物理高一匀变速直线运动图像怎么分析

同学们好啊，我是陈老师。今天呢，我们来看一下云变速直线运动的三个推论以及推论的应用。我们前边呢，学习了云变速直线运动的三大基本公式，第一个呢是 v 等于 v 零加 a t， 我们发现这个公式里面是没有位移的， 然后呢，又学了 x 等于 v 零 t 加二分之一 at 平方，我们发现这个公式里面是没有末速度的。 然后又学习了最后一个公式，微方减 v 零方等于二 a x。 这个公式呢，其实就是上面这两个公式连力啊进行推导出来的。这个公式里面是不设计时间， 就是因为他不涉及位移，末速度和时间，所以呢，我们就进行选择公式的时候， 就看他有哪几个物理量，比如说如果有末速度，出速度、加速度和位移，那我们肯定就要选这个公式，这是进行公式选择的方法。 然后呢，我们如果只要知道任意三个物理量，即可求出剩下的两个物理量。我们发现这三个方程呢，它其实涉及了五个物理量，分别是位移、出速度、末速度、加速度和时间。 只要有三个物理量就可以求出其中一个物理量，那四个物理量是不是就构成了一个方程啊？ 好，那这是我们学的基本公式，那我们还可以用什么知识呢来描述云变速直线运动呢啊，那就是今天要学的三个推论。第一个推论云变速直线运动中的三个速度相等， 第一个速度呢就是平均速度。根据我们之前学过的知识啊，我们知道在 v t 图像中，图线与 t 轴为成的这个面积呢，代表的就是运动的位移， 那这个面积如何去求呢？那我们看这个 vt 图像呢，我们发现这个物体的运动时间是 t， 初速度是 v， 零末速度是 v， 所以呢，梯形的面积呢，就等于上底哎，为零，下底 v 乘以高是 t， 再乘以二分之一，就等于二分之 v 加 v， 零乘以 t。 好，我们前边又学过呀，平均速度呢，是等于位移除以时间。那所以无论什么时候，位移都可以写成等于平均速度乘以时间。那我发现呀，位移既等 等于二分之 v 加 v 零乘以 t， 又等于 v 八乘以 t， 所以呢，我们就可以得到 v 八呢，就等于二分之哎， v 加 v 零。注意，这个知识呢，是仅仅适用于云变速直线运动， 它的平均速度呢，与出没速度的平均值是相等的。好，我们来看中间时刻的顺势速度， 如图。哎，在这样的一个时间轴上，初始时刻是零，末时刻是 t， 那中间时刻自然就是二分之 t， 那么从零到二分之 t 经历的时间就是二分之 t， 那么从二分之 t 到 t 经历的时间也是二分之 t， 我们记零的时候的速度是 v 零二分之 t 的速度是 v 二分之 t， 然后 t 的速度记住 v。 好，我们根据前面的基本公式， v 等于 v， 零加 a， t 可以得到。哎，末速度，如果我看的是零到二分之 t 这一段，那么末速度 v 二分之 t 就等于 v， 零加 a 乘以二分之 t， 那我如果看的是二分之 t 到 t 这一段，那么 v 呢，就等于 v 二分之 t 加 a 乘以二分之 t。 好，这两个方程进行连立，哎，我们就可以求出 v 二分之 t 是等于二分之 v 加 v 零， 而我们刚刚又知道呢， v 八呢，也是等于二分之 v 加 v 零，所以呢，哎，我们就可以得到了，在云变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于中间时刻的顺时速度， 等于出没速度的平均值。然后就是下面的这个式子，平均速度中间时刻的顺时速度，这是出没速度的平均值，这就叫做三个速度相等，但是一定要注意条件，哎，匀变速直线运动。 好，接着呢，我们来看第二个知识，云变速直线运动中间位置的速度，我们现在是在一个坐标轴上啊，一个物体呢，是自左向右做云加速直线运动，加速度呢，我记住 a， 然后呢，中间位置我记做二分之 x， 那么从零到二分之 x 经过的位移呢？是二分之 x， 从二分之 x 到 x 经过的位移仍然是二分之 x。 好，零时候的速度我记着为零，二分之 x 的 速度我记作 v 二分之 x， x 的速度我记作 v。 