来有等于 又等于十，是吧？这个加起来又等于十啊，你知道我设这个 x， 这个是十减 x 啊，呃，然后呢？呃，这个我设 y 啊，这个我再设 y， 然后呢？呃，这个叫什么？呃，呃。同时运用这个两次的勾股定理，同时运用勾两次的勾股定理 去解这个 x 和 y， 然后呢，再算出这样的话呢，就复杂了啊，这样的话就复杂了。同志们啊，在这里呢，因为我们前面也讲过啊，前面也讲过这个，呃，三角形的这个内容啊。再说了，在遇直角三角形里面遇到顶点啊，不对，遇到终点，遇到斜边上的终点， 尤其需要注意运用我们本身已经学过的知识点，快速的解答他。 好，我们再来看正方形的内容哈，正方形的内容，正方形的性质和判定，如图，四边形 a、 b、 c、 d 是编成为二的正方形，编成为二的正方形，然后呢点 j 是 b、 c 的延长线上的一点，连接 a、 j， 点 e、 f 分别在 a、 j 上，然后呢，我们连接 b、 e 和 d f， 角一等于角二，角三等于角四。第一问问的我们是三角形 a、 b， e， a， b， e 和三角形 d， a、 f， d， a、 f， 也就是说这个三角形和这个三角形它是全等的关系。首先根据我们的四边形是正方形，首先我们有这个，这两个边已经相等了，对吧？角一等于角二，角三等于角四， 这两组角已经告诉我们了，是不是再加上他的 a、 b 等于 a、 d， 他们两个就全等了，是不是很好理解，很好理解哈。 好，我们再看第二位角， j 等于三十度，告诉了我们一个三十度的一个特殊的角，是吧？直角三角形里面有个三十度的特殊角， 非常的开心哈，非常的开心。好，我们再来看看，你说老师脚他脚这点三十度的话，因为最后是求 e、 f 了，我还要放在这里，放在 e、 f， 那么你看 a、 d 是不是和 b、 j 是平行的，那么我得到角一， 他就应该等于三十度了，角一就等于三十度了。老师，角一等于三十度，可是呢，他没有直角三角形，让我研究这里是一个直角三角形，倒是啊，这直角三角形，但是斜边的话呢，成了这个了， 人家也没有标字幕，没有标焦点，这就说明我可能不是用这个三角形的，但是我看呢，这个三角形 adf 呢，它就像一个直角三角形，我们看看它是不是 角一加上角四是不是九十度，而角四等于角三，而角四呢，等于角三，所以说角一加上角三就等于九十度，所以说这里就是一个垂直的关系。 好了，这样的话，我们在 rt 三角形 afd 里面去研究一下，角一等于三十度啊，这个 ad 斜边等于二，那么 df 是不是等于一，这样的话呢， af 它就等于根号三，对不对？一，根号三二，这是我们的 这样一个很常见的勾勾股定理的内容哈，我在这里就详细的解答了，因为 d f 呢，它和 a、 e 是相等的，可以根据第一位的全等就知道，那么这里等于一，那么 e、 f 是不是根号三减去一就可以了， 对不对？这个题呢，看似复杂，但是呢，思路非常简单啊，看似复杂，思路非常简单，好，大家可以看一，在这里暂停看一下这个具体的过程。好， 我们再来看。如图，正方形 a、 b、 c、 d 的对角线， a、 c 和 b、 d 相交于点 o， 是不是？正方形 a、 b、 c、 d 的对角线， a、 b 和 c、 d 的对角线， a、 b、 c、 d 的对角线， a、 c、 b、 d 相交一点哦，好，角， a、 c、 b 的 平分线，角 a、 c、 b 的平分线是这个 c， m， 这是角平分线哈，角平分线啊，注意角平分线的内容。然后呢，相交于 m 和 n 两点，现在我已知 a m 等于根号二， 这 a m 等于根号二啊，同志们， a m 等于根号二。问我们 b n， 哎呀，这个方马牛不相及，对不对？ b， n， 这个方马牛不相及呀。嗯， 然后呢，我们再来研究研究题目的条件，既然他出现了对角线，对角线是不是平分一组对角，并且他们是垂直且平分的这样一个性质好，这里是四十五度， 对不对？这里也是四十五度，然后这里呢，又平分了二十二点五度，二十二点五度，对不对 啊？这样平分了，然后我们来研究研究。你说老师求 bn 的 bn 呢？在三角形 cnb 里面，你说这不是一个什么特殊的三角形，然后呢，求的话不好求，肯定要把 bn 进行转换， 并且转换的话，我肉眼看过去，我觉得 bn 和 bm 相等啊，我们来看看它相等不相等啊？相等不相等。刘老师， 呃，这个，这个角他等于二十二点五，加上这个角，是不是他的一个三角形？ c n b 的一个外角，他就等于我们的二十二点五加上四十五、六十七点五，是吧？六十七点五。然后我们再来看这个， 这个呢，是不是是这个三角形的一个外角，他也是二十二点五加上四十五一个外角，所以说等腰三角形吧，等腰三角形 bn， 你说老师 bn 等于 bm 我就知道了， 而 b m 呢，是对角，是这个角平分线上的一点星角的一边做的一个垂线。那么你说老师角平分线我很熟悉，我就能够想起来，它应该等于它 b m 就应该等于 m o， 这样的话我们就转化成求 m o 了，转 m o 就更简单了，这是一个等腰直角三角形，它的斜边等于根号二，那么它的这个直角边就等于一， 对不对啊，所以说呢，在这里呢，体现了一个线段转化的这个过程啊，线线段转化的这样过程，我在答题的时候呀，我经常告诉同学们， 就是说我们一定要，嗯，就是在判断，如果你这个线段无法解决，那么你就肉眼看过去，他和哪个线段相等，给你一个大体的方向， 你比如说他肯定就要转化，转 b n， 要转化成 b m， b m 之后求的时候呢， b m 又不好求，嗯，是吧， b m 又不好求， b m 不好求呢，但是我们还平分线的性质还没有开发完啊，角平分线的性质没有开发完，我们再开发一下它。 好，最后一题，这是最后一题哈，图形的定制问题，我们在前面的时候呢，也有讲课的时候呢，也说过啊，也说过，呃，他的一个定制问题的一个研究，大家可以翻前去看一看，他研究呢，也是 p i， p e 等于 p f 的这样一个内容， 当时呢，这是通过面积的这样一个方式来研究的。我们再在这里看一下这个，在矩形当中， a b c d 当中点 p 是 b c 上的一个动点， p e 垂直 a c， p f 垂直 b d 啊，其中只告诉了我， 我们 a b 等于六， b c 等于八啊，问我们 p e 和 p f， 你说老师，这也太难了啊， p e 和 p f 既不在什么三角形里面，它也不是啊，什么特殊的对称性的一个内容啊，在这里很难研究。然后呢，我们来观察， 既然去问你 p e 和 p f 的加上 p f 的值，这就说明我们能够通过一种什么样的某种方式把提取一个什么公公因式或者是呃，式子了，什么时候最后留下它，最后就算一个，它的一个结果就可以了，对不对啊？ 根据我们先前所总结的经验呀，在这里求定值的时候呢，我们都是通过面积的方式来实现的。面积的方式的话话呢，他怎么来的？你看 b e， 好好好好的，他就垂直于一条边， p e 呢？它。呃， p p f 哈， p e， 它也垂直于另一条边，我们是不是垂直的情况下，我们可以把它看作某一个图形的一个高，对不对？我们先来看 p f。 刘老师， p f 的话，它就是这个三角形， 嗯，他应该能够看成三角形 b o p， 是不是啊？那这样的话呢，我们给他加一条，加个辅助线， p f 连接起来， 是不是它就成了？呃， p f 就成了 b o p 三角形 b o 边上的一个高，是吧？同理， p e， 它就成了三角形 p o c f c 边上的一个高，这样的话呢，你说老师 前面所学习的我还有印象，那在这里呢，我把这两个三角形的面积呢啊，求一下，三角形 b o p 加上 s 三角形的这个 o p c， 是不是他们的面积加起来应该等于谁？是不是三角形 b o c？ 而三角形 b o c 的面积等于多少？ 是不是等于四分之一？矩形的面积，这个我们前面说过哈。呃，不清楚的同学翻到矩形的内容，再重新看一下，再重新看一下。好，我们继续往下等 bop， 他这样的话呢，他的面积就等于二分之一 bo 乘以啊， bo 乘以这个他的高， pf 再加上二分之一，这里呢是它的就用，用成 o c 再乘以它的高呢？是 p e， 对吧？我们把这个呢研究一下。二分之一，嗯， b o 和 o c， 你说老师，这是矩形，它的对角线呢？是相等的，它的对角 表现是多少？六八十，每一段是不是五乘以五啊？这边呢也是五，我就不写了，我直接把它提出来，是不是 pf 加上 pe， 那么这就有了，他已经放在一起了，我们再看看后面等于四分之一的矩形，矩形的面积是多少？六八四十八，那么他的面积是不是十二， 那么这一部分他应该等于什么呢？是不是等于十二除以五，呃，二分之五等于啊，五分之二十四， 对不对啊？很简单啊，很简单，我们在垂直的时候呢，就要考虑高，把它放在不同的三角形里面，然后呢去研究，最后呢能够得到 p e 和 p f， 它是可以可以单独乘在一起的，乘在一起，然后呢去解决五分之二十四。哈，好，这就是我们这一节的复习 课，复习课他从题型的变化上呢，对大家，呃，理解，知识点呢，做了一个深化啊，做了一个深化。 好，同学们，这节课呢，我们就上到这里，同学们辛苦了，更多精彩的课程请关注冯老师爱数学，谢谢！

大家好，呃，今天开始呢，我们就来开始学习我们九年级上册的一些知识点，呃，时隔这么久呢，一直没有更新呢，是因为有其他事情需要做，然后在接下来的时间里面，我们会陆续的更新我们九年级上册的知识点。 在录视频之前呢，首先感谢同学们的一直的支持和认可，首先感谢大家，那么在接下来的时间呢，老师会给你们把九年级的有关知识点全部会以系统课免费的形式 上传到平台。好吧，那么现在来开始我们的学习，首先我们来看到我们今天需要学习的是特殊的平行四边形性质 个与判定。好，那么首先我们来看一下我们要学哪一个平行四边形好？第一个比如说我们要知道什么 什么样的四边形是平行四边形，那么我们还记不记得平行四边形的性质呢？是不是？比如说两组，第一个是不是 两组对边平行对吧？第二个是我们还可以得到是什么呢？是不是一组平行且相等 的四边形，那么我们这些性质来我们看一下。好，那我们平行四边 形的性质呢？我们就来回顾一下，首先我们看到边边对边平行写相等，比如说我们这条边跟这条边呢，就属于对边，这就是对边的概念，能明白吧？那么首先我们来再来看到 对角线相互并互相平分好，比如我们把对角线连起来 是不相交并相互平分，对吧？好，那么角呢？对角相等，菱角互补，那么我们来看一下什么叫做对角相等 对角，这两个角就叫对角，是相等菱角互补，因为我们可以知道假设这是角一，这是角二，那我们角一加上角二就等于一百八十度，因为他们是什么呢？同旁 内角，对吧？两直线平行，同旁内角相加的话，是不等于一百八十度呀？互补吗？ 这是我们之前所学过的一些字典，对吧？那么现在呢，我们来看一下，我们张图片里面会有一些哪些形状呢？比如说第一个、 第二个以及第三个、第四个，这些形状是比较特殊，那么这就是我们今天所需要学习的内容，它叫什么呢？菱形，那么我们可以知道平行四边形跟菱形，那么又有什么样的区别呢？对吧？比如说来看一下哈， 有没有发现我们平行四边形跟菱形又好像，对不对？那么具体像在哪里呢？那我们来看一下，先看到我们菱形 的概念，他说有一组零边相等的平行四边形叫做菱形，那我们是不是可以知道我平行四边形里面是 包含菱形的，是不是包含菱形的？有没有问题？那么我们这一个是不是大的范围，这是一个小的范围啊，对吧？那么它的特征肯定就会有相似性，那么菱形它是一个特殊的平行四边形的话，那么它是有一个特殊的关系啊。 好，那么来看到第一个是他们平行四边形的几何与菱形的几何大小的一个关系，那我们就可以归纳到什么呢？就可以得到菱形是特殊的平行四边形，那么他们具有平行四边形所有的性， 但平行四边形不一定是菱形，就相当于是我 a 可以推出 b， b 呢不一定能够推出 a， 对不对？就这个意思， 那么我们接下来看到第三个，他说，呃，菱形是轴对称图形吗？如果是，他有几条对称轴呢？对称轴之间有什么位置关系？然后他说菱形中哪些线段是相等的？ 那么首先我们来看一下，我们可以知道，我们通过平行四边形来说 a、 b、 c、 d， 假设我们这是个平行四边形，我们是不是有 a、 b 等于 c、 d， 对不对？那么我们现在它是不是这两条边相等啊？那我们是可以得到它们的边，菱形的边都是相等的呀，对吧？ 好，这只是边上来做一个比较，对吧？好，那我们来看一下，我们对折一下， 好，那我们可不可以知道他是对称呢？对吧？那么我们这个肯定要用我们数学的语言来描述，菱形是不是轴对称图形？有两条对称轴，对称轴直线 a、 c 和 b、 d， 对吧？ 那么第二个就是关于他们边的一个都相等， a、 b 等于 b， c 等于 c， d 等于 a、 d， 这个是不是这几条边都是相等的？首先我们可以知道是不通过平行四边形， 平行四边形是不可以推出对边箱的， 对吧？对边相等的话，然后我们再可以推出零边，是不是因为我们是零 菱形，零边是不是要相等啊？那我们说可以推出全部都相等，是一个这样的性质呀，对不对？好，那么第三个菱形的对角线互相垂直，哎，这个是怎么得出来的呢？你看我们的对角线，这个是不是应该是垂直呀？ 我们怎么去判断，对吧？我们可以通过我们刚刚对折来理解，对吧？好，那么现在我们来看到一下，他说求证菱形的四条边相等对角线互相垂直，怎么去证明？好，那首先看， 那么以他说，如图，菱形 a、 b、 c、 d 中 a、 b 啊， a、 b 是等于 a、 d 的对角线， a、 c 交 b、 d 等于多少度啊？ 相交于 o 点，好，那么现在我们要怎么去做这道题，对吧？ 