柱体包括哪些立体图形

这个视频我们来认识几个立体图形，这是长方体，这是正方体，这是圆柱体，这是球体。像这种长长方方的形状就是长方体，比如我们常见的一些橡皮、铅笔盒、书本等，都是长方体。 长方体有六个平平的面，分别是上、下、左右、前后，而且上面和下面相同，左面和右面相同，前面和后面相同。 如果把长方体压一压，挤一挤，让他的六个面都变成大小一样的正方形，那长方体就变成了正方体。 所以正方体看起来方方正正的，也有六个平平的面，并且这六个面大小全都相同。像小朋友平时玩的三阶魔方的形状就是正方体。 长方体和正方体都是有棱有角的立体图形，还有的立体图形会相对圆滑一些，比如圆柱体，圆柱体直直的，上下一样粗，上下两个圆面大小一样。像小朋友平时用的这种铅笔筒的形状就是圆柱体。 圆柱体比较圆滑，但还有比圆柱体更圆滑的形状，那就是球体。像乒乓球、排球、篮球等等，他们的形状都是球体。 球体的特征是圆圆的，表面是曲面，而且很光滑。下面再来看看他们的稳定性，其中最不稳定的就是球体很容易滚动，而长方体和正方体就比较稳定，放在桌上时不会滚动。圆柱体呢，就比较特殊了， 如果是这样放就比较稳定，不会滚动，但如果是这样放，那就很容易滚动起来了。看来原著体的稳定性和他的摆放方式很有关系。

今天我给大家分享一个，嗯，我的立体几何，这个是正方体，他有六个面， 每个面都是正方形的。嗯，第二个是，嗯，是人做，因为他长得像个猪纸似的。 还有两个面旁两个一样的正方形，旁边有四个 十个的长方形，这是人，这个叫十人柱，这个是圆柱体，他，他只有两个圆形。然后呢？这个名， 这叫三人座。嗯，他有两个三角形，三个长方形， 这个名字叫圆锥体，他后面是有一个圆形的，是个锥，因为他有一个尖尖的，他是三人锥，他后面是个三角形的。嗯，他这个是四人锥，会是个正方形， 这个是球的，因为它很圆形，降低球位。这个是椭圆体，椭圆体要比球里长一些。哪个图形能放在正方形上？有正方体才有四人做， 嗯，人很有。是，是人追， 是因为他们底下都是个，有个正方形，嗯，这个才三角形。有这个三人桌是一样，因为他这两边都是一个三角形。嗯， 很有这个山人，所以因为底下也有一个三角形， 旁边还有一个球体，是这里的和 圆柱体，还有圆锥体，这三个就是一起的。最后一个有三人锥和四人锥，放下去， 这就是丽萍女王，谢谢大家。

今天这讲当中呢，我们要认识几个常见的立体图形，柱体、锥体和球体。首先咱们要来聊的就是柱体， 小朋友们请看了，这些通通都是常见的柱体，前两个最常见，长方体和正方体。注意了，你可不要叫成长方形，因为我们现在研究的是立体图形， 然后是圆柱体，我们小朋友也应该比较熟悉，他就好像你手中握着的笔这个形状， 那再往下呢？估计这两个有点难了，三棱柱，六棱柱，对不对？好的，那接下来呢，宝贝们，我们来看一 看呐，其实柱体他们会有一个共同的特征，你想想他是不是上下一样粗的，直上直下的，这些柱体都是这样的，那我们来看看柱体他各个部分的名字， 你看这个长方体上下前后左右这些呢？我们教他面，所以长方体一共有六个面，面和面相交的部分，那些凸出来的线我们称他为冷， 那能有几条呢？上面有四条，下面有四条，还有立着的四条。 所以啊，长方体有十二条龙，这些龙和龙的焦点尖尖的部分 叫顶点，顶点呀，上面有四个，下面也有四个，所以有八个顶点，所以长方体注意了，他会有六个面，八个顶点，然后有十二条棱。 一般呢，我们在研究立体图形的时候，往往会从顶点呀，棱啊面呐这些方面去研究他们。 那我们就来看看正方体啊，正方体请看了，请问他有几个面，几个顶点，几条棱呢？哈，正方体跟长方体太像了， 所以他也是有六个面，八个顶，顶，十二条龙，对的，前面两个你们都非常的熟悉，对不对？那接下来我们再看看 圆柱体，圆柱体呀，注意啦，我们会发现呢，他高高立，如果把他横倒在地，他还能滚动他的上下两面，小朋友们认真观察观察是什么型的呀？ 上下两面注意了，可是圆形的，然后他的侧面看好了，实际上展开之后可是个长方形，对不对？ 那我们继续往下呀，这两种我们都会管，他们叫做棱柱，当然啦，除了三棱柱，六棱柱还会有其他的一些棱柱。 那棱柱是怎么命名的呢？这个就要多说一句了，棱柱其实就是以他侧面上棱的数 来命名的，那三棱柱侧面请注意，一条两条三条棱，所以他叫三棱柱。六棱柱侧面是有六条棱， 但是有一些小朋友就会说了，从这个角度，我怎么能够看出六条龙呢？ 那好了，大家注意啊，正是因为呢，柱体他的上下是一样粗，所以我们呀，也可以借助于观察他的这个上面或是底面是什么形状的，来判断出他属于脊棱柱。 