三角函数与解三角形

三角函数与解三角形三角函数，通常来说我们强调的是两种表示方法，就一个是以单位原为背景的啊，或者说你可以认为是在象限角为背景的三角函数的背景。然后第二呢，是以这个 y 等于这个 f x 这样的一个函数，三角函数图像为背景的这个表达方式啊，那么他不同的表达方式，他当然有不同的作用，是吧？还有呢，两种符合函数非常重要。两种符合函数，一个就是那个三角形函数， 比如 y 等于 a 倍的上一，我们要加 f， y 再加 b， 这是我们研究的一个重点，对吧？还有一类呢，就是二次函数和三角函数复合，比如说比， 比如说 y 等于上方 x 加上 cross x 减五啊，这里的函数啊，那么其他的答案，我我我也可以去研究别的符号函数，但其他符号函数呢，研究起来就不是那么太困难，没有太太主要的。呃，没有太难的问题， 但是为什么这两类要特别说呢？就是因为这两类就一个是三角形函数，还有一个是二次函数和三角函数复合，这两类呢，主要是他很可能去和很多的那个两角合差 公式结合，他呈现在你放前面的时候呢，是他不典型类型啊，你要把它转化成为或者是一元二次型啊，或者是三角形啊，这就增加了难度，然后进一步呢来考虑，我要研究 问题是什么，是吧？所以呢，在学三角函数这部分的时候呢，请大家关注两种表示方法，三个基本函数叫散颜色 cosine 和两种符合函数，这你的学习重点 和他们之间的联系，当然我要多说一句的，就这三角函数和前面那个函数与倒数他是有重合部分的，是吧？ 但是他他有他的特性啊。我们还是画，就是我们通常来说是学完了那个密纸对函数以后，我们再学的三角函数，所以呢，学密纸对函数这组具体函数的时候，他的一个基本方法就是你学三角函数的起点， 那么他和前面那组含有不同的地方就是你学习的重点。还有这话啊。

啊，接下来我们来看一次高考的这年高考的大题， 以及三角形 a b c 类，哎，对应的角 a b c 所对立边是 a b c， 来看这个条件，这个条件的化解啊，如何来化？我们说化解有很多三角坑的变化，但是我们的化解的话，方法一定要掌握的是，所有在解 他的角度应该是 a b c 单个的看到两倍的或者是二分之 a 的二分之 b 的形式都要换成 a b c 单个形式， 那么对这个数字的话，左边暂时可以不用画，而右边的话呢，你看右边的分值没有任何疑问，他只能换成是两倍的三硬币乘以口三， 那分母呢？一加上括三音二 b 括三音二 b 有两种形式，但结合到前面一只有化成这个括三音 b 方减一是最为简洁的，所以这个当中跟上面刚好可以约掉一个，二跟二约掉一个。 好了，到这个地方的时候，我们已经把 a b 画成最简了，那么接下来他的运算就是对角相乘划分为准，因此他就可以变成的是括三 a。 括三 b 这一边呢，就等于三因币，再加上三因 a 乘以三因币 来看这个式子我们移过来的话会发现的。啊，一个特征就是什么呢？一个特征就是移过来刚好是两角和的余弦公式就等于括三 a 加 b 等于 sign b， 而括 sine a 加 b 的话呢，就等于负的括 sine c， 括 sine c。 第一个问题告诉你了， c 是等于这个三分之二派，那我们带进去的话就很快可以得到 sine b 就应该等于二分之一， 那作为三角形的内角， b 在这地方只能是锐角，所以 b 就等于六分之派，一问题就解决了。所以在这地方的话，化解一定要注意啊，化解的话，我们所讲的化解化单个的，而且一定要注意，化异为统， 化异为同分为化异，角为同角和化异名为同名。好，接下来我们看到第二个 a 方加 b 方除以 c 方，叫你求这个式是最小值。 这道题啊，很容易让我们同学的话呢，找上一个啊，选择用余选定题。其实我们看到这个地方的话，为什么？因为有三边的平方，同学选择用余选题， 其中允许你这种题是不太好解的这道题的话呢？因为允许定理的话，他还有一个什么什么，比如 a 方 b 方 c 方以外还有个 a or a b 括撒音 c。 而我们根据题目当中你看这个条件会给我们得出一个什么结论呢？得出的是这个结论 啊，得出的是三 a b 等于负的括三 a c， 那三 a b 等于负的括三 a c 的话，我们可以把这个当中说明， b 跟 c 啊，它存在着一个二分之 pa 的关系，我们可以化解，也可以不用化解。你看我们对这道题的话就可以这么说呢，我们既然给的出这个角， 所以要把这个边的问题改为角，因此刚好。其次是就撒音 a 方加撒音 b 方 除以三因 c 方，你看我们把边的问题转化为角，第一个题目当中刚好给了角的关系，所以我们归音， 我们那 saying c 方分母已经简单了，我们干脆用 saying say 方法。那上面呢，我们就要把 b 和 a 都要转化成 c， 三音 b 方呢？根据这地方就等于口三音 c 方，比较简单，那这个地方三音 a 呢？我们根据三角形内角和三音 a 就等于三音 b 加 c 八号的平方，再加上这个数字。好了，接下来这个数字的问题划进来了，就是 sat in 的这 这个 b 加 c 括号平方该怎么化解？是把这地方直接利用两角河的正选公司展开，还是去利用降密库角公司？有同学可能会有疑问，我们说这地方肯定是直接利用两角河的公司展开， 因为刚才在解第一个问题，我们已经说了很清楚了啊，三三一 b 啊，很清楚了什么呢？在三角形当中啊，他的 abc 只有单个角，千万不要变成两倍的， 当同学讲，老师我变成两倍，两倍你可以，你再又把它变为一倍，这时候是不是正叫麻烦呢？所以我们直接这样到这个地方的时候，我们可以发现呢，这是三音四方， 这个三 in b， 我们根据上面的特征，三 in b 就等于负 c 方，负括三音 c， 所以这个等于负的括三 c 方。那括三 in b 顿的话呢，我们可以归一呢，两边同时平方，所以最后括三 in b， 它其实就是对哪个呢？ 三用 c 啊，括三音 b 就等于三音 c， 所以这地方就等于三音四方，三音四方减去括三音四方，那同样我利用背景公司，没有必要了，这里是三音四，所以我们把这个四就变成了，因此三 括三因 c 方就变成一减去三因 c 方，所以上面的话就可以写成是等于一减去两倍的三因 c 方括号的平方， 再加上一减去撒 in c 方，因为我们有归音嘛，分母是杀 in c 嘛，所以这是杀 发音 c 方，那从高次到低次就等于，这个是等于啊，这个是一减去啊。那我们看，从高次到低次的话，这个平方就应该是四倍的减去他这里面啊，这个括三音 c 方就是一减，三音 c 方就等于三倍的 沙音 c 方，中间呢一部呢是加上啊，减去四倍个啊，这是四次方啊。啊，四倍个，搞错了啊，刚才搞错了，四倍个沙音四次方， 在这地方呢，是减去，所以总共五倍个 satin c 平方长竖向，这里有一，这里有一，所以总共是加二。