然后呢，还是由基本公式啊， v 方减 v 零方等于二 ax， 我们可以得到，如果我现在研究的是零到二分之 x 这一段， 那么末速度就是 v 二分之 x， 初速度就是 v 零，所以就得到一个这样的式子，如果我研究的是二分之 x 到 x 这一段，哎，那么末速度就是 v， 初速度就是 v 二分之 x。 嗯，然后呢，我就得到了这样的一个方程，我发现这个方程的左右是相等的，那我进行连立，哎，就可以得到 v 二分之 x， 就等于根号下二分之 v 零方加 v 方，那这个速度呢，就叫做中间十 或中间位置的速度，或者说中间位移的速度。好，我们现在呢，已经知道了，哎，中间时刻的速度是二分之 v 加 v 零 和中间位置的速度是二分之微方加 v 零方。那我们现在来试着比较一下，两者哪个大哪个小呢？ 第一种方法，数学做叉法。好，那现在我们发现呀， v 二分之 t 和 v 二分之 x， 你看 v 二分之 x 里面是不是带一个根号，如果直接做叉的话，那是不是根号无法去除，就无法进行比较，所以呢，怎么办？那我就把 v 二分之 x 和 v 二分之 t 都平方一下平方再去做叉， 那平方作差的结果并不影响最终结果，所以呢，把 v 二分之 x 平方一下哎，得到的就是二分之 哎， v 零方加 v 方，这是 v 二分之 x 的平方，它呢就等于哎二分之 v 零方加 v 方， v 二分之 t 的平方，哎，算出来是等于四分之哎， v 零方加 v 方加二 v v 零， 然后呢，我们发现 v 二分之 x 的平方减 v 二分之 t 的平方是等于四分之哎，通分一下就是二倍的 v 零方加 v 方， 减去 v 零方，再减 v 方，然后再减二倍的 vv 零，那减去一下之后就 发现呢，就等于四分之 v 零方加 v 方减二 vv 零，哎，然后把它合并一下，就变成四分之 v 减 v 零的平方， 那这个东西呢，肯定是大于等于零的哎，大于等于零的，但是呢，由于他做的是云变速直线运动，初速度和末速度并不相等， 所以呢，这里就不等于零了，就是大于零的。大于零是什么意思呢？大于零，那是不就代表中间位置的顺势速度比中间时刻的顺势速度要大了呀？ 所以呢，我们就发现在云变速直线运动中，中间位置的顺时速度是大于中间时刻的顺时速度的。好，这是用数学方法去进行证明， 或者说进行比较，那我们还可以用物理方法去进行比较啊，他叫做 vt 图像法。好，如图所示，红色的呢，就是零到 t 的中间时刻二分之 t， 他对应的速度呢，是在这里哎，红色这里， 然后我们来找中间位置。由于我们知道啊， v t 图像图线与 t 轴为成的面积代表位移，如果在红色线哎，左右两边，哎，是不是分成了哎这两部分，哎，分成这两部分， 一个是左红色左边，一个是红色右边，我发现这两部分的哎面积并不是相等的，也就是说二分之 t 的运动位移，哎， 并不是中间位移，二分之 t 所在的位置并不是中间位置，那如何才能让他使中间位置，或者说中间位置哎在哪个地方呢？ 那我们来看一下，哎，中间位置应该是在哪个地方呢？那现在呢，想要让左右两边位移是相等的，那我是不是只能把线往右移，把线往右移到哎，大概这样的位置，这个位置 是不是才能使左边这个梯形的面积与右边的梯形的面积是相等的？那我线一旦往右移，你发现我的速度是不是就往上升，是不是就变大了？所以呢， 这个地方呢，代表的是二分之 x 中间位置，那么他的速度是不是就比中间时刻的速度要大了，这是在加速的过程中，我们进行判断出来的，那么减速过程中判断方法是一样的，还是中间红色的线呢？代表的是中间时刻， 然后呢，他的速度呢？是在这里，那么现在仍然想要使左右两部分运动位移相等，才能是中间位置， 那就代表左边的梯形面积与右边的梯形面积应该是相等的，那所以呢，这条线只能稍微往左移一点，左右面积才能是相等的。 那一旦往左移了之后，我们就发现呀，你看这个速度是不是就稍微向上偏大了一点，所以 v 二分之 x 仍是大于 v 二分之 t 的。