三冷柱上面是三角形，所以他肯定侧面对应的是三条冷。那六冷柱，如果你从侧面不好数，我们看看人家的上头 上面是个六边形，对不对？你这六边形对应的就是六条龙，他就叫做六龙柱了。 ok， 那我们再看看呀，棱柱呀，其实你研究他呢，非常的有意思，比如说三棱柱，你能给我数数顶点有多少个吗？ 顶点上面一二三三个，下面是不是也对应三个？ 哎，所以他的顶点就会有六个。 ok， 那我再问问大家，六楼住的顶点有几个呀？ 好，六龙珠的顶点上头是有六个，然后底下呢，也是有六个，所以他是十二个，对不对？好了，那我们再来关 观察观察他们的棱，小朋友们来看看啊，棱的话，三棱柱上面部分是三，然后侧面是三，再往下也是三，所以他的棱会有九条。 那六棱柱呢？上边是六条棱，侧面是六条，底下也是六，所以这个竖出来就应该是，哎，特快呀，算起来是不是十八条棱？ ok， 最后研究研究面，你瞧，这面也好好玩了，上边下边分别是一个面，中间是三个面， 所以他总共就是五个。你再看六愣柱，上面下面一个面，然后他中 中间对应了啊，是六个面，所以六龙柱总共是八个面。 接下来我们再来看看下面的，哎呀，这是椎体了，椎体跟柱体长得有点像，但是不太一样，椎体最大的特征，这头呀，都是个尖尖的， 真是圆锥体，因为他底面是个圆，后面的棱锥，他依旧是以侧面上的棱的数量命名的。而我们侧面如果不好数的话，你就可以看看他的最下面， 最下面三角形对应三棱锥，最下面四边形对应四棱锥，最下面六边形对应六棱锥，最下面 到底是几边形？他对应的可就是脊棱椎了。最后我们再看看球体， 一说到球体呀，大家太熟了，球体圆圆的脑袋，圆圆的脸，站不稳，跑的快。 而且呀，我们在这个健身的时候，经常会跟球体打交道呢，你看呀，比如说足球是不是球体，篮球也是球体，排球也是，好多都是球体， 球体是个立体图形，我们有的时候呀，会简称为球。 好了，那以上呢，我们就已经介绍完立体家族了，那实际上以后还会有其他的，不着急，咱们慢慢的在 补充哈。那接下来我们一块来看看咱们的例题吧。

平面图形有长方形、正方形、三角形和圆形等等等等。立体图形有哪些呢？长方体、正方体、圆柱体和球体都是立体图形， 像铅笔盒这样的形状就是长方体。他有六个面，分别是上、下、左、右、前、后。这六个面都是长方形，而且上面和下面相同，左面和右面相同，前面和后面相同。 如果你把长方体压一压，挤一挤，让他的六个面都变成一模一样的正方形，长方体就变成了正方体。 所以正方体是一种特殊的长方体。像平时常见的三阶魔方就是正方体。长方体、正方体都是有棱有角的立体图形，还有的立体图形会相对圆滑一点。比方说圆 柱体，他有两个相对的面，是完全相同的圆形，像人民大会堂门前的大石柱就是圆柱体。 圆柱体比较圆滑，但其实还有比圆柱体更圆滑的形状球体，像篮球、足球、乒乓球等等等等，都是球体。在你认识了长方体、正方体、圆柱体、球体后，我再来和你聊聊他们的稳定性。 其中最不稳定的就是球，他很容易滚动，如果把两个球上下叠放在一起，只要轻轻一碰就全倒了。 而正方体和长方体比较稳定，很难滚动，所以盖房子不能用球，得用长方体或正方体。 另外，圆柱体比较特殊，如果这么放就比较稳定，不会滚动，但如果这么放，就很容易滚动起来。 立体图形的稳定性跟他的摆放方式也很有关系。最后，我再来说说从不同方向切割立体图形时所得的界面。先看球体，横着切是圆的，竖着切也是圆的，斜着切还是圆的， 不管你怎么切，切出的洁面都是圆形。再看远处，横着切远大，竖着切长方形，斜着切椭圆，看来从不同的方向切，切出的形状并不一样。 最后来看正方体，横着切正方形，竖着切也是正方形，但这么切就是三角形了。 看来正方体也属于切的方向不同，切出形状可能不同的立体图形。以上就是立体图形的认识，其中球体 最不稳定，最容易滚，其次是圆柱，最稳定的是正方体和长方体。而当你用刀去切他们的时候，球体不管怎么切，结面都是圆， 而其他立体图形则会因为方向不同，切出的形状也不同。现在问题来了，一根没有用过的铅笔是什么形状呢？