好，那么来看，我们求证。第一个，他说因为平行四边形 a、 b 是菱形，所以呢，我们可以知道 a、 b 是等于 c、 d， a、 d 是等于 b、 c 的，这个有没有问题？ a、 b 在这， c、 d 对边嘛？对边相等。好，那么我们又因为 a、 b 等于 a、 d 的话，是不是可以证明出第一个 a、 b 等于 b， c 等于 c、 d 等于 a、 d 啊？有没有问题？这第一个， 那么我们证明完第一个之后，我们是不是要证明什么呢？证明他们垂直，对吧？ 垂直我们需要怎么证明？比如说我们可以看到 a、 b 等于 a、 d， 对不对？所以说我们可以知道它是一个等腰三角形，然后平又是 菱形，对不对？菱形的话，我们可以知道 o、 b 跟 o、 d 对角线是，它是平行四边形的平分网，然后在这个里面等腰三角形中 o、 b 等于 o、 d， a、 o 垂直 b， d， a、 o 是不是垂直 b、 d 的呀？ 那 a、 b、 d 嘛？ a、 b、 d， a、 b、 d 这个三三角形中好，那么我们是不可以得到 a、 c 是垂直 b、 d 的，对吧？ 好，那么我们接下来往下走，他说思考一下菱形对角线所呈的两个内角有什么关系？是证明 a、 c 平分角 b、 a、 d， 其实这个你证明了，这里的话，我们证明这两个三角形全等就行了，是不是可以通过 h l 来证明啊， 对吧？好，那我们来看一下菱形的性质跟平行四边形的对性质有什么区别啊？首先我们来看到第一，看到第一个哈 菱形的性质，其实我们就是特殊的一个平行四边形了，他肯定是会包含平行四边的形的一些性质，那么他是四条边都相等，互相垂直，且每条对角线平分一组对角，对吧？那我们接下来往下看。 好，那么现在我们到做题环节，首先已知菱形 a、 b、 c、 d 中对角线 a、 c 跟 b、 d 相交于 o 点， a、 b 等于五，然后呢， b、 d， b、 d 等于八，那我们可以知道他们的对角线是不是平分，对角线是不 垂直且平分，那么垂直且平分的话呢？我们可以知道 b、 d 等于四的话，那么标是不等 八的话，那么是不是五四，那么我们可以知道 bo 第一个是可以等于四厘米，那么我们看 acac 的话，我们知道这是直角五四三是勾股数， 然后那么 a c 是不等于两倍的 ao， 那么是不等于六，对吧？那么就可以得出一个结论，我们做题一般是菱形中已知边长或者对角线求相关长度的问题，一般利用菱形的对角线垂直平分，垂对角线垂直平分，这是重点啊， 对吧？再结合勾股定理解题嘛，勾股定理呢？那么这个时候如果说有不会的同学哈，那么我们就来看一下，比如说我们这是一个直角，这是 a， 这是 b 和 c， 就可以得到 c 的平方呢？等于 a 的平方加上 b 的平方，对吧？然后比如说你要求的话，你再开个方就可以了。 好，那么现在我们来看到立二部分，他说如图，在菱形 a、 b、 c 中，对角线 a、 c 和 b、 d 相交于 o 点，那我们刚刚说过了，他的对角线是不是垂直且平分啊？那我们看菱形的边长 a、 b， 那我们可以知道 b、 d 好， b、 d 等于六，那么我们可以知道这是不菱形。菱形的话， ao 跟 ad 我们是不是可以得到 aoab 跟 ad 是相等的，那么我们可以知道这是一个等 什么？等边，等腰三角形，然后我们又通过 b、 a、 d， b、 a、 d 是六十的，那么是不是等边？所以说我们是不是可以推出它是等于六的对角线 a、 c， 那么我们这里是六，这里的话是他一半三，那么这里的话 ao 应该是六的平方三十六减九等于二十七，二十七开个根号，根号应该是三倍根号三， 对吧？那我们这一两倍那是不等于六倍根号三，我们 a、 c 不就等于六倍根号三吗？好在我们分析的过程怎么去做呢？来看一下，已知它是菱形，所以说我们 a、 c 是垂直 b、 d 的，对吧？然后我们可以得到 o、 b 是等于三的， 好，那么在等腰三角形中，对吧？所以说这是个等边三角形， a、 b 是等于 b、 d 等于六的，对吧？那么接下来看在 r、 t 三角形，由勾股定理是否可以得出 o、 a 应该是等于三倍根号三，那么我们 a、 c 等于它的两倍六倍根号三，对吧？好，那我们看到这题的一个归纳就是菱形呢？有一个内角为 六十度，那么六十度的角两边比角构成等边三角形，且两条对角线，把菱形分成全等的含三十度角的直角三角形，对吧？这个就比较简单哈。好，那么现在我们来看到立三， 他说如图在菱形 a、 b、 c 中， a， b， c， d 中，对吧？对角线 a c 和 b d 相交于 o 点，好告诉我们 b d 等于，是啊，那我其实可以知道 b o 的话，应该是等于六， a c 等于六的话，那么 a o 是等于三呢？ 那我们可以知道这里是三的话，那我们这里是六，那我可不可以求出来四十五啊？那么应该是等于三倍根号五嘛？这 a o 是购物定律啊，六的平方加三的平方等于四十五，然后根 号四十五是可以等于根号九乘以根号五啊，所以说三吗？三倍根号五，对吧？然后再乘以四，不就求出来了吗？四十二倍根号五吗？对不对？有没有问题？能理解吗？好，如果不能理解，那么就看到我们的解析部分，好吧， 你可以暂停去反复的推敲。好吧，好，那么现在我们来看第四个如图菱形，他是给到我们菱形 c e 垂直 a b， 然后于一点 c f 垂直 a d， 然后将我们求证明 a 一等于 a f， 那证明这两条边相等，那么这个时候怎么去做，对吧？这个时候就很关键了，那我们连接 a c 的话，我们 a、 c 的话是不对角线平分一组角啊，那么这两个角是不是相等， a c 是不是对角线？那么公共边， 那么我们接下来要做的事情是什么呢？对吧？那么我们可以看到这里这个角，这两条边是不是相等有问题吗？然后这两个对角对不对？然后我们是不是可以得到什么呢？ 就可以这是九十度这个角，这可以通过 a s a 来证明，三角形正可以证明推到这两条边是相等的，然后我们可以通过什么呢？这个直角啊， 它是可以通过 h l 来证明，也可以或者说叫做什么呢？我们这里这个角知道这个角是不可以通过 asa 来证明。好，那么来看到我们的具体的一个过程啊， 连接 a c， 因为菱形四边形， a b c， d 是菱形，所以说我们可以得到 a c 平分 b a d 这个的话是不是因为是对角线平分一主角嘛？所以说我们可以得到 b a c， 那我们 b a c 是这个角， 然后得到跟这两个角是相等，又因为 c 一垂直，所以说是九十度，那么所以说又因为 a c 等于 a c 公共边，对不对？然后是不是可以得到 a c 一， a c e 跟 a c f 是全等，然后最后得到 a 一等于 a f， 对吧？好，有没有问题？ 那么这呢就是我们的概念部分，然后下面呢就是我们的呃，刷题部分。好吧，我们这节课就到此结束，我们下期再见。

大家好，今天的话我们来学习一下菱形的性质与判定的第三个小节。 嗯，首先我们来回顾一下我们之前所学过的一些内容。第一个就是关于平行四边形的对联，那么我们来回顾一下什么叫做平行四边形哈。 那我们来看一下。那么什么叫做平行四边形呢？平行四边形啊，其实很简单， 一组对边平行且相等。那么我们可以知道哈，平行四边形的对边是什么？平行且相等，对角相等，对角线互相平分。那么菱形的话是不是具有平行四边形的一切性质？ 菱形是走对称图形，也是中心对称图形，那么菱形的四条边都是相等的 好。第五个就是对角线互相垂直且平分。好，那么在这里哈这些概念哈。就如果说你要是不明白不清楚的话，那么我们可以去回顾一下我们之前的一些课程哈，这里的话我们就一笔带过。好吧。 那么来看到我们第六个平行四边形的面积哈。好。那么现在我们来看到，假设这是一个平行四边形，我是可以用什么 把它做一个分割对不对？我把这一部分我能不能分割到这一部分来，对吧？那么这个时候 我是变成了一个什么，变成了一个矩形，是不是就可以用他的底乘以高来求？那么我们可以知道菱形是特殊的平行四边形，那么他是也是平行四边形，那么也是可以用底乘以高来求呢？ 那么今天我们需要做的事情就是你能用菱形的对角线来表示菱形的面积吗？这个问题我们应该怎么去解释，或者说怎么去证明对不对？那首先我们来看到第一个， 他说用两种方法表示菱形 a、 b、 c 的一个面积。那我们可以知道第一个书刚有说过底乘以高。那我们来看到第二个方法，第二个 方法，那么它就比较不一样了。那我可以知道，我们可以知道菱形的话，它的 对角线什么关系好？现在可以打到公屏下面，我们看到对角线什么关系啊？是不是垂直 且平分？那么我可以证明这四个三角形什么关系？相等对不对？是不是相等呢？等等就可以得到四个三角形 a、 b o。 好，那么现在 我们可以造三角形的面积可以拓展为它。那么我问一个问题， r a o 可以等于什么？ r a o 是不可以等于 a c， 那么 r b o 是不可以等于 b d。 那么在 这一个我们是不是可以把它稍微的变形一下，是变成了二分之一的 a c 乘以 b d。 这时候我们是不是就用它的对角线来把它的面积表示出来了，对不对？好， 这是我们的一个推论的一个公式哈。那么现在我们来看到这两个公式，这两个公式的话，一定要花时间去记忆哈，一定要花时间去记忆，一定要去理解是怎么来的。好吧， 现在我们来看到第一个，他说如图。呃，这是一个菱形，那么现在我们可以看 a c 跟 b d 相交于 o 点好，他告诉我们 a c 等于等于，是 b d 等于八。那么我们刚刚说过 s 是不等于二分之一的。对角线 乘以对角线好，那么是不可以得到 s k 等于二分之一乘以四，乘以八，那么是不是等于十六？那我们可以得到这道题的答案是不是得到的是十六啊？有没有问题？ 好，如果有问题的话，可以把问题打在公屏下面。好吧，那么我们看到下一道题。 那么这道题怎么去做？首先我们来看到题目，他说如图，那么像这种菱形和菱形花坛，我们就要记一下，边长是二十。好，那我们可以找 a c 是等于二十。那下一个我们看到 a b， c， a、 b c 这个角，他说告诉我们等于六十。那么问一个问题， 你菱形的话四条边相等，这组也是二十。那么第一个问题三角形 a b c 是什么？三角形， 有同学知道吗？那么我们怎么去做二十？二、这是不是一个等腰，等腰这两个小相等，那么可以求吗？可以 怎么求？是一百八十减六十除以二等于六十度对不对？那我可以这样，其实他总体来说是一个等什么等边对吧？那么可以得到第一， a c 是不等于 a b b c 等于二十。好，那么现在我知道这个角，那么我们可以知道在等边三角形里面是不是三线合一对不对？那么这是它的一半，这就是十。那我可以通过 三角函数，或者我们可以求出 b o 是可以得到 a b 乘以答应 多少度？三一六十度对不对？为什么呢？这个角是不是三十度？那这个角是不是六十度？三一六十第一种方式啊， 那第二种方式我可以用二十的平方减十的平方开个方，可以得到十倍根号。三，那我们现在自己求到的是 b o， 那我们要求的是 b d， b d 是等于两倍的 b o 那么不就求出来吗？对不对？好，这是第一个。然后它要求花坛的面积 s 的话是可以得到二分之一的 a c 乘以 b d 带路就可以了。这里哈，可能稍微麻烦一点的话，就是高三高三需要转换一下哈，好，这是我们的立体一对，这是思路哈，我不会给你们计算的哈。 那么计算的话你们可以自己看一下这个过程是怎么样的。好吧，对照一下好，这是我们的过程。好。那么像我们看立体二，立体二，他说在菱形 a b c 中点 o 为对角线， 然后 a b 等于四三， a b 四三。哎，呃， o a 等于五，它等于十二。那么在这里怎么去做？他说求零两条对边，那么其又是求两条对边之间的距离。那我其实做一下呗， 这也是垂直呗。那么有没有发现一个问题，什么问题？那我可以想一个问题，假设它的为 h 对不对？那么问一个问题， c d 乘以 h， 它会等于什么？是不会等于 s 平行四边形 a b c d。 那么所以说在做这个问题，我们第一步是求 s 就可以等于四倍的 a o b 对吧？我们四乘以五乘以十，二乘以二分之一，我们可以得到的是一百二十。那第二个我们是不是用底乘以高，用 x 除以 b 低了，那一百二十除以 十三，那么这不就可以退出 h 等于多少，对吧？这就两个思路哈，对吧？好，那么我们来看一下它的一个解答的过程。 那么对于这种题目哈，自己可以对照一下这个解答的过程，自己是否能够理解，以及先去理解思路，最后去对照这个解答的过程去看一下能不能明白哈。好吧，如果不明 明白的话，就在评论区的下方评论出来。好吧。好。那么现在我们来看如图，两张不等宽的字条交叉重叠在一起。啊。不等宽重叠的部分是什么形状？那我可以找只有这两条。那么这两条线是什么关系呢？ 平行且相等。所以说我们在这里是可以得到的是平行四边形对吧？好，那么我们看第二章，如图，不等宽重叠的部分， a、 b、 c、 d 等宽对不对？那我可以知道这是什么形状？应该是什么？是菱形啊，对吧。那我们来看到第三题，他说如图所示，在三角形 a、 b、 c 中， d、 e 分别为终点，并且我们可以得到 b 一等于二， d 一，那么这个要写一下哈， b 一等于两倍的 d 一， 好，延长到 b、 e、 f， 那么我们并且使 e、 f 干嘛？等于 b、 e。 好，那么这两条边是相等的对不对？ 好。那么我们在这里还要知道一件事情， 什么事情呢？你说我们第一个证明。嗯，第一件事情我们可以知道第一是什么？第一是什么？首先明白。我们可以知道是不是 中位线，对不对？如果你要是不了解中位线的话，那么可以去翻看一下我们之前的一个视频。好吧，中位线，那我可以得到一个什么 d、 e 这个平行且等于二分之一的 b、 c 对不对？那么现在他又告诉我们 b 一等于两倍的 b 一，那么我们其实是可以推出什么？可以推出什么？ b、 e 是不等于 b、 c， 有没有问题？这个能理解吗？而且我们在这里我们除了相等之外，还有平行。我在这里，然后它是不是还有一个 e f 又等于 b e， 那么我们其实就可以推出 e f 平行且相等 d c， 并且 b e 等于 b c， 结合一下，这个就可以推出它是一个菱形了，有没有问题？第一个哈好。第二个 c e 告诉我们等于四， 那么 b c f b c f 一百二十度，那我们可以找这个角是六十度，我们可以找这是四，这是四，这是四，这是四。对好，那么这个就比较简单了。那么我们这个时候去把它连起来， 那么这个角是多少？端三十度三十度左对的边等于斜边一半，这个是不是就是啊，对不对？那么这条边是多少呢？这一条比如说我们 b o， b o 是不可以得到 b e 乘以三印 六十度对吧？四乘以二分之根号三，等于二倍根号三，那么这个时候我们 b f 是不等于四倍根号三， 那么 s 是等于四乘以四倍根号三，乘以二分之一得到的是八倍根号三，对吧？这是一个推论，看能不能理解。好，那么现在我们来看一下我们的解答的一个过程。 这是第一问的答案，你来看一下第二题的答案，这答案和 也可以。呃，暂停去看啊，不需要说这里花时间。然后我们这个概念的部分呢？就到此结束啊。我们下节课就是习题部分。好吧，希望同学们认真思考，努力学习，我们就下期再见。