那所以我们就发现呀，在云 变速直线运动中，不论是加速还是减速，中间位置的顺势速度永远是比中间时刻的顺势速度是要大的。好，接着，哎，我们刚刚前面呢，已经讲了两个推论了，哎，这是最后一个推论，哎，逐差法。 那现在呢，这是一个时间轴，然后我把时间轴上把它给均匀分了四段时间，哎，这四段时间是相等的，哎，都记做 t， 第一个 t 里边的运动卫衣记住 x 一，第二个 t 里边的运动卫衣记住 x 二，第三个 t 里边的运动卫衣记住 x 三，第四个 t 里边的运动卫衣记住 x 四。 然后物体的抽速度呢，我记住 v 零。好，那我现在来看， x 一、 x 二、 x 三、 x 四 分别等于多少？这个物体呢，是自左向右做加速度为 a 的云加速直线运动，所以 x 一，那不就等于 v 零 t 加二分之一 at 平方嘛。 哎，我们就很简单的求出来了。好，那我现在我已经知道 x 一的大小了，那我想要求 x 二的大小，那怎么求呢？那我现在可以以这条线为初始位置。 好，左边的速度是 v 零，那这条线的速度是多少呢？那根据 v 等于哎， v 零加 a t， 那所以这一点的速度呢，自然就是 v 零加 a t 了，然后这一段位移 x 二，那自然就等于呃，它的速度， v 零加 a t， 再乘以时间，再加上二分之一 a t 平方，就得到 x 二了，那么 x 三呢？是同样的道理啊，这一点的速度呢，自然就等于 v 零加二倍的 a t 了，所以就等于 v 零加二倍的 a t 乘以 t 再加上二分之一 a t 平方。 同理， x 四就等于 v 零加三倍的 a t， 然后乘以 t 再加上二分之一 a t 平方。 好，我们现在得到了 x 一、 x 二、 x 三和 x 四，那我来进行比较一下， 我把 x 一跟 x 连立一下，让 x 二减去 x 一， x 二减去 x 一之后，我们发现二分之一 a t 平方和二分之一 a p 平方是不就约去了？那里面这个 v 零 t 和 v 零 t 是不就约去了？那是不是只剩下了一个 a t 平方了？同理， x 三减 去 x 二，哎，我们也能够得到哎，它也是只剩下了个 a t 平方，那么 x 四减 x 三呢？仍然是等于 a t 平方。 好，那我们就可以合理的想象了，如果后面还有一段时间，哎，等于 t， 这个呢？记住， x 五，那么 x 五减 x 四，那是不是仍然等于德塔 x 等于 a t 平方呢？哎，这是正确的。 好，我们现在就把这个结论呢叫做主叉法，那就是在云变速直线运动中，注意条件还是在云变速直线运动中相邻相等时间间隔。 好，咱们来看这句话，什么叫做相邻相等时间间隔呢？你看，这是一个时间 t， 这是一个时间 t， 左右两个时间 t 是不是相邻的呀？然后他们的时间间隔是不是相等的呀？这就叫做相邻相等的时间间隔。然后内的位移， 内的位移分别是 x 一和 x 二，然后位移的差值，那就是 x 二减去 x 一是一个定值。好，这个定值呢，就记作得它 x， 它的大小呢，就等于 a t 平方。 好， a 是什么呢？自然就是物体运动的加速度， t 呢，自然就对应的是这一段时间间隔。 这个知识呢，就叫做矮逐差法，得它 x 等于 a t 平方。好，我们有了刚刚学过的知识。然后呢，我们来看一下矮， 右边的 x 二减 x 一等于 a t 平方， x 三减 x 二等于 a t 平方。我上下相加是不就可以得到 x 三减 x 二加 x 二减 x 一是不是就等于二倍的德塔 x 是不是就等于二倍的 a t 平方啊？ 然后左边是不是就等于 x 三减 x 一？好，那么 x 四呢？再加上一个 x 四减 x 三，是不是就变成 x 四减 x 一是不是等于三倍的德塔 x 是不是等于三倍的 at 平方啊？好，那我们呢，发现 进行合理的进行论证，那就可以推到啊，拓展出来， x m 减 x n 就等于 m 减 n 倍的德塔 x 就等于 m 减 n 倍 a t 平方。什么意思呢？就是你看是 x g， 比如说 x a 减 x b， 其实就是两个下角标进行相减 a 减必备的 at 平方啊，这个很好记吧？好，这呢就是这个退役论的拓展。