大家好，这个视频将带你来学习立体图形的顶点、棱面的个数。进入初中以后，我们接触到很多的立体图形，那主要研究的也是他的点棱以及面， 比如说这个比较常见的圆柱，他的上下底面是圆形，侧面展开以后应该是长方形。 再比如我们的轮柱，如三轮柱、四轮柱、五轮柱，上下底面是多边形，侧面是平均四边形。最常见的哎，侧面是长方形。 第三个圆锥，它的里面是一个圆形，那侧面它是一个曲面，我们将侧面展开， 哎，它应该是一个扇形，在它的最上端会有一个顶点。 第四个能追能追，它的底面啊，依旧是多边形、 三角形、四边形或者五边形，他的侧面是三角形，他有很多个顶点。最后一个是我们的球体，他的表面是曲面。 那么接下来我们用一道例题来感受一下考试是如何考察这方面的知识的。丰富的图形世界里有奇妙的数量关系，让我们通过下面这些几何题，开始神奇的探索之旅。观察下面这些简单的几 合体，让你去统计每个几合体有多少轮面以及顶点。首先我们来看 aa， 是一个三轮锥，哎，已经填好了，他有六条轮， 像这样面一面的胶点，这个胶线，他有四个面，底面一个，侧面三个啊，他有四个顶点，这个颜色的 红点是他的顶点。接下来我们来看地图形，他有几条轮呢？可以看到他的底面是一个哎，四边形，他有 四条，楼好，侧面也有四条，那一共是八条呢？再看 c 选项，它是一个三轮柱啊，它的轮数有九个啊，已经数好， 上下各三个，侧面也有三个。九个他有五个面，上下两个加侧面三个面，他的顶点数，我们来数一下，一二三四 六，他应该有六个顶点。继续看第，他是一个正方体， 正方体有多少条轮呢？可以看到，上面应该有四个轮，哎，底面也有四个轮，侧面也有四个轮。好，那么应该是十二条轮，有六个面，上下左右，哎，前后 八个顶点，嗯，没有，问题是这八个顶点最 后一个是一个五，能住，他应该有多少条能呢？你们会发现，而是十五条，上面有五条，下面有五条，哎，同理，侧面也有五条，有多少面呢？ 我们会发现，上面有一个面，下面有一个面，侧面一共是有五个面，那么加起来是七个面，有多少个顶点， 我们可以来瞄一下啊。顶点上面有，哎，五个顶点，下面也有二五个顶点，门的交汇处是顶点，那么一共是十个顶点。 好，我们就得到了第一问。接下来让我们利用第一问来的结论来探索一些规律。 把这个填起来， 发现在简单的几何题中，我们的顶点数啊，加上面数，减去人数等于几？ 我们其实只要带入一组来感受一下就可以了。比如说，哎，我们的三轮锥啊，微是 四， f 是四，一是六，四加四减六等于二，我们可以再带入一组 b， 五加五减八也等于二，我们发现这个规律 就是二。第二个简单几何体重。每条棱都是几个面的公共边，我们随便找一条棱啊，比如说这一条，它是几个面的公共边呢？它既属于上面这个面， 能看到蓝色的面吗？他也属于，哎，下面前面哎，这个长方形的面， 所以他应该是几个面的公共边，两个，两个面相交会产生一个棱。第三题，在正方体中，每个顶点处有几个棱？ 正方体。好，我们随意取一个顶点，比如说，哎，他这个位置，哎，教会 几条轮呢？简单数一下，应该是三条轮。好，第二个，每条轮有几个顶点， 每条轮上有几个顶点呢？啊，我们来看一下，比如说这一条轮，这条轮上有几个顶点，很明显两边哎，各一个，应该是两个顶点。 所以说，哎，我们得到了一个结论，二乘以一等于三乘以 v， 也就是二乘以我们的人数等于三乘以我们的顶点数。 哎，具体为什么呢？ 我们每个顶点有三条轮，嗯，并且每条轮有两个顶点，所以得到下面这个是好应用。有一个叫正十二面体的简单几合体， 它是有十二个面啊，它的面数是十二，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱， 请问他有几条能几个顶点，哎，首先我们来考虑一下，他有几条能 通过前面的规律啊？我们发现了，在简单几何题中，每条轮 都是两个面的公共边。好，现在呢，他有十二个面，那么他有多少条轮呢？ 十二个面，每个面是五边形。哎，首先如果我们不算哎，交会在一起的人，他应该是 十二乘以五，一共有六十个点， 先不让他浇水。在一起有十二个面，哎，哪个面是五边形啊？我问你有 多少条边呢？用十二乘以五就可以得到。好， 那么说能两条边，哎，两条边会汇合成一个，能在我们的几何体重，那么两条边会合成一条。能，那我们六十个里面，哎，有几组两条边呢？ 好，两条编为一组，他应该会汇合成三十条的， 还有三十条呢。 好，现在我们知道这个几何题有三十条了，那么有几个顶点可以推算出来了啊？那么根据 第一问的结论，我们的顶点数啊，顶点数我们设为 x， 加上我们的面数减去我们的人数应该等于二，那由此可以得到，哎，我们这个 x 应该等于二十，也就是 二十个顶点，那么每个顶点处有多少条棱呢？ 哎，我们刚才在第三位找到了一个规律，就是二乘以人数， 二乘以每个顶点的人数，二 等于三乘以 a 顶点数。 好，那么可以得到人数应该等于三。