好了，到这个地方我们同学们一看就很明白了，这一拆开就等于四倍个 satin c 方， 这个后面一猜就等于沙因 c 平方分之二，最后中间这个是减去五，所以这地方就要求最小值，显然利用基本不等式大于等于两倍的根和下 啊，二四得八，再减五，所以最后等于四倍，根号二减五。 那什么时候取等号呢？单且简单， sarin c 的四次方等于二分之一，它是完全可以取到的 啊，这就是这道题的 gd 过程，我们仅仅提供一种方式。 好，我们来看到第八题，即三角形的三个内角， a、 b、 c 对应的边形， b 方等于 a、 c 点 d。 在三角形 a、 b、 c 中看这个图，那么现在呢，给出的是 b、 d 等于三 b。 三音 a b c。 三音 a b、 c 其实就是三音 b 了，在大长行里面，那等于 a、 b 的三音 c， 这是 b、 d。 第一个问题，要证明 b、 d 等于 b， 那我们看到这里面，显然对这个式子化解，把角的问题化为边，就应该是 b， 这是 a c， 而 a c 就等于 b 方，所以很快可以得到 b， d 等于 b。 第一个问题解决非常简单来看第二问题，第二问题呢，给的 a d 啊，它是等于两倍的 d c， 所以呢这个是这个长度。第一个问题是 b， 这个也是 b， 那么这个等于三分之二， b， 这个等于三分之。 现在我们要求呢角 a、 b、 c， 要求角 a、 b、 c， 我们可以看到在这里求这个角多少，那就必须了解三边，我们看到任何一个三角形里面，那对这个三角形当中，其实我们知道这两边和这两边等于关系，但是这个其他的边不知道，而且角也不知道。 那么也就是说，按照支三求一的话，这个当中的任何一个三号形里面都是求解不出来的。所以我们只要通过当一个三号形里面没有支三求一的时候，我们借助于两个三号形去找其中的等量关系， 那么这个当中的等量关系呢？我们怎么去找呢？是这里面的话，两个三角形，我们可以通过这两个小三角形，也可以通过这个小三角形和大三角形找起等量关系，都可以。那么这里面我们选择一种方法，比方说选择这个小三角形吧， 和这个小方形，那这两个小方形的余选者，显然的话是余选者是复位相反数的，那我们就可以用余选定理了，这个就可以对那个了。又可以选择 b 方， 加上九分之四个 b 方，再减去 c 方除以二 b， 再乘以三分之二个 b， 那既然互为相反数，我们就用加 啊，加上哪个呢？加上这个当中来看这个式子，这个啊，这个角的余选，那就是上面也是 b 方， 再加上九分之 b 方，再减去 a 方除以 or b， 再是三分之 b， 应该这个数字等于零，那这样子的话，我们很快就可以得到啊，这个当中的一个等量关系，那我们来给它化解一下子啊啊 啊，接下来我们把这个式子啊进行求解，那么这里面有两种解，其中有一种解是 a 等于二分之三 c 啊，这是和符合题的， 那 a 等于二分之三 c， 我们前面的话是 b 方等于 ac， 因此我们看到这里面我们可以把 a 给带去， b 方呢，就等于二分之三个 c 方。 好，对这道题来说，要求口三音 b， 那显然就是用音讯定理。口三音 b 呢，就等于 a 方加 c 方，见 b 方除以 o a c， 那现在我们把它所有的是 a 方，是这里面等于四分，所以四分之九在它这里面就等于四分之十三 c 方， 四分之九啊，这个 b 方呢是等于二分之三个 c 方，二分之三个 c 方， 那下面呢？二 a c， 二 a c 呢？我们看到这个当中二 a c， 我们就同样把它写 a 的话呢，二二分之三个 c 方，因此我们可以看到分母显然就等于三，这里面呢，四分之十三，这是四分之六，四分之十三减去四分六等于四分之七，所以最后就等于十二分之七。当然对于这道题目啊，还有 他更多的解法啊，如果有问题的时候，同学们可以在下面留言，我可以在后面单独跟同学们讲解，记得关注再走哦！

今天这道题是一个非常复杂的解三样性啊，三角形是最值的这么一个问题啊。呃，你要是正儿八经的做这道题的话呢，是非常困难的啊。 当一同学说，哎，我这个平常我们都不太正经，喜欢偷鸡摸狗啊什么的啊，那我们可以用一个偷鸡摸狗的办法啊，投机取巧，而且把题做出来啊，可以秒解啊，比如说你看他的条件啊，这三个东西的话呢，是成等差数列的啊，那这样的话呢，我们可以得到说二 b 等于 a 加 c 吗？ 啊，这个条件你可以边画角啊，然后是二倍的三 b 等于这个三 a 加上一个三 c 哈。哎，那这样的话我们再分析一下他哈，在画点之前就是其实这个边壁是一个中间那个边啊，他的大小是中间的啊，我们可以认为说比如说这个 a 边的话呢，大于 b 边，大于等于 b 边，大于等于 c 边这种感觉啊， 然后你要求这个东西最小是大胆猜猜一下什么时候最小，哎，是不是说这这两个摊成 a 摊成 b 相等的时候，哎，如果角 a 呢和角 c 相等，刚才 咱们的分析是什么呀？角 a 比较大的话，角 c 最小，那你这个最大最小相等的话，你看是不是说他们仨会相等啊，他们仨相等，那角和一百八那都六十，那这个时候你带上一算，这个最值就出来了啊，就是三分之二倍，刚好三啊，就是他最小，这样就做出来了， 这就是我们说偷鸡摸狗的一个办法。填空题吗？啊，嗯，那我们说正经来做这道题应该如何去分析啊？那就费劲很多的啊，你看一下啊， 就这个条件，我们到这个条件就正切，对吧？你先把它化剪一下喽啊，我们在化剪的过程当中，由于它是 a 和 c 嘛，角一角 c， 把 b 换掉喽，像三这个 b 的话呢，可以写成是三 a 加 c， 然后等于这个右边啊，接下来就非常难走啊，或者说容易这个误入歧途啊，你这个三一加 c 哈，那些说给我展开一展开就非常费劲啊，不好做啊，所以我们知道题接下来这个做法是什么呢？就先把这个右边的话呢进行一个和插话题 啊，合上话题就是你把这个角 a 啊，看成什么呢？ a 加 c 除以二啊，减去再加上一个 a 减 c 除以二，这是我们角 a 啊，然后你这个角 c 的话，看成是 a 加 c 除以二，再减去一个 a 减 c 除以二啊，其实合上话题主要就是这个地方啊，你看把角 a 换成这个，这这种写法，角 c 的话呢，换成这种写法， 这样子展开，你看右边是啥呢？右边实际上来讲啊，他是，呃，这个合脚，这两个脚的合脚和插脚呢？塞口加口塞一个塞口减口塞啊，然后我们展开之后的话呢，剩下的是塞口啊，两倍的塞口是这个结果啊， 啊，我们刚才这个地方左边哈，你看你不用不去给他怎么样的，不去给他展开哈，我们是按的什么呢？你看这里有二分之一加 c 啊，我们把这个东西看成一个二倍角哈，二倍角公式，这就是他是两倍的这这个二照抄，然后这个地方二倍角公式的话是两倍的三，按照正选的二倍角哈，这个 二分之一加 c 乘以扣三的话呢，这个二分之一加 c 是这样子的，然后这个 a 加 c 的话呢，大家去看哈，其实 a 加 c 的这个范围的话呢啊，我们极限来讲啊，他就是零到一百，这个零到三百六十度啊，这么一个范围啊，是非常极限的状态啊。