同学们好，我是梁老师，今天给大家分析几个特殊的图像，分别是 h t t 图，微方 a 图、 a t 图以及 a h 图。 分析特殊图像，我们一般思路要么看他的斜率，要么看他的面积。右边这几条是目前我们学的公式，待会我们分析图像时候，要用到这几条公式进行转换。我们先看第一个图， stt 图， 它的斜率，首先 y 是 h 除 t， h 轴是 t， 跟时间和 h 有关的就是第二条公式， h 等于 v 零 t 加 f a t 方。 好，我们先写出来，然后左右两边各除以 t， 左边就变成 s 主题，右边变成 v 零加 f a t。 再对比这个图案，它是一条一元一次方程，就是 y 等于 b 加 k s。 那很明显啊，结局就是 v 零 k 就是 f e a。 所以这个图像啊，它的斜率是表示二分之一 a， 截距就表示为零啊，这就是通过它的截距跟斜率来看它的加速度和 v 零。我们看它的面积， 面积 s 等于 y 乘 s， 我们看看是什么东西。 y 是 s 主题， s 是 t， 乘起来之后呢，会把 d 消掉，就是 s， 换句话说，用 y 乘以 s 就表示位移，这其实就是平均速度乘时间，因为 y 轴啊， s 是表示位移，位移除以时间就是平均速度公式啊，所以一秒末的位移，它是整个矩形的面积。 我们前面学过 v t 图啊，它的面积是表示什么？表示这个直线和 a c 球轴围成面积才是它的位移。而平均速度的图像呢，是整个矩形，是它的位移啊，这里同学们一定懂得区分。 好的，我们看右边这个图，右边这个图是 v 方 h 图啊，这里明显是用到 r a s 等于 v 方减 v 零方。 好，我们进行一个移项， v 方减 v 零方等于二， a x c， v 方等于二， a x c 加上 v 零，因为它是一条一元一次方程的直线对比。呃， y 等于 k， c 加 b， 我们可以知道 k 是等于二， a b 等于 v 零方。所以洁具啊，是 v 零方，斜率是表示二 a 啊，这样的话，我们就可以求出 a 和 v 零。 那这个图像面积呢？面积 h 等于 y 乘 s， v 方程 s 对我们来说是没有意义的。 好的，我们接着往下看， a t 图。 a t 图啊，它的面积其实就是多少 v 多少 v 是等于 a 乘 d 的。 好，右边这个 a c 图， a c 图。呃，我们刚才说了二 a h 等于 v 方减为零方，这里出现的 a h 在一项 h 是等于 v 方减 v 零方除以二。这就是我们一个简单的分析。好，我们看一下题目。 题目第一题是 s 主题题，图上刚强过了，结距是表示 v 零，斜率是表示二分之一 a， 剩下的同学们可以自己做一下。 第二题第二题是 v 方 h 图，刚才也讲过了，这个结句是表示 v 零方，斜率是表示二 a。 这里的挂带考察了一个相遇问题啊，同学们自己做下，老师会把答案呢打到评论区。好的，谢谢同学们的观看，我们下节课见。

这节课我们来学习云变速直线运动的 x t 图像。首先我们来看本节课的重点和难点， 重点通过 x t 图像获取物理信息。难点对 x t 图像的理解和应用考察方式选择计算题为主，分值在四至七分。 那么对于位移时间图像，也就是 x t 图像，我们都有哪些需要掌握的地方呢？首先我们来看它的知识脉络，我们需要掌握的有三点。首先第一个 x t 图像，它的 节律表示的是物体运动的速度，多个 x t 图像焦点表示在这一时刻相遇。接句， 图像与时间轴 t 轴的接距表示位移为零的时刻，与 x 轴接距表示计时开始时的位移。 那接下来我们来看一看关于位移时间图像都会出现哪些考察方式， 那么他的考察方式呢？主要有两种，一种是已知物体的运动情况，我们根据他的运动情况去画出相应的位移时间图像。 另一种是已知位移时间图像，我们去分析相应阶段物体的运动情况。首先我们先来看第一种类型， 说赛车在直线赛道比赛，他先加速运动，速度达到最大后保持匀速行驶，最后减速停下。