柱体、椎体和抬体，还有单独的叫球体。 这节课我们来学习立体图形的分类。立体图形呢，我们说是从实物中抽象出来的数学模型实物，那大家可以想象一下是吧，世界之大无奇不有啊，鸟大了，什么林子都有。 所以说你会发现会存在各种各样的食物啊，高的，矮的，胖的，瘦的，长的、短的等等等，各种牛马蛇神都出来了。所以说呢，我们有必要对这些常见的立体图形呢进行一个分类， 而这个地方常见的其实指的就是规则的，不规则的。那没必要去分规则的立体图形呢，分为这么几类，柱体、 锥体、台体和球体。好，我们在开场白中也说到了，初中阶段遇到比较多的属于坠柱体，锥体和球体这三类啊，台体遇到比较少， 那进一步的再分。柱体又可以分为圆柱和棱柱啊，根据体面，一个是属于呃多边形，一个是属于圆形，分为圆柱和棱柱， 我们可以具体的看一下图长什么样子。圆柱大家比较熟悉了啊，就是你的水杯吗？可以拿着你的水杯看，就是圆柱。 而棱柱呢，他其实又可以分为好多，对吧？分为直棱柱和斜棱柱，那遇到比较多的是直棱柱，那又可以根据底面多边形的边数 分，三棱珠啊，四棱珠，五棱珠啊等等等。家里是锥体和柱体的分类方式一样的，锥体也是这样分，分为圆锥和棱锥啊，圆柱，棱柱，圆锥，棱锥， 还是看一下对应的图形长什么样子。圆锥呢，就是 sum 啊，冰激凌，这不倒过来了是吧？倒过来了，然后棱锥也是一样的，又可以往下分好多好多类 台体呢，也是分为圆台和棱台，他其实可以看成是上面这个锥体，圆锥和棱锥砍掉一部分得到的 啊，砍掉一部分得到的。最后这个球体呢，他其实就求自己具体的图形应该长这个样子， 那就是圆里面再画一部一部分虚线，表示看不到的那部分轮廓，这就是常见的立体图形的分类。好了，直到这点之后，我们来看这节课的题目， 关于下列几何体中属于柱体、锥体和求体的有。这就是对常见的几何体的类别的考察了，我们可以挨个来看一看啊，挨个来看一看，第一个呢，其实在这里面他已经， 对吧，呃，能看出来是个正方体，但是呢，不是特别的完整，我们说其实你需要画上对应的矮虚线，我们可以给他自己补一下啊，补完之后是这个样子， 很明显，第一个就是常见的正方体， 那正方体啊，应该是属于最明显的一个柱体了，他应该属于棱柱，这个基本上没什么问题。第二个呢，是球，对吧，球自己是一类啊，叫球体。这第二个也好画。 第三个，这个叫圆柱。刚开始学的时候呢，可能，哎，还记得圆柱后面有个柱字吗？对吧，有个柱字，所以很明显应该属于柱体， 但是学着学着就想着，哎，好像圆柱和球比较像。对啊，都是圆圆滚滚的，很可爱，可能一时间一长就把圆柱画成球体了，注意不对啊，圆柱是属于柱， 柱体叫柱满啊，柱体球体只有球自己一类。第四个 skm 啊，圆锥， 圆锥，根据最后一个字也能判断出来是属于锥体啊，属于锥体， 然后最后两个五和六，这是很类似的，他们都属于柱体中的棱柱，棱柱，而棱柱啊，他的命名其实是根据底面多边形的边数去命名的。五我们可以看一下上底面， 他是一二三四五六六边形，所以说这个叫六棱柱啊，叫六棱柱。六呢，就是一个 躺下的三棱柱。躺着三棱柱，你可以看一下其中一个底面是个三角形，所以说叫三棱柱，而这都属于棱柱中的一种，棱柱就属于柱体的一种，所以说五和六也属于柱体 啊。最后你可以检查一下里面一共六个结合体。那对呢？哎，确实填了六个， 这就是关于这个立体图形的分类，就重点就在两个，一个是圆柱，一个是球体，要记住圆柱其实属于柱体的，因为最后有个柱字吗？ 而球体他自己是一个类啊，球自己属于球体。好，我们这一课讲解到这里。

当时社会，人们以天为被，以地为床，过得那叫一个惨。后来学会了盖房子，地板四面墙，再搭个屋顶， 防雨防风防狗熊。这个棱角分明的房子就是我们熟悉的长方体。他有六个面，前后左右上下。为啥这么分呢？因为相对的面一样大，要不房子就得塌。房子的犄角旮旯是长方体的顶，顶 数一数有八个。拿这个来说，他连出来了三条线，这些线分别是长方体的长、宽和高。这个方向的都是长，有四条，同样宽和高也各自是四条，加起来十二条线。大明棱要 房子盖的再方正一点，就成了正方体，也是六个面，八个顶点，十二条狼。但是正方体可不只是对面相等了， 他的所有面都一样大，并且十二条棱也一样长。你上看下看，左看右看，正方体都一个模样。图形出来了，我们得知道两件事，第 一，他的脸皮有多大，第二，他的脑子有多大。脸皮学名表面积。把这俩扔到染缸里，所有被染上色的地方就是他们的表面积。长方体的六个面分三组大小分别是长城宽、 长乘高和宽乘高。总脸皮大小二倍的长乘宽、加长乘高、加宽乘高。 正方体脸型比较单一，总脸皮是六倍的 a 的平方。再来看看脑子，脑子行不行全看三条棱。