啊，我们不去 仔细去写的话，大概是这样，那你再除以二之后的话，你就是什么呀？你就是，呃。零到一点八吗？零到一点八的话呢，你肯定是什么呢？你正选肯定是正数，所以你这个地方肯定就约掉了，知道吧？所以这样的话，你看左边剩下什么呢？左边剩下四倍的，这个扣三的话呢？ a 加 c 啊，除以这个啊， 右边的话，是啊两倍的，我们把这个两倍约掉啊，就是两倍的，右边的话是扣三，这个 a 减 c 除以二，然后这样的话，你看你左边啊，是关于一个合脚的公式，这边是一个插脚的公式啊，我们可以剪开吧，这时候给剪开啊，左边是两倍的扣扣 加呃，减去一个这个 cici 哈，然后的话我们看右边右边的话，一样的哈，它是这个 qq 加 cici。 好了，那这样的话呢，你看你可以合并一下，对吧？你两倍的 qq， 左边右边有一倍的，那就剩了一倍的这个 qq 了哈，然后的话呢，我们还有这个 csi， csi 的话呢， 呃，移过去，它是三倍的塞塞啊，然后这样的话，大家看一下 coco 等于这个三倍的啊，塞塞， 那你这样的话，你可以除过去，是吧？两边同时把把这个除过去啊，就是正选除余选的话呢，我们得到除啊，这是三分之一啊，这个等于弹正二分之 a 去乘以这个弹正二分之 c 啊， 其实这个条件的一个化解啊，到这的话还是有困难的啊。呃，然后的话呢，我们再看一下，求这个谭振 a 分之一加谭振 c 分之一跟这个怎么怎么读，那也就是说你要把这个谭振 a 弹震 c 的话，我们打开，呃，是不是要写成是一个半角啊？写成半角，那也就说弹震 a 的话，半角的话它应该等于什么？应该等于两倍的弹震 a 哈， 弹这二分之一啊，按照按照这个绊脚公式，好像一减去这个弹震 a 二分之一的平方哈，他取他是倒数嘛，弹这一分之一啊，后面那个一样的哈，然后是两倍的弹震的话呢，是二分之 c 啊，然后一减去弹震的话呢，二分之 c 的这个平方哈，然后我们再看一下这个条件怎么用啊？这个条件他乘到一起是定制嘛？ 那显然这个这个东西可以进行通分，对不对？通分的话，你看是两倍的摊证二分之 a 啊，然后再乘以这个摊证二分之 c 啊。上面的话呢，你看我们说的是这一坨乘以这一坨加上这一坨乘以这一坨，那这个的话呢，会是一个，呃，摊证二分之 c 啊，再减去 弹正二分之 a 的平方啊，再乘以弹正二分之 c， 呃，加上一个这个乘以这个啊，那这个结果的话会是一个弹正二分之 a 啊， 再减去弹震二分之 a 乘以弹震二分之 c 的平方啊，利用一下刚才那个哈，他们两个这这个东西等于三分之一相乘啊，所以下面这个分母的话呢，就是三分之二了啊，上面的话呢，我们就变成了说弹震有一个二分之 c， 再加弹震二分之 a 啊， 那注意这个地方啊，这个地方你看你给他我们这两次嘛，对吧？我们凑一个摊证 a 乘以摊证 c， 二分之 c 的话 就三分之一，所以他是减去三分之一的弹指二分之 a 哈，这个地方也一样，他是减去一个三分之一的弹指二分之 c 啊，所以他实际上就是可以提出来一个负三分之一的话，就变成了负三分之一倍的弹指二分之 a， 再加上一个弹指二分之 c， 然后的话我们再算啊，这个时候的话，你看上面分子上就变成了三分之二倍的啊，这个弹震二分之 a， 再加上一个什么呢？弹震二分之这个 c， 这个结果除以这个三分之二，三分之二约了呀，所以现在就只剩下这个和了啊，你看我们的他的乘积是一个定值，你这个和求他最小值，那必须怎么样？可以均值不等式吗？是吧？大于等于二倍的更换项 弹震二分之 a 啊，然后乘以这个弹震二分之 c 啊，那这个结果的话，你看就是二倍的更换下三分之一哈，也就是三分之二倍的这个更换赛啊。所以的话呢，这个题要是用正儿八经的方法来讲，还是非常非常费劲的啊。

三角函数与解三角形三角函数通常来说，我们强调的是两种表示方法。这一个是以单位元为背景的啊，或者说你可以认为是在象限角为背景的三角函数的背景。然后第二呢，是以这个 卖等于这个 fx 这样的一个，还是三角还是图像为背景的这个表达方式啊？那么他不同的表达方式，他当然有不同的作用是吧？还有呢，两种符合函数非常重要。两种符合函数，一个就是那个三角形函数， 比如 y 等于 a 倍的上一，我们要加 fy 再加 b， 这是我们研究的一个重点对吧？还有一类呢，就是二次函数和三角函数复合，比如说， 比如说 y 等于三方 x 加上 cossx 减五啊，这里的函数啊。那么其他的答应我我我也可以去研究别的普洱函数。但其他普洱函数呢？研究起来就不是那么太困难，没有太太主要的。呃，不用太难的问题。 但是为什么这两类要特别说呢？就是因为这两类就一个是三角形函数，还有一个是二次函数和三角函数复合。这两类呢，主要是他很可能去和很多的那个两角合插 公式结合，他呈现在你放前面的时候呢，是他不典型类型啊，你要把它转化成为或者是一元二次形啊，或者是三角形啊。这就增加了难度。然后进一步呢来考虑我要研究 的问题是什么。所以呢，在学三角函数这部分的时候呢，请大家关注两种表示方法。 三个基本函数就是三点四，口才三点四和两种符合函数。这你的学习的重点和他们之间的联系。当然我要多说一句的就是这三讲。函数和前面那个函数与导数，他是有重合部分的是吧？ 但是他他有他的特性啊，还得换。就是我们通常来说是学完了那个密子队函数以后，我们再学的三角函数。所以呢，学密子队函数这组具体函数的时候，他的一个基本方法就是你学三角函数的起点， 那么他和前面那种含着不同的地方就是你学习的重点。还是这话啊。

近两年的中考命题趋势，计算能力的考察绝对是重中之重，那么二三年济南的中考压轴题就考了这么样一道计算，他用到的核心知识 就是三角函数，解三角形。只不过说到解三角形啊，很多同学都犯迷糊，什么叫解三角形啊？哎，学校里面只讲过直角三角形跟三角函数的边长关系，他误以为那个就是，其实不是 所谓的解三角形。首先毕老师要给大家说什么三角形是可解的？很简单，那就是你是不是当年学过全等， 所有满足全等判定的都是可解的三角形，因为全等的另外一层意思就是，这个三角形是什么？是唯一的，你只要满足我这些条件，所有人做出来的三角形都能实现完全中和，一模一样，对吗？那就是说这些条件就确定了其他所有边，所有角 之间的关系。那我们都知道一个三角形里面有三个角和三个边，但我这里面已知三个条件去求另外三个，这个过程就叫做解三角形。 ok， 一起来看说济南这道题怎么说的呢？将一个菱形纸片啊过这个点， c， 把这块翻了一下，并且使这个地点落哪呢？落 ca 的延长线上啊，我这有个对角线，延长线到这是点一对吧？啊，接下来一交，这个角等于三十度，告诉我们 ap 得二对吧？ 