你能用 x t 图像表示出赛车的行驶过程吗？ 首先我们需要先建立 x t 坐标系，然后根据物体的运动特点，我们去画出相应图像。根据提议，我们已知赛车先做的是加速运动，那么 做加速运动，他的位移随时间的增加会越来越快。因此在这里我们画出的图像应该是一条向上弯曲的曲线， 也就是说他的倾斜程度应该越来越大，之后赛车做的是匀速直线，那匀速直线运动，他的位移会随时间均匀增加，因此在这里我们画出的是一条 倾斜的直线，最后赛车会做减速运动，那么做减速运动阶段，他的外移会随着时间的增加增加的越来越慢， 因此画出的就应该是这样的一条曲线。那么这三个阶段分别对应着赛车的三个运动过程。 那么如果要是已知 x t 图像，我们如何去分析它的运动情况呢？那接下来让我们继续往下看。 首先在这里给出 a、 b 两个位移时间图像， 那么根据咱们前面所说的位移时间图像，咱们要从以下几个角度来对物体的运动进行分析。第一个分析的是图像的斜率，斜率 k 等于 double x 比特 t， 它表示物体运动过 当中的速度， k 大于零表示与规定的正方向相同， k 小于零表示与规定的正方向相反。 那么在图像上体现出来就是图像是向上倾斜的还是向下倾斜。在这里 a 图像向上倾斜，那表示他做的就是正向的直线运动。 b 图像向下倾斜，那么就表示他做的是反方向的直线运动。 第二个焦点， a、 b 两个图像焦点表明这两个物体在这一时刻 处在同一位置，也就是说焦点所在位置表示在该时刻两个物体相遇。 第三个洁具，那么在这里面的洁具呢？我们主要看的是图像与横轴和正轴的交点。 首先在时间轴 t 轴上， b 图像与 t 轴的交点代表时间为 t 的这一时刻，物体 b 位移为零， 那么它与纵轴 x 轴的交点表示计时开始时它的位移。 好，那接下来我们开看几个典型的位移时间图像。 a 图像， a 图像表示物体在做匀速直线运动，而且是正方向的匀速直线运动。 b 图像表明物体做的是反方向的匀速直线运动。 c 图像表明物体的位置不随时间变化，因此 c 图像表示物体处于静止状态。 接下来我们再看 d 图像， d 图像从图形上 来看，它的倾斜程度越来越大，也就是斜率越来越大，那么位移时间图像斜率表示的是物体运动过程当中的速度， 因此地图像表明物体运动速度越来越大，因此它表示物体做的是加速直线运动。 e 图像它的斜率越来越小，因此它表示物体做的是减速实线运动。 那接下来我们将之前学习的 v t 图像和 x t 图像做一下比较，那么看一看形状一样的两种图像， 他们表示的物体的运动有什么样的区别？首先我们先看同样是倾斜向上的直线，在速度时间图像当中，他表示物体做的是云加速直线运动， 而在位移时间图像当中，它表明物体做的是匀速直线运动。 向下倾斜的直线，在 v t 图像当中，表明物体先向正方向做云减速直线运动，后向反方向做云加速直线运动。 而在 x t 图像当中，倾斜向下的直线表明物体做的是反 反向的匀速直线运动。那么在这里呢，就不管图像是分布在 x 轴的正半轴还是负半轴呢？只要图像倾斜向下，那做的一定是反向的匀速直线运动， 那只要图像向上，那么一定做的是正方向的匀速直线运动。再比如说 c 图像，同样是与时间轴平行的图像，在速度之间图像中， c 表明物体在做匀速直线运动， 而在位移时间图像当中，平行于时间轴的这条直线 c 表明物体处于静止状态。因此拿来一个图像，我们首先一定要观察 它的横纵坐标表示的到底是速度时间还是位移时间图像。 好，那接下来我们再往下看焦点速度时间图像，各个图像，它们的焦点表示速度相同， 而在位移时间图像当中，焦点表示相遇速度时间图像。图线与横轴所为面积表示物体在这段时间位移的大小。 vc 图像表示速度随时间变化的规律，而非轨迹。位移时间图像表示位移随时间的变化规律，同样也非轨 g。 好，那接下来让我们来看一看在具体的问题当中，位移时间图像我们如何去处理。 