同学们大家好，我们今天呢就开始我们正式课程的第一个内容，就是九年级上册第一张特殊的平行四边形的 第一节菱形的性质和判定。菱形这一部分呢，我们总共是三个课时，性质判定和他的一个融合提升。我们今天来看呢第一个课时菱形的性质， 本节课的内容大纲呢，其实就是两个知识，一个呢是它的特殊性质，一个呢是它的性质的应用。 我们从新课开始导入来复习知识，来观察图片，来进行一个新课的导入。 首先来观察下面的图片的形状，观察形状哈，用黑色字，用黑色边框标注的，大家来观察一下它是什么形状，我们是选取了这 形状中当中的一个，因为他们都一样平行四边形，对不对？很明显的一个平行四边形，因为在四边形里面，其实我们到现在为止呢，只学习了一个平行四边形，那么他的这样一个平行四边形有什么样的一个特点， 观察一下他和我们在学习八年级学习拼音四边形的时候有什么特点，你说老师好像貌似他的这个边的程度差不多大小， 对不对啊？我们发现这样一个特点哈，我们先发现这样一个特点，既然我们说到了平行四边形呢，我们就把平行四边形的性质回顾一下，平行四边形他的四方面的一个性质，对称性，他是一个中心对称图形， 角对角相等，菱角互补，边对边，平行铁相等，对角线对角线互相平分，从四个维度呢 考虑。我们接下来在学习四边形的性质的时候呢，我还是按照这样的一个性质顺序，就是研究对称性，研究角，研究边，研究对角线，或者是说从这样按照这样的一个顺序去总结，同学们在学习的时候呢，也要按照一定的顺序，这样的话呢，便于你记忆不容易遗漏。 好，回顾了平行四边形的呃性质之后，我们来看一下，我们来看一下今天的这个内容， 我们学习一个新的内容，我们首先要对他下一个定义，那么从边的角度来说，呃，从边的角度上来说，将平行四边形一个特殊化内角保持不变，经改变边的长度，是其一组林边相等。 平行四边形的零边相等吗？不一定，对不对，我们只学了平行四边形的对边平行且相等啊， 那么这个呢，可能让他的一组零变向呢，可能就是这个菱形的一个特殊的地方。好， 我们把一个平行四边形的图片呢进行一个变化，就是把他右边的这条边啊往左边去推，推到他的一组零边相等的时候呢，就停止。那么我们观察右边的这个图，他的 深蓝色的，黑色的这个边框啊，感觉四条边相等，是不是如果有条件的话，你可以去测量一下啊，他的四边就是相等的。在此时呢，我们就发现了，如果我们认平行四边形的一组零边相等的时候呢，他就会变成另一个特殊的图形，就是我们今天所要研究的菱形。 那么我们再简单小结一下，我们把今天大把菱形呢它的定义下一下啊，有一组 林边相等的平行四边形呢，叫做菱形，在这里呢要注意它的定义里面是包含两个条件，两个条件必须同时满足，一个呢是有一组林边相等，一个呢是平行四边形，这两个条件同时满足，它叫做菱形。 那么既然菱形是特殊的平行四边形，那我们来考虑一下它的联系和区别。我们可以说菱形是特殊的平行四边形， 菱形是平行四边形的一种，对吧？我，但是我们不能说平行四边形是菱形，因为平行四边形不一定是菱形，因为他在零边不一定相等。我们在学习平行四边形的时候，就没有要求他的里面相等，只是在菱形的时候呢，要求一组零边相等，注意他的联系和区别。 我们在这里呢做一个折纸的活动啊，来做一个手动操作，一个裁剪出来一个 菱形。这个活动呢和我们课本上的内容是一样的，我们在开课通知当中也说过，我们的课程讲解呢，紧紧的围绕课本，紧紧的围绕课本。好，我们先来看一看这种，嗯，做的这裁剪的一个过程， 首先把一张纸上下折叠，再左右折叠之后呢，他就会产生一个角，对吧？厚厚的一个角。然后呢我们在这个角的上方去画一条直线，我们在这里呢画了一条黑线，看第二张图哈，第二张图右边的这个图画一条直线，你也可以画的 再往上靠，再往右上靠，或者再往左下靠，都可以啊，都可以，但是要保证一个适能的大小，剪出来之后呢，比较容易折叠，比较容易观察就可以了。 我们就是沿着这条线呢，把它裁剪一下，裁剪一下，剪出来一个四边形，那么 我们思考在剪出的菱形图片上呢，画出他的边和折痕，画出来边和折痕之后呢，我们会发现他的四条边和他的对角线呢，就很明显了，很明显。 然后呢，我们根据折折纸的这个过程，折叠的过程，我们来思考两个问题，一个呢是菱形，是轴对称图形吗？肯定是， 对不对？轴对称还记得吗？就是沿着一条直线把一个图形呢？呃，左右折叠或者上下折叠，然后呢他的呃直线两旁的部分呢，都能够完全重合，他就是一个轴对称图形，那么这个呢，很明显是很明显是，并且有两条，因为他可以左右折叠，上下折叠两条对，也就是他的两条对角线所在的直线呢，都是他的对称轴。 好，我们看第二个问题，根据折叠的过程猜形菱形的四边是什么关系？既然我们是通过折叠实现， 那么是不是左右折叠的时候这两条边相等，那么呃，下面这两条边也相等，我上下折叠的时候这两条边也相等，那么很明显，那么四条边就都相等了。那么菱形的对角线有什么关系呢？你比如说在折叠这四条边的时候， 在折叠的这四条边的时候，我们就能知道这条边和这条边相等了，那么它就是一个等腰三角形，等腰三角形又因为它的对角线弧形折叠的时候其实就平分了，平分了，在一个等腰三角形里面，它底边的中线 是不是也是底面的高，有垂直的关系对不对？因为折叠的这样一个关系，左右折叠，剩下折叠，所以说我们折叠出来这些角呀，都是相等的， 对不对？那就说明对角线起平分的他的意思。对角。好，我们把刚才的这个内容呢做一个总结， 我们可以猜想它的菱形有这些特殊的特点，它的四条边都是相等的，它的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。 那么我们猜想的这样一个结果是不是在数学上还不够准确，我们必须通过一个科学的验证过程来证明我们的猜想是正确的。那怎么来证明呢？这可是文字的证明，我们要注意它的过程，我们写出已知，求证，画出图，然后呢再写证明的过程。 好，我们来科学验证一下，你看在这里已经写好了已知，如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 当中 a、 b 等于 a、 d 这两个条件能够判定它是一个什么，根据定义能够判定它是就是一个菱形了啊，因为前面的这个我们就是要求研究菱形的四边和对角线， 对角线 a、 c 和 b、 d 相交于点 o， 第一位呢是求成四边相同，呃，四边相等，第二个呢是求这个对角线垂直，并且对角线平分其对应的一组对角。在我们课本上呢，也有同样的内容，只不过是呢书写上有区别， 他呢就是直接在已知条件里面告诉你，就是在菱形 a、 b、 c、 d 当中啊，这样的话呢，会影响会使我们下面的过程写的时候呢，稍微有点区别。大家可以在听了这个视频的这个版本之后呢，把你的课本拿出来对应的看一下，寻找一下他的异同点。 好，那么这就是做一个证明题，我们先来看第一问啊。我们先来看第一问，那么证明题只能从已知条件进行出发，他是个平行四边形，我们能够很快的反应出来平行四边形，因为我们现在研究的就是平行四边形的 边嘛。那么既然是平行四边形，那么肯定是对边相等，也就说 a b 等于 c d， 还有 a d 等于 b c， 是不是它对边是相等的？那么又因为题目里面已经告诉我了 a b 等于 a d， 那么所以它的四边就是相等的。 我在这里呢，用这个电脑写字呢，不是很方便啊，不够流畅，但是同学们呢，一定要书写好，一定要书写好，这卷面分一定要控制控制好。我在这里呢，只是简略的啊，简略的点一下最关键的步骤啊，随后呢，会向同学们展示一个完整的过程。 好，四边相等之后呢，我们来看第二文，第二文是证明垂直，是证明垂直，那么给刚才折叠的时候呢，讨论的一样，既然 ab 等于 ad， 这都是已知条件吗？他，那么三角形 abd 就是一个等腰三角形，在等腰三角形里面最重要的是什么？三线合一吗？ 对不对？三线合一啊，这是根据已知条件一。那么平行四边形里面 abcd 竟然是平行四边形，那么他的对角线是不是互相平分的？我们能够得到 bo 等于 do， 那么这样的话也就得到了 ao， 是啊，中线是 b d 变成的中线，那么 a o 是不是还有其他特点？ a o 也垂直于 b d， a o 也平分于它的这个三角形的顶角 b a d 是不是啊？是不是平分和垂直就都有了？平分和垂直就都有了 啊？那么同理同理我们也能够得到其他的啊，我们也能够得到其他的这些边，那这些角 它是一个平分的关系，同理能够得到这样的一个关系。好，我们看一下完整的过程，思路上呢，很简单很简单，都是我们先前所学习的知识， 尤其所需要注意的呢，就是三线合一啊，三线合一，因为菱形呢，它边度相等，那么我们连接它的对角线之后呢，就很快的就会产生一个等腰三角形，那么等腰三角形里面最重要的就是三线合一， 这里呢我们总结归纳一下，对比一下平行四边形的性质和菱形的性质，我们按照还是按照线前的顺序啊，对称性 轴对称，中心对称啊，咱们看菱形的这一部分啊，因为它就包含了平行四边形的性质，角对角相等，菱角后补，这一样边呢，是对边平行且相等，还有一个四条边度相等对角线呢，是对角线垂直平分 啊，垂直平分，这是两两个两个意思哈，且对角线平分对角。那么我们在总结菱形的性质，包括我们以随后学习其他四边形的性质的时候呢，因为他们都是平行四边形，所以说我们在总结的时候呢，要把平行四边形的性质呢总结进来，这样的话呢，比较完整， 你记忆的时候呢，比较全面，你所使用的时候呢，也不容易遗忘。如果你只记一个四边相等，这个对角线互相垂直平分，再平分一组对角，那么你很容易遗忘其他的一些性质，这样的话呢，不便于我们综合性的去做一些题目。 好知识点讲解完毕之后呢，我们也进行了总结，那么我们做一些练习，看看本节课的知识点在题目等具体的题目当中是如何使用的。如图，在菱形 a、 b， c、 d 当中已经 告诉我们是菱形 a， b， c、 d， 对角线相交于点 o， 那么 b， d， a、 c， 你看都是研究对角线的，对角线有什么特点？弧形垂直写平分，并且平分与对角啊，好，垂直平分，你看，那么 a、 o 就知道了，三， b o 就知道了。呃，六， 周老师，这是又是一个 a o， b， 就是一个直角三角形嘛，那么求菱形的周成的周成怎么求？就是四条边之和，而且菱形的边长呢，是个边是一样的，所以说我只要知道一条边长，然后乘以四就可以了，对不对？好，那么就在一个三角形 a、 o、 b 里面去研究它的 a， b 这条边长多少。 首先呢， a、 b 的平方对吧？勾股定理的话，那么它等于九，加上三十六等于四十五，等于四十五，所以说我们能得到 a， b 等于什么？ a、 b 零根号四十。 老师， ab， 零根号四十五，根号四十五等于多长？三倍的根号五九，四十五，三倍的根号五，记得带单位，记得带单位，那么再乘以四的话，就是十二倍的根号五十二倍的根号五厘米，这就是菱形的周乘啊。这道题也非常简单，他所使用的的知识点呢，我们一会也会总结， 好，我们看一下过程，是不是求出来 a、 b 之后呢，再乘以四十二倍的根号五厘米，它所使用到的主要的知识点呢，就是菱形的性质， 四边相等，对角线互相垂直平分。再一个呢，是勾股定理，勾股定理对哪一部分的知识点不清楚就翻前，呃，就翻开书再看一看，再复习一下。 好，我们看第二题，如图，在菱形 a b， c d 当中，又告诉我们，这个图形呢，就是 a b， 呃，菱形 c e 垂直 c f 垂直 a d f e f 这些焦点我们都知道了，然后呢，求证一个 a e 等于 a f， 求证两个线段相等或者两条边相等，要么是还能够进行计算，计算长短。然后呢，知道它相等啊，要么是倍数关系了什么的相等在这里呢，我们都不知道，无法进行计算， 那么我们就只能考虑什么了，我们最重要的三角形全等。刘老师，三角形全等的话，我们必须把 a e 和 a f 分在不同的三角形里面，在这里呢，它是一个没法分，没办法分。