那各位想要求 pe 的长，你就要把 pe 装到一个已知的三角形里吧， ok， 哎，这个三角形得可解吧？啊，那我装在哪个三角形呢？有人说装在大的，也有人装在小的，哪个更好？各位，显然小的更好， 小的为什么好？第一个边上他已经有一个条件的二了，第二个角上我这个角的三十度，翻过来，自然这个角也是三十， 所以我现在两个条件了，对吗？两个条件能解吗？啊，我们都知道全等区三等，三等之中必有边，两边相等找加角，所以两个条件找不了，那接下来怎么办？继续找角上条件， 你还有什么条件没用上啊？是不是菱形你还没用呢，那么菱形我这个角是三十，这边这个大角自然就是一百五哦，由于对角线平分对角，所以你这一百五砍一下这个外角啊，还剩 啊，七十五度，我为什么把它叫外角呢？因为对于红色三角形来说，外边七十五，里边三十，果断这边就是四十五度。所以在我这个红色三角形中，三十度，四十五度二 三个条件形成了什么？ a a s， 对吗？三角形可解，那么 a a s 型怎么解呢？ 对，谁要是不知道的话，请听毕老师详细版的大招好吗？啊，这道题我直接灭了啊！把已知两个角的时候，我们一定要注意做一条辅助线，把两个角同时装在直角三角形，注意是同时装进去，不是装在同一个里。 ok 啊，注意细节啊，所以我就过这做一个锤。哎， 你这三十度再直到三十厘米，我这四十五度也在直到三十厘米一下就完事了吧，对吧？那这个斜边得二四十五度，一笔一笔根号二，所以这边根号二，这边根号二。那么三十度长的直角边是短直角边的根号三倍，根号二，再根号三倍，这边就是根号六，于是乎一屁的长根号二加根号六，直接秒解，毕老师讲明白了没？

哈喽，同学们，欢迎来到马桶课堂。 ok， 今天我们来开始讲取值范围的问题。第一个第一种呢就是什么呀？第一种取值范围的取决方式就是利用 a 倍的三英奥米卡 x 加塞这个函数的性质来进行求取值范围。在这三角形里面，我们看一下我们经常用的取值范围的 方法都有哪些啊？其实不光是用于什么呀，解，三角形其实适用于我们高中数学里面的任何一个专题，只要提到取值范围，基本上就逃不过这三种方法。 ok， 那哪三种方法呢？就是求这个取值范围。 求取值范围的三种方法， ok， 就是我们最常用的这三种方法。第一种方法呢就是三角函数，哎，通过我们对这个问题的转化，把它转化成什么样？转化成三角函数，哪个三角函数呢？就 a 倍的三友米格 x 加赛这个三角函数，我们利用这个函数什么呀？我们利用的是这个函数的有接性， 对吧？哎，我们知道这个函数他什么样，他的最大值是 a， 最小值是负 a， 是吧？你想你如果知道了这个自变量 x 取值范围，那 a 倍的三角米杆加范围是不是就出来了呀？对吧？这是第一种方法。第二种方法呢叫做什么呀？第二种方法，我们通过换元把它变成什么样？变成一个二次函数， 哎，变成二次函数也就变成 y 等于 y 等于 m x 方，加上 n x 再加 c c， 是吧？我们利用的什么呀？利用的是二次函数求值欲的方式， 哎，对吧，我们利用二次函数求职域的形式来对这个进行求取值范围，是吧？第三种呢，方法叫做什么呀？第三种方法叫做 均值不等式，对，均值不等式，均值不等式就什么样？我们最常用的均值不等式呢？两个求取值范围的一个呢是 a 加 b 大于等于二倍，根号 a b， 一个呢其实就是它的变形， a 方加上 b 方怎么样？大于等于二 ab， 是吧？整个高中阶段，其实我们用到的求取值范围的方法就这三种， 明白了吗？就这三种，就什么时候选用什么样的，什么时候选用什么样的，你要根据这个具体的问题具体对待，明白了吗？ ok， 其实呢，我们最常用的什么呀？最常用的取值范围用的最多的呢？什么呀？三角函数和这个什么呀？均值不等式，对吧？均值不等，尤其在这里减三角形这个题目当中， 那这三种方法呢，我们就来详细的看一下，什么时候应该选用什么样的方法，对吧？我们每一个方法各挑几个题，我们来看一下这种题怎么去处理，怎么用这三种方法来求这个取值范围， ok， 我们先看，先看这个，用我们用这个三角函数来求解今天的这个， 对吧？在三角形 a， b， c 当中，以这 c 等于二倍的根号三 c 扣三，以 b 加上 b 减二倍的二 a 倍的 call， 三 c 等于零。第一个让我求角 c 大小，第一个呢，求角的角 c 大小，这呢就是我们之前讲的什么样 这个球角原则是吧？球角边画角，那直接直接画角啊，第一步我们就简单的说一下，他就变成了三应 c 扣三应 b， 三应 c 扣三应 b， 再加上什么呀？再加上这个三应 b 扣三应 c， 再减二倍三应 a 扣三应 c 是不是就等于零啊，对吧？ ok， 看前面这个三应 c 扣三应 b， 三应 b 扣三应 c 就是什么呀？他就是三应 b 加 c， 是吧？三影 b 加 c 呢？就等于多少？就等于两倍的三影 a 扣三影 c 是吧？三影 b 加 c 就是什么样三影 a， 所以我能 得到三应 a， 他就等于多少？就等于两倍的三应 a， 扣三应 c 没问题吧？哎，三应 a 三应 a 一约，所以我能得到扣三应 a 等于多少？扣三 a 是不是等于二分之一啊？扣三也等于二分之一，所以我能得到九 a 等于多少？九 a 等于三分之派，对吧？这第一问解决了，我们重点来看第二问。 第二步。你看，他让我求这位啊，让我求这个三角形面积的什么值？最大值，对吧？让我求这个三角形面积最大值，那你想，你让我求这个三角形面积的最大值，那我应该怎么去处理？ 你要明白怎么求面积，是吧？你首先要写出面积公式，选面积公司的时候，根据我们之前讲的正弦定理、余险定理、正弦定理、面积公式和余险定理，公司的选择要怎么样？看角，那你第一问，既然知道了角 a 等于三分之派，所以这个面积公式选的时候 s 又能多少？ s 是不是就等于角 a， 那就是二分之一 b c 三沿呀， 对吧？哎，他就变成了二分之一 b c 三爷爷，没问题吧？那你说二分之一 b c 三爷爷脚也知道，你是不是差个便 b 和便 c 啊，对吧？他这个里面又给出什么呀？他又给出了便 c， 对吧？又给出了便 c， 啊，我地方写错了啊，地方写错了， 不好意思。这什么呀？我们求出来的什么呀？求出来的是角 c 是吧？ co3 c 写成了角 a 啊？ co3 c， 所以 c 等于他是吧？ 你看他还给了 bnc， 我还求出来了九 c， 我用什么呀？我用正前定理，是不是就能把这个边 b 和 bnc 给他处理了呀？对吧？我就能把这个边 b 和 bnc 给他转化了。那怎么转化呢？接下来就是由低由正前定理，是吧？ 哎，你要明白，你要的是 b 和 c， 是吧？有正弦， ok， 我们公式要选错了啊，公式要选错了，我们知道这是九 c， 应该选哪个？应该选的是 十二分之一 a b 三 c 是吧？