长方体的脑容量由长宽高决定，他的脑容量就等于长成宽成高，这就是长方体的体积。而 正方体就属于头脑比较简单的那种，直接是冷场，成冷场成冷场，也就是冷场的三次方。最后隆重介绍一位古希腊的大爷阿基米德同志， 他干的最有名的一件事就是洗澡，哈哈哈，别人洗澡唱歌，他洗澡解题，并且还是把国王的王冠往澡盆里丢的这种说法，就因为他的这个癖好。水中浸雾问题，也叫阿基米德问题。来 这个水箱，把长方体铁块扔进去，无非三种情况，还漏着全淹了，水洒了，这学问大着呢，要不你去浴缸想想？时间始终向前，永不倒流。但时钟上的指针却不一样， 他绕完一圈就又回到起点，只看这个指针，他绕一个端点转一圈，划过的就是圆的面积。摊煎饼果子也是一样的道理，小木棍一刮，一个圆就出现了。 如果这根小木棍在厚点，那他扫过的可不仅仅只是一个圆了。从侧面看会发现木棍有了高度。现在扫完一圈，得到的是一个圆饼。圆饼这名字确实很形象，但是在数学中他叫 圆柱，顾名思义，圆圆的柱子嘛，圆柱是怎么来的呢？刚刚的木棍从侧面看就是一个长方形，这个长方形绕着他自己的一条边旋转一周，得到的就是圆柱。 绕短边可以绕长边当然也是没问题的。这个圆柱就比刚才的那个更瘦更高。华表的柱子，大师兄的金箍棒，还有这种蛋糕，都是圆柱。 圆柱上下的两个表面都是圆，并且大小一样，统称里面，与之对应，圆柱外面这一圈叫做侧面。 大家觉得这个圆柱更应该叫圆饼，可能是觉得他不够高，这个高其实就是圆柱两个底面之间的距离， 不管高有多长，他们都是圆柱。说完了圆柱下面再来看看圆锥，一看到追这个字，就感觉好像被扎了一样，因为追就是尖尖的东西。 圆锥也一样，一头是尖的，至于另一头当然得是圆的了。生日帽、喇叭、漏斗都是圆锥的形状，但这些就都不是圆锥， 只知道样子还不够。圆锥到底是怎么来的呢？刚刚说过，圆柱是一个长方形绕一条边转一圈所得到的图形。圆锥呢，是一个直角三角形绕 其中一条直角边转一圈所得到的图形。下面的圆照样叫底面，上面的尖叫顶点，顶点到底面之间的距离就是圆锥的方。

小朋友们，今天我们来画一下几种常见的立体几何积木，你都认得这些形状吗？ 冷锥体 正方体 圆柱体 棱柱体、 圆锥体 球体 长方体 棱台。现在我们来做一个小游戏，你能在括号里填上恰当的数字，正确叫出这几个几合体的名字吗？快来告诉我吧！

生活中有很多立体图形，比如橡皮长方体、魔方正方体、篮球球体、漏斗、圆锥、笔筒圆柱等等等等。这个视频咱就来研究研究生活中的立体图形， 重点看一下棱柱。那什么是棱柱呢？像这种上下一般粗，有棱有角的就是棱柱。比如你最熟悉的正方体、长方体就是棱柱， 因为他的底面是四边形，所以也可以叫四棱柱。当然，如果底面是三角形，就叫做三棱柱。 还有这种底面是五边形，那就叫五棱柱。除此以外，还有六棱柱、七棱柱、八棱柱等等等等。总之，底面是几边形就叫几棱柱。刚才的这些棱 柱都是直挺挺的往上，那如果我把他们推一下斜着，现在还是棱柱吗？你看，不管我把他们写到什么程度，仍然满足上下一般粗，所以还是棱柱。 并且他们有一个新的名字，叫做斜棱柱。刚才那种直挺挺的，其实是直棱柱。 观察一下这两种棱柱侧面有啥不同？这个直着上去的直棱柱，侧面都是长方形，这些斜着的斜棱柱侧面都是平行四叠形。 好了，再回顾一下棱柱的分类，按照边数可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。按照侧面的形状，可以分为直棱柱和斜棱柱。弄清楚了棱柱的分类，我以四棱柱为例，来说说棱的概念。首先相邻两个面的交线 叫做棱，所以这些都是棱，其中如果是侧面的交线，那就叫侧棱，像这些就都是侧棱。 了解了棱和侧棱，咱来研究一下顶点棱和面的个数。先说顶点，上下各四个，一共有八个顶点。再说棱，上面四条，下面四条，中间四条，一共有十二条棱。 最后说面上下两个面，中间四个面，一共六个面。同样的，你也可以数出五棱柱、六棱柱的顶点棱数和面数。 不过要是 n 能住呢？他的顶点棱数和面数各是多少？先看顶点上下都是 n 边形都有 n 个顶点，所以顶点数就是二 n。 再说棱数上下都是 n 边形，棱数都是 n， 侧面呢，有几条棱？你看每个顶点往下都有一条棱，所以侧棱也是 n 条。那对于 n 棱柱，棱数就是三 n 啦。 最后说面数，上下两个面，这是 n 边形，每条边往下是一个面，所以侧面是 n 个面，一共是 n 加二个面， 这就是 n 棱柱的顶点棱数和面数的计算公式。好了，总结一下这个视频我就给你讲了什么是棱柱，也就是这样，上下一般粗，有棱有角的就是棱柱。 按照边数，他可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。按照侧面的形状，可以分为直棱柱和斜棱柱。 对于 n 愣住有二 n 个顶点，三 n 条棱和 n 加二个面，怎么样？明白了吗？明白的话就速速去刷题吧！

