高考立体几何小报

数学几何图形化等腰三角形、梯形、长方形、圆形、长方形、圆形、椭圆形、长方形完结撒化。

二十一题，如图所示，正四轮追 s a、 b、 c、 d 告诉我们 s a 就这一条，它呢等于的是二， 所以 s b 呢是二， s c 是二， s d 呢是二， a、 b 呢，告诉我们是根号二 p 呢，是为侧轮 s d 上的点，且 s p 的话等于三倍的 p d， 这些呢，是为了后面运算要用的啊。我们先来看第一问，他说洛这个 m 为 s a 的终点， 那出现重点的话，如果要正线面平行，我们是不是最快想到的是看看是否有中位线出现呢？对不对？ 要真威线的话，那得要在一个三角形当中出现两个终点嘛。那这里有吗？你不要忘了，这样四轮追的话，它的底面是个正方形啊，它已经把对角线 a、 c 连起来了，我们是不是可以再把这个对角线 b、 d 连起来，没错吧？ 那么这样的话，相当是对角线 a c 和 b d 就相加一点 o 喽， 这个点 o 它是谁的终点呢？是不是一定是 a c 的终点呢？对吧？那么在这个三角形相当于是 a、 c s 当中，那就会出现两个终点了嘛？ 哪两个终点呢？一个是点 m 是 s a 的终点点 o 呢，是 a c 的终点。那么我们再连接这个 o m 嘛，这样的话，就相当于是 o m 是三角形 a s c 的一个中微线，它呢就会平行且等于第三边的一半嘛。所以这个 s c 啊，和这个 o m 就是互相平行的 呃，它要正的是 s c 平行这个平面 b m、 d， 所以我们要把这个 b m 呢连起来，还要再把这个 m、 d 呢也连起来，对不对？ 没问题吧？ 那么你这样子连了之后，是不是就可以把它理解成是 s c 就为这个平面 b m、 d， y 的一条直线，对吧？ o m 呢，就为这个平面 b、 m、 d 上的一条直线，相当是一线在外，一线在内， 加上他们又是互相平行，那当然可以增出线面平行啊，对不对？所以这个呢，如果我们要写的话，要怎么写过程呢？你把辅助线的话，连呢，要先说一下，可以这样说，连接 b、 d 加 a c 点哦，再连接 o m， b m。 然后呢再说，因为因为四边形 a， b、 c、 d 呢，是为正方形的啊， 那它的对角线呢，互相平分嘛，所以这个点哦，它就为 a、 c 的终点。 你再加上另外一个条件，是提莫已知的吗？谁的终点呢？他是不是说了 m n 为 s a 的终点嘛，对吧？那又因为 这个 m 点，或者说点 m， 它呢就为 s a 的终点，这个终点连起来，所以就可以得到这个 o m 啊，它呢就是为三角形 a c， s 的中危线吗？ 三角形的中微线呢，平行且等于第三边的一半，所以这个 o m， 它就会平行于 s c， 我们用个平就够了，数量关系的话，用不上弦，所以不用用啊，对不对？再说，又因为这个 s、 c， 它呢是在这个平面吗？不在吧，那就不在这个平面 b， m、 d 上嘛，对不对？而这个 o m 呢，它是在这个平面，这是补充条件了啊， b m、 d 上，就可以得到不在平面的这条直线 s、 c， 它就会平行于 直线 o m 所在的平面 b m、 d 嘛，也就是说你要证明线面平行的话，还 很简单，你就可以找到平面外的一条直线，与平面的一条直线呢，互相平行吗？再加上一线在外，一线在内，就可以说他线面平行了。 第二问他说测能 s c 上是否存在一点一，那么这个点一在哪里的话，我们目前不知道嘛？他说能够使得 b e 平行这个平面 p a c 的， 而这个平面 p a c 呢，指的是这一个平面嘛？ 那么你可以回想一下，先要证明线面平行的话，其实有两种方法。第一种的话，就是找到 平面外的一条直线，与平面的的某一条直线互相平行吗？对吧？通过线线平行，正出线面平行，这是可以的。第二种方法呢，就是你通过正出面面平行， 然后呢再反过来去推出线面平行嘛。就好比说上面呢是平面阿尔法，下面呢是平面贝塔，这两个平面是互相平行的，那么两个平面互相平行，则其中一个平面内的任意一条直线， 它都会和另外一个平面呢互相平行。比如说这里呢，上面这个平面有一条直线 a， 那么你就可以推出它会 与另外一个平面贝塔是互相平行，这个意思痛了吧？所以是可以由面面平行得到线面平行的啊。而面面平行是怎么得到的呢？ 其实就用了两次的 c m 平行的证明嘛。说直接一点，就是找到两条相交直线 与另外一个平面呢，是都互相平行，那么就可以说这两条相交直线所在的平面就一定会和 另外一个平面啊，会互相平行，因为你两条直线相交的话，那必然就可以确定一个平面了呗。 