应该选二分之一 a b 三 c， ok， 由正弦定理。哎，由正弦定理完成的什么呀？ c b 三应 c 就等于 a b 三应 a 是吧？还等于多少？还等于 b b 三应 b 是吧？还等于 b b 三应 b c b 三以 c 呢， c 就是多少 c 就是二倍的根号三。三以 c 呢，就是多少三以 c 呢？就是二分之根号三，是吧？二倍根号三除以二分之，乘以根号三分之二十几啊，它等于四 八，等于四了。所以我能得到我的这个 b i a 就等于多少 b a a 就等于四倍的三营 a 是吧？那同样我的边 b 就等于多少，边 b 是不是就等于四倍的啊？三营 b 啊，对吧？这样一来，我的 b i a 边 b 处理了之后， 所以我这个三角形的面积是不是也就可以处理了呀？所以我这个 s 三角形的面积就等于二分之一 a b 三 c 是吧？那就等于二分之一乘以四倍的三应 a， 再乘以四倍的三应 b， 再乘以多少？再乘以三以 c。 三以 c 是多少？三以 c 是二分之根号三，是吧？二分之根号三。 ok， 最后结果整理化解一下，那就是 他变成多少就变成了四分之根号。三倍的三应 a 再乘以多少？再乘以一个三应 b， 对吧？你看到这一步之后又符合我们的什么原则？我们之前讲了什么呀？ 看到三个角要画两个角，看到两个角要画一个角，并且你现在求曲折范围的，肯定是要处理成单边量问题，是吧？那怎么画成这个两个角呢？第一问，知道了什么呀？第一问，是不是知道了角 c 啊，对吧？哎。因为这个角 c 等于多少？因为这个角 c 等于三分之派，所以我能得到这个 a 加 b 呢，就等于多少？ a 加 b 呢，就等于 三分之二。 a 加 b 等于三分之二，所以我能得到 b， a 呢，就等于多少？ b， a 就等于三分之二派减什么呀？ b， a， a 就等于三分之二派减角 b， 没问题吧？他等于三分之二派减角 b， 或者呢？什么呀？或者呢？我们处理脚，我们处理脚位是不是都可以啊？对吧？所以我能得到这个 s 三角形的，他就等于多少？他就等于 四分之根号三，乘以一个三应啊，我们应该处理的是 a， 是吧？算多少？三以三分之二， ok， 三以三分之二派减角 b， 再乘以什么呀？再乘以一个三硬币。接下来就化解这十字就等于四分之根号。三倍的括号打开 花，花打开就是三引。三分之二，那就是二分之根号三扣三引币，再减扣三引呢？就加二分之一倍的 三硬币是吧？再乘以一个三硬币没问题吧？框框打开，四分之钢化三乘以二分之钢化三是八分之三是吧？那就是八分之三倍的 三硬币，扣三硬币没问题吧？哎，行行， ok， ok， 有问题啊有问题，怎么能是写错了啊？刚才写错了，不是什么呀？不是四分之高三多少？四倍更好，三啊，四倍更好，三， ok， 四倍更好，三不是四分之高三啊， 四倍更好，三， ok， 这都是四倍更好，三啊，四倍更好，三， ok， 四倍更好，三乘以呢？就是二倍更好，三是吧？二倍更好，三的三硬币乘以靠三硬币再加上多少？再加上一个 二倍根号三，第一个位置也不是二倍。根号三是吧？四倍根号三乘以二分之根号三是多少？是六，对吧？ 二三得六吗？六，这是多少？后面这才是二倍的号三是吧？二倍跟号三乘以多少乘以三 b 方，对吧？三 b 方， ok， 就等于多少？就等于三倍的。提出来一个二，那就是二倍的三硬币，靠三倍，是不是就三倍的三以多少？三硬二 b 对吧？三倍的三眼二臂再怎么样，再加上一个根号三倍的根号三倍的二倍三眼臂方就等于多少？就等于一减扣三眼二臂，一减扣三眼二臂没问题吧？ ok， 他就等于三倍的三眼二臂， ok。 笔没电了啊，看见吗？换了个笔， ok， 那就多少？打开就是三倍的三硬币，再加上再减，对吧？再减根号三倍的扣三引二 b， 这应该是扣三引二 b 是吧？再加多少？再加更号， 接下来干什么呀？要想把它画成 a 倍的三 eomega 加分。我们说要用的什么呀？是不是要用的 a 倍的三 eomegax 加费这种形式啊，对吧？这个还是来求。那必须要什么呀？复制有故事。根号下 a 方加 b 方，是吧？根号下 a 方加 b 方是二倍。根号三，二倍根号三的倍的多少？三以二 b 加帅，再怎么样再加上根号三， 其中呢？贪的犯等于 bba， 贪的犯等于 bba， 贪的犯等于多少？贪的犯等于负的三分之杠三，是吧？负的三分之杠三，所以我能得到费交等多少？费交等于负的六分之派，我看他等于负六分之派了，那这个数字就变成了两倍根号三，再乘以一个三呀。 二 b 减六分之派，在怎么样再加上一个根号三，用去吧。哎，再加一个根号三。那现在画成这个样子了之后，你让我求他的什么样？你让我求他的最大值是吧？求最大值，你只需要去求出角的取得范围是不就行啊？你想 九 c 是多少？九 c 是多少？ c 是三分之派， a 加 b 什么三分之二？那你这个角 b 是不一定是在三分之二派之间呀，对吧？因为我的这个角 b 他是大于零， 小于三分之二，角币是零到三分之二，所以我就能得到我的这个二 b 减六分之派的取值范围。二 b 减六分之派的取值范围就是 负的六分之派到六分之七派，他就是负六分之派。到什么呀？到六分之七派是吧？哎，换元加作图没问题吧？就是相当于我另这一块等于一个提，是吧？三以提，提的范围是负六分之派到六分之七派。 ok， 我们做出三应的函数图像。 哎，做出三的还是图像来找到负的六分之外，这就负六分之派，这就六分之七派。很明显是什么时候？很明显是二分之派的时候，是吧？所以我能得到当这个什么呀？当这个二 b 减六分之派等于多少？等于二分之派的时候，此时 s 三 角形的面积有什么呀？ s 三角形面积是不是有最大值啊？最大值呢？就是什么呀？他的人二分之派的时候就是一，是吧？那就等于二倍根号三。再加上一个什么呀？根号三，是吧？再加个根号三。所以我能得到最大面积是多少？就等于三倍的根号三，对吧？所以这个三角形面积最大值是三倍根号三。