其实很简单啊，我们只要连接 a c， 连接 a c， 是不是就分成了两个三角形，并且 a c 是它的一条共同边啊？那么在证明全等的过程当中，我们就已经找见了一组边相等了，公共边还因为垂直，所以说 a e， c 和 a f， c 呢，都相等，这是一个角相等了啊，你说 老师，一组角和一条边，呃，和一组边还不能正判断三角形全等，那么既然是菱形，我们又连接了对角线，是不是又想起来了，他是不是要平分组对角 对不对？上一个题我们研究的它垂直平分，但是呢，这组这一题呢，我们也利用的它的是平分与足对角，这样的话，这个角，这个角，这条边是不是角角边就能证明它全等，然后对应边相等，对不对？这个过程和思路呢，也比较简单，也比较简单。 好，这是一个完整的过程，同学们看一下，如果你需要详细的看，你就暂停，然后呢去看就行了啊，我们总结一下它的主要知识点，菱形的性质里面所使用的呢是对角线平分对角，然后呢是三角形全等的一个判定。好， 我们看第三题，如图，异为菱形 a b c d。 又告诉我们了，这个四边形呢是菱形，是，呃，是一个菱形啊，我们可以使用菱形，它本身的特点， a b 等于 a e 啊，我们来看一下 a b 等于 a e。 刘老师，菱形的话呢，四条边就相等，然后呢在这里呢又多了一个 a e， 这说明五条边相等了，五条边相等啊，然后呢给了我们一个重要的条件呢，就是一个 角度关系，我们老师在这里标一下角一角二哈，标一标一下角一角二，便于呃，我讲题的时候呢，让大家去看一下，但是同学们在做题的时候呢，不能这样标角一角二，如果题标了角一角二，你就直接使用角一角二，如果题没有标， 那么你你标出来之后呢，你不能去在过程里面去使用它啊，你最好还是要使用啊，还是要求大家去使用这个三个字母 或者一个大写字母的这种这个表现方式，这样比较规范，比较规范。好，我们在这里呢又是要这呃，最终的结果呢，又是要证明两条边相等， o a 等于 e b， o a 等于 e b。 你看老师那还延续刚才的这样一个做题思路的话，我们还是要通过全等来证明两个 啊，线段去相等，那么 a o 呢？我放在三角形 a o， d 里面啊， b e 呢？我放在三角形 a b e 里面，这样的话，我看起来呢，这两个肉眼所见这两个三角形是全等的，那么他就就就有证明的可能性，如果我肉眼看着他俩都不全等，那么大概率 这个方向有是错的啊，因为我们平时的一些训练题或者是作业题啦什么的，呃，他的图形呢，画的都非常的标准，非常的标准，能够给我们直接感官的一些思路。好，那么我们来看这两个三角形哈，我们来看这两个三角形， 哎，这样一个三角形哈，和这样一个三角形，我画一下，描一下啊，注意区别啊，就是注意，注意，有便于我们查看。要是在这两个三角形里面，首先我能知道 ad 等于 ab 啊，因为它是一个，呃，就是菱形，第一个条件我们知道，而 ab 和 ae 相等的话，我能得到这两个角相等，它是等号三角形嘛， 是吧？这个表三啊，然后呢，你说老师，因为他是一个菱形，我知道他是本身就这个平行四边形，那么角二和角三是相等的 啊，内左角相等，对不对？那么好，总结到这一步的时候呢，我们首先知道了一组对边相等啊，然后呢，一组角相等， 是不是啊？因为它和呃角二和角三相等的话，其实和角 a， b， e 也就相等了，因为这个角和角三是相等的嘛，对吧？所以说呢，我 我们也能够得到角二和 abe 相等，那么有一组边相等，一组角相等还差一个。刘老师，还有没有边？好像没有了，对不对？相等的边我们都用过了，那么我就只能去找角，只能去找角，因为我们很明显知道 bd 他就是菱形的一条对角线， 对角线弧平分一组对角是吧？正好，嗯，平分一组对角啊，那么就平分了这个，而这 a、 b、 e 呢？和这个是相等的，相等的啊。那我们先来研究一下这个角，先来研究一下这个角，因为它平分的话，就分成两部分， 角二是角一的两倍，那么角三也是角一的两倍， a、 b、 e 也是角一的两倍，并且这里是平分了，那就说明他的其中的这一部分是不是就和角一相等？那么同理，放到这个 adc 里面来，那么他的一半是不是也应该等于角一？我这里标个角四，那么角一和角四是不是也应该相等？ 那么在三角形 a、 b、 e 里面和三角形 a、 d、 o 里面，是不是这三组条件就已经满足了？就已经满足了？那么我们就可以去证明两个三角形全等，然后得到对应边相等。好，我们清除一下痕迹，看一下这个过程， 看最终得到，最终得到三角形 a、 o、 d 全等于三角形 b a， 然后呢，得到 a o 等于 b e 啊， a o 等于 b e。 好，我们来总结一下这个题所考察的主要知识点，它运用菱形的性质，你看对边平行对角相等， 是不是啊？对面平行对角线的，这是不是和平行四边形的是一样的，让他对角线平分，对角拥有了平行线的性质，因为有一个内错角，还有三角形全等的一个判定，是不是我们到九年级之后呢？我们所有的这 些，呃，题目的训练呀，他和我们七年级和八年级的知识点呢，非常关联，所以说还是那句话，及时复习 好。我们再来看两个小题，如图，菱形 a、 b、 c、 d 当中呢？已知角 a 等于六十度，角 a 等于六十度。你说老师这我一下就看出来了，角 a 等于六十度，因为它是菱形，所以说四边相等，那我就很能 马上就能够得到三、三角形 adb 呢，是一个等边三角形对不对？我们就不用看你，你需要什么，我们就有这些条件，马上能得到。 ab 等于五。问我，三角形 abd 的轴承三五以十五吗？对不对？三五以十五，这个没有单位不需要考虑，单位 好看。第二题，如图，在菱形 a、 b、 c、 d 的周乘是四十八， a、 b、 c、 d 的周乘是四十八。有老师前面就说过，周乘周乘四十八的话，就是因为它编程的四倍，那么我只好除以四就能得到一一套编程，这是十二对不对？其他 这边也是十二啊。那么对角线 acbd， 这和对角线有关联起来， ac 和 bd 相较于 o 点，一是 ad 的终点啊，一是 ad 的终点，那么对角线这个焦点，他是不是互相平分了？互相平分，那么所以他是点 o 呢？既是 ac 的终点，也是 bd 的终点。 哎，你说老师终点终点，这什么中位线了？中位线啊，然后呢？正好问我们 o、 e 的，哎，你看，正好问我们 o e 多长，它是不是平行且等于二分之一， a、 b 等于六？有单列，记得加一张厘米。好，我们看一下答案，再看一下 主要知识点，菱形的性质，四边相等，中规线定理对不对？就使用了这个，就使用了一个这个啊 好，练习完了之后呢，我们总结一下本节课的内容，总结好了之后呢，其实我们这些内容呀，大家 是需要自己不断的去记忆，去默写啊，每学习一部分都需要这样去做，因为在我们这一部分的几何上面，他的基本的小知识点太多啊，可能就你，如果你一个不熟悉，可能就卡住了，做不出来题， 那么菱形的性质我们再总结一遍，我们在前面已经总结过了，我们在这里呢，再正式的重复的总结一遍，对称性轴对称中心对称边，四条边相的两组对边平，分别平行且相当 啊，角呢，是这个菱角互补，对角相等，对角线对角相互相垂直且平分。然后呢，一每一条对角线都平分一次对角，它在计算上面呢，我们有线段的，周长的，角度的，面积的，面积的。随后我们会讲到，但是呢，都和涉及到菱形本身了，好， 同学们辛苦了啊，这节课我们就讲到这里啊，更多精彩的课程请关注抖音搜索方老师，爱数学就可以关注方老师啊，谢谢大家。

同学们大家好，这节课呢，我们来学习九年级上册第一大章特殊的平行四边形里面第二部分，举行内容的第二个课时举行的判定。 首先我们来看一下内容大纲，两个很简单，举行的判定定理和举行判定定理的一个应用。 在正式开课之前呢，我们先对前面所学习的知识点进行一个复习。在举行部分呢，我们已经学习了第一课时，就是他的定义和性质，在这里呢，在学习判定之前，我们先把这两个内容回忆一下。 定义呢，是有一个角是直角的平行四边形呢，叫做矩形。性质呢是从对称性边角对角线 这个顺序出发。对称性它是轴对称， 有两条对称轴，他中心对称，有一个对称中心边呢，是两组对边，分别平行且相等。角呢是四个角，都是直角，菱角互补。对角线是两条对角线相等且互相平分。他的特殊性呢，是直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半。 在这里呢，我提醒一下大家，在我们夫妻就位知识的时候呢，同学们可以闭上眼睛自己呃背一下，呃，或者呢是说了，呃，你就跟着老师啊，从这里一条一条的往下念，边念边记啊，达到一个熟练记忆的这样一个结果。 好，接下来呢，我们看今天的新内容，就是举行的判定。首先我们来看第一部分判定定理一呢就比较简单，因为我们先前已经学习了平行四边 和菱形的判定，对他们的判定第一种方法呢，就是用他们的定义，所以说我们就可以得到下面的这样一个结论，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，他既是他的定义，也是他的判定方法，而且是最根本的一个判定方法，对吧？ 好，这样的话，我们就非常简单的，非常快速的得到了他的第一个判断定理，我们再看第二个， 也是从前面的经验出发，在平行四边形和菱形的判定定理研究的过程当中，我们就发现过规律啊，即性质的一些逆定理，大概率就可以作为判定他们这种图形形状的一个方法。 为此我们可以大胆的假设，因为矩形的特殊的定理是两个方面，一个呢是四个角都是直角，一个呢是对角线相等，那么我们把它找 找一下他的这个匿名题，或者说啊，翻过来之后呢，有四个角是直角的，四边形是矩形，或者说对角线相等的四边形是矩形， 是不是？我们有这样的一个假设，那么但是呢，我们在数学当中对定理的要求呢，是一定要尽可能的简单啊，有三个我们不说四个啊，有一个我们不说两个， 呦，用四个字啊就能行，我们就不用五个字，对不对？那么我们看看这两个定理是不是要修正一下，四个角是直角的四边形是矩形，你说老师四边形的内角和就是三百六十度， 如果他有三个角是直角的话，那么另一个角肯定是直角，对不对？所以说在这里写三个角就能， 那么请问写两个角行不行？两个角是直角的平行四边形，呃，这个四边形看这里垂直，这里的 是不是不是矩形？所以说不行，两个角不行，必须至少是三个角，对不对？好，我们看第二个对角线相等的四边形是矩形，能不能找出来反列，说明他不是 等腰梯形，来画一个等腰梯形我在这里画的不是很标准啊，大家可以用直尺画的，在你的本子上画的更标准一些，我们也可以证明它的对角线是相等的，但是它不是矩形，所以说呢，这个东西它也不准确。 那么根据回忆菱形的性质，他在探讨对角线的定定理的时候呢，是对角线垂直的什么平行四边形吧，那么我们在这里也修正一下，把它 四边形呢，也修正成平行四边形，这样的话呢，我们就会得到两个我们修正以后的结论是这样的对不对？一二条，两条是修修正以后的这样一个结论，那么既然我们对他已经猜想过了，那么我们下一步是不是对他进行一个科学的验证？ 好，我们现在呢先来验证第一条， 写出已知，求证画出图，对不对？这是我们文字证明题的这个一般步骤，我在这里再说最后一遍，哈，我不想再说了啊，这个文字步骤已经说过很多了， 好在这里已知条件我呢我们知道已经出我们用什么办法来判定他是举行了，我们判定举行的办法，现在只学了习了一个吧，就是他的定义对不对？所以说我们只能用定义，而定义呢，必须具备两个条件，一个呢是 九十度，一个呢是平行四边形，那么在这个已知条件里面，我们就已经知道有一个九十度了，我们就要看平行四边形 a、 b， c， d， 啊，不是四边形 a、 b、 c、 d 是不是平行四边形 只给了角，那就要充分利用角吗？在这里看刘老师，很明显，角 a 和角 b 是同棚内角，他俩加起来呢，等于一百八十度互补，那就说明上面的 ad 和下面的 bc 是平行的，同理， 角 b 加上角 c 呢，也等于一百八十度，那么 a、 b 就平行于 d、 c 两组对边分别平行，是不是就是平行？四边形就出现了，就可以判断它是矩形了吧？ 这个整个的判定过程呢，非常的简单啊，目的就是用它的定义，然后呢去寻找那两个条件，缺什么我们就找什么就行了。好，这就说明我们第 个猜想是对的，修正以后的第一个猜想是对的，我们再来验证。第二个，平行四边形当中有两条对角线， a、 c 和 d、 d， 而这两条对角线呢，是相等的，是相等的，那么此时我们就需要找另一个条件，只要找见一个角等于九十度， 那么他就是矩形了。说好老师，既然他是平行四边形，那么这些边都平行，根据我们上一个科学验证的内容呢，我们就能发现啊，他跟角度有关系，那么平行线里面什么才跟角度有关系了？同棚内角互补的这个是不是跟角度就有关系了？我们来看看， 我们选两个角，选两个同盆内角，我们选择选择这个吧， a b c 呃，和 d c b， 我们现在还不能用直角的符号哈，因为我们还不知道它是直角，我们先用这个普通的 符号，就表示它俩是通风内角呃和是一百八十度没问题了，它俩什么时候才能都等于九十度呢，是不是它俩相等的时候就可以等于九十度了？它俩什么时候相等？如果三角形 a、 b、 c 和三角形 d、 c、 b 它俩全等， 那么是不是对应的这个角也就相等了？相等之后等于九十度，对不对？那么我们来看这两个三角形全等不全等， a、 b 等于 b、 c， 因为因为它是平行四边形嘛，对边平行，还有一个 b， c 等于 c， b 公共边，还有一个人家本身给我的 a， c 等于 d， b 边边边，是不是就可以证明这两个三角形全等？ 是不是这个结果就有了？好，我们看一下过程，自己不清楚的，或者是没有跟上老师的这种思路， 你可以在这里暂停一下，然后呢去分析这些步骤，或者是说呢往前倒一倒，把这个内容呢再听一下，再听一下哈。