这节课的内容是旋转柱体圆柱。我们知道圆可以看成一条线段，绕着他的一个端点旋转，形成了一个封闭图形。 类比这个过程，我们把长方形绕着它的任意一边旋转一周，就会得到一个立体图形，这个图形我们称为圆柱。 生活中像接力棒、水管、粉笔等都是圆柱。如图可以看出，圆柱有以下特征， 一、圆柱的上下两个圆称为圆柱的底面，它们半径 r 相等，等于 长方形 a、 d 边的长度。二、两个顶面间的距离叫做圆柱的高，记为 h， 等于对称轴 c、 d 的长度。 三、圆柱有无数条高且高的长度都相等。 根据以上特征，如果我们把上竖的长方形的 a、 d 边作为对称轴旋转，就会得到一个新的圆柱，这个圆柱底面圆的半径就是 c、 d 的长， 这个圆柱的高就是 a、 d 的长。这是两个不一样的圆柱。 我们来看一个例题。图二是一个圆柱形状的蛋糕盒，是由图一中的长方形 a、 b、 c、 d 旋转而来， a、 d 等于十五厘米， a、 b 等于二十厘米。 像图中所示，用彩带包扎这个蛋糕盒至少需要彩带多少厘米，打结处大概用十五厘米彩带。 观察彩带，发现如果要用彩带把圆柱体缠绕，会产生四个顶面圆的直径和四个的高，所以关键就是要求顶面圆的直径和高。 顶面圆由 a、 b、 b、 c 旋转而来，直径为十五乘以二，等于三十厘米 高，由 cd 旋转得到，就是 a、 b 二十厘米。所以彩带的长度等于十五乘以二，乘以四加二十乘以四加十五，等于二百一十五厘米。 本题只要清楚旋转前长方形两边长分别是旋转形成的圆柱的曲面半径和高，就能轻松搞定。 下面我们研究一下圆柱的展开图。当圆柱体沿着高展开后，包括两个圆和一个长方形， 如果不沿着高线，还能展开成平行四边形。 注意，这个长方形可不是前面旋转的那个。这个长方形它在展开前是圆柱的曲面，也叫侧面，所以它的长就是圆的。周长 c 等于二派 r， 宽就是圆柱的高 h。 如果周长和高相等时，侧面就是正方形，它的面积也很好求 周长乘以高 c、 h 等于二派 r h。 圆柱侧面积的实际应用主要有两种题型，一种是圆 圆柱形物体的用量面积问题，比如烟囱、塑料、水管等没有上下底的圆柱形，计算其物料面积只需要求侧面积即可。另一种是压路机问题，压路机的前轮是圆柱形滚筒， 压路面积就是旋转圈数乘以侧面积。比如这道题，压路机的前轮是圆柱形，里面半径一点五米，侧面展开是正方形。前轮每分钟转动十周， 每分钟前进多少米？一小时压路多少平方米？前轮每分钟转十周，就能前进十个 正常的路，即十乘以二拍 r 等于十乘以二乘以三点一，四乘以一点五等于九十四点二米。 我们再来算压路面积，每转一圈压过一个侧面面积。由于侧面展开是正方形，所以轮宽等于里面，周长等于二派 r 等于三派米， 故前轮的侧面积等于三乘以三点一，四乘以三乘以三点一、四等于八十八点七三六四平方米， 一分钟前进十周，那么一个小时就能前进六十乘以十周等于六百周，所以一小时压路六百乘以八 十八点七三六四等于五万三千二百四十一点八四平方米。 这节课我们就讲到这里总结一下。首先我们讲了圆柱的形成以及两圆一侧面。 第二我们讲了圆柱侧面展开的长方形的长宽与圆柱底面半径高的关系， 以及实际应用的两大类型。

呦，大家好，要走进几何世界，自然就少不了认识各种各样的几何图形解答，今天呢，就拿出自己珍藏已久的各路几何图形，包你大饱眼福。 我们先来看下面这些几何图形，哪些你看着眼熟，之前学过，也有哪些你从来没见过呢？ 先说说我们熟悉的，这是线段，这是角，这是三角形，这是圆，还有这是正方体，这是长方体，我们都见过，原来我们已经认识这么多几何图形了， 不过还是有几个长得奇形怪状的，我们叫不出名字来。没关系，这个视频里我们就先解决他们。先看这个图形，他叫圆柱，一看就长得像个大柱子似的。圆柱 有上下两个底面都是圆形，他可以看作是由一个圆形向上平移得到的另一种方法呢。圆柱还可以看做是由一个长方形绕着一条边旋转一周而形成的。 生活中到处都是这样的圆柱体，比如人民大会堂前的柱子，用来喝水的水杯、奶粉盒等等，记住了他叫圆柱。 再来看这个图形，它叫圆锥。