比如说举个例子吧， 一个呢是平面 a b c d， 我们假设如果我们能够得到这个 就是比如说 a、 c， 它呢，是与下面这个平面 ar 法 是互相平行的，对吧？然后呢， b、 d 它呢，也是和这个平面阿尔法呢，互相平行的，而且这个 a、 c 与 b、 d 它们相加于点哦，就说这就表示两条线条直线， 对吧？另外这两条直线不在这个平面二法内，也就是说 a、 c 它不在这个平面二法， b、 d 它也不在这个平面阿尔法内。那这样呢，我们就可以推出啊，相当于是两条相交之线所在的平面，也就是说是平面 a、 b、 c、 d 嘛，它就会平行于另外一个平面二法，就平行于这两条直线 共同平行的那个平面嘛，阿尔法对不对？这个意思通了吧？题，我们证明的一个逻辑呢，就是你要找 到两条相交直线分别平行于同一个平面，这是关键。后面这三个呢，相当是补充的条件呢，进行进一步的说明吗？对吧？强调一下啊，两条两条直线呢，是相交的，相交在哪里呢？相交一点哦， 而且这两条直线呢，都不在这个共同平行的平面内嘛。后面这三个是补充的条件啊，其最关键的是，你要能够得到 相当于是两次的线面平行吗？对吧？ 这两次的线面平行当中呢，这两条直线还要相交啊。好，明白了，这样的逻辑呢，就好办了。而本题当中恰好需要用到由面面平行得到 到线面平行，我们可以来写一下啊，相关的一个证明，他问的是存不存在嘛？所以你首先肯定是先说他存在，对吧？ 然后呢，再说，理由如下，而解决本题的关键就在于做辅助线啊，所以你一定要能够去得到，根据这个 s p 等于三倍的 p d， 我们还要再补充一个条件，得到新的结论，也就是说 可以去取这个 s d 的终点 为点 q 嘛。 然后呢，我们再连接这个 b p 啊， 连接有什么用呢？我们可以来去把它水平的来看，不可以把较小的那一份 p d 给表示出来，就这么长吗？ 呃，这个 s p 呢，是等于三倍的 p d， 说明这个 s p 当中我们可以分成三份，是和这个 p d 一样长的来嘛，对吧？ 你说这样子分吧，没错吧，换句话 话说，就相当是我们把这个 s d 啊，平均分成了四等分嘛。你看，一份两份，三份四份呐，那么这个 s 第一它的一个终点，那在哪里呢？不就是这里吗？对吧？这是点 q， 也就相当是我们刚才所说的这个是点 q 嘛，一样的呀，没错吧。 哎，你看这样子以来，有没有发现有个等量啊，也就是说你这个 p q 啊，它就会等于 p d， 如果说取终点的时候啊， 取 s d 的终点为点 q， 加上 s p 等于三倍的 p d， 我们就可以把它理解成式，就可以得到 p q， 它呢就会等于 p d， 也就相当是点 p 为这个 d q 的终点。那又有终点的话，就要格外注意了呗，你看点 p 为 d q 的终点， 呃，这个点 o 呢，是不是为 b d 的终点，那这里呢，就有一个三角形，对吧？你看在这个三角形 b d q 当中啊， 那么你只要再连接这个 o p， 那是不是中位线又出来了呀？对吧？ 嗯，你看一下，也就是说在这个三角形 b d q 中， 因为点 q 为 b d 的终点，而前面我们又得到点 p 为 d q 的终点，那么两终点连线的线段就相当于是三角形的中微线嘛，所以这个 o p 它呢，就为三角形 b d q 的中微线。那三角形的中微线，它呢，就会平行于第三边嘛？所以说这个 o p 它呢，就会平行于 b q， 你把它反过来写呢，也行的啊，也就是说 这个 b q， 它呢，就会平行于 o p， 也就是说 第三边它会平行于中微线嘛，这样子说是没问题的啊。好，那么由线线平行，我们可以推出线面平行啊。又因为这个 b q， 它不在这个平面 p a c 内， 而这个 o p 呢，它在这个平面 p a c 内，对吧？ 这就可以得到不在平面内的这条直线，就为平行于直线 o p 所在的平面，也就是平面 p a c 嘛。如果说我们是通过面面平行来去正出线面平行的话，我们还需要找到另外一条直线与这个 直线 b q 相交的来，那哪一条呢？你会发现好像没有了，那么我们可以连接这个 o q 嘛，对吧？如果能够证明 o q 也平行这个平面 a c p 的话，那不就可以说有 b q o q 这两条直线相交所成的平面 b q o， 它就会平行于平面 a c p 了嘛，对吧？那这样的话， 两个平面呢，就是互相平行了嘛。那么 b 一在哪里呢？要注意的是，这个点一呢，是在 s c 上的嘛？这个怎么做出来？你可以这样子，比如说过点 q 做 与这个 p c 互相平行的直线 p e， 使得 q e 与 s c 相加于点 e， 对吧？ 