呃，因为我们讲的还是比较详细的啊，思路上也比较充分。好，我们简单小结一下， 经过验证之后，我们能够得到他的判定定理二，有三个角是直角的四边形式矩形，能够得到他的判定定理三，对角线相等的平行四边形式矩形，自此判矩形的判定定理我们就学完了，那么总共有三个，加上他的定义，再加上这两个啊，再加上这两个。好， 我们对它进行总结归纳和对比，对比谁呢？对比平行四边形和菱形的时候一样，菱形也是对比的平行四边形，平行四边形的内容不说了哈，依赖是大家。呃，这 一个已经学习过了啊，上一个年纪的事情了。第二个呢，是我们已经说过多遍了， 我们在这里把矩形的内容呢再重复一遍，加深大家的记忆，大家要边说边记啊，争取讲完了之后呢，就已经牢牢的记住了，第一，有一个角是直角的，平行四边形是矩形。第二，有三个角是直角的四边形是矩形。第三，对角线相等的平行四边形是矩形。 好，注意记忆，接下来呢，我们看一看，练习，看看我们今天所学习的新内容，在题目当中是怎样体现和运用的。 我们先来看第一部分哈，非常的多一点啊，他这个判断，第一个对角线相等的四边形是矩形，不对，这个我们已经验证过了，他应该是平行四边形，对角线户型平 分且相等的四边形是矩形，这个对吗？对角线相等就要求四边形是平行四边形，而对角线互相平分，是不是就证明他是个平行四边形，所以说这个是对的，有一个角是直角的四边形，平行四边形，这是定义吧，有三个角度相等的四边形，这个我们来看一下哈， 自己可以画一画，我画三个角相等啊，但是呢，它确实不是矩形，能不能画出来看是不是有这种方式， 也有其他的方式哈，老师在这里呢，只举一种，一种啊，你看这个三个角，是不是我可以让这三个角相等吧，调整调整，老师画的不是很规范哈，调整调整，让他相等，那么第四个角是不是和他们不相等， 对不对？还有还有一种是怎样的呢？你看这种的，这是一个钝角， 我们再找一个钝角啊，这一个钝角，我们再找这里一个钝角，是不是钝角，我们用这三个钝角相等，然后呢？把他们延长，把他们连接，连接起来，是不是他也不是一个矩形啊？所以说这个不对。有三个角是直角的，四边形是矩形，这是我们的定理，对吧？ 四个角度相等的四边形式矩形，这个对吗？四个角度相等的四边形式矩形。四个角度相等，四个角加起来等于三百六十度，每一个角度都等于九十度，对不对？是不是和上面这个一样了？所以这个也是对的。 对，角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形。对角线相等的时候，我们要求后面的这个条件，必须判定他是一个平行四边形才能形成， 能判定吗？不能吧？有一个角是直角的四边形，是平行四边形吗？没有这种说法，就是他不对。第八， 一组对角互补的平行四边形是矩形。我们画一个平行四边形，他说这个角和这个角是互补的。首先在平行四边形里面对角互对角相等，对吧？这两个叫相等，这两个角加起来呢？呃，等于一百八，说明每一个角都等于九十度。 那么再根据这个边和这个边平行，是不是这两个角我们也可以证明它是九十度的，所以说它可以判定它是一个矩形啊，可以判定它是一个矩形。 你说老师，既然这些东西也可以判定时举行，我可以把它拥有做一个判定定理吗？不可以， 不可以。这些呢？只能说是判定定理的一种延伸或者一种变形。我们最重要的，因为他不管怎么说，我们最终的判定定理，他是不是都能 落到最终的判，就是我们已经学习的那三条判定定理上，所以那是最根本的啊，最根本的，最主要的，我们把那三个记住，运用好就行了。其他的情况呢，都往这三个定理上去靠，靠上去就证明他是，靠不上去就证明他不是。 当然你说来这个东西，我要作为一个结论去记忆，可以的，你作为一个结论去记忆，可能有一些判断题或者选择题啦什么的这些小题，或者是一些其他的问题当中呢，你就会反应的更快一些啊，反应的更快一些。 好，我们看下一个练习，这是一个选择题，选择题哈，点平行线相关的选择题，如图，直线 e f 平行于 m n 这样一条平行 p q 交 e f p q 是，它是一个节线，对吧？ 两个一组平行线被这个一条直线所结，角于 a c， 然后 a b， c， b， c， d， a d 分别是角 e， a c， 角 m a c， m c a， 角 a c n， 角 c a f 的平分线，大家可以看一下，它就是这四个， 有这四个角啊，分别是它们的平分线。然后呢问我们四边形 a， b， c， d 啊，你说这形状画出来呀，我就觉得它应该是，应该是 c， 是吧？如果这个，呃，很多同学他在考试的时候呢，他不会的时候呢，他就是 蒙了吗？是吧？那么根据图形去蒙，那么这个图形肯定也是，就是就选句型的，可能选矩形的可能性比较大，对吧？那好，那么这也是我们的一种猜想，然后我们去验证它，验证的时候就是证明的过程吧。那么我们从一个一 一个的这个已知条件去出发，去看，直线 e f 平行 m n e f 平行 m n， 那就说明这两个大角他是同棚内角，他应该互补的嘛？ 啊？同步内角互补，然后呢？又都是平分了，那么他的一半加上他的一半，是不是就应该等于九十度啊？那么根据三角形的内角和定理，这是不是等于九十度？ 那同理这个是不是他也是九十度？那么我们再看这个老师，这个是个平角，是个一百八十度，那么他这边的这个一半加上这边的一半，他也等于九十度。三个角都是九十度了，他是不是矩形？ 考察的知识点，三个角是直角的，四边形是矩形，对不对？注意运用啊，注意和前面知识的一个综合运用。 好，我们看第三题，如图，矩形 abcd， 他已经告诉我们是矩形了，所以说就可以往出延伸他的性质去应用而去做这个题。 a、 c、 b、 d 相交于点 o， e， f， g、 h 分别是 a、 o， b， o， c， o， d， o 上的一点人家没说终点哈，人家是只说了一点，但是它又告诉我们一个条件， a， e 等于 b， f。 看 a， e 等于 b， f 等于 c， j 等于 d， h， 因为它是矩形，我们能得到什么？对角线相等且平分吧， a， c 等于 b、 d， 并且有什么 a， o 等于 o， c 等于 b， o 等于 o、 d， 是不是啊？又因为这个东西，它这些小边相等，我是不是把这些小边都减去之后， 我就能够得到一个什么？我能够得到一个 e， j 等于 f， h， 同时呢，我也能够得到 e， o 等于 o， j 等于 f， o 等于 o， h， 是不是啊？ 对角线互相平分，他是不是个平行四边形，对角线相等，是不是他就是矩形了， 对吧？啊，也不难哈，也不难。注意这个东西的一个书写的过程，有的同学呢，他说，老师我都能理解，但是我在这里呢，就不会写过程，我们一起来看一下书写的过程。 因为四边形 abcd 是矩形，所以说能得到对角线相等，并且能够得到对角线平分，是吧？这四段平分的这小线段啊，都相等，然后呢，又因为他告诉我们的已知条件，所以说我们能够得 得到 o e， o， f， o， j， o h 都相等，互相平分，它是一个平行四边形啊，互相平分且相等，那么 e j 和必然等于 f h， 是不是它就是一个矩形？ 好在这里不清楚的同学呢，或者不会写这种就是多条线段相等关系的同学可以在这里暂停一下，把这道题好好的研究一下，研究一下，看看如何书写 在这里呢。剧情的判定用的是判定零比三和平行四边形的一个判定。 好，我们看练第四题哈，第四题和教材的十七页的历次呢，是类似的，是类似的哈，不一样，是类似的。 如图， a， b c 当中，三角形 a b c， a b 等于 a c a 好，等腰三角形哈，等腰三角形 a b 等于 a c， 它是一个等腰三角形 a d 呢，是一个高，是一个高的话有个垂直的这样一个关系，垂直的这样一个关系。然后呢？呃， a e 啊， a e 是这个外角 外角的平分线，三角形外角的平分线嘛，那么他肯定是这个角的平分线，对不对？平分了这两个角，我们把标记一下哈，一会好书写，因为一会我们要要用他，要用他。 呃，然后呢，再一个条件呢？是 d e 平行于 a b， d e 平行于外面的这条 a b。 然后呢？求证四边形 a， d， c， e 是矩形， a， d， c， e 是矩形，你说老师好，他是矩形，他已经有一个直角了，直角有了。如果我能够证明三角形，他不是，如果证明四边形 a， d， c， e 是个平行四边形，那么这个题就完成了，对不对？就 完成了。好，那么我们的目标就是要证明 a， d， c， e， a， d， c， e 是个平行四边形。我们来看，我们那么只能分析到这了，后面的内容是吧？我们再从已知条件上去看，因为它是等腰三角形，所以说两个底角相等， 刚才的这个垂直什么的我们已经有了吗？对吧？我们已经有了。然后呢，你说老师这两个角相等，我也把它标一下啊，这是角 b， 那么这个呢？标成角三 啊，这个表情角三，你看跟外角有关系了，三角形的外角有什么样的？三角形的一个外角等于他不相邻的两个内角的和，对不对啊？那么 fa c 这个角角 f a c， 它应该等于什么？等于角 b 加上角三吧，对不对啊？ 它还等于什么？它还等于角一，加上角二。角 b 和角三是相等的，那么它，呃，这个，呃，角一和角二是它平分出来的，所以说我就能够得到这四个角是相等的吧？ 角 b 等于角三，等于角一等于角二，那么角二又等于角三的时候，是不是我就可以得到 a， e 是平行于 b c 的， 对不对？你说老师， a e 平行于 b c 的时候，然后呢，再加上 d e 平行于 a b， d e 平行于 a b， 所以说四边形 a， b， d、 e， 它首先是一个平行四边形啊， 英语老师出现了一个平行四边形，这是不是离我的目标就近一点了啊，我们能够证明这个四边形，哎，我画的不不准确了啊，这个飘了， 这个是个平行四边形的，牛老师好。嗯，这个，嗯，三线合一嘛，啊，最重要的，呃，等腰三角形的三线合一还没用了，说明这因为在这里呢， b、 d 是等于 d、 c 的， 因为它是平行四边形，所以说，我能够得到 a、 e 平行等于 b、 d， 而 b， d 等于 d， c， 所以说呢， a、 e 有平行等于 d， c， 这就说明 a、 d， c、 e 它是一个平行四边形了，再加上刚才的九十度，它是不是就是一个矩形？ 好，同学们可以暂停看一下这里的过程的一个书写，大家不需要有这么多文字啊，大家不需要有这么多文字，但是呢，你必须表示清楚啊，你这平行且等于你可以用符号来表示。好内容呢，就是有一个，还是用定义去判定， 然后呢，判定一个平行四，平行判定了两次平定四，呃，平行四边形，整个三角形的性质，三线合一和平行线的这样一个性质。 好，这是第四题好，练习五，也是我们今天的最后一个练习题，我们看一下哈，虽然字很多，但是这个关系呢，一点也不复杂，如果在梯形 a、 b， c， d 当中， a、 d 平行 a， b， c 上面这个边呢？平行下面啊，一组平行边已经有了 角 b 等于九十度啊，然后呢，那么角 a 肯定也等于九十度是吧？ a， d 等于二十四，然后呢，这个 b， c 等于二十六， b， c 要长一些动点 p， 它是从 a 点出发， 一米每秒，一厘米每秒的速度呢，像点 d 运动。而这个点 q 呢，它是从 c 点出发啊，以三厘米每秒的速度呢？像点 b 运动，对不对？然后呢，他问 我们的这个，他们是同时出发哈，同时出发，同时出发，经过多长时间的时候？四边形 p q， c， d 是一个平行四边形，我们看一下 p q， c， d 是个平行四边形， 已经有一组平行线了吧，上下就平行，如果上下再相等是不是就可以了？老师，上下怎么相等？这运动题吗？路程题吗？对不对啊？我们的目标呢，是让 p d 等于 q c。 好，我们看看 p d 等于什么？ p d， 他问我们时间嘛，我们假设这个是 x 秒，那假设是 x 秒，那么 p d 就等于二十四，减去 呃， x 秒是吧？因为这里是一米每秒嘛，所以说一乘以 x， 是不是它就是留下这一段了？因为我们本身点 p 是从 a 点出发的，它走的 则是这一段路程。那么下面呢，就是点 q 组的路程，点 q 组的路程呢？它是三 x， 对不对？在这里呢，就是四， x 等于二十四， x 等于六，也就是六秒以后，它就是一个平行四边形。 展开第二文，经过多长时间之后，四边形 p q b a， p p q b a， 哎，在在这边研究这个，它是一个矩形，老师，已经有一个直角了，已经有一个直角了， 如果我证明他是个平行四边形的时候，他是不是就是，呃，举行了，是不是和上面语音了？还是证明他是个平行四边形，这边是个平行四边形，平行四边形，上下平行，如果让上下相等就行了吗？那么这下就是呢，目标呢就是让 a p 等于 b q， a p 等于多长？ a p， 我们假设这里多长时间，这里是假设另一个字母 y 经过外表以后，那么它的距离就是 y， 而这个 b q 呢，等于 b c 减去 c q， 是吧？等于二十六，减去三位， 对不对？这四万等于二十六，是不是啊？我们就算出来这个时间了，同时也这就是我们一个叫什么嗯，综合运用题了，是吧？几何和数学和代数的一个综合运用题。 好，我们看一下这个内容， 是不是啊？不难。这个题呢，不难啊，很简单，反而呢，反而呢更简单一些。好，矩形的判定题，四面形的判定是不是啊？啊， 好，我们对本节课呢进行一个总结。首先呢是矩形的判定，在这个时候呢，他本身的判决定理 呀，就有一个，就是有一个角是直角的平行四边形呢是矩形，再一个有另外的两个，我们新研究出来的判定定理，对角线相等的平行四边形和有三个角是直角的四边形，同学们注意记忆。好，这节课呢就上到这里，同学们辛苦了。 呃，更多精彩的课程呢，请关注冯老师来数学抖音扫码或者搜索抖音号都可以，谢谢大家。