锥就是直，有一头是尖尖的，比如生活中用脑的锥子， 所以圆锥只有一个顶面是圆形，另一头呢，是圆锥的顶点，它可以看作是由一个直角三角形绕着自己的直角边旋转一周而形成的。生活中也有许多圆锥的例子，比如漏斗、 圣诞帽等等，所以记住了，他叫圆锥。说完了圆柱和圆锥，我们再来看看这两个图形，他们姓棱，一个叫做棱柱，一个叫做棱锥。 所谓棱，就是指他们身上的各条线段。很显然，棱柱和棱锥的底面都不是圆形，是各种各样的多边形。 先来看看棱柱，他也是一种柱体，所以有两个底面，如果底面是三角形，就叫做三棱柱，底面是四边形呢，就叫做四棱柱，同理还有五棱柱、六棱柱等等。 哎，你发现了没有，正方体和长方体就是最常见的四棱柱，他们的底面都是四边形。而无论是三轮柱、四轮柱还是五棱柱，我们 可以把他们统称为棱柱。除了棱柱之外，还有棱锥，棱锥只有一个底面，同样，如果底面是三角形，就叫做三棱锥，还有四棱锥、五棱锥等等，他们都统称为棱锥。 现在我们认识了几何图片家族中的四位新成员，圆柱、圆锥、棱柱和棱锥 放在一起似乎有点晕，我们来简单区分一下，他们里面是圆形的就叫做圆某，里面是多边形的就叫做冷某，这是名字中的第一个字，很好认。 那同样，如果有两个底面，像个大柱子一样，就叫做某柱。如果只有一个底面，另一头是尖尖的，就叫做某锥，这就是名字中的第二个字。特别的棱柱和棱锥呢，跟 去底面多边形的边数还可以进一步细分为三棱柱、四棱锥等等。现在相信你对他们四个一定不陌生了。 好，到此为止，你已经把这些几何图形全都辨认完毕了，给自己鼓个掌，那我们现在再来看看这些几何图形，简单的。最近在发愁一个事，这么多几何图形摆家里放都放不下，能怎么把他们归归类收拾一下吗？你觉得他们有什么特点呢？ 其实怎么归类都可以，只要你能说出自己的道理来，不过截到这里，给一种比较简单直接的方法，几何图形可以分为平面图形或立体图形。 有一些图形，它的各个部分都在同一个平面内，我们可以在纸面上真实的画出来，比如线段角、三角形、圆等等， 他们就叫做平面图形。而另一间几何图形呢？他的各个部分不都在同一个平面内，我们只能在纸上画出他的透视图，只是看上去像，比如圆柱、圆锥等等，他们就叫做立体图形。 但是立体图形与平面图形并不是老死不相往来的，你看立体图形，圆柱的上下底面就是圆形，是平面图形，也就是说一些立体图形的某些部分就是平面图形。 有了平面图形和立体图一之分，相应的我们的几个世界也可以划分为平面几何和立体几何。在初中我们主要学习的是平面几何，但是由于立体图形和平面图形有着千丝万缕的联系，面对立体图形问题，我们也可以把它转化为平面图形来解决。在后续视频里， 我们就会学习立体图形的三式图和展开图。好好总结一下这个视频，我们认识了圆柱、圆锥、棱柱、棱锥四位新朋友， 知道了几何图形可以划分为立体图形和平面图形，那下个视频再见！拜拜！

立体图形的表面积和体积。出盔柱体、锥体、抬体、球体这些常见几何体的门禁后，咱们更上一层楼，来探探这些几何体的体积和表面积的深浅。 柱体的体积是底面积乘高，锥体的体积是三分之一乘底面积。层高抬体的体积就是大锥的体积减去小锥的体积。 比如一个长方体，底面长方形的边长分别是三厘米和四厘米，高是五厘米，所以这个长方体的体积就是三乘四乘五等于六十立方厘米。 再比如一个圆柱，底面圆的半径是三厘米，所以底面圆的面积就是派尔平方等于九派平方厘米， 高是四厘米，那么这个圆柱的体积就是九派乘四等于三十六派立方厘米。拥有同样底面圆半径和高线长度的圆锥，体积就是三分之一乘三十六派等于十二派立方厘米。 再看看表面积，要求棱柱的表面积，我们先把它展开，把上下两个底面的面积与侧面展开图的面积加起来，就是这个棱柱的表面积了。 比如我们知道一个三棱柱的底面是直角三角形，直角边的长度分别为三和四， 斜边长是五，高线长是六，那么它的上下两个面的面积都是二分之一乘三乘四等于六。侧面展开图的高就是三轮柱的高六，而长是底面三角形的周长，也就是三加 四加五等于十二，所以侧面展开图的面积就是十二乘六等于七十二，那么二分之一乘三乘四，加上二分之一乘三乘四加十二乘六等于八十四，就是这个三棱柱的表面积了。 圆柱的表面积也是同样的求法，先把圆柱展开，求出上下两个圆的面积都是派尔平方，再求侧面展开图的面积，这个长方形的宽就是高 h， 长就是底面圆的周长二派二，所以侧面展开图的面积就是二派二 h， 再把这些加起来，就是圆柱的表面积了，也就是二派二平方加二派二 h。 来个例子，比如这圆柱的底面圆半径是四，高线长是五， 我们先把它展开，求出上下两个圆的面积都是十六派，而这个长方形，它的宽是五，长是底面圆的周长也就是八派，所以这个长方形的面积就是四十派， 所以这个圆柱的表面积是十六派加十六派加四十派，等于七十二派。 总结一下，一、求体积的时候，柱体的体积就是底面积乘以高。锥体的体积是三分之一，乘以底面积乘以高。排体的体积就是大锥的体积减去小锥的体积。 二、立体图形的表面积我们需要展开来计算，需要注意的是，侧面展开图的长就是底面图形的周长，侧面展开图的面积就是底面周长乘以高。