同学们大家好，我是九年级数学老师和老师，今天给大家讲一下解三角形。解三角形就是把三角形中三个角或三个边剪出来的过程啊，就叫解三角形。那么三角形中就是这个六个元素，三个角三个边。那么首先我们看常见的类型就是 之二去求其他元素啊。之二就是指比如我知道两边，如果在直角三角形，我知道两个直角边，我就能求出一个角对应的正切，从而去推出这个角。但前提他得是特殊角上。我们可以通过国五定理去求出第三边，通过三角形两边之三边，三角之和是一百八十度 来求出另外两个角。然后如果我们知道一个热边和一个斜边的，我们可以通过勾股定理求出第三个边， 然后可以通过这个角的正弦直或于弦直去推出这个特殊的角。再通过两个角互于推出第二个角，三角形的角和一百八十度推出第三个角啊，第三个角是九十度，那么我们主要其实用互于的一个关系啊去推。 然后如果我们知道一个编辑一个锐角呢，一个直角编辑一个锐角，那我们可以利用这个锐角的三角函数 去推他其他的这个边在直角三角形中，呃，或者是通过这个呼鱼的关系去推，先推角， 这样都可以啊。那其他的咱就不说了，以此类推。这如果是非直角三角形中怎么办呢？咱们去构造直角三角形，利用题中这个已知的角。比如说我第一个图就是背靠背模型， b 角三十度， c 角四十五度呢？ a 角我们能推出来，但是这个你非直角三角形中怎么去推呢？过 a 点做个垂线，向 b， c 做垂线，这样把两个角都放低了。三 放进了直角三角形中。同理，第二种情况六十度。四十五度也是我们记得特殊角。所以由 a 点做垂线，直接把两个角度放到直角三角形中去。那你要出现墩角这种情况呢？我们利用他的零部角的特殊角是六十度，从而去构造这个直角三角形。 呃，现在咱们往下看这个题目啊。真正的题目就在应用中。如图，在三角形 abc 中，角 a 是三十度，角， b 是四十五度， ac 等于二倍的高。号参求 ab 的叉。 那这时候我们看两个角都是这个特殊角，但不是直角三角形。所以我们就从 c 点的向 ab 做个垂线。假如垂度是得构造一个直角三角形，两个直角三角形出来。那么首先我们利用 ac 长度知道在左边啊。我们先求 a 得和 c 得，先求 a 得 c 得 可以利用 a 角。在。呃 rt 三角形 a 的 c 中，我们利用这个角的余险 cocy。 三十度是不就等于 a 的比上 ac 呀？那就等于二倍的。呃，这个 a 的是未知的哈。 a 的 ac 是二比的钢行三。然后考才三十度是二十分之刚好，三占我们一减。这个 a 的等于多少？等于三。那么三也三十度呢？哎，三也三十度等于 c 的比成 ac 等于一比二。所以这个 ac 的等于多少？ c 得等于二分之一， ac 就等于高二三。那 b 得呢？咱这 b 得是不是就也知道了？因为在直角三角形 a 得 b 中，他是等要直角三型 b 得等于 c， 得等于高二三。那整个 a ab 呢？就是三加钢化三啊。第二题如图，在三角形 abc 中， ab 等于二， ac 等于四角， a 等于一百二十度。求 bc 的长角 a 等于一百二十度，那他的补角是多少度？是不是六十度啊？ 所以我们就可以利用他的补脚去建立一个特殊的三角函数关系。这是六十度，由 c 点向下做垂线， 只要吹的都是的。这样我就构造出了一个直角三角形。那求 bc 的长。我们先把围绕他去，把这里边的条件都敲出来。比如说这个六十度，上面就是这个角， ac 的不是三十度吗？三十度角左右边是斜边的一半，那么 a 的就是二， a 得就是二。那么 c 得是多少呢？可以购物定理四四十六加二得四十二三四二比零杠二三。或者说 a 德的钢号三倍，或者用三角 s 球都可以。这时候这个 bc 呢？是不是就勾固定理就可以了？就相对跟二二加二是四的平方，加上二不对，刚好三的平方。这样我就算四四是多少？十六加二二的四三四十二，那就是二十八四七二十八二不对刚好七。 第三题说在三角形 abc 中， ab 等于 ac， 等于这个三，这是一个等幺三就行，这是 abc， 这是三，这是三， bc 等于二。那求这个 ca 的值 就三 a 的纸。我们考虑构造直角三角形，如果构造直角三角形，那你可以这样做垂线，这 a 就进直角三角形了。那想求三 a， 其实 主要我们要求出这个垂足啊，就这个垂线段的长度。假如说这个垂足是得的话，也不要求出必得的长度啊。那么在题中， 嗯，这个条件我们看够不够等幺三角形啊。这个角的正线直是不知道。这你这个角的正线直，我们可以做个垂线去求吗？把他这个高线求出来，把他的高线求出来。这样我再做一个 h 啊。那么这个一半是一三三得九减一八，二比刚好二。所以这个赛因 c 是不是相对二比刚二比三呢？然后他就相当于等于我们这个 b 得比胜 bc。 bc 是二， bc 是二的话，那么说明这个 b 的不就是三分之四倍的钢化二吗？那么 b 得是三分之四倍的高二，那么赛 a 不就知道了。所以这个赛 a 在三角形 a 得 b 中，那就是三分之四倍高二比三，也就是九分之四倍的高二。 刚才那道题，我们可以要是不多做这个 ah 垂直直底边的话，也可以硬算吧应该。比如说我四个 c， d vx。 这就是三减 x。 那是不是可以用三减三，三得九。九减去三减 x 的平方，等于二的四，四减 x 的平方。可以这样算， 那就九减九。呃，减 x 方，然后加上二三的六， x 等于四减 x 方。这样我们约掉 x 方，约掉九，就 x 等于三分之二吗？ x 等于三分之二 的话，我们再去勾股，勾出必得。那么这个必得不就等于二得四，减去三十九，二得四。开根九分之四九三十六，三十六减四是三十二，那就三分之十六乘以二，四四得跟号。这就必得。 就是你看你想怎么做更合适一些哈，更更容易算。如果用高中的话，三边都知道，直接鱼线定理就可以求了。呃，下面这个题如何图在三角形 abc 中，角度是三十度， 弹你的 b 二分之高三，说明这个是 b 角，是个特殊角吗？啊，不是特殊角啊，三分之高三才是特殊角，这里看错了啊。二分高三不是特殊角，就 b 的正确值就知道啊。然后 ac 等于这个二倍的根号三，就 ab 的长。这时候我们考虑把这个两个角 角都用上啊。那我就做个垂线就行了。有四够到个直角三角形。假如垂度是得，那 a 角是三十度，三十九角，随便是媳妇那一半，那 c 得就是根号三，那高固定定理 a 得呢？呃， a 得。或者是你记住这个倍数关系， a 得应该是 c 得的的根号三倍，那不就是三吗？ 那么再结合弹性的 b 是钢上三比二，那 c 得是钢上三，那么 b 得一定是二楼。所以这个 ab 呢？三加二是不是五啊？ 小时风芒这道题啊。直三角形 abc 中，我们可以画一个三角形出来，反正他这个有特殊角是吧？这个角 b 考线 b 是二分之高号，说明 b 角是等于四十五度，那这个角就当成角 b 吧。 ab 比较长，十二倍的高 c， 这是 cac， 等于十三。考 cnb 知道我们现在知道他是四十五度啊。然后求这个。第三遍 bc， 这个变长，我们可以考虑围绕这个椅子角啊，去做这个三角形，然后再去求。那我考虑由 c 点 向 ab 做垂线，可以吧，做个垂度下来，假如垂度是得，那这个这是四十五度，那我设 b 得为 xc 得就是 x。 那么这个 a 得呢？就是十二倍的钢化，减去这个 x。 这时候我们看一下是不是可以通过购物定理把 x 解出来， x 解出来， bc 也就出来了。 bc 就是跟二 x 吗？所以在三角形 a dc 中应该十二的跟二。减 x 块的平方加上 x 平方，等于十三的平方。那我们展开十二乘十二，一百四十四 乘个二，加上 x 方，减去二十四倍的杠号。二 x 加上 x 方，等于十三的平方一百六十九。 那这里我们稍加整理一下。