同学们大家好，我是数学冯老师，我们今天这节课呢，来一起学习九年级上册特殊的平行四边形第三部分，也是最后一部分正方形的一个内容。 正方形的这一部分内容呢，我们总共呢是两个课时，一个呢是正方形的性质，一个呢是判定今天我们学习第一个课时，正方形的性质 在这里呢，没有再增加融合提升的那一部分。一直关注冯老师的可能知道，我们在菱形和矩形里面都有融合提升， 正方形的这个融合提升呢，我们放在第一章的总复习里面，会把它的内容加进去，并不是缺少了，而是把它融合在了第一章的总复习里面。好，在这里呢，给大家做一个说明，这节课的内容大纲呢，和前 都一样哈，一个呢是它的特殊性质是什么，另外一个呢是这些性质的一个应用。 好新课导入部分呢，我们观察下面的图片，是不是啊，这一看就是正方形对不对？正方形其实我们比较熟悉，因为我们在小学阶段呢，对他本身就有一个很深刻的认识和理解，他的呢，对我们来说呢，他的四个角呢，都是直角，他的四条边呢都相等对不对？ 这是我们先前对他的一个认识，在是我们的生活当中呢，正方形的图案图片， 呃，生活用品，学习用品了什么的也很多也很多，我们在这里呢，就不一一举例了哈，你可以，如果你有兴趣，你可以自己找一找，看一看，发现咱们数学形状的美丽之处，有趣之处哈，在这里呢，既然他放在特殊的 平行四边形里面，我们也可以知道正方形呢，它就是一个平行四边形，但是平行四边形不一定是正方形对不对？因为，呃，从正方形来说，它的对边相等，呃，这个且平行啊，然后呢？角呢？都是直角对不对？ 然后呢？如我们刚，我们根据我们前面所学习的知识，如果四条边相等，那他是不是跟菱形有关系？如果四个角都是直角什么的，跟矩形跟矩形是不是有关系？ 这样的话，我们就可以在一定程度上了解到，正方形它其实是具备了平行四边形、菱形和矩形的特点， 对吧？形成的一个综合性的一个。呃，图形啊，这个四边形就有这么多的一个特点。我们平，我们前面连研究 这个菱形和矩形性质的时候呢，都是从平行四边形出发，对平行四边形加以改造，得到了菱形和矩形。但是既然平行，既然正方形，它具备平行四边形、菱形和矩形的所有内容，而菱形和矩形本身就是平行四边形，所以说研究零正方形的性质，我们直接从菱形和矩形去出发， 去出发，去研究他啊，我们先看菱形的，这个呢，是本身视频的一个声音哈。呃，大家不要紧张啊，他就是不是不是这个录制的问题，也不是你的设备的问题啊。 菱形，我们来看他四条边已经相等了，他如果怎么成成为正方形，他距离正方形还差什么？刘老师，还差一步，如果其中有一个角是九十度，我把他都立起来，那么他就和正方形就一样了。好，我们看一下他的这个形状变化， 是不是就可以得到一个正方形？这是它的形状的一个变化，也就说菱形加了一个直角。好，那么矩形如何来变化呢？矩形怎么样就变成了正方形呢？因为矩形和正方形差别差在哪？差在它的四条边不相等，是不是啊？ 然后呢，你看我把它缩小，或者是左边往右边，右边往左边，或者是两边同时往中间走，使得它的一组零边相等，就形成了一个正方形，对不对？ 好，我们在这里呢进行一个简单的小结，我们再通过不变化的这种图形来总结一下上面变化的所得到的一个规律，就菱形，它在呃，这种形状之下， 那他在我们目前的这种形状之下，他增加一个直角，他就变成了正方形。而矩形呢，他这个四条边不相等，我再增加他的邻边相等，那么他就成了正方形， 明白了吗？此时啊，此时我们就对正方形、菱形、矩形和平行四边形之间其实已经有一个概括性的认识了啊，所以说我们此时此刻我们对正方形呢下一个定义， 有一组林边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 在这里需要强调的是，正方形呢，它必须同时满足三个条件，同时满足三个条件，我们在学习前面的时候呢，他们满足两个条件就行了，但是在这里呢，正方形必须同时满足三个条件才可以啊。这个定义出来 之后，你比如说有一组林边相等的平行四边形是什么？是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形。也就是说正方形的定义其实还包含着三层意思，就正方形，它本身就是一个特殊的平行四边形，同时它是特殊的矩形和特殊的菱形 啊，这一层意思一定要理解到，如果你理解不到，你就把在你课本上的正方形的这一部分啊，定义这一部分，把这三层意思写上啊，正方形是特殊的平行四边形是特殊的矩形，是特殊的菱形啊， 好，我们既然从菱形和矩形的角度出发，研究了它的这个，得到了它的一个定义，同时呢，我们也从菱形和矩形的角度去出发，去研究它的性质，对吧？那么正方形应该就什么性质？我们观察它的图就知道， 他的四个角应该是直角都相等，四条边也应该相等，那么他的对角线，他既然是从矩形过来的，那么他的对角线应该相等，他是平行四边形，对角线还应该平分，他是菱形，他的对角线还应该垂直，是不是这些内容都可以得到，我们在这里呢，对他进行一个 总结，或者是说猜想，对吧？我们先猜出来啊，他就他就有这样的一个内容。然后呢，我们再通过我们科学啊证明，去验证他啊，去验证他 在这里呢，正方形的这个性质，验证过程，他和我们前面的内容呢，不太一样，验证方式呢不太一样，他这里呢，更多的考察是我们对定义的理解，定义的理解 在这里呢，一会大家注意看这个过程啊，四边形 a、 b、 c、 d 是正方形，这里告诉我们是正方形了，正方形，正方形，我们现在只学习了一个啥，只学习了一个 定义，也就说我们可以得到一个角是九十度，还能得到一个零边形的 ab， 等于 ad 啊，你写其他的角或者其他的零边也可以哈，我就先写这个，呃，然后呢， 因为刚才我们说了平行，呃，这个正方形呢，他也本身呢，就是一个平行四边形，对不对？那么这两个条件一结合，他就成为了矩形了，矩形能得到什么？对角线相等且平分。 哎，不是哎，他能得到他的四个角是直角，对吧？我们先看这个直接相关的哈，四个角是直角，然后呢，零边相等和平行四边形结合，他是菱形了，是吧？菱形能得到什么？能得到四边相等能得到这个内容， 对不对？这样的话呢，他的这个性质呢，我们就算证明完成啊，大家看一下这个过程哈，注意理解啊，我把框选出来的这一部分呢，就是因为我们现在只学习了正 方形的定义，所以说我们只能从定义出发去说，去说他的能够得到的条件。然后呢，再往下去延伸他深层次的定义所包含的内容，他是特殊的平行四边形，他是特殊的矩形，他是特殊的菱形，然后呢，得到他的这个性质结论， 好，那么这个边和角正完了之后呢，我们来看对角线的内容， 在这里呢，他也是一个正方形，告诉我们了对角线相交于点 o， 他问我们第一个调第一个结果的是 ao 等于 bo， 等于 co 等于 do 这样的一个条件呢，就是说，其实说明了什么？说明了 a c 等于 b、 d 嘛？对角线相等是吧？且平分。那么对角线相等且平分是谁的？是谁的内容来，是举行的内容吧？后面这个对角线垂直，这是 菱形的内容吧，因为正方形它就是矩形，所以说就能得到第一个条件，因为正方形是菱形，它所以说它可以得到第二个条件，所以它的它的证明过程呢？呃，不能说奇怪，它只是简化了很多内容，它不用在一个条件一个条件去写了， 他直接有正方形可以得到，他是矩形，有正方形他可以得到他的菱形，然后去运用菱形和矩形的性质去解决问题， 看他的过程是不是就很简单。好，这样的话呢，我们在说到这里，验证完了之后，我们对他进行一个简单的小结啊，这是我们刚才说过的话，我们在这里呢就不说了， 这性质一有四个角度是直角，四条边都相等啊，同学们边读边记啊，边读边记，对角线相等且互相垂直 平分，这是三个条件哈，相等，垂直平分啊，垂直平分。我们在前面所学过垂直平分相关的是什么？垂直平分线啊？注意理解这个知识点哈，以后我们需要用啊，我们在接下来的这个练习当中呢，就需要用用到这个垂直平分线的一个内容。 好，这样的话边角对角线的性质都有了，我们还差一个什么？我们还差一个对称性，我们看看 对称性，对称性，在前前面研究四边形的时候，他的对称性呢，都是通过折叠来实现的，对不对？ 那么正方形也一样，我们也是通过折叠来实现啊，自己折一折，上下折叠，左右折叠，斜着再折叠一下，前面的时候斜着折叠不行，但是在正方形的时候斜着，大家看看能不能重合，能重合啊，所以说斜线 ac 和 bd 所在的这个直线啊， 他也是他的对称轴啊，也是他的对称轴，所以说他的对对称轴呢，有四条，有四条，然后呢，他也是终身对称图形啊，对角线的一个焦点是他的对称中心，这就是我们所学习的正方形的性质就完成了。我们在这里呢，对他进行一个概括总结， 总结的这个内容呀，总结的内容和前面的方式是一样的啊，一直关注冯老师课程的同学就了解啊，我们在做总结的时候呢，一直和平行四边形的性质呢做一个对比， 在这里呢，对称性轴，对称中心，对称角，四个角都是直角，菱角互补边，四条边相等，对边平行且相等，对角线，对角线相等且互相垂直平分。我在这呢，还加了一个对角线平分一组对角，是吧？我们讲菱形的时候呢， 对角线平分一组，对角在这里呢，它的性质呀，要远远的比咱们课本上那个蓝框框里面总结的要呢要多一些，是为了我是为把平行四边形、菱形和矩形的内容都加进来了，便于大家去记忆、理解和运用。 好在这里呢，我们还要对他进行第二次的这个总结归纳，这是我们课本二十一页的意义的一个内容哈。既然平行四这四个四边形之间他有关系，那么他们之间是谁包含谁的关系，我们来看一下， 因为他们都是特殊的平行四边形，所以说平行四边形的范围肯定最大。然而后来呢，我们学习了菱形和矩形，这节课呢，我们学习了正方形，而正方形呢，要同时具备他们三个的条件，那是不是就是他们三个重合的部分，对不对？他们三个重合的部分 就是这个内容， 大家看清楚了吧，三个部分的内容啊，大家在这里可以画一画，画到你的书上啊，二十一页意义的这个内容旁边啊，帮助你去理解。好内容完成了之后呢，我们来看一看他的这个，呃，练一练。好，我们来看练一练。 这是我们课本上的一个例题啊，过程都很很准确啊，过程也很完整，大家可以看课本上的啊，也可以看这里， 如图，正方形 a b c d 当中， e 为 c d 上的一点， f 为 b c 延伸线上的一点，且 c e 啊，等于 c f。 要老师有两个线段相等啊，有两个线段相等， 问我们的是 b e 和 d f 之间的关系， b e 和 d f 之间的关系。在这里啊，同学们需要注意的这个关系，它没有明确是什么关系，所以说呢，它既存在数量关系，也存在位置关系，对不对？ 这个我觉得各个学校肯老师肯定给你们强调过啊，在这里呢，我们再强调一遍啊，数量关系和位置关系啊，数量关系和位置关系。 好，我们来看数，如果我们先看数量关系啊，你说老师 b e 和 d f， b e 和 d f 一看呢，肉眼看过去，它大概是相等的样子，那我们去正一正啊，你说又因为 c e 等于 c f 给到这样一个条件，所以说我的思路呢，就会走全等这一 这条线啊，正三角形 b c e 和三角形啊， d c f。 刘老师，这很简单 对不对？因为正方形，所以说他有两条边相等，又有直角，又告诉我们一组边相等，所以说他是全等，全等的话，你是不是就已经能够得到他们之间的数量关系，就是 b e 等于 d f 了，你说位置关系是什么？我们常研究的位置关系是什么？只有两种，平行或者是垂直， 这里显然不垂，显然不平行，是不是垂直的？你说老师，这不连着怎么判断？你把它连起来，你往过延伸， 延伸到 m 哈 m 这一点呢？提前写上了，提前写上了哈 m 这一点，然后呢我们去研究它，哎，你说老师这下就会了，在前面我们做过多种这种题，因为它是全等的，所以说我能得到这两个角相等， 对不对？我能在这角一和角二相等，我标记一下哈，角一和角二相等，那么角二加上角 f 等于九十度，是不是？角一加上角 f 也等于九十度， 所以说它等于九十度，是不是啊？所以说这个逻辑关系呢，是很呃，很清楚的，通过我们前面的三角形，还有这个 直直角三角形吧。啊，直角三角形的一个全等，他的呃，两个锐角之间互余的这样一个关系呢？我们就能很快的来解答这个题啊，大家可以看一下这个过程，在这里暂停 好第二题呢，我们来看一个选择题，一个正方形的对角线的乘是两厘米，求他的面积，正方形的面积怎么求？编程？乘以编程对不对？他现在只告诉了我们对角线，然后呢，我们去求出来编程就可以了。对角线呢？因为他是垂直 相等且平分，那么他俩等于一，这没问题吧？ ao 和 do， 然后呢？ ad 等于根号二，勾股经理，很明显吧，这肯定也等于根号二，根号二，根号二，是不是二平分厘米？这是第一种方法哈， 我们看第二种方法，正方形。既然是特殊的菱形，菱形的面积方式大家还记得吗？是不是二分之一对角线的乘积 两条对角线乘积的一半，对不对？那么二乘以二，再乘以二分之一，是不是也是二平方厘米， 对不对？在这里呢，如果菱形的面积已经忘记了，那请你及时的复习哈，翻回去咱们菱形融合提升那一部分的内容，赶紧再听一遍啊，二十多分钟很快的啊，帮你加深一下印象， 及时的复习是咱们初三阶段最重要的特点啊。好，我们看图三，那这个练习三 周比赛京东中呢，出现了赵爽玄图闲图，这个呢？这个图一看，赵爽一出来，我们是不是就知道啊，他就是勾股定理的内容， 对吧？四、图中的四个直角三角形是全等的啊， a、 d， e、 b， a、 b、 j， 它是全等的。