有没有一个公式能够包含下面所有的这些啊，立体图形的体积呢啊？答案是有的，我们知道立体图形体积有些比较复杂，像球体， 像圆锥啊，甚至这种圆台，对吧？他的公式是很复杂的，那其实是有一个万能公式能够全部把它包掉了，这个万能公式是什么呢？啊？是这样的， b 等于六分之 h， b 一加上四分之 b 二啊，四倍的 b 二加 b 三啊，这个里的 b 一 b b 二 b 三是什么意思呢？我们知道 h 是指这个柱体的高度，还比如说这个 长方体，它的高度肿的就是 h， 那 v 一代表的是最底下的面积， b 二是中间的面积， b 三是最上面的面积啊，同理呢，比如说这里的三能锥啊，三能锥呢？ v 二啊， v 一 bb 二 b 三也是一样，当然这里的 b 三最小，对吧？可以写成零啊，我们可以来证实一下，比如说咪柱体，我们套用这个公式，可以得到一个六分之 hb 加四分之四， b 二加 b 三。哈，这么写法我们看一下，本来汇总起来，因为这个 呃，像这种柱体的话，他上下都是一样大啊，所以 bb 二跟咪三是一样大的啊，所以换剪之后可以得到 h 乘以 b 一， 那么跟我们在求助体的体积的攻势是一模一样的啊，那追体的体积有没有一样？我们也可以推一下六分之 h， 对吧？这里的 h 也没有问题， b 一 b 四 b 二和 b 三。我们知道啊，这里的 b 二其实跟 b 一的这个关系是什么？是差一倍，对不对啊？所以呢，也可以推一下，这边可以得到什么呢？四分之一 一，哎，得到最后的公式是不是也是等于三分之啊？ h 乘以 b 一啊，我们的椎体的公式是三分之一啊，底面积乘以高，对不对啊？所以是没有问题的。那还有没有更复杂的球体啊？球体我们的体积也可以套用这个公式， 直接用六分之 h， 那这里的 b 一和 b 三要怎么来看？我们知道 b 一在最底下，这个是不是只有一个点啊，所以我可以把它当做零。 v 三是不是最上面也是只有一个点？那中间这个呢，中间就是我们球的啊，最大的什么呢？圆的面积就是二分之拍二平方，是不是啊？所以呢，在这边的话，我也是啊， b 二 b 三啊， b 一 b 三都等于零，最后呢等于三分之二的 h b 二，那这个这个公司我们不是很熟，对吧？但是这个 h 是什么？而且最高的高度是 相当于是直径，所以呢，他等于二啊，那么 b 二呢，就是最大的圆的啊，面积来拍啊，平方啊，这里的啊，就是半径了，对吧？哎，我们怎样化解一下？所以球体的体积公式是不是出来了？ 三分姿势拍啊？立方，这个就是我们熟悉的球体的体积公式啊，他也是可以通过这个万能公式推倒出来。 那至于呢？像这种，呃呃，这种叫台啊，这个叫圆台，圆台呢，他的公式呢，也是可以推的啊，通过这个公式呢，也可以得到，这个是三分之拍 h 啊，然后呢，这个是阿平方加 啊二，加上二小小二的平方，这个大二呢，是指底下的啊，这个半径，那这个小二呢是指什么呢啊？上面的这个半径啊，这个猪椎体 这种也是可以求的啊，大家有兴趣的话可以去推一下这个呃，台柱的公式呢，老师有求证过啊，是没有问题的，推出来是跟我们的啊，台体的体积的公式是一致的。 那还有呢啊，其实这个万能公式不仅可以在我们这种体积里面运用，还可以运用到平面图形 啊，很神奇吧，这个万能公司竟然还可以拓展到二二维啊，我们来看一下梯形的体积啊，我们梯形的面积我们可以用这个公式啊，咱们来替代六分之 h， 然后呢， b 一加上是 b 二， b 三啊，插了一个什么体积的话，它是面积对吧？但是呢，在那个平行在这个图形里面，我们代表它是长度啊， b 一就代表最底下的长度， b 三是最上面的长度。来通过这个公式我们来化解一下，是不是可以得到 二分之一上底加下底啊，二分之一上底加下底乘以这个高啊，没有问题，三角形能不能得到呢？三角形同样套用这个公式，我们知道 b 三呢是零， b 二呢是什么呢啊？ b 二是刚好是 b 一的一半对吧？啊，所以画一下 可以达到二分之一的底层一高啊，这就是我们熟悉的什么三角形的公式啊，啊，这个就是所有拟注体的啊，万能公式送给大家。