这样子来，也就说我们还要做一条平行线嘛，所以可以这样子写过点 q 状 q e 平行 p c， 且那个 q e 交 s c 于点 e 嘛，这样呢，确实能够使得这个点 e 落在 这个 s c 上啊，对不对？因为这个点应该是 s c 上的一个点嘛，所以做的话也要能够符合条件，不能够脱离啊。 你可能会好奇说，老师为什么要做平行线呢？这就相当于是用到了我们初三学过的知识，平行线分线段对应成比例，从而得到这个 s e 比上 e c 的一个值嘛，我们可以来写一下，所以 s e 比上 e c， 你看在这个三角形 s c p 当中，它这 这个 s e 比上 e c 是不是就会等于这个 s q 比上 p q 没错吧？ 嗯啊，那 s q 比上 p q 是多少呢？有没有发现 s q 呢？相当是占了两份呢，对吧？ 这个 p q 占了一份嘛，那不是相当就会等于二比一嘛，也就是等于二嘛，这个词呢，就可以出来了呀，对不对？ 那你还要能够看一下是否能够使得 b e 平行这个平面 p a c 嘛，所以我们还要进行进一步的证明。 好，那这样呢，就给我们提供了个思路呗，如果 我们再连接这个 b e 这样的话，是不是就有个三角形叫做三角形 b e q 量，是不是啊？ 你看其中的话，这个 b q 已经平行这个平面 a c p 了嘛？如果我们能够证出，比如说 这个 e q， 它也是平行于这个平面 a c p 的话，那么不就找到了相当是 b q 和 e q 这两条相交直线都同时平行于同一个平面 a c p 了吗？对吧？ 那当然我们就可以说这两条相交直线所在的平面 b e q， 它就会平行于平面 a c p 嘛？ 和 b e 呢？又在这个平面 b e q 内，那我们就可以说平面内的这条直线 b e， 它一定会平行这个平面 a c p 啊，对不对？所以我们需要再正一下这个 e q， 它平行于平面 a c p， 这个好证啊，因为已经得到了是 e q 平行于 p c， 这个是我们通过前面的辅助线添加人为所构造出来的嘛，对吧？ 好理解吧。你看，那你再加多一点调料就行了呗。也就是说，又因为这个 e q， 它不再平面 p a c 内啊， 而这个 pc， 它是在这个撇面 p a c 内，那一线在外，一线在内，这两条直线又是互相平行，就可以得到不再平面的这条直线相当于是 e q 嘛，它就会平行于另外一条直线 p c 所在的平面 p a c 嘛？好，你可以回顾一下， 前面呢，我们得到的是 b q 平行平面 p a c， 现在呢，我们又得到了相当于 是 a q， 它又平行于平面这个 p a c 嘛，对吧？那这里还有直线呢，又是相交的，也就说又因为 直线 b q 与直线 a q， 它相交于点 q， 那么这两条相交直线，它呢，又不在这个平面 p a c 内，那不在的话，又可以怎么表达呢？就相当是 不在这里呢？在哪里呢？你也可以说成是这个 b q， 它在另外一个平面嘛，也就是 b e q， 对吧？ eq 的话，它也在平面 b e q 内嘛。由此呢，我们就可以得到这两条相交直线所在的平面 b e q， 它就会平行于这两条相交直线所共同平行的那个平面 p a、 c 嘛，那么又因为 b e， 它在这个平面 b e、 q 内就可以得到这个平面内的直线 b e 就会和另外 一个平面互相平行嘛？和谁呢？和这个平面 p a、 c 互相平行。这样呢，就搞定了啊。 总结下这道题的一个难点，可能就是在于想不到要在 s d 上取终点，和这个 s p 等于三倍的 p d 相结合，从而得到这个 p q 等于 p d 得到点 p 呢，是为 d q 的终点嘛， 对吧？可能这一步呢，想不到。第二个呢，就是你要得到线面平行的话，也可以由面面平行所得到，也就是说你要造出 或者说是正出两条相交直线， 它呢，是同时平行于同一个平面嘛？然后呢，才能够进行进一步的说明， 这两条相交直线所在的平面就会和另外一个这两条相交直线所共同平行的平面互相平行。由面面平行推出线面平行。 因为两个平面互相平行的话，你在其中一个平面内找到任意的一条直线，它都会和另外一个平面互相平行嘛。而这里呢，我们得到 b q， 它平行于平面 p a、 c 的话， 是用了什么呢？它用到了相当于是三角形的中微线嘛，对吧？在三角形 b d、 q 当中，点 o 呢？为 b d 的终点，点 p 呢？为 d q 的终点嘛？在我们得到比如说 e q 平行于这个平面 a、 c p 的时候，它用到的是我们所造出来的平行线 e q 平行 p c 所得到的线面平行，有两组的线面平行相结合，那么 就可以得到这两条直线相交于一点，而且呢，都同时平行于平面， p a c 嘛，那当然可以说下面平行了。