如图所示，是 a b 两个支点从同一地点运动的 x t 图像，则下列说法错误的是，注意， 让你判断的是，错误的是。首先我们来看图形的特点，在这里 a 图像是一条过远点倾斜向上的直线，表明物体向正方向做匀速直线运动。 而 b 的图像是一条曲线，那么它表明在零至四秒这段时间内， 物体在沿正方向做减速运动，而在四至八秒这段时间内，表明物体在向反方向做加速运动。那接下来我们来看一看题中的选项。 a， a 制点，以二十米每秒的速度匀速运动， b 制点运动的轨迹是曲线。 那么在这里，首先对 a 支点而言，根据它的图像，我们可以算出它的斜率是 dot x， 比上 dot 七， 可以得出它等于二十米每秒。所以说呢， a 选项的 前一半是正确的，而后面说 b 支点，他的运动轨迹是曲线。在这里老师再次强调，这里边的图像并不是物体的运动轨迹，因此 a 选项是错误的。 b 选项 b 制点，先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运动。那么根据刚才的分析， 倾斜向上的做的就是正方向运动，倾斜向下的做的就是负方向的运动，所以说 b 选项是正确的。 c、 b 支点在最初四秒做加速运动，后四秒做减速运动。根据刚 才的判断，前四秒图像的倾斜程度越来越小，表明速度越来越小，因此做的是减速运动，后四秒图像倾斜程度越来越大，也就是速度越来越大，因此 c 选项是错误的。 四、 d、 a、 b 两至点在四秒末相遇，相遇时 b 至点的速度为零。那我们来看，在四秒末这一时刻， a、 b 两个图像相交， 相交于八十米这一位置，也就是说 a、 b 两个置点在位移是八十米的位置相遇。而在此时此刻，对于 b 置点而言， 点他图像的倾斜程度也就是他的斜率为零，那也就意味着此时此刻必至点他的速度为零。所以说四、 d 选项是正确的， 而这道题要我们选错误的，所以说我们选的是 a 和 c。 接下来我们再看这样一道题，说甲乙两人同时同地出发，骑自行车做直线运动， 前一小时内 x t 图像如图所示，下列表述正确的是哪一个？那我们来看 a 选项，零点二至零点五小时内，甲的加速度比乙的大， 那我们来看零点二小时到零点五小时内，先找到这一段时间段， 那么可以看出甲和乙的图像都是倾斜向上的直线，那么就表明甲乙在这段时间内做的都是匀速直线运动， 因此它们的加速度都是零，所以说 a 选项是错误的。 那么在这段时间内，我们还可以看出甲图像的斜率要比乙图像的斜率啊更大，因此可以判断在这段时间内，甲的速度要大于乙的速度， 因此第二个选项 b 是正确的。 c 在零点六至零点八小时内，甲的位移比乙的位移小， 那我们要找到这段时间段，零点六小时到零点八小时。那么在这一段运动过程当中，我们来看甲乙的位置变化情况， 甲他是从十米这一位置变到这一位置，而乙呢，是从八米这一位置到达同样的位置， 由此可以看出在这段时间内，甲的位移大约乙的位移，所以 c 选项是错误的。接下来我们再看最后一个选项，零点八小时内，甲乙骑行的路程相等，那么这个我们就得看整个零到零点八小时这段时间段。 那么在这段时间段内，甲和乙他们的起始位置是一样的， 他们在零点八小时到达的位置也是一样的，那么甲和乙在零点八小时之内，他们的位移肯定是相同的，因为他们的出没位置都一样。 但是如果问路程的话，路程指的是物体运动过程当中实际 路径的长度，根据图像明显可以看出谁的路径更长呢？明显是甲，因此 四 d 选项是错误的，所以说这道题我们选的是 b 选项。好，那接下来我们将本节课做一下归纳总结。 要利用位移时间图像处理问题，我们要考虑的是图像的以下三个方面，第一个斜率，图像的斜率就表明物体运动的速度。 第二个焦点，多个 x、 t 图像，它们的焦点表示物体在这一时刻相遇。 第三个看图像的洁具，图像与时间轴， t 轴的洁具，指位移为零的时刻， 与 x 轴接距，指计时开始时位移。那么以上就是关于位移时间图像我们所需要掌握的有关知识，这节课咱们就上到这里，同学们再见！