这不就是二 x 平方减去二十四得刚好二 x 加上这个一百四十四乘以二，然后减去一个一百六十九。我们需要算一下一百。呃，我想要一百四十四乘以二是二百八十八，减去一百六十九是 一百一十九，等于零。那么这个用十字相乘，这是自然分成根号二，根号二。那我们看一百一十九能怎么分。 这种情况我们看好像是没有解。有没有解，好不好解？就是十字相乘一乘。好像没有找到一百一十九合适的音。是。那我就用得他来应算一下吧。这个得他。 嗯，得他等于二百。那么这个 x es 二不就是二。 a 一分之二乘二分之负 b 二十四得跟二加减跟二百吗？ 高二百就是十倍的高二，那也就等于。呃，加减之后，这个鱼丸应该是数不太对啊。我们重新来算一下这道题吧。重新构思构思一下这道题。 角 b 是四十五度，这个三角形这样做垂线。因为树很难解啊。就是可能会出现这个错误。那我们考虑由 a 点向 bc 做垂线，勾到这角三角形，这样是不是也可以啊？那我们来这样来做哈。 这道题我们从 a 点往下做垂线，看看能不能好解一些啊。嗯，就是 这个三角形，可能是钝角，也可能是锐角三角形。所以我们分成两种情况，一种是假如 c 字落在这，由 a 点下作出，这是 a 点哈，那么这是 b 点， ab 是一个十二倍的根号号， ac 是一个十三。 这时候呢，我由 a 向下做垂线得，所以这个 c 点可能落的位置，一是顿角三角形，一个是锐角三角形，所以会落到这两侧。 那这时候我们看一下这个 a 的应该是多少？因为角 b 是四十五度，所以这个 a 的应该等于 b 的是 就等于 ab 的个号分之一啊，也就等于十二啊。然后再咱咱结合结合， ab 是这个 ac 啊，是这个十三。从能得出这个 c 一得应该等于 c， 二得等于多少？等于五，那么 bc 一等于多少？再图中这个 bc 一，这样是简单一下啊，等于 b 得就十二减五，十减五是七。 bc 二呢，等于十二加五 十，二加五是十起，所以这个七或十起。 咱们刚才那种做法，因为图形直接把这个默认成钝角，所以做的这个就不太正确啊。这道题值得注意一下。那么下面就是咱们中考中常考的这种三角函数实际应用。 我们看第一题说 a 观测站欧在这个正东方， a 在港口， a 在欧的正东方， oa 呢，等于这个四十海里。图中这是四十。卯船从 a 港出发，沿北偏东十五度方向航行半个小时之后到达 b 处，这时间又有了。然后呢， 从欧处观察，他在北偏东六十度方向，所以这是六十，这六十下边就是三十，对不对？然后求行行行速度， 速度等于路程除以时间。时间我们已经知道了，所以我们需要知道路程，也就是知道 ab 就可以了。那在这个题中相当于我知道角三十，这是九十加一四十五是一百零五吧。 一百零五。角 b 就是四十五度。哎。所以我们这做辅助线的方式就从 a 点向 ob 做垂线是不就可以了？ 假如吹足是得，那你看这和欧 a 是二十，所以 a 得是不就是欧欧 a 是二十，二 a 的是不就二十三十度？胶水对变成斜边的一半吧。他这是二十，那 b 的是多少？ b 的是不就是也是二十。然后呢， ab 是不就二十倍的钢化二，那所以速度 v 呢？就等于 ab 除以时间， tab 是二十倍的钢。二海里时间呢？是半个小时，我们写成零点五。 那么二分之一也就是四十倍的钢化单位呢？就应该是海里每小时。 所以你注意这个单位有问题，这个空应该填四十倍的钢化二，海里 每小时。第二题用到小时。这个题说基斯船在倒闭北偏 啊，躲避南偏东五十度方向。上图中已经把角度标出来，之后不用自己标。相距八括二个号六减高二的 a 还是屡处。那这个长度。 ab 长度是知道的啊，这长度知道。然后发现走私传由倒闭 北偏东十度方向，以芭比的跟二海里的速度每小时航行。 如果记私传两个小时，追日之后追上走私传，那么走私挺的航速是多少？航向是多少？这题里边我们通过观察度数啊，这是一个十度，这是一个五十度。我们可以考虑由 c 向 ab 做垂线勾到直角三角形， 假如说这个垂足是多，垂足是多哈，那么这个 ab 长度是多少呢？其中你告诉是八倍的根号六减高二。我们找下图中的角度现象，这如果是五十，这是十度，那中间这就是六十度了。六十度这块就是一百二十度， 这个五十的对调在这面，那这块就是加个十度，就是六十度，这就是三十度。这样就好算一些了。也就是说我们利用图中这些长度信息， ab 的长度 和 bc 长度。这样我们就能建立一个关系。一种你看机次顶是两个小时，追上走四船的，而走四船这个航向是 bc， 这航向是不是两个小时啊？ 发现走势上有倒闭，沿北偏东十度方向横以八倍杠二航行，那这个走四 bc 船就应该是 v 乘以 t， 也就算是八倍的杠二乘以二， 也就十六倍的根号 bc 搞定了。那在这里边我们就能搞定一些其他的信息，比如说这个 b 的是不是就可以搞定？这个 b 的不就是 bc 的二分之一吗？等于二分之一 bc 也就等于八倍的根号 爸比的更好。 然后这个 c 德呢？是不？我们也可以求出来？ c 德是 b 德的根号三倍，根号三 b 德，那也就是八倍的根号六。那么这个 a 德呢？也可以求出来了。 a 德就是 题中说八倍的钢号六减钢号二嘛，是这个 ab 再加上一个我们求出的这个 b 得是，就是八倍的钢号二，也等于八倍的钢号六。这是我们把 a 得取出来了， c 得也取出来了。由垂直关 ac 是不是可以求出来？所以这个 ac 咱可以购物定理。 这时候你会发现 c、 d 是不等于 a d 呀。哎。 b d。 呃，这个 c d 等于 a d， c， d 等于 a d。 这里边我们直接就不用在狗固定里。所以三角形 a、 d、 c 为等幺。 rt 三角形。所以 ac 等于多少？ ac 是不等于刚好二位的 ca 的。也就等于刚好是刚好十二三四十二二。对，刚好三 二八十六十六倍的根号三。这就是 ac 的长度。 ac 有了呢，他的这个航速是不是知道了？不是两个小时吗？所以 v 就等于十六倍的根号 三。比成两个小时等于八倍的钢三。所以这是八倍的钢三。那你注意是海里每小时。那么航向呢？是指我们要固固一个角度出来。 那我们就延长一下，让他计算一下与他正北正南方向这个角度就行了。这个角。这 a 角是五度， a 角是四十五度 ab。 呃，就是这个 ab 与正北方向夹角是五十度，有外角与不相邻内角的关系。这就应该是个五度吗？所以航向我们可以写北偏西 北偏。这是北偏东是吧？啊，北偏，他是往这个方向 ac 方向。那是北偏西哈。北偏西 五度啊。基斯船啊。在正东四十倍的钢 在海里处发现一个阻塞艇。我们可以先把这个图形给它建立出来。假如说在这，这是机子船的位置，然后这个点我们定义成 a 点。然后向正东 四十倍的钢化三位置发现一个积丝挺，这是四十倍的钢化三。而这个积丝挺。积丝。呃，走丝挺啊。以二十海里每小时速度沿一个方向航行。