然后如果大正方形 a、 b、 c、 d 的面积是小正方形 e、 f、 g、 h 面积的二十五倍， 呃，在这里我们注意一下哈， efgh 哈，这里两个字母呢？标的相反了，标的反了哈，但是当然它不影响我们做题哈。呃，面积的二十五倍，你说老师这二十五倍有点多呀，不要怕，我们假设小面小正方形的面积是一，那么大正方形的面积是不是二十五？ 面积都是编程乘以编程，那么他的编程就是一一啊，那么这个外面大政府写的编程就是五五，对不对？这里没有单位，所以说咱们也不说单位， 然后他问我们 a e 和 d e， 你看这是 a e， 这是 d e， 叶老师没有什么条件了。如果我，嗯，反正直角三角形吗？ 如果我能用勾股定理求出来 a e 和 d e， 那是不是就完完美了？在这里看看它其实是有关系的，因为这四个正方四个，呃，这个直角三角形它是全等的，所以说 a e 是等于 d f 的，对吧？如果假设 a e 是 x， d f 也是 x， 是不是就出现了 x 的平方，加上 x 加一括起来的平方等于二十五，对不对？然后解出来 x 是不是就能知道它两个边长，然后去解决？这是第一种方法哈， 这个方程列出来之后呢，是一个一元二次方程，一元二次方程的内容呢？我们现在还没有学，还没有学，但是如果你八年级、七年级的内容学的扎实，你的完全平方 公式还有什么因式分解的这些内容学习的很好，那么你在这里呢，解出来 x 也是没有问题的，你就运用一元依次方程求解的那个思路啊，求解的一个思路 去化解它，把它的系数化为一，能够，呃，把它指数也化为一，是吧？啊？呃，但能够解出来 x， 哈，没有问题啊。那么第二个呢，就是我们来看一下哈，这道题有特殊之处， a e 比成 d e， a e 是不是短的，说明上面的分子小， d e 呢？是分母，说明分母大，是不是它比较长嘛？ d e 比较长，你看看这个哪个满足下面大，上面小是不是只有它？ 所以说这个呢，是个特殊的方法哈，他跟这个图呢有特殊之处，大家可能看到这个题的时候呢，图就不是这样的了，所以说你不要先入为主的去选 d 哈，也可能选 a、 b、 c。 好，第四题呢，是教材的一个变形，这个题呢很简单很简单，是咱们 ct 的一种啊，在正方形 a、 b、 c、 d 当中，在正方形 a、 b、 c、 d 当中，我们 能够看到 b、 e、 c 是个等边三角形， b、 e、 c 是个等边三角形的话，它它它 是不是他他他三个就相等，因为有他的存在，所以说他他他们是不是都相等， 这些边都相等，这等于九十六十度，这等于六十度，这等于多少？三十度，这等于三十度。又因为他们这这都是等腰啊，不是都是等腰三角形，对吧？所以说这个底角是都能求出来的，然后呢，九十度减去那个底角，是不是这个就知道了， 是不是啊，很简单，刘老师，我要挣他和他全等的也行，你挣他俩全等的之后，你看这个是六十多这个底角也知道，这个底角也知道，是吧？你可以求出来这个，然后呢，算出来两个底角啊，或者你像刚才一样算出来底角也行，方式是多样的哈，方式是多样的，在这里 那是直接利用等腰三角形往出求解的啊，往出求解的很简单，所以说呢，都是九十以内的，这个加减加减法哈，我不在这里给大家计算了啊，不在这里给大家计算。 好，我们再对上一道题呢，进行变形，进行变形，四边形 a、 b、 c、 d 是一个正方形，以正方形 a、 b、 c、 d 的一边为边，做一个等边三角形，求角 b、 e、 c 的大小， 在这里呢，就跟作图有关系了哈，作图有关系了。我们先来看一种情况，也就说 a、 d、 e 的这个直角三角形，呃，这个等边三角形呢？我把它放在 正方形 a、 b、 c、 d 的外边，刚才练习四的时候是不是放在里面了？我们现在把它放在外面，我们看一看，放在外面的时候。你说老师也一样，这各条边都相等啊，各条边都相等，这是九十，这是六十，这是一百五，是不是这个 角就有了？同理，这个角也有了，那么中间的这个角是不是用六十减去这两个小角就能找到他？这是一种情况。那么你说老师，刚才我学习了练习四，练习四，我知道这个等于边三角形啊，也可以坐在里面。 所以说这道题呢，重点在于理解他的两种情况，而不在于计算啊，计算很简单，计算很简单。于，老师，这个就和上一道题一样了啊，上一道题一样。呃，因为， 因为什么呢？因为这个和这个啊，都能相等，都能相等，我就能够，我就能够求出来 b， e、 c 嘛，是吧？啊，再一解答就可以哈，很简单，很简单。 好，我们在这里呢，再看一下第六题，如图，正方形 a， b， c， d 中 p 是 a， d 上的一点，然后呢，在这里呢，它告诉了我们其他的 条件哈， p， e 垂直于 b， c， p， f 垂直于 d， c， 这个也是直角，你说同志们，这是个啥？ p， e， c， f 啊，它是个矩形吧。 然后呢，问的我们是 a， p 等于 e f， a p 等于 e f， 你说这太远了，这连不上，但是我们知道这个是矩形，这是 e、 f， 它的一个对角线，很容易想到连接 p c， p c 是等于 e f 的 是吧？ pc 是等于 f 的。刘老师，既，既然说都是连接对角线了，那么我再连接 ac， 连接正方形的对角线，在正方形的对角线里面连接 ac 之后呢？刘老师，他的两条对角线的性质呢？是垂直平分， 那么 bd 是不是 ac 的垂直平分线？垂直平分线上一点到线段的两个距离是不是相等？ pa 就等于 pc， 对不对？同志们，这个能理解吧？啊，你说老师我就要这种，这两个三角形全等，这也是可以的，没毛病啊，没毛病是可以的。 好，这个过程其实很精炼的，很精炼的，大家可以研究一下哈。再一个呢，把注意点这一下看一下啊，他讲的就是垂直平分线的应用啊。垂直平分线的应用， 好，我们看第七题，第七题呢，也比较容易，比较容易。首先呢，说明这个正方形的编程呢，这正方形的编程呢，就是个一， 然后呢， a c 是对角线， a c 是对角线，最后呢，是求 b e 的长了啊，再知道，还有还有一个 e f 垂直的这个关系。最后是求长了，既然都是求长了，那么 ad 等于一， ab 等于一， bc 是不是也等于一啊？那么 ac 等于多少根号二，是不是啊，既然求长了，我们就把能这一眼能看出来的这个长度呢，就要求 求一求，求一求啊，求一求。然后呢，刘老师，既然他是这个呢，是一个角平分线啊，这都是直角啊。然后呢，这两个三角形全等，对不对？ 这个上去全等，因为这个叫角平分线嘛，这又是直角，又是这个公共边，对吧？这个全等，那么我是不是能得到，这样的话就得到 a f 等于一了。 我们再来看，既然它是正方形的一个对角线，那么这是不是四十五度，这是垂直，那么是不是可以得到它？这个三角形是一个等腰直角三角形， e f 等于 f c， 又因为他俩三角形全等，是不是这个和这个又相等，那么 b e 是不是就等于 e f 等于 f c 了？只要求出来 f c 就可以了。 f c 等于什么？根号二减一， 是不是啊，很好理解吧啊，有的同学呢说，老师，我能知道，这两个全等全等之后呢，他变成他了，他没法求，他也没法求啊。然后呢，忽略了这个四十五度，这个四十五度一出现啊，这个题呢，就变得灵活了啊，注意关键点，注意关键点。 好，我们看一下这个过程，需要的同学在这里暂停一下，好好看一看啊，注意四十五度的应用，有的同学呢，容易忽略， 好，这里呢，是我们在对本节课的内容呢进行一个总结，这一个呢，就写的更加框架化了，同学们注意记忆，因为这个内容呢，我在前面已经给大家念过了，所以说我在这里不给，不再给大家念了哈。同学们注意，画一画，记一记，背一背。 好，这节课的内容呢，我们就上到这里，同学们辛苦了哈，同学们辛苦了，更多精彩的课程请关注冯老师的数学。

好，同学们，大家好，我们今天呢来学习第一章特殊平行四边形。第一节菱形内容，知识点部分的第三课时融合提升，这也是菱形部分的最后一个课时，知识点的最后一个课时哈， 融合提升呢，他主要是讲在菱形我们已经掌握的第一课时，第二课时的知识的基础上，我们再次深挖一下他还有哪些知识，并且深挖一下他和其他知识点的一个综合运用， 这就是主要这节课的主要的一个方向。 好，既然是和其他知识点的一个集体的一个 融合提升，那么我们先对知识点进行复习，很简单，平行四边形的对边怎么样？平行就相等是吧？啊，对角相等，对角线呢？互相平分， 菱形具有什么的一切性质？这个我们都是说过的哈，在讲课的时候都说过，如果你忘记了，你就赶紧翻到以前的视频呢，再次去听，去看，去复习。 菱形具有平行四边形的一切性质，因为菱形是特殊的平行四边形嘛，那么平行四边形的性质又从哪些方面去进行考虑呢？对称性、边角、对角线四个方面去考虑。我在这里呢，不再重复平行四边形的这些性质了，因为 咱们在前面的课程当中已经重复的很多了啊，菱形是什么图形？也是什么图形？轴对称图形也是中心对称图形， 如果对轴对称的概念和中心对称的概念还有问题，请赶紧复习知识，复习前面的知识哈。 第四，菱形的四条边都相等，这是菱形的性质，菱形的两条对角线互相垂直且平分，对不对？互相垂直且平分。好，这时呢，我们把菱形的性质和平行四边形放在一起呢，一起回顾一下， 然后我们单独的对菱形的性质和判定再次进行复习。 菱形的性质的时候呢，这里呢还有一个菱形的概念，有一组菱边相等的平行四边形叫做菱形， 那么菱形的对称性轴对称中心对称边呢？两组对边分别平行且相等边。四条边相等角呢？两组对角分别相等菱角互补 对角线，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，平分一组对角。这个呢也有知识点进行考察过，我们在学习菱形性质的时候呢，也讲过，你比如说连接他的一条对角线，就能够得到 两组对角平分了之后就相等吧，两组对角相等，那么他就有利于我们去正三角形的全等。 有关的计算呢，包括线段和周长是吧？我们在讲相性质的时候呢，也训练过线段的，长了周长了这些相关的训练题相关的知识点。 好，我们再次复习一下菱形的判定三种方法。第一种有一组菱面相等的平行四边形叫做菱形，这是他的定义， 判定一对角线互相垂直的平行四边形是菱形，那在这里记忆准确，四边相等的四边形是菱形。再一个他的运用呢，就是运用他的定理进行计算和证明。好知识点，回忆到今天这个地步， 同学们应该对他的定义性质判定已经记忆到滚瓜烂熟的地步啊，一定要达到这样一个程度，能不能够充分的熟练的去运用他呢？可能还需 要我们去经过更多的训练，你学校的，你自己的，包括老师课程的这些训练，那经过更多的训练呢？达到一个熟练运用的过程，但是对知识点本身的理解和记忆应该是 比较熟悉了哈，比较熟悉了，如果你不熟悉，请抓紧时间再下下功夫。好， 那么我们看今天的融合提升的第一部分就是研究一下菱形的面积，我们先不用看课件的内容，那么我们就知道菱形它本身就是一个平行四边形，对不对？ 菱形它本身是一个平行四边形，那么平行四边形的面积是怎么求呢？就是底边乘以这条边上的一个高就行了，对不对？四边形大概都是这样的一个，呃，面积的这样一个 方式对不对啊？我不能说所有的你，比如说梯形了什么的，它就不是这种的，对吧？啊？那么菱形它作为一种特殊的平行四边形，那么它的面积肯定也能用底乘以高这种方式去解决。 好，我们看一下具体的内容哈。菱形是特别特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式进行计算菱形的面积呢？肯定是能，对不对？肯定是能。好，我们来画一下，比如说我们现在做一个，在后面的这个图上做一个高 a、 e， 然后呢，它的面积等于什么呢？肯定等于 b、 c 乘以 a、 e 就可以了，对不对？比乘高 b、 c 乘以 a、 e 就能够算，如果我们知道这两条线段的长度，那么我们就能够进行计算。好，那我们进行思考，如果它和平 四边形的面积的计算方式一样，那么我们就不用拿出来单独的去提升了，他肯定有他特殊的地方，你看我们在算面积的时候是不是要找到一个垂直的一个关系？那么你说老师，我知道了，菱形的面，菱形他本身呢就有垂直，是不是？他什么垂直啊？他的对角线是垂直的吗？ 那么能否利用这个关系去研究一下菱形的面积呢？这就是我们这节课的呃，就这一部分的一个目标。 你说老师我们前面说过他本身的垂直平分之后呢？他把这四个这个直角三角形肯定是全等的，我求出来一个直角三角形，然后呢乘以四就能得到他的面积。我们在求一个图形的面积的时候，面积的时 我们一般采用的是什么办法？如果他不规则的话，割或者是补，把它弄成一个完整的。你像这个题呢，它是本身就是一个完整的，但是呢，为了求它整体，我是不是也可以求把它割开之后呢？求每一部分的，然后把它加起来就可以了， 对不对？好，那么我们先先来看看这种第一种的，我们先来看看我，我，呃，这里呢？呃，标个字母 a o 哈， a o， 我标一个字母，那么 a o 乘以 d o， 再乘以二分之一 s， 它是不是就是三角形 a o d 的面积？那么四倍的它，四倍的它啊，四倍的它，四倍的 a o 乘以 d o， 再乘以二分之一，是不是等于这个 s 菱形的面积了？ a o 和 d o 什么关系啊？ a o 和 d o 分别是每一条对角线的一半，它前面有个四，我把这四呢分开，我二倍的 a o 乘以二倍的 d o 再乘以二分之一，是不是还等于 s， 菱形的面积 不变吧？好，那么二倍的 a、 o 就成了谁了？成了 a、 c 了，二倍的 d， o 呢？成了 b、 d 了，再乘以二分之一，等于菱形的面积， 对不对？等于菱形的面积。你说老师，这样的话呢，菱形的面积呢，他就等于他的对角线乘积的二分之一，对角线乘积的二分之一。 好，这是我们自己的一个研究，我们来看看本身课件的一个内容啊，他在这里呢，画出了一个菱形，完了 之后呢，是用对角线表示出菱形的面积的 a、 b、 c、 d， 我们看看它的方法，周老师，它的方法和我们讲的不一样，我们再来看看哈，他说了，呃，垂，呃，这个对角线是垂直的，但是呢，菱形的面积呢，等于 a、 b， c 这边的这个加上 a、 d， c 这边的这个面积，可以吗？可以，我们分成了四部分，它分成了两部分，对不对？这样的话呢，在 对角线的这个应用上呀，就是更直接，就是更直接一些。为什么直接呢？我们看一下这个计算过程就知道了，你这个三角形左边的这个三角形，他就等于 ac 去乘以 bo， 那么 ac 本身就是一条完整的 对角线，而 b o 呢，是一呃对 b、 d 对角线的一半，是不是啊？这边呢，也一样，我 a、 c 呢，再用一遍，然后呢用一下 d、 o， 后来 你看这有公共的部分吧， a， a、 c 肯定是公共的部分，看在这里， a、 c 是公共的部分，我就提出来了二分之一，当然二分之一是计算的一个系数， 然后呢，我们把 bo 和 do 往出一求，他就等于 bd， 是不是计算的结果和我们刚才的是一样的，所以说你分成两部分或者分成四部分都可以的。你比如说有的同学让他研究的时候，是这个面积和这个面积 也是可以的，我们采用了 b、 d 是完整的把 a、 c 分成两部分，这些都没问题哈，都没问题。 我们这样呢，就会发现，菱形的面积呢，它也等于底乘高，但是同时呢，它也等于它对角线乘积的一半。在这里呀，我要特别说明一下这个对角线乘积的一半这个这个东西的理解，其实呢是对角线，对角线它本身是一个线段，它就有长度，其实呢，是对角线长度乘积 的一半啊，在这里呢，没有没有写那个成成度那两个字啊，但是同学们一定要注意哈，同学们一定要注意，他本身就是成度的意思，因为我们不可能拿两条线段来成完了之后呢，没有了， 对不对啊？如果有很多题，他要是给到你具体的长度的话，那么肯定是拿长度来相乘，算出来一个最终的结果。 好，我们在学习了。呃，菱形面积的一种新的计算方式，就是通过对角线来实现的，那么我们看一下他在题目当中的具体的运用， 如图四边形 a、 b、 c、 d 是边长为十三厘米的菱形边长告诉我们边长了哈，边长是不是每一条边都一样？都是这样的，其中对角线 b、 d 等于十，对角线 b、 d 等于十，那么每一半等于五， 对吧，没有任何问题吧啊？然后呢，求对角线 a、 c 的长，求对角线 a、 c 的长， a、 c 的长，怎么办？很简单嘛，勾股钉底嘛， 对不对？我在这里标一下 o 哈， a o b 里面，我们把三呃，把这个放在三角形 a o b 里面，已经知道了斜边和一条呃这个直角边，那么另一条直角边是不是就能求出来了？ 很简单哈，这是我们勾股定理知识点的一个运用，这是菱形面积，呃，这是菱形，他和呃勾股定理的一个综合 求出来 a e， 然后呢，乘以二就是 a c 的长度，然后呢，第二位呢，是求菱形 a， b， c， d 的面积， a， b， c， d 的面积。你说老师我知道了 b d， 我知道了 a c， 那么根据我们现在新学的，我只要把它运用公式就能求出来这个面积，对不对？但是在这里呢，我要提醒一下大家，这这道题人家本身是有单位的，所以说你要注意面积的单位怎么去写。好，我们清除一下， 看四边形， a， b， c， c 是面，呃是菱形，然后呢，通过一个呃勾股定理我们求出来 a e， 然后二倍的 a e 呢，就得到了长度，然后呢，再利用我们今天所学习的菱形面积的新公式，直接算出来面积本身。 那么这道题所考察的主要知识点呢，就是菱形的性质，对角线是垂直平分的，然后运用勾股定理又运用到了今天所学的菱形面积的一个计算，对不对？好，我们在这里呢 啊，既然是新的知识点，我们就对他进行一个简单的小结，同学们在平时自己学习和研究的过程当中呢，也要这样，你比如说你在题做题的过程当中，你发现了一类啊，发现了一类题，然后呢，你就把它总结一下，总结一下，总结出来你自己的方法。然后呢，在以后的题当中呢，你就可以直接去应用它， 对它不断的进行优化和完善。好菱形的面积计算呢，我们在这里说了三个，第一个，一边长与其对边的距离，这是不是就是底层高的意思啊？底层高的意思， 而菱形的，呃，每它的底就是它的每条边嘛，它的每条边都是相等的，那也就是说每条边上的高肯定一致，肯定一样，肯定一样高，一样长。第二个呢，是四个小直角三角形，这个我们练习过了，是吧？我们讲讲过了啊。第三个是两条对 表现啊，在这里呢就提示了，提示了啊，这里提示我们有一个长度 x 啊，乘积的一半。好， 同学们可以把这个呢呃，自己记一下面积训练问题，我们再来看一道啊，我们再来看一道，如图，已知菱形的两条对角线哎，很好，他已经告诉我们，已知菱菱形的两条对角线呢，分是六和八啊，是六和八，那么肯定长的是八，那么他的一半是四， 短的呢是六，他的这个呢等于三。哎，月老师，这个很好，这个我就求出来他的边长了，三四五一组勾股数，对吧？常用的，那么这个菱形的高哎，你看这个呢，就求菱形的高了，第一啊，第一是他做的一条高。 魏老师，简单，我先算出来它的面积，然后呢，除以它的这条边长，边长已经是五了吗？除以这条边， 编程呢，我们就能求出来了，对不对？那么它本身的这个呃，面积是怎么算呢？二分之一乘以六乘以八， 对吧？二分之一乘以六乘以八能理解吗？是不是我们刚才所学习的公式嘛？对不对？三八二三八二十四对不对？二十四，这是它的一个面积啊。呃，当然当然，呃，细心的同学已经发现了哈，我们在书写的时候呢，要稍微规范一些 啊，他也是面积的单位，面积的单位要加上，既然面积本身求出来了，无论采用哪种方法他的面积肯定是不变的。那么我这这是这种方法啊，对角线的方法，那么我们利用底乘以高的方法的话，我们二十四除以五 是不是就能求出来了？底乘高二十四除以五 对不对啊？是不是也很简单啊？就是今天知识点的一个运用好，主要知识点呢是菱形的性质，对角线垂直平分、勾股定理和菱形面积的一个计算啊。 好，接下来上面呢是一部分内容哈，就是面积菱形面积的一个呃，我们的一个研究，那么再一个呢是我们再研究一下课本上的一个素材， 在我们课本上呢有一个内容，他是两张纸条放在一起，交叉放在一起，他为你交叉所形成的那个图形 啊，是一个，是不是菱形？如果是的话，为什么？为什么是菱形？对不对？在这里呢，我们对课本去素材做了一个延伸，做了一个延伸，他告诉我们他的两个纸条啊，是等宽的，我们在这里呢研究一下等宽和不等宽有什么区别？ 我们先看一下如果两个纸条不等宽，他会形成一个什么样的图形。你看在这里我的两两个图形是不等宽的吧，明显的这个横着的这个他要宽，呃，斜的这个呢？他要窄一些，窄一些啊， 但是呢，大家在做纸条的时候呢，一定要做准确哈，你不能说他撕了一个或者是结裁出来一个，呃，不， 不平行啊，就是不完整啊，就是特殊的一个四边形，你看我们的这个纸条裁出来之后呀， 他一定是像一个长方形一样，是不是像一个长方形一样？好，这是在做的时候呢，大家一定要注意自己做图的这个情况。好，你看我们现在是不是把这个 a、 b、 c、 d 放在一起了？呃，不是把两张，嗯，这个纸条交叉在一起，形成了一个 a、 b、 c、 d 的这样一个图形，我们来看看它是一个什么情况？刘老师，下面的这个呢，它横着的这个呢？它是一个长方形，那么我们就能够得到 a、 d 平行于 b、 c， 没问题吧？ 那么斜的这个呢？它也是一个长方形，那么我们能得到 a、 b 平行于 d、 c， 所以说它肯定是一个什么两组对边分别平行的四边形是什么？平行四边形 对吧？是一个平行四边形。好，我们来看一下哈，平行四边形，想想你能证明这个结论吗？我刚才是不是我刚才的说法是不是就是一个证明的，证明的这个过程证明的一个思路啊？ 同学们可以自己去写一写，可以写一写。好，研究完了这个不等宽的纸条之后呢，我们来研究一下等宽的纸条，等宽 是不是？这明显的看着就是等宽了吧？要说两张纸条呢，它的宽度是一样的宽度，宽度大家还理解吗？大家还理解什么是宽度吗？ 就是这个啊，我画的不直哈，我画的不直，就是这条线，这条线的高度长度就是他的距离嘛。两条平行线之间的距离是不是过一个点，然后呢？做另一条线的垂线， 这是一条线的垂线，它的高度就是这两条平，这就是平行线之间的距离，而平行线之间的距离处处相等，处处相等，你比如说他这里的距离和他这边的距离相等吧？相等，完全相等哈，完全相等， 这是我们七年级的知识点，如果你不熟悉，如果你不熟悉，请翻到七年级平行线的那一部分呢，把平行线的知识再回顾一下。再回顾一下。 你说老师，那么那么刚才呢，在不等宽的时候呢，我们已经说过他的他是一个平行四边形的 a、 b、 c、 d， 那么在这里呢？也一样，因为你本身也是两条 呃，这个长方形，那是吧，两条纸条放，放在了一起，放在了一起，那么你肯定 a、 b、 c、 d 是一个平行四边形了，那么轮到它是啥了？那么既然是菱形的综合运用，那么 a、 b、 c、 d 肯定 uk 就是一个菱形了，是吧？我们是这样猜想，猜想，那么我们如何来证明他呢？我们只要再找见一，因为在这里没有对角线，那么我们只要再找见一组零边相等，那么是不是这个东西就成立了？这个东西就成立了？好， 你说老师，既然啊，既然，呃，两条对平行线之间的距离处处相等，而这两条呃所做的纸条呢？它又是等高等宽的，也就是说高度一样嘛，高度一样，那么那么 a、 f 躺下的这条，呃，横着的这个，呃长方形的高度和呃斜着的这个长方形的高度， a、 e 是不是就应该相等了，对不对？ 他俩就相等了啊，他俩就相等了，他俩相等有什么好处？ 很明显吧，就是证明三角形 a、 b、 f 和 a、 e、 d 去全等，那么我就能够得到 a b 等于 a d， 是不是啊？ a b 等于 a d， 这样的话，是不是零边就相等啦？ 在这里呢，就是这个 a e 等于 a、 f 的这个情况啊，它和我们现前面所写的平行线，平行线之间的距离处处相等的。这个知识点呢，要回向起来，要回向起来，要不然你的条件不够。 a、 e 等于 a、 f， 是吧？又有一个直角，然后呢？嗯，平行四边形的对角是相等的，对角是相等的，那么我们角角边啊，角角边，就来证明两个三角形的全等啊。在这里呢，呃，这个呃体，这个研究的这个 思路，我给给大家交代清楚了哈。交代清楚了，但是整个的过程呢，我不写了，同学们可以自己写一写，同学们 可以自己写一写。好，在这里呢，我们再看一个训练题，再看一个训练题，如图，在三角形 a、 b、 c 中， d e， 三角形 a、 b、 c 找见了吗？ d、 e 分别是 a b 和 a c， d e、 e 在这儿 分别是 a、 b 和 a c 的终点，两个终点连起来什么？中位线是吧？我们在这里呢，就可以在条件看到这里的时候，我们就能知道 d e 平行且等于 b c 的一半，对不对？也就说 d e 平行于 b c， d e 也等于二分之一 b c。 好，我们再继续往后看，但是呢，它就告诉我们 b e， b e 又等于二倍的 d e， 发现什么？呃， d e 等于二分之一的 b c， 说明 b c 就等于二倍的 d e， 那么 b e 它又等于二倍的第一，这就说明这条边和这条边相等， 对不对？等着再换一下，是不是相等，相等。好，你说老师已已经有一组零边相等了啊，研究菱形了啊，他如果他这个平行四边形，他就是菱形，嘿嘿，是不是啊，我们就不用往后看。嗯，那，那就能够运用我们所学的知识和我们所做题的经验呢，猜到一部分 延长 d e 到 f， 延长 d e 到 f， 延长 d e 到 f， 这种作图的方法，是不是就可以得到 d f 其实是平行于 b c 的， 对吧？然后呢，再看，使得 e f 等于 b e 好，好家伙，是不是 e f e f 在这里， e f 它又等于 b c， 哎，不对，等于 b e， 而 b e 呢？刚才我们研究过来， b e 等于 b c， 说明 e f 等于 b c 在这里能得到什么了？ e f 平行等于 b c 了， 是不是？是不是能得到这个结果啊？那么，所以 e b c f 为平行四边形，对吧？右 b e 等于 b c 啊，这个条件呢，你们可能在。呃，咱们可能在上面的写题的过程的人已经写了，所以在这里呢，可写可不写哈，也可以，所以呀，他就是一个菱形， 它就是一个菱形啊，好， 看看他是不是也是这样的 一个思路是吧，证明它是一组 e f 平行等于 b c， 然后呢，所以说呢，它是一个平行四边形，由 e f 等于 b e 啊，当然， e f 等于 b e， 是吧？它在这里呢，直接用了一个已知条件，而我们刚才用的呢，它是一个就是我们发现的一个延伸性的条件，都可以啊，都可以， 都可以。好，我们来总结一下主要的知识点呢是菱形的判定，我们用的是定义的这个方法，然后呢再一个呢是中位线的一个定理啊，中位线的一个定理在这里呢，其实还有一个呢，平行四边形的一个判定，对不对？ 好，我们这节课的主要内容呢，就是这样，它的融合提升呢，提升在两呃，表现在两个方面，一个呢是菱形的面积，我们学习得到了一个新的公式， 就是两条对角线乘积的一半。再一个呢是呃，它的综合运用呢，体现在体现在它的周长面积和三角形的一个结合，而和三角形的结合呢，多为等腰三角形或者是直角三角形， 对不对？这些通过我们做题的经验呢，我们可以对他进行一个大致的总结，如果对等腰三角形或直角三角形还有什么不清楚的地方，同学们赶紧查去查看 好这节课的内容呢，就到这里，同学们辛苦了，更多精彩的课程呢，请关注冯老师爱数学抖音，扫码或搜索抖音号都可以，谢谢大家。