沿哪个方向我们还不知道，于是向北偏东六十度方向进行拦截。 那我们做个这个正北方向，这个方向线啊，那由 a 点向这边走，北偏东六十度。 那就这样两个小时之后，接着这个祭祀厅。那其实这时候我们会发现这个图形不太好做的，自己把这个图形做好，那我们来 做出这个图的模型啊，咱往左挪一下啊。呃，我们复制一下，一会可能会重复用到拷贝。 这时候我们来看一下第一种情况什么样呢？就是我假如说在某个位置追上之后形成一个三角形，上面这个 c 点在 a、 b 中间，那么说为什么还有三种图形呢？还有一种就是哎，如果 c 在正上方，还有一种情况就是形成 b 呢？是顿角， b 呢？是锐角， b 呢？是直角， b 是顿角三种情况。 因为这个走私艇的这个方向不定啊，但是他有一个 bc， 长度是定的二十海里吗？二 海里每小时走了两个小时，这就是一个四十，这是个六十度。哎，这是一个三十度。同样在第二图形成这六十度，这是三十度，那这个就是四十。 那在第三个图形中也是这六十度，这是三十度，哎，这是四十。那我们在做题的时候我们看，首先，如果是第一种情况， 你想求基斯挺的航速，就要求出他的路程再处理时间，那么他的路程不就是 ac 吗？其实就是在三种情况中，我们去求 ac。 第一种情况，我由 c 点向这个 ab 做垂线，勾到直角三角形，那么这个很容易得出 c、 d 的长度对吧？求出 c、 d 的长度，再算 ac 的长度就行了。 在这里面我们在算 c 德的时候有个麻烦是吧？嗯，就是你这个 a 德不知道， 所以我可以设 a 德为 x， 如果设这个 a 的为 x 的话，那么 b 的呢？ a 德是 x， 这个 b 德就是四十倍的钢化三，减去这个 x。 然后 c 德呢？有这个倍数关系， 三十度角水边是斜板泥瓣，那是根号三分之一， 这是刚好三分之一 x。 我们可以在 c 德 b 这里建立一个勾股定理啊， c 德 b， 那里就是 c 德的平方。三分之一 x 方加上 b 德的平方，也就是四十倍的个号三。 减 x 块的平方等于这个 cb 的平方，四十的平方。然后我们来求解一下，这个 x 解除 x， 知道 a 得，就可以一步就求出这个 ac。 这样我们慢慢来解这个育儿次方程啊。解出来 x 等于二十倍的钢化三， 或者 s 等于四十倍的钢号三，那等于四十倍的钢号三。实际上就把第二种情况给解出来了，这是 x 一等于二十倍的钢号三。 x 二呢，就等于四十倍的钢号三啊。就第二种情况，那咱说先说等于二十倍钢号三这种。如果 a 的等于二十倍的钢号三，那 ac 呢？就是用三角函数， 嗯， a 得比上 a， c 等于考试三十度，对吧？那进而得出 a， c 等于 a 得比上考试三十度， 也就是二十倍的刚好三，比上二分之刚好三，那刚好等于四十。所以路程出来了，这个速度就出来了。那么 v 呢？就是等于四十除以二等于二十。最这行数是二十海里 每小时。这个说等于四十倍高三。就是咱第二种图的情况啊，你这个如果等于四十倍高三，那么这个 ac 仍然是等于多少 a 得除以考前三十度对吧？那就是四十倍的高三。上面这个图下来啊，除以 二分之钢号三，这样钢号三约掉二四到八十，这时候微是多少号呢？八十除以这个两个小时等于四十。所以还有一种情况是四十海里每小时。那么第三种情况 我们看成不成立哈。第三种情况，你这个 在做过道直角三角形的时候，就得 c 向 ab 的垂线垂到延长线上了，这就是垂租得。那么我们还是想办法求助 ac， 那这里边求助 b 得就行了是吧？求助必得。那么剩下再去想办法。所以在这里边呢，我可以设这个 为了。呃，简单起价，设 c 德为 x， 这样 xac 就是二 x 吗？然后 b 德呢？就是根号下一千六百减 x 方。那么所以咱能列出个等式， 就是用三角函数找一个比例关一下这个 a 的他可以等于刚好三倍的 x， 他就应该等于这个四十倍的刚好三，再加上刚好一下一千 六百减 x 的平方。 那这个碰见这种根号呢，就会难处了一点。我们先把这个带一些六百减 x 方，移到等号的一侧去，然后给它平方平方。求解啊。 让我们通过求解 x， 一是等于二十的 x， 二是等于四十的 x。 如果等于四十，你是这个 s 就跟 cb 相同了，不满足这个特征。所以这个答案舍掉 x 一，如果等于二十呢？那我们带进 ac 是不是还是四十啊？ ac 是四十 v 呢？还是四十除以二还是二十 海里面钥匙。所以这个答案是不变的。那我们填两个答案就行了。呃，这中间改成一个货哈。

今天我们来讲一下解三角形题目当中最值问题的快速算法。首先我们需要了解的是这种快速算法的试用场景是已知某边及其对角，然后求三角形面积或周长的题目。 我们来看一下这道题目。首先我们跳过第一问，在第一问当中，我们计算出角 c 等于三分之派。为了作为对比，我们这里先用传统算法来进行计算，这里我们需要求得三角形 abc 的面积，而目前我们只有角 c 的度数，所以我们这里应该用两边一夹角的公式。 经过计算，我们可以求得三角形 abc 的面积等于四分之根号三倍的 ab， 但是这里我们并不知道边 a 和边 b 的值，但是我们可以利用外结缘的半径结合正弦定理转化为角 a 和角 b。 所以根据正弦定理，我们可以解得三角形 abc 的面积等于 于二倍根号三倍的三应 a 乘以三应 b。 我们之前讲过最直问题的本质就是直域问题，归根结底是一个函数类的问题，但是这里有 a b 两个自变量，所以我们需要先进行消源。因为我们已知角 c 等于三分之派，所以我们可以解得角 b 等于三分之二派减 a， 这样就只剩一个位置数角 a。 经过化减与计算，我们解得三角形 abc 的面积等于根号三倍的 三引二 a 减六分之派加二分之根号三，因为我们已知角 a 属于零到三分之二派，那么再结合正弦函数的单调性，我们就可以求得三角形 abc 面积的最大值。下面我们再来看快速算法， 虽然这道题目当中并没有直接告诉我们对角及其对边，但是这道题目我们以知角 c 的度数和外界 的半径，那么通过正弦定理我们就可以算出边 c 的长度。所以这道题目是试用我们的快速算法的。这里的快速算法所用的方法是基本不等式加余弦定理。 根据基本不等式的思路，要求 ab 乘积的最值，那么我们需要找 ab 的和，或者是 a 方加 b 方，而 a 方加 b 方正好存在于余弦定理当中。根据余弦定理， c 方等于 a 方加 b 方减二 ab 乘以扩散以 c。 根据正弦定理，我们可以解得边 c 等于根号六， 所以 a 方加 b 方减 ab 就等于六。而根据基本不等式， a 方加 b 方应该大于等于二 ab， 所以 a 方加 b 方减 ab 就应该大于等于二 ab 减 ab， 所以我们解得 ab 小于等于六，那么三角形 abc 面积的最大值就应该是二分之三倍。根号三下课。